Òí ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 609-735

‘

¤ X ê s; 0 ö n Ú  T  õ u § U 
 À W ¥ – ¤‘ ¤ aP  õ u § U  À W ¥ t  ö n ړ ¤P 8 ý {  EŽ Ò Þ W Ä] K ¡

T „ ç ¡r ) ^∗ · ƒ ‘ š0 ² ?¦ 

Â

Òí ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 609-735

b 9 ? ¬ £

Â

Òí ß –@ /† < Ɠ § Ò q tÓ ü t† < Æõ ,  Òí ß – 609-735 (2004¸   4 Z 4 1{ 9  ~ à Î6 £ §)

Ä

º¿ º Qo \  ¦ t   H Ò q tÓ ü t Á ºo   © œE Ó ü t`  ¦ t 
  H ' Ÿ 1 l x“ É r  ƒ  \ " f ™  ¥ y  ^  ¦ à º e ”   H ‰ & ³ © œs  . ¢ ¸ô  Ç s

 Qô  Ç Ò q tÓ ü t‰ & ³ © œ“ É r – И Ðh Ë :Û ¼\ " f  © œE Ó ü t`  ¦  rx  €  " f 3 l q ³ ðÓ ü t`  ¦ ¹ 1 ԍ  H · ú ˜“ ¦o 7 £ § \  6 £ x6   x ÷ &# Q| 9  à º• ¸ e ”

 . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð s  Qô  Ç Ò q tÓ ü t Á ºo \  @ /ô  Ç — ¸4 S q“ É r > h^ ‰_  5 Å q • ¸ü <  l  Â Ò   H_    É r > h^ ‰[ þ t_  î  r1 l x

~

½

ӆ ¾ Ó\  _ K  „  ^ ‰& h “   Á ºo  ' Ÿ 1 l x s    & ñ ÷ &• ¸2 Ÿ ¤   H כ ¹™ è[ þ t – Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H Á

ºo _  y Œ • > h^ ‰[ þ t s  Ä º¿ º Qo \  ¦ † ¾ Ó • ¸2 Ÿ ¤   H j Ë µ`  ¦ “ ¦ 9Ù þ ¡“ ¦, y Œ • > h^ ‰[ þ t  s \   Œ •6   x   H W 1 t  j Ë

µ(= å Ja Ë >, x 9 a Ë >, & ñ § > =, $ † ½ Ó§ 4 )`  ¦ — ¸4 S qa A % i  . s  — ¸4 S q_  r Ð 3 x ? /l   H  © œE Ó ü t_  ß ¼l   © œE Ó ü t`  ¦ t 

  H > h^ ‰Á ºo \  \ O  
 4 Ÿ ¤¸ ú šô  Ç ' Ÿ 1 l x`  ¦  l  r v   H t \  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . Æ Ò& h Ü ¼– Ð, Ä º¿ º Qo _  5 Å q • ¸\ 



 " f > h^ ‰Á ºo  # Qb  G>  ì ø Í6 £ x   H t \  ¦ ¨ î ç  Hî  r1 l x| ¾ Ó ß ¼l – Ð & ñ _ ô  Ç | 9 " fB > h  à º φ\  ¦ & ñ _  # Œ ƒ  

½

¨ % i  .

PACS numbers: 60

Keywords: Ä º¿ º Qo \  ¦ t   H Ò q tÓ ü t Á ºo , = å Ja Ë >, x 9 a Ë >, & ñ § > =

I. " e  ] Ø

þ

j  H ´ ú §“ É r  Ä »• ¸\  ¦ t   H q ‚  + þ A > \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨

“

¦^ ‰Ó ü t o † < Æ_   € ª œô  Ç l Z O (Û ¼H { 9 a A, F  ½ ©   o 1 p x)`  ¦ s  6

 

x # Œ s À Ò# Qt “ ¦ e ”  . s  Qô  Ç q ‚  + þ A >  ×  æ_  


D

hb  ¢ ¸  H Ó ü t “ ¦l  Á ºo  1 p x_  Ò q tI † < Æ& h  > s   [1,2]. s  Q ô 

Ç Ò q tI >  ? /_  Ò q tÓ ü t Á ºo [ þ t“ É r Ä º¿ º Qo  e ”   H  â Ä ºü <

\ O

  H  â Ä º ¿ º t – Ð
¾ º# Qt   H X <, @ / Òì  r“ É r s  Qô  Ç Ä º

¿

º Qo  \ O s  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ô  Ç . s  Qô  Ç > [ þ t_  : £ ¤f ç “ É r  l 

›

¸f ”  oü < ‚ ½ Óµ 1 Ï& h  ' Ÿ 1 l x s   [3]. Á ºo \  ¦ f ±   H Ò q tÓ ü t_  ' Ÿ 1 l x [

