Vol. 70, No. 10, October 2020, pp. 880∼884 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.70.880
Analytic Solutions for Vibrating Strings with Varying Mass Density
Won Sik L’Yi
∗Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 28644, Korea (Received 29 June 2020 : revised 14 July 2020 : accepted 15 July 2020)
In general, the analytic solutions of one-dimensional wave equations with position-dependent mass densities cannot be found. In this study, we solve the wave equations of strings for the cases of linearly or exponentially changing mass densities. When the mass density changes linearly, the solution can be written in terms of the Bessel function J1/3 and the Neunmann function N1/3. For large position x, the spatial form of the wave changes as 1/√4
x, and the spatial oscillation is narrowed with the length which is proportional to 1/√
x. When the mass density changes exponentially, the solution can be written in terms of the Bessel function and the Neunmann function with an imaginary order. As x→ −∞, the solutions reduce to sine and cosine functions.
However, as x→ ∞, two types of solutions exist, one increasing rapidly, and the other decaying rapidly. For a string of finite length both solutions are possible, but when a string stretches to x→ ∞, the divergent solution is not allowed, and the string has fixed nodes.
Keywords: String vibration, Varying mass density, Analytic solutions
질량 밀도가 변하는 현에서의 파동방정식의 해석적 풀이
이원식
∗충북대학교 자연과학대학 물리학과, 청주 28644, 대한민국
(2020년 6월 29일 받음, 2020년 7월 14일 수정본 받음, 2020년 7월 15일 게재 확정)
질량밀도가 변하는 현이 진동하는 경우, 파동방정식의 일반적인 해석적 풀이는 알려져 있지 않는데, 본 연구에서는 현의 밀도가 선형적으로 변하는 경우와 지수함수적으로 변하는 경우에 대해서 현의 진동이 공간에 대해서 같은 위상을 가지는 mode 형태를 이룰 때는 해석적인 풀이가 있음을 보였다. 질량밀도가 선형적으로 증가할 경우, 파동의 변위는 Bessel 함수 J1/3 와 Neumann 함수 N1/3 의 선형 결합으로 표현되며, 특히 현의 위치 x 가 매우 커지면 이 두 함수로 표현되는 파동의 공간적 꼴은 1/√4
x 꼴로 감소하며, 공간적 진동 사이의 간격은 1/√
x에 비례하여 좁아진다. 한편 질량밀도가 지수함수적으로 증가할 때에는 파동의 꼴은 음의 지수를 가지는 Bessel 함수 Cν와 음의 지수를 가지는 Neumann 함수 Sν로 표현 되어지는데, 예상할 수 있는 것처럼 x→ −∞ 에서의 풀이는 삼각함수 꼴로 근사 되어진다.
그러나 x→ ∞이 되면 파동의 변위는 지수 함수의 지수 함수 꼴로 감소하는 형태와 같은 꼴로 발산하는 형태를 가진다. 실제 현의 경우는 현의 길이가 유한하므로 일반적인 풀이는 이 둘의 선형결합으로 나타낼 수 있지만, x→ ∞까지 현이 놓여 있을 경우에는 지극히 빠르게 증가하는 풀이는 존재할 수 없고, 그래서 한 개의 독립적인 풀이만 가능하며, 파동의 마디는 고정되어진다. 그러나 유한한 길이의 현의 경우
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는 Cν로 나타내는 풀이와 Sν로 나타내는 풀이가 모두 가능하며, 마디의 위치도 임의적인 곳에 있을 수 있다.
Keywords: 현의 진동, 변하는 질량밀도, 해석적 풀이
I. 서 론
현의 진동을 연구하는데 있어서 물리학에서 다루는 현 은 보통 질량밀도가 균일한 것이다. 이 경우 파동방정식의 풀이는 임의의 파동꼴이 일차원에서 오른쪽이나 왼쪽으로 일정한 속력으로 움직이는 것의 중첩으로 나타내진다. 그 러나 자연에서 진동하는 물체를 일차원적으로 근사할 때 질량밀도는 균일하지 않을 것이며, 그러므로 질량밀도가 위치의 함수인 경우에 있어서 현의 운동을 연구하는 것은 중요하다. 이러한 경우 파동방정식의 일반적인 풀이는 없 다. 그러나 질량밀도가 어떤 주어진 함수 꼴을 가지는가에 따라서 파동의 변위가 수학적으로 많이 연구된 특수함수로 표현되어질 수도 있을 것이다.
