Estimation of the scale parameter of the half logistic distribution under unified hybrid censored sample^†

2018, 29

1)

13–25

통일된 복합 중도절단에서 하프 로지스틱 분포의 모수 추정 ^†

ᄀ ᅪ

ᆨ재영

¹

²

12대구대학교 전산통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 12ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 4ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 4ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄇ

ᅩ

ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ (hybrid censoring)ᄋ ᅳ ᆫ ᄌ ᅦ 1ᄌ ᅩ ᆼ (type I) ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅪ ᄌ ᅦ 2ᄌ ᅩ ᆼ (type II) ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ

ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆻᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅦ ᄃ ᅮᄀ ᅡᄌ ᅵ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅡ ᆨᄀ ᅡ ᆨᄋ ᅴ ᄌ ᅡ ᆼ · ᄃ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅡᄌ ᅵᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄃ ᅳ ᆯ ᄋ ᅴ ᄃ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅩ ᄋ ᅪ ᆫ ᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄌ ᅡ ᆼᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ

ᆯᄒ ᅡ ᆸᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ (generalized hybrid censoring)ᄋ ᅵᄃ ᅡ. ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯ ᄃ

ᅡ ᆫ ᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄌ ᅦ 1ᄌ ᅩ ᆼ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅪ ᄌ ᅦ 2ᄌ ᅩ ᆼ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆻᄀ ᅩ, ᄋ ᅵᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅥ ᆺᄋ ᅵ ᄐ ᅩ ᆼᄋ ᅵ ᆯᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ

ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ (unified hybrid censoring)ᄋ ᅵᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄎ ᅥ ᆨᄃ ᅩ ᄆ ᅩᄉ ᅮ (scale pa- rameter)ᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅢ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ (maximum likelihood estimator)ᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄒ ᅡᄌ ᅵ ᄆ

ᅡ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆫ ᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅪ ᆨ ᄒ ᅡᄀ ᅦ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄃ ᅬᄋ ᅥᄌ ᅵᄌ ᅵ ᄋ ᅡ ᆭᄋ ᅡᄉ ᅥ ᄎ ᅥ ᆨᄃ ᅩ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄆ ᅵᄇ ᅮ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄅ ᅩᄀ ᅳ ᄋ ᅮᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ (log- likelihood function)ᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅦᄋ ᅵ ᆯᄅ ᅥ ᄀ ᅳ ᆸ ᄉ ᅮ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄉ ᅵᄏ ᅵ ᆫ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ (approxi- mate maximum likelihood estimator)ᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅳᄅ ᅵᄀ ᅩ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅢ ᄆ ᅩ ᆫ ᄐ ᅦ ᄏ

ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄅ ᅩ ᄉ ᅵᄆ ᅲ ᆯ ᄅ ᅦᄋ ᅵᄉ ᅧ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅢ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄌ ᅦᄀ ᅩ ᆸ ᄋ ᅩᄎ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅮᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅥᄅ ᅩ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ, ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄋ ᅨᄌ ᅦ ᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ

ᅥ ᆨᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ, ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ, ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ, ᄐ ᅩ ᆼᄋ ᅵ ᆯᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ, ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵ ᄉ

ᅳᄐ ᅵ ᆨ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ.

1. 서론 화

ᆨ률변수 Y 가 로지스틱 분포 (logistic distribution)를따른다고 할 때, 이확률 변수의 절대값의 분 ᄑ

ᅩ는 하프 로지스틱 분포 (half-logistic distribution)을따른다고 한다. 즉, 확률변수 X = |Y |의 분포 느

ᆫ하프 로지스틱 분포를따르고, 하프 로지스틱 분포의확률 밀도 함수 (probability density function, pdf)와 누적 분포 함수 (cumulative distribution function, cdf)는다음과 같다.

fX(x; θ) = 2exp −^x_θ
θ1 + exp −^x_θ
, FX(x; θ) = 1 − exp −^x_θ

1 + exp −^x_θ
, x ≥ 0, θ ≥ 0. (1.1) ᄒ

ᅡ프 로지스틱 분포는 Balakrishnan (1985)이 생존 실험 모형으로써 제안한 이후에 많은연구자들 ᄋ

ᅦ 의해 연구되어 졌다. Balakrishnan과 Puthenpura (1986)가 최대 선형 불편 추정량 (best linear

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ DU-ᄅ ᅵᄃ ᅥᄉ ᅳ ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄉ ᅢ ᆼ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄉ ᅡᄋ ᅥ ᆸᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅢ ᄌ ᅵ ᆫᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅵ ᆷ.

1

(68453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄌ ᅥ ᆫᄉ ᅡ ᆫᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

2

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (68453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄌ ᅥ ᆫᄉ ᅡ ᆫᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄌ ᅩᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

unbiased estimator, BLUE)을이용하여 척도 모수 (scale parameter)를 추정하였고, Balakrishnan과 Wong (1991)이 테일러 급수 전개 (Taylor series expansion)를이용하여 척도 모수의근사된최대우도 ᄎ

ᅮ정량 (approximate maximum likelihood estimator, AMLE)을구한 이래로 현재까지활발한 연구가 ᄋ

ᅵ어지고 있다. 먼저 Olapade (2003)는하프 로지스틱 분포의 특징들을정리하여 다른 분포로의확장 으

ᆯ연구 하였고, Kang 등 (2008)이 제 2종점진적 중도절단 (progressive type II censoring) 상황에서 ᄀ

ᅳᆫ사된최대우도추정량을이용하여 척도 모수의 추정을연구하였다. 또한 AL-Hussaini 등 (2015)은제 2종점진적 중도절단 상황에서 베이즈 추정량을이용하여 척도모수를추정하였고, Roy 등 (2017)은제 2종 중도절단 상황에서 일반화된하프 로지스틱 분포의 척도 모수와 신뢰도함수를추정 연구를하였다.