þ

t“ É r ü @ Ò_  Ÿ íd ”  – РÒ'   ’  `  ¦ ˜ Р ñ l  0 Aô  Ç 3 l q& h  s

 e ”   [4]. ƒ  ] j ² ú ˜ 9[ þ t t  — ¸Ø ԍ  H ¹ ¢ ¤d ”  Ó ü t “ ¦l [ þ t õ  † < Ê a

    H  Œ •“ É r Ó ü t “ ¦l [ þ t“ É r † ½ Ó © œ Á ºo \  ¦ s ê  r  . b \  ¦ t 

#

Q  m €   y Œ •y Œ •_  Ó ü t “ ¦l [ þ t“ É r Õ ªë ß –
p u ¸ ú š n = S X ‰Ò  ¦ s  ×  ¦ # Q [

þ

t l  M :ë  H s  . Á ºo _   © œ o \  e ”   H Ó ü t “ ¦l [ þ t s  ¹ ¢ ¤ d ”

 Ó ü t “ ¦l  ] X   H   H  כ `  ¦ › ¸l \  · ú ˜ 9Å Òl  M :ë  H \  | 9  é

ß – ? /\  e ” `  ¦ M :  8   É r  rx  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ½ + É Ã º e ”   H  כ s  .

÷

 rë ß –  m  , ¹ ¢ ¤d ”  Ó ü t “ ¦l [ þ t“ É r 1 l x{ 9  >  ¹ ¡ §f ” s   H  H Á º o

\  ¦ ë ß –
€   # Qo Ñ ü æ] X K 4 R" f  Œ ™r  QÓ ü w  o >   ) a  . s 

∗

E-mail: [email protected]

X O

>  Á ºo \  ¦ t # Q  m   H Ò q tÓ ü t[ þ t s   © œE Ó ü t`  ¦ # Qb  G>   r x

 # Œ î  r1 l x   H • ¸ ¢ ¸ô  Ç Ÿ íd ”  – РÒ'  ´ òÖ  ¦& h Ü ¼– Ð • ¸ x

½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O s  ÷ &l • ¸ ô  Ç  [5]. Õ ªo “ ¦ s  Qô  Ç  © œ E

Ó ü t`  ¦  rx    H Á ºo  ' Ÿ 1 l x_  ƒ  ½ ¨  H / B N† < Æ& h Ü ¼– Ð # Œ Q ì

 r  \  6 £ x6   x ÷ &# Q”   . \ V\  ¦ [ þ t€  , Ó ü t “ ¦l  b \  ¦ ´ òÖ  ¦& h  Ü

¼– Ð Ÿ í S \ ‰   H ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Е ¸ s  Qô  Ç ƒ  ½ ¨  H ×  æ כ ¹  9 [6],

€

ª œb \  ¦ — ¸  H € ª œu l  – И Ðà Ô_  · ú ˜“ ¦o 7 £ § \ • ¸  6   x ÷ &# Q

”

   [7]. Õ ª Q
  f ”  s  Qô  Ç ë  H ] j\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H ´ ú §s  s

À Ò# Q4 R e ” t  · ú § . Õ ªA " f Ä ºo   H s  Qô  Ç ë  H ] j\  ¦ ] X   H

  H ' Í   P : õ & ñ Ü ¼– Ð ‘ : r  7 Hë  H \ " f : £ ¤Z > ô  Ç  © œE Ó ü t  rx 

„ 

| Ä Ì`  ¦ ° ú t  · ú §  H    H › ¸|  \  D h b 
 Ó ü t “ ¦l  Á ºo  1 p x _

 Ò q tÓ ü t Á ºo  ¿ º > h_   © œE Ó ü t  s \  ¦ t ± ú ˜ M : # Qb  G>  ' Ÿ  1

l

x   H t \  ¦ ì  r  1 l x% i † < Æ r Ð 3 x ? /l \  ¦ s 6   x # Œ ƒ  ½ ¨ % i 



.

II. X ê s; 0 ö n ÚÊ Ý – ¤‘ ¤ aP  õ u § U  À W ¥ t  ö n ړ ¤P 8 ý {

¢] k ù× D

Ò q

tÓ ü t Á ºo  ' Ÿ 1 l x \  @ /ô  Ç þ jœ í_  ƒ  ½ ¨  H Vicsek [8] \  _  K

 s À Ò# Q& ’  . Vicsek_  — ¸4 S q\   H > h^ ‰ç ß –_  " f– Ð  Œ •6   x

-529-

  H j Ë µs  Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ” t  · ú §“ ¦, Å Òl & h   â > › ¸| `  ¦ s  6

 

x “ ¦ e ” Ü ¼ 9 î  r1 l x õ  î  r1 l x t  · ú §  H  © œI _  „  s \  ¦
 

? /  H X <  H Ø  æì  rÙ þ ¡t ë ß – z  ´] j Ò q tÓ ü t Á ºo \  ¦ ¬ ¹    H X <



 H  Ò7 á ¤ô  Ç & h s   ™ è e ”  . s  Qô  Ç & h \ " f Ä ºo   H > h^ ‰ ç

ß –  o \  @ /K  t à º † < Êà º& h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H j Ë µs   Œ •6   x 