그러면 질량밀도가 어떠한 함수 꼴인 것이 물리적으로도 의미가 있고 수학적으로도 다루기 쉬울 것인가? 이론적인 측면과 응용적인 측면 모두에서 흥미로운 경우는 질량밀 도가 선형적으로 변하는 것과 지수함수적으로 변하는 것일 것이다. 질량밀도가 선형적으로 증가하는 것은 질량밀도가 상수인 것에서부터 자연스럽게 확장하면 고려되어지는 첫 번째의 경우이다.
한편, 다루기 쉬우면서도 물리적으로 흥미로운 경우는 질량밀도가 지수함수적으로 변하는 것이다. 이러한 현이 무한히 놓여져 있으면 현의 한 쪽 끝의 질량밀도는 일정 하지만 다른 쪽 끝은 질량밀도가 무한히 증가한다. 즉 한 쪽 끝에서는 보통의 현처럼 보이지만 반대 쪽으로 갈수록 질량이 계속 증가하여 결국에는 큰 관성량 때문에 움직일 수 없고, 그래서 자연스럽게 Dirichlet 경계조건만 만족되게 된다.
질량밀도가 지수함수적으로 변하는 경우를 응용이란 면 에서 본다면 실로폰과 같은 악기를 예로 들 수 있는데, 바하 의 평균율에 의해 진동판의 질량은 지수함수적으로 감소하 게 되어 있다 [1]. 그리고 모든 진동수에서 소리 방출의 임피 던스를 최적화 하는 메가폰의 경우, 열린 관에서 공기쪽으로 빠져나오는 horn의 단면적은 지수함수적으로 증가한다 [2].
이런 물리적인 관심에 따라 본 논문에서는 질량밀도가 변하는 현의 진동을 연구하였는데, 제2절에서는 기본 이 론을 정리하였다. 제3절에서는 질량밀도가 임의의 값에서 선형적으로 증가하는 경우의 해석적인 풀이를 구하였다.
질량밀도가 지수함수적으로 증가하는 경우에 대해서는 제4 절에서 다루었는데, 해당되는 해석적인 풀이를 구하고 풀이 의 의미를 다루었다. 그리고 결론은 제5절에서 정리하였다.
∗E-mail: wslyi@chungbuk.ac.kr
II. 질량 밀도가 위치의 함수인 경우의 파동방정식
굵기는 무시할 수 있고, 질량의 선밀도 µ 는 일정하며, 평형 상태에서의 현의 장력 τ 도 일정한 현이 있다고 하자.
현의 수직 변위를 ψ(x, t) 라 하면, 뉴턴의 운동법칙에서 유 도되는 파동방정식은 다음과 같다.
µ∂2
∂t2ψ(x, t) = τ ∂2
∂x2ψ(x, t). (1) 이 경우 물리량 µ와 τ 가 독립변수 (x, t)에 무관하기 때문에 파동방정식은 다음과 같은 변환에 대해 불변하는 대칭성을 가지고 있다.
t → t + t0, (2)
x → x + x0, (3)
x ↔ ±
√τ
µt. (4)
파동방정식의 풀이는 이 사실을 존중해야 하므로 파동의 변 위는 모양이 바뀌지 않으면서 +x 축이나−x 축으로 속력 v = √
τ /µ로 전파되는 두 개 파동의 중첩으로 나타내어 진다.
만일 장력 τ 는 일정하다 하더라도 질량의 선밀도 µ(x)가 위치에 따라 다르다면 파동방정식은
µ(x)∂2
∂t2ψ(x, t) = τ ∂2
∂x2ψ(x, t) (5) 와 같이 된다. 이 미분방정식은 (3) 과 같은 공간 이동에 관한 대칭성을 가지지 못하며, 결과적으로 파동의 모습을 공간적으로 평행이동하는 것은 풀이가 되지 못한다. 이러한 경우, 물리계가 모든 위치에서 같은 위상과 같은 진동수로 진동하는 이른바 물리적 모드를 가정하면 문제를 풀 수 있 는데, 이것은 수학적으로 변수분리 방법을 사용하여 문제를 푸는 것이다.
이제 물리적 모드를 가정하며 파동함수가 다음과 같이 ψ(x, t) = u(x)T (t) (6) 변수분리 된다고 해보자. 그러면 파동방정식에서부터
T (t)¨ T (t) = τ
µ(x) u(x)′′
u(x) (7)
와 같은 미분 방정식을 얻게 된다.
