Vol. 71, No. 2, February 2021, pp. 156∼168 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.71.156
Theoretical Approach to Magnetic Force of Electromagnet
Youngseok Jhun
Department of Science Education, Seoul National University of Education, Seoul 06639, Korea
Donggeul Hyun
∗Department of Science Education, Teachers College, Jeju National University, Jeju 63294, Korea (Received 22 September 2020 : revised 23 December 2020 : accepted 28 December 2020)
The quantitative representations for the magnetic forces of an electromagnet acting on ferro- magnetic object were derived on the basis of three magnetization theories, the magnetic potential energy method, Gilbert model for magnetism, and Ampere model for magnetism. The magnetic forces of an electromagnet acting on a ferromagnetic object made of cast iron, cast steel, and sheet steel were calculated using the derived quantitative representations.
Keywords: Electromagnet, Magnetic force, Ferromagnetic object, Magnetization theories, Magnetic potential energy method, Gilbert model, Ampere model
전자석의 자기력에 대한 이론적 접근
전영석
서울교육대학교 과학교육과, 서울 06639, 대한민국
현동걸
∗제주대학교 교육대학 과학교육과, 제주 63294, 대한민국
(2020년 9월 22일 받음, 2020년 12월 23일 수정본 받음, 2020년 12월 28일 게재 확정)
전자석이 강자성 물체에 작용하는 자기력에 대한 정량적인 표현이 자기화 이론, 자기포텐샬 에너지 방법, 자기에 대한 길버트 모형, 암페어 모형을 바탕으로 이론적으로 유도되었다. 이 연구에서 유도된 전자석의 자기력에 대한 표현을 사용하여 주철, 주강, 판강으로 이루어진 강자성 물체에 전자석의 작용하는 자기력을 계산하였다.
Keywords: 전자석, 자기력, 강자성 물체, 자기화 이론, 자기포텐샬 에너지 방법, 길버트 모형, 암 페어 모형
∗E-mail: [email protected]
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I. 서 론
전자석은 산업적으로는 전류의 자기작용의 궁극적인 응 용이며, 물리교육적으로는 전류의 자기작용을 가장 효율 적으로 보일 수 있는 교육자료이다. 이러한 까닭으로 모든 나라의 초등학교의 물리교육에서부터 전류의 자기작용에 관련하여 전자석이 다루어지고 있다. 우리나라의 물리교육 에서 전자석 관련 실험수업에서 발생하는 문제들을 조사한 여러 연구 결과들을 살펴보면, 그 동안 수차례의 교육과정 개편이 있었음에도 불구하고 반복하여 발생하는 여러 문제 들이 있다 [1–5]. 이러한 문제들의 이면에는 전자석의 자 기력에 대한 이론적인 배경 지식들이나 실험적인 정보들을 거의 찾아볼 수 없었다는 것이다. 그러나 최근 물리교육과 관련하여 전류의 자기작용, 영구자석과과 전자석에 대한 여러 연구 결과들이 보고되고 있는 것은 매우 고무적이다 [6–16].
전자석의 자기력은 거시적으로는 어렵지 않게 인식될 수 있는 힘이지만, 전자석의 자기력은 전자석에 의하여 형성되 는 자기장과 물체와의 상호작용으로, 전자석이 물체에 작용 하는 자기력을 이해하기 위해서는 물질을 구성하는 원자와 원자의 핵 주위를 공전하며 자전하는 전자의 전자기적 특성 등의 미시적인 면을 이해해야 한다. 물질의 자기적 성질은 전자의 운동으로 인한 전류의 효과에 기인하기 때문이다.
이러한 이유로 전자석의 자기력은 대학의 일반물리학 수 준에서도 다루어지지 않고 전공분야의 전자기학 수준에서 다루어지고 있지만, 그 내용이 제한적이어서 물리교육에서 다루어지는 전자석의 자기력의 성질을 설명하기에는 어려 운 면이 있다 [17–22].
물리교육에서 다루어지는 전자석의 자기력 관련 내용들 을 고려할 때, 전자석의 고리전선에 흐르는 전류의 크기와 방향, 고리전선의 수, 전자석의 심을 구성하는 물질의 자 기적 성질, 전자석과 상호작용하는 물체의 자기적 성질, 전 자석과 물체 사이의 거리 등에 따라 전자석과 물체와의 상 호작용의 성질을 추리할 수 있어야 한다. 그러나 전자기학 관련 대학 교재 [17–22]에서 찾아 볼 수 있는 전자석과 물체 사이에 작용하는 자기력에 대한 이론식은 진공의 투자율 µ0, 전자석의 단면적 AE, 그리고 전자석에 의한 자기장의 세기 BE의 조합으로 표현되는
FmE(exisiting) = AEBE2 2µ0
(1) 형태의 식이다. 이 식은 전자석이 전자석의 심과 같은 자 기적 성질을 가진 물체에만 작용하는 자기력을 나타내는 것이다. 또한 전자석과 물체가 접촉되어 있는 상태에서 접 촉자기력을 구하는 데에만 적용할 수 있다. 이러한 이유로
전자석의 심과 자기적 성질이 다른 물체, 즉 투자율이나 자화도가 다른 물체 사이의 자기력은 물론 전자석과 물체가 떨어져 있는 상태에서 이들 사이에 작용하는 자기력을 구할 수 없다는 문제들을 가지고 있다.
Hyun et al.은 전자석과 물체가 접촉한 상태에서 강자성 물체에 작용하는 전자석의 접촉자기력을 자기화 이론을 바 탕으로 가상일의 원리 (principle of virtual work) 를 이용 하는 자기포텐샬에너지 방법 (magnetic potential energy method) 으로 구하여 [10], 전자석이 물체에 작용하는 자 기력이 전자석의 단면적과 물체의 자화도에 비례하며, 철 심의 상대투자율, 고리전선의 수, 고리전선에 흐르는 전류 의 제곱에 비례하고, 전자석의 길이의 제곱에 역비례함을 보였다 [10]. 그러나 Hyun et al. 이 제시한 전자석이 강자 성 물체에 작용하는 자기력은 무한히 긴 전자석에 적용할 수 있는 전자석의 자기장을 사용하였으며, 그리 크지 않은 외부 자기장의 크기에서 포화자기화되는 강자성체 물체의 자기적 특성을 고려하지 않았다. 이러한 이유로 Hyun et al.
이 유도한 전자석의 접촉자기력은 접촉상태에 있는 충분히 작은 전자석의 자기장 영역에서 전자석과 강자성 물체 사 이의 상호작용은 정성적인 이해하는 데에는 도움이 되지만, 실제의 전자석의 접촉자기력을 구하기 위하여서는 몇 가지 보완이 필요하다.