ᄒ

ᅡ프 로지스틱 분포의 형태가 나타나는생존 실험에서는모든생존시간과관련된자료가 정확하게 기 ᄅ

ᅩ

ᆨ되어지지 않는다. 또한 실험과관련된 시간과 비용을 줄이기 위하여 사전에 생존 실험 대상을 제거 ᄒ

ᅡ기도 한다. 이를 중도절단 (censoring)이라고 하는데, 가장 빈번하게 쓰이는 방법이 제 1종 중도절 ᄃ

ᅡᆫ과 제 2종 중도절단이라 하고, 이들방법을결합한 방법을 복합 중도절단 (hybrid censoring)이라고 ᄒ

ᅡᆫ다 (Childs 등, 2003). 사전에 설정한 실험종료시간 T 와 사전에 결정한 관측 개수 r이 발생한 시간 (Xr:n)을비교하여 먼저 발생한 시점에서 실험을 종료하는방식을제 1종 복합 중도절단 (type I hybrid censoring), 나중에 발생한 시점에서 실험을 종료하는 방식을 제 2종 복합 중도절단 (type II hybrid censoring)이라고 한다 (Childs 등, 2003). 여기서 Xi:n을 실험 단위 n개 중 i번 째관측한 순서통계량 ᄋ

ᅵ라고 정의한다.

ᄃ

ᅮ 가지의 복합 중도절단방법은관측되는 실험 개체의 수명시간이 매우 작을수 있다는단점 (제 1종 ᄇ

ᅩ

ᆨ합 중도절단)과 실험 시간이 매우 길어질 수 있다는 단점 (제 2종 복합 중도절단)이 존재한다. 따라 ᄉ

ᅥ 이를해결하기 위하여 Chandrasekar 등 (2004)이 두 가지의 일반화된복합 중도절단 (generalized hybrid censoring) 방법을 제안하였다. 하지만 이 방법 역시 똑같은 두 가지 방법이 존재하여 두 가지 ᄇ

ᅡᆼ법 중어떤 것을선택할지에 대한 선택의 문제를 직면하게된다. 따라서 이를 통합한 통일된 복합 중 ᄃ

ᅩ절단 (unified hybrid censoring) 방법을 Balakrishnan 등 (2008)이 새롭게 제안하여 해결 하였다.

ᄄ

ᅡ라서 본연구는 Balakrishnan 등 (2008)이 제안한 통일된 복합 중도절단 방법 상황에서 하프 로지 ᄉ

ᅳ틱 분포의 척도 모수를추정하고자 한다. 하지만 최대우도추정량은정확하게 구해지지가 않으므로 뉴 ᄐ

ᅳ

ᆫ랩슨 방법 (Newton-Raphson method)을이용하여 하프 로지스틱 분포의 척도모수를 추정 하고자 ᄒ

ᅡᆫ다. 또한 테일러 급수 전개를이용한근사된최대우도추정량을 이용하여 하프 로지스틱 분포의 척도 ᄆ

ᅩ수를추정하고자 한다.

보

ᆫ 논문의 구성은 2절에서 Balakrishnan 등 (2008)이 제안한 통일된 복합 중도절단 방법을 소개하 ᄀ

ᅩ, 3절에서 최대우도추정량 및 테일러 급수 전개를 이용한 근사된 최대우도추정량을 구하고자 한다.

ᄄ

ᅩ한 4절에서는 실제 사례 데이터를이용하여 척도 모수를추정하고, 다양한 통일된 복합 중도절단 상황 ᄋ

ᅦ서 몬테카를로 모의실험 (Monte Carlo simulation)을 실시하여 평균제곱오차 (mean squared error, MSE)를이용하여 추정량들간에 비교하고자 한다.

2. 통일된 복합 중도절단 시

ᆯ험 대상의 수명이 순서적으로관측되는시간을 X1:n, X2:n, · · · , Xn:n으로 나타낸다고 하자. 또한, ᄎ

ᅬ소한관측해야 한다고 생각하는 실험 개체의 수를 k, 실험 종료 예상시간 T1, 연장된실험 종료 예상 ᄉ

ᅵ간을 T2라고 하자. 여기서 k < r < n, T¹ < T2라고 가정하자. 이 때, 통일된 복합 중도절단은다음 ᄀ

ᅪ 같은 6가지의 경우로 나뉘어 진다.

Figure 2.1 Unified hybrid censoring scheme

1) 0 < Xk:n< Xr:n< T1 < T2일 때, 실험은 T1시점에서 종료한다.