이 식의 왼쪽은 t 의 함수이고 오른쪽은 x 의 함수이므로 이것은 상수일 수 밖에 없다. 상수인 이 양을−ω2 라 두면 다음과 같은
d2
dt2T (t) = −ω2T (t), (8) d2
dx2u(x) = −ω2
τ µ(x)u(x) (9) 두 개의 미분방정식을 얻는다. 이 중에서 첫 번째 식 (8) 의 풀이는
T (t) = A cos(ωt + θ0) (10) 와 같이 쉽게 결정되지만, 두 번째 식 (9) 는 질량의 선밀도 µ(x)가 어떤 꼴인지에 따라 잘 알려진 특수함수들로 표현 되는 해석적 풀이를 구할 수 있을 것이다. 그러나 보통의 경 우에서는 해석적으로 풀기를 구하기란 매우 어렵다. 한편, 긴 원통을 따라 전파되는 파동의 꼴은 베셀함수로 표현되는 경우가 많기 때문에, 지금의 경우도 베셀함수의 특수한 꼴 로 풀이가 주어질 가능성이 있다. 이제부터는 수학적으로 간단하면서도 물리적으로 중요한 경우들에 대해서 (9) 를 풀어보기로 하자.
III. 질량의 선밀도가 선형적으로 증가하는 경우의 해석적 풀이
간단한 예로서 질량밀도가 다음과 같이 선형적으로 증가 하는 경우를 생각해 보자.
µ(x) = µ0
L0
x, x > 0 (11) 여기서 µ0와 L0는 각각 질량밀도와 길이의 차원을 가지 물리량으로서 차원해석을 위하여 편의상 도입한 상수이다.
한편 x 좌표 구간의 크기는 현의 길이라는 물리적 조건에 의해서 결정되는데, 지금은 이를 고려하지 않는 일반적인 풀이를 다루기로 하자. 이 경우 (9) 는
u(x)′′=−µ0ω2
L0τ x u(x) (12) 이 되는데, 차원이 없는 변수 z 를
z = (µ0ω2
L0τ )1/3
x (13)
와 같이 정의하면 풀어야 할 미분방정식은 다음과 같이 된 다.
d2
dz2u(z) + zu(z) = 0, z > 0. (14)
이 미분방정식의 일반적 풀이는
u(z) = c1u1(z) + c2u2(z) (15) 와 같이 되는데, 여기서 u1(z)과 u2(z)는 다음과 같이 Bessel 함수와 Neumann 함수로 표현된다 [3].
u1(z) = √ zJ1
3
(2 3z32
)
(16)
u2(z) = √ zN1
3
(2 3z32
)
(17)
Bessel 함수 J1/3(z)와 Neumann 함수 N1/3(z)는|z| <
1은 경우에 다음과 같은 근사적인 꼴을 가진다.
J1 3(z) =
√3 z
2
Γ(43) (
1− 3
16z2+ 9
896z4− · · · )
, (18)
N1
3(z) = 2
√3 {1
2(z 2)13
( 1
Γ(43)− z2 4Γ(73)+· · ·
) (19)
−(z 2)−13
( 1
Γ(23)− z2 4Γ(53)+· · ·
)}
그러므로 파동의 공간적 변위 u1(z)과 u2(z)는|z| < 1 혹은 0 < x < (L0τ /µ0ω2)1/3 에서
u1(z) = 1
√3
3Γ(43) (
z− 1
12z4+ 1
540z7− · · · )
(20)
u2(z) =
√6
3 Γ(13)
( 1− 1
12z3+· · · )
(21)
− 2
√6
3Γ(23) (
1−1
6z3+· · · )
와 같게 된다 [4].
한편 z≫ 1 때 J13(z)와 N1
3(z)는 다음과 같은 J1
3(z) =
√ 2 πz
{
cos(z− 5
12π) +O(z−1) }
(22)
N1 3(z) =
√ 2 πz
{
sin(z− 5
12π) +O(z−1) }
(23)
점근꼴을 가지므로 x ≫ (L0τ /µ0ω2)1/3 에서 진동의 두 가지 mode 꼴은
u1(z) =
√3 πz−14
{ cos(2
3z32 −5π
12) +O(z−32) }
(24)
u2(z) =
√3 πz−14
{ sin(2
3z32 −5π
12) +O(z−32) }
(25)
와 같게 된다. 이 식에 따르면 파동의 공간적 변화, 즉 포락 선은 z 가 커지면서 1/√4
z꼴로 감소한다는 것을 알 수 있다.