전자석과 물체가 떨어져 있는 상태에서 이들 사이에 작용 하는 격리자기력에 관련된 이론식을 찾아보기가 어렵다. 최 근 Hyun and Shin은 원형 막대자석으로부터 떨어져 있는 강자성 물체에 작용하는 격리자기력을 자기화 이론, 자기에 대한 Gilbert 모형, Ampere 모형을 바탕으로 이론적으로 유도하였다 [14]. Hyun and Shin은 떨어져 있는 원형 막 대자석이 강자성 물체에 작용하는 격리자기력은 원형 막 대자석의 잔류자기화자기장과 단면적, 강자성 물체의 포화 자기장과 단면적에 비례하며, 그리고 이들 사이의 거리에 관계되는 양의 제곱에 반비례함을 제시하였다 [14]. 원형 막대자석으로부터 떨어져 있는 강자성 물체에 작용하는 격리자기력을 구한 Hyun and Shin의 이론적 방법은 전자 석과 물체가 떨어져 있는 상태에서 이들 사이에 작용하는 자기력을 이론적으로 전개하는 데에 유익하게 이용할 수 있다.
이 연구의 목적은 전자석의 자기력에 대하여 보다 실질 적인 이론적인 배경 지식들을 제공하는 것이다. 전자석과 강자성 물체가 접촉되어 있는 상태에서 전자석이 강자성 물 체에 작용하는 접촉자기력을 실질적인 전자석의 자기장을 제시하고, 이를 바탕으로 자기화 이론과 자기포텐샬에너지 방법으로 전개할 것이다. 그리고 전자석과 강자성 물체가 떨어져 있는 상태에서 이들 사이에 작용하는 격리자기력에 대한 이론식을 구하기 위하여 자기화 이론, 자기에 대한
Gilbert 모형, Ampere 모형을 바탕으로 이론적으로 유도할 것이다. 그리고 유도된 전지석의 자기력에 대한 이론식을 자기화 특성이 일반적으로 알려진 주철, 주강, 판강으로 이루어진 강자성 물체들에 적용하여 [23,24], 그 타당성과 유용성을 논의할 것이다.
II. 전자석 심의 자기화와 자기장
전자석은 전선을 고리전선의 형태로 나란히 감아서 전 류가 흐르는 모든 고리전선의 자기장을 고리전선의 내부에 중첩시켜 센 자기장을 얻는 일종의 솔레노이드 (solenoid) 이다. Figure 1의 (a)에서와 같이 반경이 R 이고 길이가 lE
이며 고리전선의 수가 NE인 내부가 비어있는 전자석에 고 리전선을 통하여 고리전류 iE가 흐를 때, 전자석의 내부에 자기장이 형성된다. 이때 한 고리전선 L1에 흐르는 고리 전류 iE에 의하여 그 중심 c1에서 수평으로 x 만큼 떨어진 점에 형성된 자기장 B01은 Biot-Savart 법칙을 사용하여 다 음 Eq. (2) 과 같이 수평방향의 x 축 성분 B01x으로 나타낼 수가 있다.
B01= B01x= µ0
2
R sin ϕ
r iE (2)
여기에서 µ0는 진공의 투자율 (permeability) 로서 µ0 = 4π× 10−7 N/A2이며, r 은 고리전선에서 P 점에 이르는 위치벡터로서, 그 크기는 r =√
R2+ x2이다. 그리고 각도 ϕ는 위치벡터 r 과 수평축인 x 축과의 사이각이다.
전자석의 길이당 전류밀도는 NEiE/lE = nEiE로 나타 낼 수 있으며, 전자석의 미분 길이 dx 에 흐르는 미분 고리 전류는 nEiEdx이다. 또한 미분 고리전류 nEiEdx는 미분 각도 dϕ 에 상응하는 미분 고리전류−nEiER csc2dϕ로 변 환시킬 수 있다. 여기에서 nE은 전자석의 길이당 고리전선 수이다. 이때 전자석의 모든 고리전선 NE에 흐르는 고리 전류에 의한 전자석의 한 쪽 끝인 Q 점에서 형성된 자기장 BE0은 다음 Eq. (3) 과 (4) 와 같이 구할 수 있다.
BE0 =
∫ ϕf ϕi
µ0nEiE
2 sin ϕdϕ (3)
= µ0nEiE 2
( 1 +R2
l2E )−12
(4) 여기에서 ϕi와 ϕf는 각각 Fig. 1의 (a) 의 솔레노이드의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝에 있는 고리전선에 흐르는 고리전류요 소 iEdl과 솔레노이드의 오른쪽 끝에 있는 x축의 교점과의 사이각이다.
Equation (4) 에서 전자석의 길이 lE가 솔레노이드의 반 경 R 보다 많이 큰 경우 즉 lE ≫ R인 경우, 전자석의 한
Fig. 1. (Color online) The distributions of magnetic fields: the magnetic field BE0of the electromagnet with- out core induced by the electromagnet current iE (a), the electromagnet with the unmagnetized core (b), and the magnetic field BEof the electromagnet with the core induced by the electromagnet current iE (c).
쪽 끝인 Q 점에서 형성된 자기장 BE0은 다음 Eq. (5) 로 나타낼 수 있다.
BE0= µ0nEiE
2 (5)
보다 센 자기장을 형성시키기 위하여 전자석 내부에 심 (core) 으로 강자성체 물질을 넣어 사용한다. 일반적으로 전자석은 강자성 물체를 심으로 사용하여 센 자기장을 얻을 수 있도록 만들어진다. Figure 1의 (b) 는 전자석의 고리 전선에 전류가 흐르지 않을 때 전자석 심 (electromagnet core) 인 강자성 물체 내의 원자 자기쌍극자모멘트 (atomic magnetic dipole moment)의 무질서한 분포상태를 보여준 다. 전자석의 고리전선에 전류 iE가 흐르면, Fig. 1의 (c) 에서와 같이 전자석 심인 강자성 물체는 Eq. (1) 로 나타낸 자기장 B0내에 존재하게 되며, 자기장 B0에 의하여 강자 성 물체의 무질서한 원자 자기쌍극자모멘트 mi의 방향이 회전하여 자기장 B0의 방향과 평행하게 배열되는 자기화 (magnetization) 가 일어난다. 정량적으로 단위 체적당의 자기모멘트를 물질의 자기화 Mc이라고 하면, 강자성 물체 의 자기화 Mc은 다음 Eq. (6) 와 같이 나타낼 수 있다 [14, 16].
Mc= 1 V
∑N i=1
mi (6)
여기에서 V 는 전자석 심의 체적이며, N 은 V 내에 존재하는 원자의 수이다. 그리고 Mc의 단위는 A/m이다.
전자석 심으로 사용하는 강자성체 물질이 선형 등방성 자기 물질일 때, 강자성 물체의 자기화 Mc에 의한 자기장 BM c은 고리전선에 흐르는 고리전류 iE에 의한 자기장 BE0
에 비례하는 양으로 다음 Eq. (7) 과 같이 나타낼 수 있다.
BM c= µ0Mc= χmcBE0 (7) 여기에서 χmc는 강자성 물체의 자기화율 (magnetic sus- ceptibility: χm)로서 전자석 심으로 사용한 강자성 물체의 자기적 성질을 나타내는 상수이다.