 H — ¸4 S q`  ¦ ë ß –[ þ t% 3  . s  j Ë µ_  † < Êà º z  ´] j Ò q tÓ ü t Á ºo \  @ / K

 { 9 u ô  Ç   H 7 £ x    H \ O  . Õ ª Q
 s  Qô  Ç & ñ `  ¦ † < ÊÜ ¼

–

Ð+ ‹ Ä ºo   H › ' a8 £ ¤ ÷ &  H Ò q tÓ ü t Á ºo _  î  r1 l x õ  Ä »  >  r  Ð

3 x ? /l \  ¦ ½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ^  ¦ à º e ” % 3  . Ä ºo   H \ P  2 ;  â > 

›

¸| (open boundary condition)`  ¦  6   x % i “ ¦, i  P : > h

^

‰  H | 9 | ¾ Ó m _i , 0 Au  x ⁱ , Õ ªo “ ¦ 5 Å q • ¸ v ⁱ \  ¦ y Œ •y Œ • t • ¸ 2

Ÿ

¤ ½ ¨$ í ÷ &# Q e ”  . y Œ • > h^ ‰[ þ tç ß –\   H W 1 t  + þ AI _  j Ë µ s

 " f– Ðç ß –\   Œ •6   xô  Ç (= å Ja Ë >, x 9 a Ë >, & ñ § > =, $ † ½ Ó). s  Qô  Ç W

1 t  j Ë µ“ É r > h^ ‰[ þ t s  Á ºo \  ¦ + þ A$ í “ ¦ > h^ ‰ç ß –_   o 

\

 ¦ { 9 & ñ >  Ä »t  €  " f î  r1 l x   H X < € 9 à º& h s  . > h^ ‰ [

þ

t_  5 Å q • ¸  -Á º 7 £ x  t  3 l w • ¸2 Ÿ ¤ l  0 AK " f  ¹ 1 Ï

>

à º γ\  ¦ t   H $ † ½ Ó§ 4 s  • ¸{ 9 ÷ &% 3 “ ¦ > h^ ‰[ þ tç ß –_  = å J # Q {

© œl   H j Ë µ“ É r  © œ  ñ Œ •6   x  o \  ¦
 ? /  H l att – Ð : £ ¤$ í `  ¦
 

? /% 3  . ¢ ¸ô  Ç > h^ ‰[ þ tç ß –\   -Á º  0 >t   H  כ `  ¦ } Œ •l  0 AK " f x 9 # Q? /l  j Ë µ`  ¦ l rep – Ð : £ ¤$ í `  ¦
 ? /% 3  . s  Qô  Ç j Ë

µ[ þ t`  ¦ — ¸¿ º “ ¦ 9 # Œ | ½ Ó] j‘    { 9 _  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨$ í 

€ 

  6 £ § õ  ° ú   .

m _i ∂ _t v _i = f _i ^align + f _i ^att + f _i ^rep + f _i ^{f ric} + f _i ^obstacle + f _i ^leader + ξ(t)

∂ _t x _i = v _i

hξ i (t)ξ j (t ⁰ ) i = 2sδ ij δ(t − t ⁰ ) (1)

#

Œl " f, f i ^q (q=align, att, rep, fric, obstacle, leader)  H y Œ • y

Œ •  6 £ §_  j Ë µ[ þ t`  ¦ _ p ô  Ç (align: & ñ § > = l , att: = å J # Q { ©

œl l , rep: x 9 # Q? /l , fric:  ¹ 1 ϧ 4 , Õ ªo “ ¦ obstacle:  © œ E

Ó ü t`  ¦ È Òõ  t  3 l w >  • ¸2 Ÿ ¤   H j Ë µ, leader: Ä º¿ º Q o

\  ¦  Ø Ô• ¸2 Ÿ ¤   H j Ë µ). ξ(t)  H Ä ºr î ß – ¸ ú š6 £ §`  ¦
  · p



. ¸ ú š6 £ §_  ´ òõ   H > h^ ‰_  & ñ § > =\  q ‚  + þ A& h  % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”

 .