이 두 풀이는 모두 물리적으로 받아들여질 수 있고, 그러
므로 파동의 일반적인 풀이는 식 (15) 와 식 (10) 의 곱으로 표현된다.
이제 (24) 와 (25) 에서 삼각함수 부분을 살펴보자. 삼각 함수의 주기는 2π 이므로 z 에서의 삼각함수의 값과 z + zp
에서의 삼각함수의 값이 같다고 하면 2
3(z + zp)32 = 2
3z32 + 2π (26) 를 얻는다. 지금의 경우는 z ≫ 1 이므로
zp≈ 2π
√z (27)
이 된다. 그러므로 공간적 진동의 간격을 차원이 없는 길이 z로 표현하면 2π 가 아니라 2π/√
z와 같이 되는데, 이는 z 가 커지면 커질수록 그 간격은 1/√
z에 비례해서 좁아진다 는 것을 알 수 있다.
요약하면, 질량 밀도가 일정한 경우의 mode 풀이는 알려 진바와 같이 일정한 진폭을 가진 삼각함수로 표현되지만, 질량 밀도가 선형적으로 증가하는 경우에 있어서 현의 위치 x가 커지면 커질수록 진폭은 1/√4
x꼴로 감소하고 진동의 간격은 1/√
x꼴로 좁아진다.
IV. 질량밀도가 지수함수적으로 증가하는 경우의 해석적 풀이
수학적으로 다루기 쉬우면서도 물리적으로 흥미로운 것 은 질량밀도가 지수함수적으로 변하는 경우이다. 특히 현의 질량 밀도가 무한히 커지는 경우에서는 현의 한 쪽 끝은 무 거운 질량으로 인하여 움직일 수 없게되고, 그래서 특별히 경계조건을 정할 필요없이 자연스럽게 Dirichlet 경계조건 이 만족된다.
이제 현의 질량 선밀도가−∞ < x < ∞ 에서 µ(x) = µ0+ λ0exp2x
L0 (28)
와 같이 변하는 경우를 생각해 보자. 이것은 x→ −∞ 에서 는 질량의 선밀도가 µ0로서 일정하고, x→ ∞ 에서는 매우 무거워서 현을 묶어둔 것과 같은 경우에 해당한다. 여기서 x구간의 간격은 현의 물리적 길이에 의해 결정되는데, 지 금의 경우는 이를 고려하지 않는 일반적인 풀이를 다루기로 하자.
상수 ν, ξ 와 차원이 없는 변수 y 를 ν =
õ0
τ ωL0, (29)
ξ0 = log (√λ0
τ ωL0
)
, (30)
y = x
L0 + ξ0 (31)
와 같이 정의하면 (9) 는 d2
dy2u(y) +(
ν2+ e2y)
u(y) = 0. (32) 와 같이 된다. 이 식을 익숙한 미분방정식 꼴로 바꾸기 위 해서 새로운 변수 z 를
z = ey (33)
와 같이 정의하면 (32) 는 다음과 같이 된다.
z2d2u dz2 + zdu
dz +(
ν2+ z2)
u = 0. (34) 이 식과 베셀함수가 만족하는 미분방정식
z2d2Zν
dz2 + zdZν dz +(
−ν2+ z2)
Zν = 0. (35) 를 비교해 보면 u(y) 는 두 개의 독립된 베셀함수 Ziν로
u(y) = c1Ziν(1)(ey) + c2Ziν(2)(ey). (36) 와 같이 표현됨을 알 수 있다. 이 두 개의 독립된 풀이는 J˜ν = Ziν(1)와 ˜Nν = Ziν(2)라고도 알려져 있다.2
이를 이용하여 다음과 같은 함수
Cν(y) = ˜Jν(ey), (37) Sν(y) = N˜ν(ey) (38) 를 정의하면 (34) 의 풀이는 최종적으로
uν(y) = c1Cν(y) + c2Sν(y) (39) 과 같게 된다 [4,5].
풀이를 나타내는 이 함수 Cν(y)와 Sν(y)는 y → −∞
에서
Cν(y) ≈
√
2 tanh(1
2πν)
πν cos(νy− ν log 2 − γν) +O(e2y), (40) Sν(y) ≈
√
2 coth(1
2πν)
πν sin(νy− ν log 2 − γν)
+O(e2y) (41)
과 같은 형태를 가진다. 여기서 γν는
Γ(1 + iν) =
√ πν
sinh πνeiγν (42)
2N˜ν(z)를 ˜Yν(z)로 표현하기도 하지만, 본 논문에서는 전통적인 Neu- mann 함수 꼴로 나타내었다 [4].