전자석 심의 자기화 Mc에 의한 자기화자기장 BM c는 전자석의 자기장 BE을 증가시키다. 이때 전자석의 자기장 BE는 다음 Eq. (8)와 같이 나타낼 수 있다.
BE= BE0+ BM c (8) 그리고 Eq. (7)을 사용하면 Eq. (8)은 다음 Eq. (9)과 (10) 와 같이 나타낼 수 있다.
BE = (1 + χmc)BE0 (9)
= µcrBE0 (10) 여기에서 µcr는 µcr= 1 + χmc로서, 전자석 심으로 사용하 는 강자성 물체의 상대투자율이다. 또한 이를 µc = µcrµ0 의 관계로 나타낼 수 있다. 전자석의 자기장 BE는 Eq. (5) 과 (10)을 사용하여 다음 Eq. (11)와 같이 나타낼 수 있다.
BE= µcNEiE
2lE
(11) 이것은 전자석의 자기장 BE는 전자석 심의 투자율 µc, 고 리전선의 수 NE, 고리전선에 흐르는 전류 iE에 비례하고, 전자석의 길이 lE에 반비례함을 의미한다.
영구자석인 경우 그 길이 lP가 그 반경 RP보다 아주 큰 경우 (lP ≫ RP), 자기선속의 손실로 인하여 그 자기장의 세기가 1/2로 감소한다는 보고가 있다 [25–27]. 이 연구에 서 전자석의 길이 lE이 전자석의 반경 RE이 아주 큰 경우 (lE ≫ RE) 이다. 전자석인 경우에도 이러한 자기선속의 손실로 인하여 그 자기장의 세기가 1/2로 감소한다는 볼 수 있다. 이러한 자기장의 세기가 감소되는 점으로 고려하여, 실질적인 전자석의 자기장 BE는 다음 Eq. (12) 로 나타낸 다.
BE= µcNEiE
4lE (12)
Fig. 2. (Color online) The magnetization magnetic field BM S of the sample object S in contact with the elec- tromagnet E with the magnetic field BE induced by the electromagnet current iE.
III. 전자석의 접촉자기력
Figure 2에서와 같이 강자성 시료물체 S가 자기장 BE
인 전자석 E에 접촉상태로 존재할 때, 전자석 E의 자기장 BE에 의하여 시료물체 S의 원자자기쌍극자모멘트들이 재 배열되며 시료물체 S에서 자기화 MS가 일어난다. Figure 3은 강자성 물체인 주철 (cast iron, CI), 주강 (cast steel, CS), 판강(sheet steel. SS)에 인가한 자기장 BA과 이들의 자기화자기장 BM 사이의 관계를 보여준다. 인가자기장 BA가 충분히 작을 경우에는 인가자기장 BA과 강자성 물 체의 자기화 MS은 선형적인 관계를 가진다. 이것은 또한 인가자기장 BA과 자기화자기장 BM 사이에는 선형적인 관계를 가진다. 일반적으로 자성체의 분류에서 이들의 관 계를 거의 선형적으로 간주한다 [19]. 그러나 실질적으로는 인가자기장 BA가 증가할수록 강자성 물체의 자기화 MS과 자기화자기장 BM은 비선형적으로 증가하다 궁극적으로 는 일정한 포화자기화 MS,sat와 일정한 포화자기화자기장 BM S(saturation magnetization magnetic field)에 이르게 된다. 강자성 시료물체 S의 자기화 MS에 의한 자기화자 기장 BM은 BM = µ0MS로 나타낼 수 있다. 자기화된 시료물체 S 내의 자기장 BS은 다음 Eq. (13) 로 나타낼 수 있다.
BS = BE+ BM (13) Figure 2의 전자석에서 고리전류 iE가 작아서 Eq. (12) 로 나타낼 수 있는 전자석의 자기장 BE가 충분히 작은 경 우, 시료의 자기화자기장 BM와 시료물체에 인가되는 자 기장인 BE가 선형적인 관계 BM = χmSBE가 성립한다.
여기에서 χmS는 시료물체 S의 자기화율이다. Equation
(13) 의 자기화된 시료물체 S 내의 자기장 BS은 다음 Eq.
(14)과 (15)로 나타낼 수 있다.
BS = BE+ χmSBE (14)
= µSrBE (15) 여기에서 µSr은 시료물체 S의 상대투자율로서, µSr= 1 + χmS인 관계가 있다. 자기화율 χmS와 상대투자율 µSr은 시료물체 S의 자기화자기장 BM와 시료물체 S에 인가되는 자기장인 BE가 선형적인 관계가 성립한다고 가정하고 정 의된 양이다.
실질적으로 강자성체는 자기화자기장 BM와 인가되는 자기장인 BE가 비선형적인 관계를 갖는다. Figure 2의 전자석에서 고리전류 iE를 크게 하여 전자석의 자기장 BE
를 증가시킴에 의하여 시료물체 S의 자기화 MS가 비선 형적으로 증가되다가 포화자기화 MS,sat에 이르게 된다.
포화자기화 MS,sat에 의한 포화자기화자기장 BM,sat는 BM,sat= µ0MS,sat로 나타낼 수 있다. 포화자기화 MS,sat
에 이룬 시료물체 S 내의 포화자기화자기장 는 다음 Eq.
(16)와 같이 나타낼 수 있다.
BS,sat= BE+ BM,sat (16) 전자석과 물체가 접촉되어 있을 경우, 물체에 작용하는 전 자석의 자기력, 즉 전자석의 접촉 자기력(contact magnetic force of electromagnet) 을 구하기 위하여 자기포텐샬에너 지 방법을 사용할 수 있다. Figure 4에서 (a) 와 같이 전자 석 E의 자기장 BE내에 시료물체 S가 존재하지 않고 오직 공기만이 존재하는 상황과 (b) 와 같이 전자석 E의 자기장 BE내에서 시료물체 S가 전자석 E에 접촉한 상태로 있는 상황을 고려할 수 있다. 이 상황에서 전자석 E의 자기장 BE는 Fig. 3에서 강자성 물체에 작용하는 인가자기장 BA
에 상응한다. 시료물체 S의 존재함에 의하여 전자석 E의 주변의 자기장이 변함에 따라 그 자기포텐샬에너지도 변하 게 된다. 이러한 자기포텐샬에너지의 변화는 순전히 시료 물체 S의 존재로 인하여 생겼다고 할 수 있으며, 또한 아주 먼 거리에 있는 시료물체 S를 전자석 E에 접촉한 상태로 존재하게 하는데 소요되는 일이라고 할 수 있다.