0 A\ " f ƒ  / å Lô  Ç j Ë µ[ þ t`  ¦ à º† < Æ& h  + þ AI – Ð l Õ ü t “ ¦  ô  Ç



. 5 Å q • ¸ v i “   > h^ ‰ Ö ¼z   H  ¹ 1 ϧ 4 “ É r Stokes j Ë µ q 5 p w 

>

  ¹ 1 Ï> à º γ\  ¦ t • ¸2 Ÿ ¤  6 £ § õ  ° ú  s  ¬ ¹  % i  .

f _i ^{f ric} = γv i

j   P : > h^ ‰\  _ K  i   P : > h^ ‰ ~ à ΍  H = å J o   H j Ë µ“ É r > h

^

‰ç ß – b  # Q”    o \  @ /K  t à º† < Êà º& h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H † < Ê Ã

º– Ð & ñ Ù þ ¡ .

f _i ^att = c att

X

i 6=j

exp ( −|x i − x j |/l att ) ˆ f _i,j ^att

#

Œl " f, ˆ f _j,i ^att = x j − x i / |x j − x i |  H i   P : > h^ ‰ ~ à ΍  H j Ë µ _

 ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦
 ? /  H é ß –0 A 7 ˜' s “ ¦, x ⁱ   H i   P : > h^ ‰_  0 Au \  ¦
 ? /“ ¦ e ”  . Á ºo _  i   P : > h^ ‰ j   P : > h

^

‰\  _ K  ~ à ΍  H x 9 o   H j Ë µ“ É r  6 £ § õ  ° ú  s 
 ? /# Q”   .

f _i ^rep = c rep

X

i 6=j

exp ( −|x i − x j |/l rep ) ˆ f _i,j ^rep

#

Œl " f, ˆ f _i,j ^rep = x i − x j / |x i − x j |  H i   P : > h^ ‰ ~ à ΍  H j Ë µ _

 ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦
 ? /  H é ß –0 A 7 ˜' s  . i   P : > h^ ‰  H Å Ò0 A _    É r > h^ ‰\  _ K  & ñ § > =÷ &  H j Ë µ`  ¦ ~ à ΍  H X <, s  j Ë µ“ É r   6

£

§ õ  ° ú  s  ¬ ¹ ÷ &# Q ”   .

f _i ^align = X

i 6=j

gˆ v j

1

|x i − x j | ²

#

Œl " f, ˆv ^j   H „   > h^ ‰[ þ t_  5 Å q • ¸é ß –0 A 7 ˜' \  ¦ ¨ î ç  Hô  Ç ~ ½ Ó

†

¾ Ó 7 ˜' \  ¦
  · p . & ñ § > =  9  H j Ë µ“ É r Á ºo _  „  % i 

&

h (global)“   î  r1 l x`  ¦  l  r †   . g ° ú כs   Œ • ”   €  , Á º o

_  „  % i & h “   î  r1 l x“ É r \ O # Qt >   ) a  . Õ ªo “ ¦ Ä ºr î ß –

¸ ú

š6 £ § ξ(t) • ¸ Á ºo _  „  % i & h  î  r1 l x \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p • 2 ; .

>

h^ ‰  © œE Ó ü t   H % ƒ– Ð š ¸€    © œE Ó ü t`  ¦ È Òõ  t  3 l w 

•

¸2 Ÿ ¤ ì ø Í@ /¼ # Ü ¼– Ð j Ë µs   Œ •6   x >  % i  . 7 £ ¤  © œE Ó ü t s  ” > r F

† < Ê`  ¦ ¬ ¹ K  ï  r  . i   P : > h^ ‰ Ö ¼z   H  © œE Ó ü t \  _  ô 

Ç j Ë µ“ É r  6 £ § õ  ° ú   .

f _i ^wall = c wall

1

1 + exp[σ( |x ^wall j − x i | − r)] x ˆ wall,i



© œE Ó ü t_  é ß –é ß –ô  Ç & ñ • ¸\  ¦
 ? / Å Òl  0 AK " f σ\  ¦ • ¸{ 9 

% i  . s  — ¸4 S q\ " f  H σ = 0.1 – Ð Å Ò# Q& ’  . s  ° ú כ“ É r > h

^

‰[ þ t s   © œE Ó ü t`  ¦ È Òõ  t  3 l w • ¸2 Ÿ ¤ l \  Ø  æì  rô  Ç ° ú כ s

 . Õ ªo “ ¦ |x wall − x i |  H  © œE Ó ü t_  ×  æd ” \ " f Ò'  > h^ ‰ i  s _   o \  ¦
  · p . # Œl " f, ˆ x wall,i   H  © œE Ó ü t ×  æ d ”

\ " f i > h^ ‰– Ð † ¾ Ó   H é ß –0 A 7 ˜' \  ¦
  · p . r“ É r  © œE  Ó

ü

t_  ì ø Í â `  ¦
 ? /“ ¦, j = 1, 2 _  ° ú כ`  ¦ t  9 ¿ º > h_ 



© œE Ó ü t`  ¦
  · p .



t } Œ •Ü ¼– Ð y Œ • > h^ ‰[ þ t“ É r Ä º¿ º Qo \  ¦ † ¾ Ó   H j Ë µ`  ¦ ~ à Î



 H X < s   H Ê êß ¼_  Z O g Ë :`  ¦  Ø Ô• ¸2 Ÿ ¤ % i  .

f _i ^leader = c _leader (x _leader − x i )

>

h^ ‰[ þ t s  Ä º¿ º Qo \  ¦ Æ Ò7 á x   H ' Ÿ 1 l x`  ¦
 ? /  H s  d ” 