로 정의 되었는데, 특히 γ0는 Euler–Mascheroni 상수 γ = 0.57721...이다.
한편 y→ ∞ 일 때 Cν(y)와 Sν(y)는 Cν(y) ≈ 1
√2πe−12yeey(
1 +O(e−y))
, (43)
Sν(y) ≈
√π
2e−12ye−ey(
1 +O(e−y))
(44)
와 같이 된다.
그러므로 풀이를 현의 위치 x 의 함수로 나타내면|x| →
∞ 일 때
u(x) =
c1
√2 tanh(12πν)
πν cos(kx + θ0) if x→ −∞
+c2
√2 coth(12πν)
πν sin(kx + θ0) +· · · c1
√
1
2πe−12(L0x+ξ0)ee
x L0+ξ0
if x→ ∞ +c2√π
2e−12(L0x+ξ0)e−e
x L0+ξ0
+· · ·
(45) 이 된다. 여기서
k =
õ0
τ ω (46)
이고, θ0= ν(ξ0− log 2) − γν 는 중요하지 않는 상수이다.
계수 ν 는 파수 k 로 표현하면
ν = kL0 (47)
인데, x→ ∞에서 파동의 꼴은 ν 에 무관하다.
위에서 구한 (45)를 보면, 만일 현이 x→ ∞ 까지 펼쳐져 있다면 c1= 0일 수 밖에 없다. 그러므로 풀이는 x→ −∞
일 때 sin(kx + θ0)에 해당되는 풀이만 가능한데, 이것은 파동의 마디가 고정됨을 의미한다. 즉, 주어진 진동수로 진동하는 파동에 대해서는, 현의 양 쪽 끝이 고정된 것 처럼 파동의 마디가 고정된다는 알 수 있다. 그러나 유한한 길이 의 현이 진동할 때에는 c1= 0일 필요가 없고, 그 경우에는 cos(kx + θ0)와 sin(kx + θ0)의 조합을 통해서 파동의 마디 가 있는 위치를 임의적으로 바꿀 수 있다.
V. 결론
현의 질량선밀도가 위치의 일반적인 함수일 경우에는 파 동방정식에 대한 일반적인 풀이가 없다. 그러나 물리적으 로는 선밀도가 위치에 따라 다른 흥미로운 경우가 존재하기 때문에 이러한 경우에 대한 해석적 풀이를 구할 수 있으면 현의 진동에 대한 물리적 직관을 얻을 수 있을 것이다. 이
러한 배경에서 질량의 선밀도가 선형적으로 증가하는 경우 와 지수함수적으로 증가하는 경우에 대해서 파동의 변위를 정지파 형태에서 구하였다.
질량밀도가 선형적으로 증가할 때에는 Bessel 함수 J1/3 와 Neumann 함수 N1/3으로 구성 되어지며, 위치 x 가 매 우 커지면 파동의 공간적 꼴은 1/√4
x꼴로 감소하게 되고, 공간적 진동 사이의 간격은 1/√
x에 비례하여 좁아지면서 파동은 촘촘히 모이게 된다.
한편 질량밀도가 지수함수적으로 증가할 때의 파동의 꼴 은 음의 지수를 가지는 Bessel 함수 Cν 와 음의 지수를 가 지는 Neumann 함수 Sν 로 표현 되어진다. 풀이의 점적인 꼴을 사용해 보면 x→ −∞ 이고 그래서 현의 선밀도가 일 정하게 되는 근사에서 Cν 는 cosine 함수에 비례하고 Sν 는 sine 함수에 비례하는데, 이는 충분히 예측이 된다. 그러나 x→ ∞ 이 되면 파동의 변위는 지수 함수의 지수 함수 꼴로 감소하는 형태와 같은 꼴로 발산하는 형태의 합으로 표현 되어진다. 실제적 현에서는 그 길이가 유한하므로 풀이는 이 둘의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 하지만 x→ ∞ 이 가능할 경우에는 풀이 중에서 지극히 빠르게 증가하는 것은 허용되지 않고, 그래서 한 종류의 풀이만 가능한데, 이것은 x→ −∞ 에서 sin(kx + θ0)에 비례하는 풀이이다. 이는 마치 질량의 선밀도가 일정한 현의 양 끝을 고정시키고 진 동시킬 때 파동의 마디가 고정되는 것처럼, 파동의 마디가 고정된다는 것을 의미한다.
REFERENCES
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