Figure 4의 (a) 에서 시료물체 S의 체적 VS에 상응하는 공기의 체적 Vair에 저장된 자기포텐샬에너지 Umair이라 하고, (b) 에서 전자석 E의 자기장 BE내에서 시료물체 S 가 전자석 E에 접촉한 상태로 있는 상황, 즉 전자석 E와 시료물체 S 사이 거리 x 가 x = 0 인 상태에서 시료물체 S 의 체적 VS에 저장된 자기포텐샬에너지 UmS라 하면, 시료 물체 S의 체적 VS의 자기포텐살에너지의 변화량 ∆Um은
∆Um= UmS− Uair이다. 이때 전자석 E가 시료물체 S에
Fig. 3. (Color online) The variations of the magnetiza- tion magnetic fields BM of the ferromagnetic materials of cast iron(CI), cast steel(CS), and sheet steel(SS) ac- cording to the increase of applied magnetic field [15,16].
Fig. 4. (Color online) The magnetic potential energy Umair of the sample object S is the magnetic potential energy of the object S outside of the magnetic field BEof the electromagnet (a) and the magnetic potential energy UmS is the magnetic potential energy of the object S in the magnetic field BE of the electromagnet (b).
자기력을 작용하여 전자석 E에 접촉하게 하는 데에 한 일 W은 W =−∆Um이며, 전자석 E가 시료물체 S에 작용하 는 자기력 FmE,x=0은 다음 Eq. (17)와 같이 시료물체 S의 자기포텐살에너지의 변화량 ∆Um의 기울기 (gradient) 로 나타낼 수 있다.
FmE =−d(∆Um)
dx (17)
전자석 E의 자기장 BE내에 있는 공기의 자기포텐샬에너지
밀도 umair은 다음 Eq. (18) 과 같이 주어진다 [19].
umair= 1 2
B2E µair = 1
2 BE2
µ0 (18)
여기에서 µair는 공기의 투자율로서 진공의 투자율 µ0와 같다. 이때 전자석 E의 자기장 BE에 의한 시료물체 S의 체적 VS에 상응하는 공기 체적 Vair의 자기포텐샬에너지 Umair은 Eq. (18) 을 사용하여 다음 Eq. (19) 와 같이 나타 낼 수 있다.
Umair= 1 2
∫
VS
BE2 µ0
dv (19)
또한 전자석 E의 자기장 BE에 의한 자기화된 시료물체 S 의 자기포텐샬에너지 밀도 umS는 다음 Eq. (20) 과 같이 나타낼 수 있다 [19].
umS= 1 2µ0
BS· BE= 1 2µ0
(1 + χmS)BE2 = B2S 2µS
(20) 여기에서 uS는 시료물체 S의 투자율이며, uS = µ0µSr로 나타낼 수 있다. µSr은 시료물체 S의 상대투자율이다. 그리 고 시료물체 S의 체적 VS의 자기포텐샬에너지 UmS는 Eq.
(20)을 사용하여 다음 Eq. (21)과 같이 나타낼 수 있다.
UmS =1 2
∫
VS
BS2
µSdv (21)
전자석 E의 자기장 BE에 의한 체적 VS의 자기포텐샬에 너지의 변화량 ∆Um은 Eq. (19) 와 (21) 을 사용하여 다음 Eq. (22) 로 나타낼 수 있다.
∆Um= 1 2
∫
VS
(BS2 µS −B2E
µ0
)
AEdx (22) 시료물체 S가 전자석 E에 접촉상태에서 전자석 E가 시료 물체 S에 작용하는 전자석의 접촉 자기력 FmE,x=0는 Eq.
(17) 과 (22) 를 사용하여 다음 Eq. (23) 과 같이 구할 수 있 다.
FmE,x=0 =(µSr− 1)AEBE2 2µ0
(23) 여기에서 µSr = 1 + χmS를 사용하면, 전자석 E의 접촉자 기력 FmE,s=0는 시료물체 S의 자기화율 χmS를 포함하는 다음 Eq. (24) 으로 나타낼 수 있다.
FmE,x=0=χmSAEB2E
2µ0 (24)
또한 Eq. (12)을 사용하여 다음 Eq. (25)과 같이 전자석 E 의 자기장 BE를 고리전류 iE의 함수로 나타낼 수 있다.
FmE,x=0 = 1
32µ0χmSAEµ2crn2Ei2E (25)
Figure 2의 전자석에서 고리전류 iE를 크게 하여 전자 석의 자기장 BE를 증가시킴에 의하여, Fig. 3에서와 같이 시료물체 S의 자기화 MS가 선형적으로 증가되는 영역을 벗어나 비선형적으로 증가되는 영역에서는 자기화된 시료 물체 S의 자기포텐샬에너지 밀도 umS를 알기 위해서는 실제로 측정된 시료물체 S 내의 자기화자기장 BS에 대한 정보가 필요하다. 그러나 시료물체 S가 포화자기화 MS,sat
에 이른 후의 포화영역에서 시료물체 S 내의 포화자기화자 기장 BS,sat는 다음 Eq. (26) 과 같이 나타낼 수 있다.
BS,sat= BE+ BM,sat (26) 여기에서 BM,sat는 BM,sat = µ0MS,sat로서, 시료물체 S 의 포화자기화 MS,sat에 기인하는 자기장이다.
자기장 BE에 의한 포화자기화된 시료 S의 자기포텐샬에 너지 밀도 uS,sat는 다음 Eq. (27)와 같이 나타낼 수 있다.
uS,sat= 1 2µ0
BS,sat· BE = 1 2µ0
(BE2 + BM,satBE) (27) Figure 2에서와 같이 전자석 E와 포화자기화된 시료물체 S가 접촉된 상태, 즉 전자석 E와 포화자기화된 시료물체 S 사이 거리 x 가 x = 0 인 상태에서 전자석 E가 포화자기화 된 시료물체 S에 작용하는 자기력은 앞에서 행한 시료물체 S의 자기화 MS가 선형적으로 증가되는 영역에서와 같은 방법으로 구할 수 있다. 즉, Fig. 4의 (a)에서 시료물체 S의 체적 VS에 상응하는 공기의 체적 Vair에 저장된 자기포텐 샬에너지 Umair하고, (b)에서 전자석 E의 자기장 BE내에 서 포화자기화된 시료물체 S가 전자석 E에 접촉한 상태로 있는 상황, 즉 전자석 E와 시료물체 S 사이 거리 x가 x = 0 인 상태에서 시료물체 S의 체적 VS에 저장된 자기포텐샬 에너지 Um,sat라 하면, 포화자기화된 시료물체 S의 체적 VS의 자기포텐살에너지의 변화량 ∆Um,sat은 Eq. (19) 와 (27) 다음 Eq. (28)과 같이 나타낼 수 있다.
∆Um,sat= 1 2µ0
∫
AEBM,satBEdx (28) 그리고 전자석 E에 접촉상태에서 전자석 E가 포화자기화된 시료물체 S에 작용하는 전자석의 접촉자기력 FmE,x=0,sat
는 Eq. (17)과 (28)를 사용하여 다음 Eq. (29)과 같이 구할 수 있다.
FmE,x=0,sat=BM,satAEBE
2µ0 (29)
Equation (24)과 (29)을 종합하여 전자석 E에 접촉상태에 서 전자석 E가 포화자기화된 시료물체 S에 작용하는 전자
석의 접촉자기력 FmE,x=0는 다음 Eq. (30)과 같이 나타낼 수 있다.