“ É

r Ä º¿ º Qo  \ O   H — ¸4 S q\  q K " f  © œ„  s  ‰ & ³ © œ› ¸| `  ¦ ß

¼>  ¢ - a o r & ï  r  .  r  ´ ú ˜K , Ä º¿ º Qo  \ O   H — ¸4 S q

\

 q K  > h^ ‰[ þ t s  & ñ § > = o   H : £ ¤& ñ B > h  à º ° ú כ # 3 0 A



Å Ò V , # Qt >   ) a  .   " f > h^ ‰[ þ tç ß –\   Œ •6   x   H j Ë µs 



-Á º ß ¼ 
 & h t  · ú § €  , & h { © œô  Ç B > h  à º ° ú כ\  @ /K " f

~ 1

>  & ñ § > = o ÷ &  H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  .

‘

: r — ¸4 S q\ " f  H Á ºo _  > h^ ‰ à º N = 200, Õ ªo “ ¦ \ P  2 ;

 â

>  › ¸| `  ¦  6   xÙ þ ¡ . Õ ªo “ ¦ Ä º¿ º Qo   H ç ß –  s  d“  

¿

º  © œE Ó ü t  s _  ×  æd ” `  ¦ 5 Å q • ¸ v– Ð : Ÿ x õ ô  Ç .

Fig. 1. Snapshots of N = 200 leader-induced flock in- dividuals for the parameter values C att = 7, C rep = 5, C wall = 2, C leader = 0.001, γ = 0.05, σ = 0.1, l att = 50, l rep = 150, s = 0.01, m = 1. Black circle indicates leader.

III. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

Õ

ªa Ë > 1“ É r  © œE Ó ü t – РÒ'  Y O o  b  # Q”   > h^ ‰Á ºo \  ¦ ˜ Ð# Œ Å

ғ ¦ e ”  . œ íl  © œI – Ð > h^ ‰[ þ t“ É r — ¸¿ º ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ † ¾ Ó “ ¦ e ”

  H X <, s   H s  Qô  Ç  © œI  ÷ &• ¸2 Ÿ ¤  6 £ § õ  ° ú  “ É r   à º ° ú כ [

þ

t`  ¦  6   x % i l  M :ë  H s  .

C _att = 7, C _rep = 5, C _wall = 2, C _leader = 0.001, γ = 0.05, σ = 0.1, l _att = 50, l _rep = 150, s = 0.01, m = 1 (2)

 Ž

“ É rÒ  o " é ¶ s  Á ºo _  Ä º¿ º Qo \  ¦
 ? /“ ¦ e ”  . Õ ªa Ë >

2  H t = 100, 150, 200 Õ ªo “ ¦ 250 \ " f > h^ ‰ Á ºo  ¿ º

Fig. 2. Flock passing through a space between two ob- stacles with r 1 = 50, r 2 = 50.

Fig. 3. Flock passing through a space between two ob- stacles with r ₁ = 80, r ₂ = 80.



© œE Ó ü t  s \  ¦ t 
  H õ & ñ `  ¦ y Œ •y Œ • ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  (r ¹ = r 2 = 50, d = 100, v = 2). s M :  o¶ ú ˜³ ð  H > h^ ‰[ þ t_  5 Å q

•

¸\  ¦
  · p . > h^ ‰[ þ t“ É r  © œE Ó ü t  s \  ¦ t 
l • ¸  t

ë ß – [  t    H > h^ ‰[ þ t • ¸ Ò q t|   . Õ ªa Ë > 3“ É r r 1 = 80, r 2 = 80 d = 20 Õ ªo “ ¦ v = 2\  @ /K " f ¿ º  © œE Ó ü t  s \  ¦ t 

  H õ & ñ `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . s  Qô  Ç ' Ÿ 1 l x`  ¦ & ñ | ¾ Ó o  l

 0 AK " f Ä ºo   H | 9 " fB > h  à º\  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _  

% i  .

φ ≡ | P

j v ˆ _j | N

#

Œl " f, N“ É r Á ºo _  > h^ ‰ à º\  ¦
 ? /“ ¦, ˆv j   H y Œ • > h^ ‰ _

 î  r1 l x~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦
 ? /  H é ß –0 A 7 ˜' s  . ë ß –€  • > h^ ‰[ þ t s  e ”

_ _  ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð î  r1 l x “ ¦ e ”  €   | 9 " fB > h  à º φ_  ° ú כ

Fig. 4. The order parameter φ as a function of time t for

various sizes of obstacles.

Fig. 5. (a) When individuals pass by obstacles, they make ordering state temporally. (b) After temporal or- dering, they get out of order.

“ É

r  _  0\   Ö  ¦  כ s  . ì ø ̀  \ , ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð & ñ § > =K 

"

f î  r1 l x “ ¦ e ”  €   | 9 " fB > h  à º φ_  ° ú כ“ É r 1 \   î  r

° ú

כ`  ¦ | 9   כ s  .

