1
행렬의 응용
2
일때, A는 비특이행렬이다.
이면, A의 역행렬은 존재한다.
이면, A의 모든 열백터(행백터)는 일차 독립이다.
0 A
0 A
0 A
즉, 방정식의 수와 미지수의 수가 일치하는 연립방정식이 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 방정식들이 서로 모순되지 않고
함수적으로 독립적이어야 한다는 것인데, 이는 계수행렬의 행렬식 값이 0이 아니라는 사실과 논리적으로 같은 것이다.
3
예제 5. 행렬 1 6
3 2 가 역행렬을 갖기 위한 x값을 구하라.
4
0
1 2 18 20 4 5
∴ 4 5
5
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
다음과 같은 3차 정방행렬 A가 있다고하자.
이 정방행렬 A에 3차 단위행렬 을 오른쪽에 추가시켜 다음과 같은 행렬을 만든다.
I
36
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
먼저 첫 번째 행 전체를 세 번째 행에 더하면
다시 첫 번째 행을 (-2)배 하여 두 번째 행에 더하면
7
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
이제 단순히 두 번째 행을 세 번째 행에 더하면
계속해서 셋째 행을 2배 하여 둘째 행에 더하면
8
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
다시 셋째 행을 (-1)배 해서 첫째 행에 더하면
이제 두 번째 행에 을 곱하여 첫 번째 행에 더하면
8 1
9
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
첫 번째 행에는 을 두 번째 행은 을 곱해서 정리하면
2
1
8 1
10
가우스-조단방법 (Gauss-Jordan Method)
1 1
1 8
2 8
3 8
4
16 6 16
5 16
12
1 0 0
0 1 0
0 0 1 1
0 0
0 1 0
0 0 1 2 7 2
0 6 4
1 1 2
11
예제 6. 가우스 – 조던 방법을 사용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라.
12
3 1
3
1 2
/ 1 1
1 2 / 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3 1 3
1 2
/ 1 1
0 0
1 1 0 0
0 1 0
0 1 1 3
1 3
6 3
6
0 0
1 1 0 0
0 6 0
0 1 1 3
1 3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
2 6 0
0 1 1
1 3 / 1 1
0 1
0
0 0
1 3 / 1 0 0
2 6
0
0 1 1 1
0 1
0 1 0
0 0 1 1 2 0
2 6 0
0 1 1 1
0 0
0 1 0
0 0 1 1 3 1
2 6 0
0 1 1
• EXCEL 이용: MINVERSE()
13
수반행렬을 이용하는 방법
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
A [ a
ij]
33 23
13
32 22
12
31 21
11 33 32
31
23 22
21
13 12
11
'
] [
C C
C
C C
C
C C
C C
adjA
C C
C C
C C
C
C C
C
C
ij (여인수 행렬)(수반 행렬)
14
A I AC
I A AC
I A A
A A
A AC
' '
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
'
A A C
I A A
AC A
' '
1
1 1
A adjA A
11
또는
( ∵ 타여인수 전개 = 0)
15
역행렬의 도출 순서요약
A의 행렬식 의 값을 구하여 인지를 확인 이면 여인수 행렬 를 구함
C의 전치행렬 C' (= adj A)를 구함
A A A 0 0
0
A
C [Cij]A adjA A
11
의 공식에 입각하여 역행렬 구함16
예제 7. 수반행렬을 이용하여 하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라.
17
=
• EXCEL 이용: MINVERSE()
18
역행렬을 이용한 연립방정식 해 구하기
b A X
b
AX
1
3 2 1
33 32
31
23 22
21
13 12
11
3 2
1
1
b b b
C C
C
C C
C
C C
C x A
x
x
19
예제 8. 다음 연립방정식의 해를 역행렬을 이용해서 풀어라.
2 3 3
2 3 2 4
3 3 4 5
20
=
/ / /
/ / /
/ / /
21
/ / /
/ / /
/ / /
→
/ / /
/ / /
/ / /
/ / /
22
크래머 법칙을 이용한 연립방정식 해 구하기
1 ,
1
1
A
x A 1 ,
2
2
A
x A
31
3A A x
,
33 32
3
23 22
2
13 12
1 1
a a
b
a a
b
a a
b
A ,
33 3
31
23 21
13 1
11 2
a b
a
a b
a
a b
a
A
s3 32
31
2 22
21
1 12
11 3
b a
a
b a
a
b a
a
A
23
예제 9. 다음 연립방정식의 해를 크래머 법칙을 이용해서 풀어라.
3 42 9 45 5 2 32
4 2 4 32
24
45 20 4 42 128 64 9 64 160 720 2688 864 2832
600, 4769
,
25
가우스-조던 소거법을 이용한 연립방정식 해 구하기
위 식에서 계수행렬과 상수행렬을 점선을 사이에 두고 배열해 보자.
26
가우스-조던 소거법을 이용한 연립방정식 해 구하기
새로 만든 행렬에서 첫 번째 행에 (-1)을 곱해 둘째 행과 셋째 행에 각각 더한다.
이제 두 번째 행에 (-1)을 곱해 셋째 행에 더한다.
27
가우스-조던 소거법을 이용한 연립방정식 해 구하기 다음으로 둘째 행에 을 곱해 첫째 행에 더한다.
셋째 행에 (-1) 을 곱해 둘째 행에 더한다.
2
1
28
가우스-조던 소거법을 이용한 연립방정식 해 구하기 셋째 행에 을 곱한다.
둘째 행에 을 곱한다.
2 1
2
1
29
가우스-조던 소거법을 이용한 연립방정식 해 구하기
1 1
0 0
2 0
1 0
3 0
0 1 2
5 3 1
0 3
3 1
2 1
1 1
가우스-조던 방식과 같은 원리
30
예제 10. 다음 연립방정식을 가우스-조단 소거법을 이용해 구하라.
2 4
2 8
1
31