FmE,x=0= χmSAEBE2
2µ0 |≤BM,sat +BM,satAEBE
2µ0 |>BM,sat
(30) Equation (30) 의 우변의 첫항은 시료물체 S의 자기화 MS
가 선형적으로 증가되어 시료물체 S의 자기화전기장 BM가 포화자기화전기장 BM,sat에 이르는 영역에서 전자석 E가 시료물체 S에 작용하는 접촉자기력 FmE,x=0이다. 그리고 둘째항은 전자석 E의 자기장 BE가 계속 증가함에도 불구 하고 시료물체 S의 자기화전기장 BM가 일정한 포화자기장 BM,sat의 영역에서 전자석 E의 자기장 BE의 증가에 따라 증가하는 접촉자기력 FmE,x=0,sat이다.
전자석 E의 자기장 BE를 고리전류 iE의 함수로 나타낸 Eq. (12) 를 사용하여 Eq. (30) 의 전자석 E의 접촉 자기력 FmE,x=0을 전자석의 고리전류 iE의 함수인 Eq. (31) 과 (32)으로 나타낼 수 있다.
FmE,x=0 = 1
32µ0χmSAEµcr2 n2Ei2E|≤isat
+1
8BM,satAEµcrnEiE|>isat
(31)
또는
FmE,x=0 = 1
32l2Eµ0χmSAEµ2crNE2i2E|≤isat
+ 1 8lE
BM,satAEµcrNEiE|>isat
(32)
여기에서 isat는 시료물체 S의 자기화전기장 BM가 포화 자기화전기장 BM,sat에 이르는 하는 전자석 E의 고리전류 iE이다.
결과적으로, 전자석 E의 고리전류 iE가 충분히 작아 시 료물체 S의 자기화자기장 BM가 전자석 E의 자기장에 비 례하는 영역에서 전자석 E에 접촉되어 있는 시료물체 S 에 작용하는 전자석의 접촉자기력 FmE,x=0는 전자석 E의 면적 AE, 시료물체 S의 자기화율 χmS에 비례하며 시료물 체 S의 상대투자율 µSr에 반비례한다. 그리고 전자석 E의 심의 상대투자율 µcr, 고리전선의 수 NE, 전류 iE의 제곱에 비례하며, 전자석의 길이 lE의 제곱에 반비례한다고 할 수 있다. 그리고 전자석 E의 고리전류 iE가 증가함에 따라 시료물체 S의 자기화전기장 BM는 비선형적으로 증가하다 가 시료물체 S의 포화자기화자기장 NM,sat에 이룬다. 시 료물체 S의 포화자기화자기장 BM,sat 이상에서 전자석 E 의 자기장에 비례하는 영역에서 전자석 E에 접촉되어 있는 시료물체 S에 작용하는 전자석의 접촉자기력 FmE,x=0는 전자석 E에 접촉되어 있는 시료물체 S에 작용하는 전자석 의 접촉자기력 FmE,x=0는 전자석 E의 면적 AE, 시료물체 S의 포화자기화자기장 BM,sat, 전자석 E의 심의 상대투자 율 µcr, 고리전선의 수 NE, 전류 iE에 비례하며, 전자석의 길이 lE에 반비례한다고 할 수 있다.
Fig. 5. (Color online) The magnetization magnetic field BM S of the sample object S near the electromagnet E with the magnetic field BEinduced by the electromagnet current iE.
IV. 전자석의 격리자기력
Figure 5는 전자석 E와 이로부터 거리 x 로 격리되어 있 는 시료물체 S의 자기적 상호작용을 보여주는 그림이다.
시료물체 S에 전자석 E의 자기장 BE 내에 있으면, 시료물 체 S 내부의 무질서한 방향으로 배열되어 있던 원자 자기 쌍극자모멘트 mi들이 전자석 E의 자기장 BE의 방향으로 재배열되는 자기화가 일어난다. 이때 자기화된 시료물체 S 의 자기화자기장 BM은 다음 Eq. (33) 로 나타낸다.
BM = χmSBE (33) 전자석 E와 이로부터 x 의 거리에 있는 자기화된 시료물 체 S에 전자석 E가 작용하는 전자석의 자기력을 유도하기 위하여 전자석 E와 자기화된 시료물체 S를 영구자석으로 취급할 수 있다. 영구자석과 영구자석 사이에 작용하는 자기력은 자기력의 근원을 자하 (magnetic charge) 또는 자극 (magnetic pole) 으로 가정하는 Gilbert 모형 (Gilbert model)을 사용하여 구하는 것이 일반적이다 [26–28]. 자하 는 존재하지 않는 물리량이지만, Gilbert 모형을 사용하면 자기장 내에서 일어나는 자기현상의 원인과 효과를 구체 화시키는 데에 편리하다 [6,8,20,22]. Gilbert 모형에서는 전기학에서 양의 전하 +q 와 음의 전하−q 의 경우와 유사 하게 자기학에서 모든 자기현상의 근원을 양의 자하 +qm
과 음의 자하−qm이라는 물리량으로 설명한다.
Figure 6의 (a)인 Gilbert 모형에서 전자석 E에 상응하는 원형 막대자석 E와 이로부터 거리 x에 있는 자기화된 시료 물체 S에 상응하는 원형 막대자석 S를 이들의 자기축을 x 축과 일치되게 배치시킨 상황을 나타낸 그림이다. 여기에서 RE, lE, AE, RS, lS, AS 는 각각 전자석 E의 심과 시료물체 S의 반지름, 길이, 단면적에 상응하는 원형 막대자석 E와 S 의 사양이며, x는 x축 위의 두 원형 막대자석 E와 S 사이의 거리이다. 그리고 이들 원형 막대자석 E와 S에서 N 극과
Fig. 6. (Color online) The geometrical arrangement of the Gilbert model (a) and Ampere model (b) for the electromagnet E with the electromagnet current iE and the sample object S magnetized by the magnetic field magnetic field BE of the electromagnet E.