Õ

ªa Ë > 4  H ¿ º  © œE Ó ü t_  ì ø Í â `  ¦ ß ¼>  K  €  " f Á ºo 

#

Qb  G>  î  r1 l x   H t \  ¦ | 9 " f B > h  à º φ\  ¦ s 6   x # Œ ˜ Ð# Œ Å

ғ ¦ e ”  (d = 40, 60, 80, 100 Õ ªo “ ¦ v = 2).  © œE Ó ü t \  ] X

  H K  y Œ ™\      © œE Ó ü t`  ¦  rx    H î  r1 l x s  Ò q tl   H X <

s

 M :ë  H \  t = 130   H % ƒ\ " f Á º| 9 " f• ¸ þ j@ /– Ð 7 £ x ô  Ç



. Ä º¿ º Qo \  ¦   " f > h^ ‰[ þ t s   © œE Ó ü t  s \  ¦ t 




 H  כ õ  „   > h^ ‰[ þ t s   © œE Ó ü t  s _  / B Nç ß –`  ¦ — ¸¿ º t 


t

 3 l w l  M :ë  H \  { 9 r & h Ü ¼– Ð & ñ ^ ‰÷ &  H { 9  Ò_  > h^ ‰• ¸ Ò q

tl “ ¦, { 9  ҍ  H  © œE Ó ü t`  ¦  rx  # Œ [  t  “ ¦ { 9  ҍ  H ì ø Í

@

/~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð î  r1 l x   H > h^ ‰[ þ t • ¸ Ò q t|   . s  M :ë  H \  Á º| 9 

"

f• ¸ 7 £ x  >  ÷ &  H  כ s  . t = 170   H % ƒ\ " f  r  | 9 

"

f• ¸ 7 £ x    H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ ˜ Г   . s  כ “ É r  © œE Ó ü t`  ¦  rx 

# Œ [  t    H > h^ ‰[ þ t_  î  r1 l x~ ½ ӆ ¾ Ós  { 9 r & h Ü ¼– Ð o  8_ 

Fig. 6. The order parameter φ as a function of time t for r 1 = 80, r 2 = 40, 50, 60, 70, 80.

Fig. 7. The order parameter φas a function of time t for r ₁ = 50, r ₂ = 50 where v = 1, 2, 3, 4, and 5.

~

½ ӆ ¾ Ó`  ¦ † ¾ Ó l  M :ë  H s  (Õ ªa Ë > 5(a)). s  r & h `  ¦ t 
> 

÷

&€   > h^ ‰[ þ t_  o  8\  ¦ † ¾ Ó   H ~ ½ ӆ ¾ Ós  l Ö  ¦ # Qt l  M :ë  H

\

 & ñ § > =s  L :# Q”   (Õ ªa Ë > 5(b)). > h^ ‰[ þ t s   © œE Ó ü t`  ¦ : Ÿ x õ

 >  ÷ &€   | 9 " f• ¸ 7 £ x  €  " f | 9 " fB > h  à º φ ∼1– Ð ] X

  H >   ) a  . s  Qô  Ç î  r1 l x“ É r Ä º¿ º Qo \  ¦ t   H Á ºo  '

Ÿ 1 l x \ " f ^  ¦ à º e ”  . ë ß –€  • Ä º¿ º Qo  \ O   H Á ºo _   â Ä

º\  ¦ Ò q ty Œ •K  ˜ Ѐ  ,    : r& h Ü ¼– Ð s  Qô  Ç Á ºo   H  © œE Ó ü t`  ¦ t


l  # Q§ >  . Ä º¿ º Qo  \ O   H  â Ä º ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð

&

ñ § > = ÷ &# Q" f î  r1 l x   H › ¸| s  e ” Ü ¼
, s  › ¸|  _  Á ºo 



 H  © œE Ó ü t`  ¦ ë ß –
€  , Á ºo _  „  ^ ‰ ~ ½ ӆ ¾ Ós   7 >  ÷ &# Q" f { 9

 ҍ  H  © œE Ó ü t`  ¦ : Ÿ x õ  
 @ / Òì  r_  > h^ ‰[ þ t“ É r   É r ~ ½ Ó

†

¾ Ó`  ¦ ‚  × þ ˜   H ‰ & ³ © œs  { 9 # Qè ß – .

Õ

ªa Ë > 6“ É r  © œE Ó ü t_  ì ø Í â s  r ¹ = 80, r 2 = 40, 50, 60, 70, 80, v = 2 Õ ªo “ ¦ d = 40 “    â Ä º_  Á ºo  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ˜ Ð

#

Œï  r  . r 2  7 £ x † < Ê\     φ_  ' Í   P : þ j™ èt & h \ " f



 H ì ø Í â \  @ /ô  Ç s  ˜ Ðs t ë ß – ¿ º   P : þ j™ èt & h \ " f



 H  _  s  ˜ Ðs t  · ú §  H  . s   H  © œE Ó ü t + þ AI _  q 

Fig. 8. The plot of the relaxation time τ against the

leader’s velocity v for various sizes of obstacles.

