(안내)
본 교재 연습문제 홀수문제 풀이는 책 뒷편에 수록되어 있습니다.
2. 함수의 그래프를 그리고 Laplace 변환을 구하시오. 0.5점
(1)
T t
;H T t, )t( t;
f 0
0 0
위 함수는 시간에 따른 불연속 함수로서 그래프를 그리면 다음과 같다.
위 함수의 Laplace 변환은 다음 두가지 방법으로 구할 수 있는데, i) 첫번째 방법은 구간별 Laplace 변환을 통하여 구하는 것이다. 즉,
6 0
0
0
0 e dt dt
e H
dt e ) t ( f dt e ) t ( f
dt e ) t ( f ) s ( F ) t ( f L
T st st
T
T st st
st
식(2-1)
식 (2-1) 우변의 두번째항은 적분값이 “0” 이 되므로, 우변의 첫째항을 적분하면,
sT
sT
T st
s e H
e s H s
s e H ) s ( F ) t ( f L
1
1 1
1
0
식(2-2)
ii) 두번째 방법은 시간 지연함수를 사용하고, 여러 함수의 중첩을 통하여 원래 함수를 생성시키는 방법을 이용한다.
즉, 주어진 함수는 y=H (0t), 그리고 y=-H (Tt), 이렇게 두 함수의 중첩을 통하여 생성할 수 있다. 즉,
f(t) = Hu(t) - Hu(t-T) 식(2-3)
여기에서 u(t) 는 시간에 대한 unit function 으로써 u(t)=1 을 의미한다. 위 식 (2-3) 을 라플라스 변환하면, H
0 T
2
t f(t)
sT
T
st st
st
s e H s H
dt e ) T t ( u H dt e ) t ( u H
dt e ) t ( f ) s ( F ) t ( f L
0 0
식(2-4)
식 (2-4) 에서 시간지연함수에 대한 라플라스 변환은 교재 25 쪽 보기 2-6 을 이용하였다.
위의 2 가지 풀이 방식은 다르지만, 식(2-2) 와 식(2-4) 에서 보듯이 동일한 해를 얻는다. 시간지연함수의 이용이 좀더 체계적인 풀이 방식이다.
Matlab 을 사용하여 위의 결과 값과 같은 결과를 도출 할 수 있다. 예로서, 1 번의 문제는 다음과 같이 풀릴 수 있다.
2. (2) 2
0 1 2
위 그림은 다음과 같이 단위함수와 시간지연함수들로 표현된다.
) t ( u ) t ( ) t ( u t ) t ( u ) t (
f 2 2 1 1 2 2 따라서 라플라스 변환을 하면,
s s
T
st T
st st
st
se s e
s
dt e ) t ( u dt
e ) t ( ) t ( u dt
e t ) t ( u
dt e ) t ( f ) s ( F ) t ( f L
2 2
2 0
0
2 2
2
2 2
1 1
2 2
4. 역 라플라스 변환하시오.
0.5 점
(1)
) 4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
s s s
s s s
F
위의 F(s) 함수를 부분분수 형태로 나타내면,
4 3
2 )
4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
s C s
B s
A s
s s
s s s
F ---(식 4-1)
ⓐ 를 구하기 위하여 양변에 각각 s+2 를 곱한 다음 s=-2 를 대입하면, A 4
) 2 ( 3
) 2 ( )
4 )(
3 (
) 1 (
s s C s
s A B s
s s s
4 ) 2 (
) 2 2 ( 3 ) 2 (
) 2 2 ( )
4 2 )(
3 2 (
) 1 2 ( ) 2 (
B C
A
1
A
ⓑ 의 값을 얻기 위해서는 ⓐ와 같은 방법으로 양변에 s+3 를 곱한 후, s=-3 을 대입한다. B 4
) 3 ( 2
) 3 ( ) 4 ( ) 2 (
) 1 (
s s B C s
s A s
s s s
4 ) 3 (
) 3 3 ( 2
) 3 (
) 3 3 ( ) 4 3 ( ) 2 3 (
) 1 3 ( ) 3 (
C
A B
6
B
ⓒ 양변에 s+4 를 곱한 후, s 에 -4 를 대입하면 C 의 값을 구할 수 있다.