S극의 자극의 세기는 각각 qmE,−qmE, +qmS,−qmS이다.
lmE는 원형 막대자석 E의 자기 길이이며, ∆E는 원형 막 대자석 E의 양 끝에서 자극까지의 거리이다. 그리고 자기 축 방향으로 원형 막대자석 E의 자기쌍극자모멘트 mE와 원형 막대자석 S의 자기쌍극자모멘트 ms는 다음 Eq. (34) 와 (35) 로 나타낼 수 있다.
mE= qmElmE (34) mS = qmSlmS (35) Figure 6의 (b) 인 Ampere 모형에서 전자석 E인 경우 한 고리전류 iE에 의한 자기쌍극자모멘트 mE1는 mE1 = iEAE이며, 고리전선수가 NE인 전자석 E의 자기쌍극자모 멘트 mE는 다음 Eq. (36) 로 나타낼 수 있다.
mE= NEiEAE (36) 또한 자기화된 시료물체 S인 경우, 시료물체 S의 자기화 가 시료물체 S의 표면전류 isurf ace를 유도하는 것으로 간주 할 수 있다 [21]. 이러한 시료물체 S의 표면전류 isurf ace는 자기화된 시료물체 S를 고리전선에 고리전류 iS가 흐르는 고리전선수 NS인 하나의 전자석 S로 간주할 수 있다. 이때 시료물체 S의 표면전류 isurf ace는 isurf ace = NSiS로 나 타낼 수 있으며, 한 고리전류 iS에 의한 자기쌍극자모멘트 mS1는 mS1 = iSAS이다. 그리고 자기화된 시료물체 S 의 자기쌍극자모멘트 mS = NSiSAS는 다음 Eq. (37) 로 나타낼 수 있다.
mS = NSiSAS (37)
전자석 E의 자극의 세기 qmE의 경우, Gilbert 모형과 Am- pere 모형에서 자기쌍극자모멘트 m 를 나타내는 Eq. (34) 과 (36)을 사용하여
qmE =NEiEAE
lmE
(38) 으로 나타낼 수 있다. 그리고 전자석의 자기장 BE를 나타 내는 Eq. (12) 를 사용하여 원형 막대전자석 E의 자극의 세기 qmE을 다음 Eq. (39) 과 같이 나타낼 수 있다.
qmE =4BElEAE
µclmE (39)
그리고 자기화된 시료물체 S의 자극의 세기 qmS의 경우, Eq. (35)과 (37)을 사용하여 다음 Eq. (40)과 같이 나타낼 수 있다.
qmS= NSiSAS
lmS (40)
또한 자기화된 길이 lS인 시료 S의 표면전류 isurf ace = NSiS에 의하여 자기장, 즉 자기화된 시료물체 S의 자기장 BM은 다음 Eq. (41) 로 나타낼 수 있다.
BM =µ0NSiS
2lS (41)
그리고 Eq. (33) 와 (41) 를 사용하여 Eq. (40) 의 자기화된 시료물체 S의 자극의 세기 qmS는 다음 Eq. (42) 로 나타낼 수 있다.
qmS= 2χmSASBElS µ0lmS
(42) Figure 6의 (a)인 Gilbert 모형에서 전자석 E의 양 끝에 서 자극까지의 거리∆E가 전자석 E의 길이 lE에 비하여 너무 작아 lmE = lE이며 자기화된 시료 S에서 lmS = lS
인 경우, 전자석 E와 자기화된 시료 S사이 거리가 x 인 자 극의 세기가 qmE와 qmS인 전자석 E와 자기화된 시료 S의 N극과 S 극들에 작용하는 자기력 fmE,x>0는 Coulomb의 법칙을 사용하여 다음 Eq. (43) 와 같이 나타낼 수 있다.
FmE,x>0=−µ0qmEqmS 4π × [1
x2 − 1
(x + lS)2 − 1
(x + lE)2 + 1 (x + lE+ lE)2
]
(43) 이제 전자석 E로부터 거리 x 에 있는 시료물체 S에 작용하 는 전자석의 격리 자기력 FmE,x>0는 Eq. (39) 와 (40) 을 사용하여 다음 Eq. (44) 로 나타낼 수 있다.
FmE,x>0=−2χmSAEASBE2 πµc × [1
x2 − 1
(x + lS)2 − 1
(x + lE)2 + 1 (x + lE+ lE)2
]
(44)
그리고 Eq. (12)를 사용하여 전자석 전류 로 나타내면 다음 Eq. (45) 과 같이 나타낼 수 있다.
FmE,x>0=−µ0µcrχmSAEASNE2i2E 8πl2E × [1
x2 − 1
(x + lS)2 − 1
(x + lE)2 + 1 (x + lE+ lE)2
]
(45) 즉, 전자석 E로부터 거리 x에 있는 시료물체 S에 작용하는 전자석의 격리 자기력 FmE,x>0는 전자석 E의 심의 상대투 자율 µcr과 면적 AE, 시료물체 S의 자기화율 χmS과 면적 AS에 비례하며 시료물체 S의 상대투자율 µSr에 반비례 한다. 그리고 전자석의 고리전선의 수 NE와 전류 iE의 제곱에 비례하며, 전자석의 길이 lE와 거리 x 에 관계되는 양의 제곱에 반비례한다고 할 수 있다.
V. 적용 및 논의
물리교육에서 전류의 자기작용 관련 내용에서 사용되는 전자석 심은 시중에서 구할 수 있는 철못 (iron nail, IN) 을 가열하고 자연 냉각시켜 연철화시켜 사용하는 것이 일반적 이다. 전자석 심과 에나멜선의 절연을 고려하여 못의 표면 을 종이를 감싸고, 그 둘레를 에나멜선을 원형 고리모양으로 한 방향으로 나란하게 감아 전자석이 만들어진다. 전자석 심인 철못의 자기화율이나 상대투자율은 이를 심으로 한 전자석의 성능에 결정적인 영향을 미친다 [13]. 즉 전자석 의 자기장은 심으로 사용한 물질의 상대투자율에 비례하여 증가하며, 전자석의 자기력은 심으로 사용한 물질의 상대 투자율의 제곱에 비례하며 증가한다. 물리교육에서 철못을 심으로 사용한 전자석의 자기적인 성질을 이해하는 데는 철못의 자기화율이나 상대투자율에 대한 정보가 필수적이 지만, 이들에 대한 정보는 찾기가 어렵다.
Figure 7는 Kim et al. 은 전자석의 심으로 사용한 철못 (IN)의 자기화율 χmIN을 구하기 위하여 그 내부가 비어 있 는 길이가 lE= 9×10−2m이고 고리전선의 수가 NE= 100 인 전자석에 전자석 전류 iE가 흐를 때, 전자석의 내부에 형성되는 자기장 B0와 Fig. 1의 (c) 에서와 같이 Fig. 1 의 (c) 에서와 같이 길이가 lE = 9× 10−2 m인 철못 (IN) 을 전자석 심으로 사용했을 때, 전자석 전류 iE에 의하여 형성된 전자석의 자기장 BE를 측정한 결과를 보여준다 [29]. 전자석 전류 iE의 범위는 iE = 0 A에서 iE = 6 A 에서 두 전자석의 자기장 B0와 BE는 전자석 전류 iE에 비 례한다. 이는 철못의 자기화 자기장 BM(IN) 또한 전자석 전류 iE에 비례함을 의미하는 것으로, 철못이 선형 자기물
Fig. 7. (Color online) The variations of the magnetic field B0of the electromagnet without core and magnetic field BE of the electromagnet with the core of iron nail(IN) induced according to the increase of the electromagnet current iE [29].
질임을 시사한다. Equation (6) 와 (7) 을 사용하여 철못이 자기화율 χmIN = 231와 상대투자율 µcr= 232를 구할 수 있다. 또한 전자석 전류 iE = 6 A에서 전자석 자기장 BE
는 BE= 3.79× 10−2 T이다.