@

/g A$ í \  l “  ô  Ç  כ s  .  © œE Ó ü t_  q  @ /g A$ í Ü ¼– Ð “  K  Õ

ªa Ë > 5(a)\ " f [ O " î ô  Ç ‰ & ³ © œs  { 9 # Q
t  · ú §l  M :ë  H s  .

Õ

ªa Ë > 7“ É r Ä º¿ º Qo _  5 Å q • ¸\    É r Á ºo _  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ˜ Ð

#

ŒÅ ғ ¦ e ”  . 5 Å q • ¸ & | 9 à º2 Ÿ ¤  © œE Ó ü t`  ¦ À 1 Ïo  : Ÿ x õ  l  M

:ë  H \  | 9 " fB > h  à º φ 1– Ð 7 £ x    H r ç ß –s  À 1 Ï ”  



. Õ ªo “ ¦ 5 Å q • ¸ Ö ¼ 9| 9 à º2 Ÿ ¤ φ_  þ j™ è° ú כs   8  Œ • f ” 

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  . Õ ªa Ë > 5(a)_  ‰ & ³ © œs  …  ;…  ;y  ”  ' Ÿ ÷ &l  M : ë

 H \  7 £ ¤,  r  ´ ú ˜K " f > h^ ‰  © œE Ó ü t`  ¦  rx  €  " f t 


  H r ç ß –s  U  ´# Qt l  M :ë  H \  { 9 # Q
  H ‰ & ³ © œs  .

Õ

ªa Ë > 8“ É r  € ª œô  Ç  © œE Ó ü t_  ß ¼l ü < Ä º¿ º Qo _  5 Å q • ¸\ 



 " f | 9 " f B > h  à º φ_   r4 Ÿ ¤ r ç ß – τ \  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . Ä º¿ º Qo _  5 Å q • ¸ v  \  ¦ à º2 Ÿ ¤ τ   H  Œ • t “ ¦,  © œE Ó ü t  s _  /

B

Nç ß – d 9 þ t à º2 Ÿ ¤ τ   Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ f ” `  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

IV. + s Ç Â ] Ø

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H ¿ º  © œE Ó ü t  s \  ¦ t 
  H Ä º¿ º Qo \  ¦ t   H Ò q tÓ ü t Á ºo \  ¦ — ¸4 S qa A % i  . — ¸4 S qa A  ) a Ò q t Ó

ü

t Á ºo   H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ò q tÓ ü t† < Æ& h Ü ¼– Ð · ú ˜ 94 R e ” “ ¦, l ” > r _    É r ƒ  ½ ¨ [ þ t \  _ K  ] jî ß – ) a > h^ ‰ © œ  ñç ß –_  j Ë µ`  ¦ ž Ð

@

/– Ð # Œ ½ ¨$ í ÷ &% 3  . Õ ª Q
  f ” “ É r Ò q tÓ ü t† < Æ\ " f s  Q ô 

Ç ë  H ] j\  @ /K  & ñ | ¾ Ó o ) a ƒ  ½ ¨ s À Ò# Q4 R e ” t  · ú §l  M : ë

 H \  z  ´] j Ò q tÓ ü t[ þ t_  ' Ÿ 1 l x õ  ‘ : r  7 Hë  H \ " f ] jî ß –   H — ¸4 S q õ

  H s  e ”  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H s  ë  H ] j\  @ / ô 

Ç 0 p xô  Ç ² ú š ×  æ_  
\  ¦ ] jr  “ ¦  ô  Ç  כ s  . Ä º¿ º Qo \  ¦  Ø Ô  H Á ºo   © œE Ó ü t`  ¦ t 
° ú ˜ M :, | 9 " fB > h   Ã

º φ  H / å L  y  y Œ ™™ è % i    r  7 £ x    H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ ˜ Ð s

“ ¦, ¢ ¸  r  y Œ ™™ è   H õ & ñ `  ¦   >  ÷ &  H X <, s   H > h^ ‰ [

þ

t s   © œE Ó ü t`  ¦  rx ½ + É M : { 9 r & h Ü ¼– Ð & ñ § > =÷ &l  M :ë  He ” 

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  . ¿ º  © œE Ó ü t  s _  / B Nç ß –s   Œ • | 9 à º2 Ÿ ¤ ' Í

 

P :– Ð φ y Œ ™™ è   H & ñ • ¸ & t “ ¦,  © œE Ó ü t_  q @ /g A$ í

“ É

r ¿ º   P : φ y Œ ™™ è   H ´ òõ \  ¦ y Œ ™™ èr †   . Õ ªo “ ¦ Ä º

¿

º Qo  5 Å q • ¸_  7 £ x \    " f Á ºo  F  & ñ § > =÷ &  H  r4 Ÿ ¤

r

ç ß –τ   H  ú ª f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  . " f : r \ " f ƒ  / å LÙ þ ¡~  