s C s B s
s A s
s s
s
3 ) 4 ( 2
) 4 ( ) 3 )(
2 (
) 1 (
B C
A
3 ) 4 (
) 4 4 ( 2 ) 4 (
) 4 4 ( ) 3 4 )(
2 4 (
) 1 4 ( ) 4 (
6
C , ,
ⓐ ⓑ ⓒ에서 구한 A, B, C 값을 ⓗ에 대입하면, 4 6 3 6 2 1 ) 4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
s s s
s s s
s s s
F
따라서 F(s) 함수를 역 라플라스 변환을 하면,
t t
t e e
e s F L t
f( ) 1[ ( )] 2 6 3 6 4
t t
t e e
e t
f( ) 2 6 3 6 4
(2) 2
) 1 (
) 4 ) (
(
s s s F
위의 F(s) 함수를 부분분수 형태로 나타내면,
2
2
1 ( 1 )
) 1 (
) 4 ) (
(
s B s
A s
s s
F
---(식 4-2) B 값을 구하기 위하여 양변에 (s+1)2을 곱한 후, s=-1 을 대입한다.B s
A
s4 ( 1) ---(식 4-3) B
A
1) 4 ( 1 1) (
3
B
A 값을 얻기 위해서는 (식 4-3) 식에서 s 에 대하여 미분을 하면 A 의 값을 도출 할 수 있다.
1
A
위에 구한 A, B 값을 (식 4-2)에 대입한 후, 역 라플라스 변환을 하면,
2
2
( 1 )
3 1 1 ) 1 (
) 4 ) (
(
s s
s s s F
t
t t e
e s F L t
f( ) 1[ ( )] 3
t
t t e
e t
f
( ) 3
(3)
( 2 )( 3 )( 4 ) )
1 ) (
(
2
s s s s s F
위의 F(s) 함수를 부분분수 형태로 나타내면,
4 3
2 )
4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
2 2
s D s C s
B s
A s
s s s s
F
---(식 4-4)먼저, (식 4-4) 의 식에서 양변을 (s+2)를 곱한 후, s 에 -2 를 대입하여 A 값을 구한다.
4 ) 2 ( ) (
3 ) 2 ( )
4 )(
3 (
) 1 (
2
2
s s D s C s
s A B s
s s
4 ) 2 (
) 2 2 ( ) ) 2 ( ( 3 ) 2 (
) 2 2 ( )
4 ) 2 )((
3 2 (
) 1 2 (
2
2
B C D
A
8
1
A
다음으로 B 값은 양변에 s+3 을 곱한 후, s=-3 을 대입하면,
4
) 3 ( ) (
2 ) 3 ( ) 4 ( ) 2 (
) 1 (
2
2
s s D s B C
s s A s
s s
4 ) 3 (
) 3 3 ( ) ) 3 ( ( 2
) 3 (
) 3 3 ( ) 4 ) 3 ((
) 2 3 (
) 1 3 (
2
2
C D
A B
13
2
B
(식 4-4) 의 식에 위에서 구한 A, B 값을 대입한 다음 양변에 (s+2)·(s+3)·(s2+4)를 곱하고 s 차수에 따라 정리하 면,
) 13 6
16 8 ( 12 ) 5 13 6
8 8 ( 4 104 )
15 13
4 8 ( 3 13 )
2 8 ( 1
1 s3 C s2 D s C D D
s
13 0 2 8
1
C , 0
104 15 13
4 8
3
D , 6 5 1
13 8 8
4
C D , 6 1
13 16 8
12
D
(c. f :s3과 s2은 존재하지 않으므로 0 의 값을 가지게 되며, s 와 상수의 계수는 1 의 값을 가지게 된다.)
따라서,
104
3
C ,
52
11
D 이다.