Kim and Hyun은 전자석 관련 실험수업에서 발생하는 문제들을 실험적으로 분석하고 그 문제들의 원인을 밝히기 위하여, 전자석 관련 실험수업에서 전자석의 제작과정과 전자석의 전자기적 성질을 알아보는 실험 과정과 절차에 따 라 수행하고 그 결과를 분석하였다 [11]. Kim and Hyun의 실험적인 분석 결과는 현재의 상황에서 이 연구에서 유도한 전자석의 자기력에 대한 이론식이 타당성을 입증할 수 있는 유용한 자료가 될 수 있다. 이에 Kim and Hyun의 전자석 관련 실험수업에서 사용한 전자석의 사양(specification)을 근거로 이 연구에서 유도한 전자석의 자기력을 구하였다 [29].
Kim and Hyun의 실험에서 사용한 전자석은 지름이 이 고 길이가 인 철못의 머리쪽의 끝부분에서 의 길이가 되는 지점까지 지름 인 에나멜선으로 고리전선수가 가 되도록 감아졌다 [29]. 전자석의 지름은 전자석 심의 지름을 의미 하고, 전자석의 길이는 고리전선이 감긴 부분의 길이를 의 미한다. 따라서 Eq. (18) 의 전자석의 접촉 자기력과 Eq.
(33)의 전자석의 격리 자기력의 계산에서 전자석의 반지름 RE= 2.5×10−3m, 전자석의 단면적 AE = 19.625×10−6 m2, 전자석의 길이 lE = 9× 10−2m, 고리전선의 수 NE= 100이다.
시료물체의 사양은 전자석의 단면적 AE와 같게 시료물 체의 단면적 AS = 19.625× 10−6m2로 하고, 그 길이 lS은 lS= 3×10−2m로 하였다. 그리고 자기화율 χmCl= 350인 주철 (cast iron: CI), 자기화율 χmCS = 1420인 주강 (cast
Fig. 8. (Color online) The variations of the contact mag- netic forces FmE,x=0 of the electromagnet acting on the ferromagnetic sample objects of cast steel(CS), the para- magnetic sample object of copper(Cu), and the diamag- netic sample object of aluminum(Al) in contact with the electromagnet according to the increase of the electro- magnet current iE.
steel: CS), 자기화율 χmSS = 7550인 판강 (sheet steel:
SS) 로 된 강자성 물체들을 사용하였다. 또한 쉽게 접할 수 있는 자기화율 χmAl= 2.1× 10−5인 알루미늄(Al)으로 된 상자성 물체와 자기화율 χmCu=−9.8×10−6인 구리(Cu) 으로 된 반자성 물체를 선택하여 [19], 이 연구에서 유도한 전자석의 자기력의 타당성과 유용성을 확인할 수 있다.
Figure 8는 주강 (CS), 알루미늄 (Al), 구리 (Cu) 를 전자 석에 접촉시켰을 때의 전자석의 접촉 자기력 FmE,x=0를 Eq. (25) 을 사용하여 계산한 결과이다. 이 계산에서 전자 석 전류 iE는 iE= 0 A에서 iE= 6 A로 증가시켰다. 전류 iE가 증가함에 따라 강자성 시료물체인 주강 (CS) 에 작용 하는 전자석의 접촉 자기력 FmE,x=0은 시료물체의 자기화 율에 관계없이 접촉 자기력 FmE,x=0 = 0 N에서 FmE,x=0
= 7.36 N로 전류 iE의 제곱에 비례하여 증가한다.
그러나 상자성 물체인 알루미늄 (Al) 인 경우 전류 iE가 증가함에 따라 전류 iE의 제곱에 비례하여 FmE,x=0 = 0 N에서 FmE,x=0 = 1.55 ×10−4 N로 증가하지만, 그 크기 는 매우 작다. 그리고 구리 (Cu) 인 경우 전류 iE가 증가함 에 따라 전류 iE의 제곱에 비례하여 FmE,x=0 = 0 N에서 FmE,x=0=−7.20 × 10−5N로 증가하지만, 그 크기는 매우 작다. 여기에서 (−) 부호는 반대방향의 자기력을 의미하는 것으로서 전자석과 구리 시료물체 사이에 반발력이 작용함 을 의미한다.
상자성 물체인 알루미늄 (Al) 이나 반자성 물체인 구리 (Cu) 인 경우 인가자기장 BA의 증가에 따라 자기화자기 장 BM이 선형적으로 증가하거나 감소하여 그 자기화율들 이 일정하지만, 강자성 시료물체인 주철 (CI), 주강 (CS), 판강 (SS) 인 경우, Fig. 3에서 보여주는 것과 같이 충분
히 작은 인가자기장 BA에서는 자기화자기장 BM이 거의 선형적으로 볼 수 있지만, 인가자기장 BA가 커짐에 따라 자기화자기장 BM가 비선형적으로 증가하다가 포화자기 장 BM,sat에 이른다. 이들의 인가자기장 BA이 포화자기 화에 이르는 인가자기장 BA,M,sat에 이를 때, 즉 각각의 강자성 시료물체에 대하여 BA,M,sat(CI)= 4.12× 10−3 T, BA,M,sat(CS)= 3.70×10−3T, BA,M,sat(SS)= 3.28×10−3 T에서 각각의 포화자기화자기장 BM,sat(CI) = 0.62 T, BM,sat(CS) = 1.49 T, BM,sat(SS) = 1.51 T이다 [Hyun and Shin, NPSM, 2018]. 전자석 전류 iE가 iE= 0 A에서 iE = 6 A까지 증가할 때의 전자석 자기장 BE = 0 T에서 BE = 3.79× 10−2 T의 범위 내에서 강자성 물체인 주철 (CI), 주강 (CS), 판강 (SS) 들은 모두 각각의 포화자기화자 기장 BM,sat에 이른다.
각각의 강자성 시료물체의 포화자기화자기장 BM,sat에 이르는 전자석 전류 iE,sat는 Fig. 6을 근거로 구할 수 있 다. 주철 (CI) 인 경우 iE,sat(CI) = 0.7 A, 주강 (CS) 인 경 우 iE,sat(CS)= 0.60 A, 판강 (SS)인 경우 iE,sat(SS)= 0.4 A으로 구할 수 있다. 이들의 전류는 매우 작은 크기이기 때문에 강자성 시료물체의 포화자기화는 전자석의 구동에 결정적인 영향을 준다고 추리할 수 있다.
Figure 9은 Eq. (25) 와 (32) 을 강자성 시료물체인 주철 (CI), 주강 (CS), 판강 (SS) 에 적용한 결과를 보여준다. 여 기에서 점선은 강자성 시료물체의 자기화율들이 일정하다 고 가정하여 Eq. (25 ) 을 사용하여 구한 접촉자기력들이 며, 실선들은 강자성 시료물체의 포화자기화를 고려한 Eq.