–

И Ðh Ë :Û ¼ ì  r  \ " f  H þ j  H \  4 Ÿ ¤¸ ú šô  Ç l 0 p x`  ¦ à º' Ÿ ½ + É Ã º e ”

  H 8 A# Qè ß – $ í 0 p x_  ô  Ç – Ð4 Ÿ © ˜ Ð   H ç ß –é ß –ô  Ç l 0 p x`  ¦ à º' Ÿ 

½ +

É Ã º e ”   H $ í 0 p x s  b  # Qt   H # Œ Q – Ð4 Ÿ © \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  Ö ¸ µ

1 Ïy  s À Ò# Q t “ ¦ e ”  (\ V\  ¦[ þ t€  , € ª œu l  – Ð4 Ÿ ©, > hp  – Ð 4

Ÿ

© 1 p x). s  Qô  Ç – Ð4 Ÿ ©[ þ t_  e ” Á ºÃ º' Ÿ \   © œ # Q 9î  r ë  H ] j

  – Ð  © œE Ó ü t  rx  ë  H ] j“  X <, ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r s  ë  H ] j_  K 

 

Õ þ ˜`  ¦ z  ´] j Ò q tÓ ü t[ þ t_  ' Ÿ 1 l x \ " f ¹ 1 ÔÜ ¼ 9 ô  Ç . s  Qô  Ç › ' a

&

h \ " f, z  ´] j Ò q tÓ ü t Á ºo \  @ /ô  Ç  8 ´ ú §“ É r ' Ÿ 1 l x› ' a¹ 1 Ï  « Ñ\ 



„ ½ Ó # Œ ‘ : r — ¸4 S q`  ¦ µ 1 τ  r †   €  , s  Qô  Ç 6 £ x6   xì  r  \ 

•

¸¹ ¡ § s  | ¨ c  כ s   Ò q ty Œ •ô  Ç .

P c

p 8 ý ò k >

Ò q

tÓ ü t Á ºo ' Ÿ 1 l x \  @ /ô  Ç Ò q tÓ ü t† < Æ& h  ‰ & ³ © œ\  @ /K  ´ ú §“ É r ž Ð _

\  ¦ K  ŠҒ   þ j â  B ~ à Ì _ ” õ  — ¸4 S q_  Õ ªA i ” % ƒo \  @ / K

 • ¸¹ ¡ §`  ¦ ŠҒ   ^ ” ‚  Å Ò_ ” a  y Œ ™  × ¼w n m  . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H ô 

Dz D G õ † < ÆF é ß – : £ ¤& ñ l œ íƒ  ½ ¨(R01-2002-000-00038-0) t 

"

é

¶ Ü ¼– Ð Ã º' Ÿ ÷ &% 3 6 £ §.

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] J. J. Anderson, Fishery Bull. 79, 315 (1981).

[2] A. Huth and C. Wissel, Ecological Modelling 75, 135 (1994).

[3] C. W. Reynolds, Computer Graphics 21, 25 (1987).

[4] B. L. Patridge, Scientific American, June 90 (1993).

[5] T. J. Pitcher, Animal Behav. 27, 126 (1979).

[6] T. Musha, NHK Library 79 (NHK, in Japanes, 1998).

[7] G. M. Werner and M. G. Dyer, Proceedings of the sec- ond international conference on simulation of adap- tive behavior, (MIT Press, Cambridge, 1992), p. 393.

[8] T. Vicsek et al., Phys. Rev. Lett. 75, 1226 (1995).

Dynamics of Leader-Induced Flock Passing Through a Space between Two Obstacles

S.- H. Lee ^∗ and H. K. Pak

Department of Physics, Pusan National University, Busan 609-735

T.-S. Chon

Division of Biological Sciences, Pusan National University, Busan 609-735 (Received 1 April 2004)

The behavior of leader-induced flock passing through a narrow opening between obstacles is very common in nature. There have been ongoing efforts to simulate such behavior in computer animations and robotics applications. Generally, such works assume that the movement of each member of the flock is independently determined in response to its local environment only, e.g., the speeds and the directions of its neighboring flock members. In our model, we address the importance of the leader-follower relationship to flocking behavior in biological systems. A separate set of rules for passing through the opening between obstacles is applied to the leader in the simulation so that attraction, repulsion, friction and alignment are simultaneausly determined in the leader-follower relationships. The computer simulation shows how the size of obstacles will induce diferent complex behaviors in a flock passing through an opening between the obstacles. Additionally, we study the dependence of the dynamics of the flock’s behavior on the leader’s velocity by using the magnitude of the average momentum as an order parameter.

PACS numbers: 60

Keywords: Leader-induced flock, Attraction, Repulsion, Alignment

∗

E-mail: [email protected]