앞서 구한 A, B, C, D 값을 (식 4-4)에 대입하면,
) 4 ( 52
11 )
4 ( 104
3 )
3 ( 13
2 )
2 ( 8
1 )
4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
2 2 2
s s
s s
s s
s s s s F
) 4 ( 2 52
2 11 )
4 ( 104
3 )
3 ( 13
2 )
2 ( 8
1 )
4 )(
3 )(
2 (
) 1 ) (
(
2 2 2
s s
s s
s s
s s s s F
) 2 104(sin ) 11 2 104(cos
3 13
2 8
)] 1 ( [ )
(t L1 F s e 2 e 3 t t
f t t
) 2 cos 3 2 sin 11 104(
1 13
2 8
) 1
(t e 2 e 3 t t
f t t
(4)
1
) 1
(
2
s s s
F
2 2 2
2
2 ) ( 3 2) ( 1
1 4
) 3 2 ( 1
1 1
) 1 (
s s s
s s F
3 ) 3 ( 2 ) 2 ) ( 3 2 ) ( 1
2 3 (
2 2
s
2 sin 3 3
3 )] 2 ( [ )
(
1
2
t
e s
F L t f
2 sin 3 3
3 ) 2
(
2
t
e t
f
9. 다음 연립미분방정식을 풀어라.
0.5 점
교재 713 – 714 쪽 연습문제 풀이 참조
14. 1 차 속도반응이 일어나고 있는 CSTR 반응기에서, 성분 A 에 대한 물질수지식은 다음과 같다.
0.5 점
A A
A
q ( C
AiC ) VkC
dt
V dC
(식 14-1)이때, 반응속도 상수 k k0eE/RT 이다. V, q, k0, E, R 는 상수로서, 각각 반응기 부피, 부피유속, 충돌빈도상수, 활 성화에너지 그리고 기체상수이다.
답안:
선형화 및 편차변수화는 다음과 같다.
1) 선형화
온도 (T) 와 유입농도 (CAi), 유출농도 (CA) 각 변수이며, 주어진 (식 14-1) 오른쪽 2 번째항이 비선형성을 갖는다. 따라 서 이 비선형항 (f) 을 두개의 변수 T 와 CA 에 대하여 정상상태 (또는 기준상태) Ts, CA,s , fs 에서선형화해야 한다.
s s , A A C A C s
T T
A RT / E A
f ) C C dC (
) df T T dT (
f df
C e
k C k f
s , A s A
0
여기에서,
s s
s
RT / E s
s , A T
T A
RT / E T
T
T e R
C E k RT
C E e
dT k
df
0 2 0 2
s s
s , A A s
, A A
RT / E T
T , C C RT / E C
A C
e k e
dC k
df
0 0
선형화된 f 를 (식 14-1) 에 대입하면,
E/RT s E/RT A A,s ss s , A A
A Ai
e ( T T ) k e ( C C ) f
T R
C E V k ) C C ( dt q
V dC
0 2 s 0 s (식 14-2)2) 편차변수화 (표준화)
(식 14-2) 의 정상상태식은 다음과 같다.
E/RT s s E/RT A,s A,s ss s , A s
, A s , Ai s
,
A
e ( T T ) k e ( C C ) f
T R
C E V k ) C C ( dt q
V dC
0 2 s 0 s (식 14-3)(식 14-2) 에서 (식 14-3) 을 빼면, 편차변수형태로 나타내어 진다.
As s , A RT
/ E A
Ai
A
T C
T R
C e E
Vk ) C C ( dt q
C
V d
0 s 2 (식 14-4)(식 14-4) 에서 보여지는 상수항들을 간단히 하기 위하여, (식 14-4) 의 양변을 q 로 나누면,
As s , A RT
/ E A
Ai
A
T C
T R
C e E
q k ) V C C dt (
C d q
V
s0 2 (식 14-5)
(식 14-5) 에서 상수들을 각각 다음과 같이 치환하면,
2 2 0
1
s s , A RT
/ E
T R
C K E
, e k K q,
V s
(식 14-5) 은 다음과 같이 간단히 된다.
A A
Ai
A
( C C ) K K T K C
dt C d
1 2
1