(32)를 사용하여 구한 접촉자기력들이다. 그리고 파선들은 비선형적으로 증가하는 영역에서 예상할 수 있는 접촉자기 력들을 의미한다.
Figure 9에서 보여주는 것과 같이 강자성 시료물체의 포화자기화자기장 BM,sat에 이르는 전자석 전류 iE,sat보 다 작은 영역에서 전자석이 강자성 물체들에 작용하는 접 촉 자기력 FmE,x=0는 전자석 전류 iE의 제곱에 비례하여 증가한다. 그러나 전자석 전류 iE,sat보다 큰 영역에서 전 자석이 강자성 물체들에 작용하는 접촉 자기력 FmE,x=0
는 전자석 전류 iE에 비례하여 증가한다. 주철 (CI) 인 경 우, iE,sat(CI) = 0.7 A에서 접촉 자기력 FmE,x=0(CI)는 FmE,x=0(CI) = 5.470 N이다. 그리고 전자석 전류 iE가 iE = 2 A로 증가시켰을 때 접촉 자기력 FmE,x=0(CI) 는 FmE,x=0(CI) = 5.930 N로서, 접촉 자기력 FmE,x=0(CI) 의 증가율은 8.4%로서 전자석 전류 iE의 증가율에 비하여 매우 낮다. 주강 (CS) 인 경우, iE,sat(CS) = 0.60 A에서 접 촉 자기력 FmE,x=0(CS)는 FmE,x=0(CS) = 21.000 N이다.
그리고 전자석 전류 iE가 iE=2 A로 증가시켰을 때 접촉 자 기력 FmE,x=0(CS)는 FmE,x=0(CS) = 22.890 N로서, 접촉
Fig. 9. (Color online) The variations of the contact magnetic forces FmE,x=0 of the electromagnet acting on the ferromagnetic sample objects of iron nail(IN), cast iron(CI), cast steel(CS), and sheet steel(SS) in contact with the electromagnet according to the increase of the electromagnet current iE.
자기력 FmE,x=0의 증가율은 9.00%로서 전자석 전류 iE의 증가율에 비하여 매우 낮다. 판강 (SS) 인 경우, iE,sat(SS)
= 0.4 A에서 접촉 자기력 FmE,x=0(SS)는 FmE,x=0(SS)
= 50.083 N이다. 그리고 전자석 전류 iE가 iE = 2 A로 증가시켰을 때 접촉 자기력 FmE,x=0(SS) 는 FmE,x=0(SS)
= 51.801 N로서, 접촉 자기력 FmE,x=0의 증가율은 3,43%
로서 전자석 전류 iE의 증가율에 비하여 매우 낮다. 즉 전 자석 전류 iE,sat보다 작은 영역에서 전자석이 강자성 물체 들에 작용하는 접촉 자기력 FmE,x=0는 전자석 전류 iE의 제곱에 비례하여 증가하나, 포화자기화 전류 iE,sat보다 큰 영역에서 전자석이 강자성 물체들에 작용하는 접촉 자기력 FmE,x=0는 거의 포화되었다고 할 수 있다.
Equation (45)의 전자석의 격리자기력 FmE,x>0은 전자 석과 강자성 물체 사이 거리 x 가 0 m에 수렴할수록 매우 커지며, x = 0 m인 경우에는 Eq. (45)의 괄호 안의 첫 항인 1/x2이 불능이 된다. 즉 전자석과 강자성 물체가 접촉해 있거나 이들 사이 거리 x 가 너무 작은 경우에 Eq. (45) 을 사용하여 자기력을 계산할 수 없다는 것이다. 일반적으 로 Coulomb의 법칙에 근거한 이론적인 자기력은 자석과 강자성 물체 사이 거리 가 자석의 반지름보다 큰 영역, 즉 x≤ RE 인 영역에서만 유효하다 [14,26]. 이 계산에서 사 용한 전자석 심의 반경이 RE = 2.5× 10−3 m이므로, Eq.
(45)은 전자석과 강자성 물체 사이 거리 x가 x = 2.5×10−3 m이상에서의 계산만이 유효하다.
Figure 10는 주강(CS)으로 된 시료물체를 전자석 E에서 격리된 거리 x 를 증가시키면서 x 의 변화에 따라 전자석의 격리자기력 FmE,x>0를 Eq. (45) 을 사용하여 구한 결과이
Fig. 10. (Color online) The variations of the remote magnetic forces FmE,x>0 of the electromagnet acting on the ferromagnetic sample objects of cast iron(CI), cast steel(CS), and sheet steel(SS) at the electromagnet cur- rents of iE = 0.6 A, 1 A, 1.5 A, and 2 A according to the increase of distances x from the electromagnet.
다. 이때 전자석 전류 iE는 iE = 0.5 A, 1 A, 1.5 A, 2 A 등으로 유지하였다.
이 계산에서 주강 (CS) 으로 된 시료물체에 작용하는 전 자석의 격리자기력 FmE,x>0(CS) 은 x = 2.5× 10−3 m 인 경우, iE = 0.5 A 일 때 FmE,x>0(CS, 0.5 A) = 0.252 N, iE = 1 A일 때 FmE,x>0(CS,1 A) = 1.009 N, iE = 1.5 A일 때 FmE,x>0(CS,1.5 A) = 2.270 N, iE= 2 A에서 FmE,x>0(CS,2 A) = 4.035 N이다. 이 전자석의 격리자기력 FmE,x>0들은 이 연구의 Eq. (32) 인 전자석의 접촉자기력 FmE,x=0(CS) 으로 구한 x = 0 m에서 전자석의 접촉자기 력 FmE,x>0(CS,0.5 A) = 14.718 N, FmE,x>0(CS,1 A) = 22.042 N, FmE,x>0(CS,1.5 A) = 22.466 N, FmE,x>0(CS,2 A) = 22.890 N와 비교할 때 매우 작은 크기이다.
Figure 11는 강자성 시료물체인 주철(CI), 주강(CS), 판 강 (SS) 이 전자석 E에서 격리된 거리 x 의 변화에 따라 전 자석의 격리 자기력 FmE,x>0를 Eq. (45)을 사용하여 구한 결과이다. 이때 전자석 전류 iE는 iE = 1 A로 유지하였 다. 이 계산에서 주철 (CI) 인 경우, x = 2.5× 10−3 m에서 FmE,x>0(CI,2.5×10−3m) = 0.249 N, x = 5×10−3m에서 FmE,x>0(CI,5×10−3m) = 0.061 N, x = 10×10−3m 에서 FmE,x>0(CI,10× 10−3 m) = 0.015 N등으로 격리된 거리 x가 커질수록 전자석의 격리자기력 FmE,x>0는 감소하며 0 N으로 수렴한다. 주강(CS)인 경우, x = 2.5× 10−3m에서 FmE,x>0(CS2.5×10−3m) = 01.009 N, x = 5×10−3 m에 서 FmE,x>0(CI,5× 10−3m) = 0.248 N, x = 10× 10−3m