2) 0 < Xk:n< T1< Xr:n< T2일 때, 실험은 Xr:n시점에서 종료한다.

3) 0 < Xk:n< T1< T2< Xr:n일 때, 실험은 T2시점에서 종료한다.

4) 0 < T1< Xk:n< Xr:n< T2일 때, 실험은 Xr:n시점에서 종료한다.

5) 0 < T1< Xk:n< T2< Xr:n일 때, 실험은 T2시점에서 종료한다.

6) 0 < T1< T2< Xk:n< Xr:n일 때, 실험은 Xk:n시점에서 종료한다.

ᄌ

ᅳᆨ, k번째관측값이 T1전에 발생하였을때는 실험이 min [max{Xr:n, T1}, T2]에서 종료하고, k번째관 ᄎ

ᅳ

ᆨ값이 T1과 T2 사이에 발생하였을때는 실험이 min [Xr:n, T2]에서 종료하고, k번째관측값이 T1 이 ᄒ

ᅮ에 발생하였을때는 실험이 Xk:n에서 종료한다. 이를그림으로 나타내면 다음 Figure 2.1과 같다.

Dj를 Tj, j = 1, 2까지관측된개체의 수라고 하자. 그러면 통일된 복합 중도절단의 우도함수 (likeli- hood function)은다음과 같다.

L1(θ|xxx) = n!

(n − D)!

D

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (T1)]^n−D, D1= D2= D = r, · · · , n,

L2(θ|xxx) = n!

(n − r)!

r

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (xr:n)]^n−r, D1= k, · · · , r − 1; D2= r,

L3(θ|xxx) = n!

(n − D2)!

D2

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (T2)]^n−D2, D1= k, · · · , r − 1; D2= k, · · · , r − 1;

D1≤ D2, L4(θ|xxx) = n!

(n − r)!

r

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (xr:n)]^n−r, D1= 0, · · · , k − 1; D2= r,

L5(θ|xxx) = n!

(n − D2)!

D2

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (T2)]^n−D2, D1= 0, · · · , k − 1; D2= k, · · · , r − 1,

L6(θ|xxx) = n!

(n − k)!

k

Y

i=1

f (xi:n)[1 − F (xk:n)]^n−k, D2= 0, · · · , k − 1. (2.1)

3. 척도 모수의 추정

3.1. 최대우도추정량 ᄋ

ᅡ

ᇁ 절의 우도함수식 (2.1)을이용하여 로그 우도함수를구하면 다음과 같다.

lnL1(θ|xxx) = −Dlnθ + (n − D)ln{1 − F (T1)} +

D

X

i=1

lnf (xi:n), D1= D2= D = r, · · · , n,

lnL2(θ|xxx) = −rlnθ + (n − r)ln{1 − F (xr:n)} +

r

X

i=1

lnf (xi:n), D1= k, · · · , r − 1; D2= r,

lnL3(θ|xxx) = −d2lnθ + (n − D2)ln{1 − F (T2)} +

D2

X

i=1

lnf (xi:n), D1= k, · · · , r − 1;

D2= k, · · · , r − 1; D1≤ D2, lnL4(θ|xxx) = −rlnθ + (n − r)ln{1 − F (xr:n)} +

r

X

i=1

lnf (xi:n), D1= 0, · · · , k − 1; D2= r,

lnL5(θ|xxx) = −d2lnθ + (n − D2)ln{1 − F (T2)} +

D₂

X

i=1

lnf (xi:n), D1 = 0, · · · , k − 1;

D2= k, · · · , r − 1, lnL6(θ|xxx) = −klnθ + (n − k)ln{1 − F (xk:n)} +

k

X

i=1

lnf (xi:n), D2= 0, · · · , k − 1. (3.1)

ᄀ

ᅳ리고 Zi:n = Xi:n/θ라고 한다면확률변수 Z를표준화된하프 로지스틱 분포를따른다고 하고, 이 ᄄ

ᅢ확률밀도함수와 누적분포함수는다음과 같다.

f (zi:n) = 2e^−zi:n

(1 + e^−zi:n)², F (zi:n) = 1 − e^−zi:n 1 + e^−zi:n. ᄋ

ᅱ의 표준화된하프 로지스틱 분포는다음의 성질을가지고 있다.

f^′(zi:n) = −F (zi:n)f (zi:n), f (zi:n) = [1 − F (zi:n)][1 + F (zi:n)]

2 .

시

ᆨ (3.1)을척도 모수 θ에 대하여 미분한 후 이를 0으로 두게 되면 다음과 같은 θ를추정하기 위한 식 으

ᆯ구할 수 있다.

∂lnL1(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2d1− (n − d1){1 + F (zT₁)}zT₁− 2

d₁

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0,

∂lnL2(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2r − (n − r){1 + F (zr:n)}zr:n− 2

r

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0,

∂lnL3(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2d2− (n − d2){1 + F (zT2)}zT2− 2

d₂

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0,

∂lnL4(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2r − (n − r){1 + F (zr:n)}zr:n− 2

r

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0,

∂lnL5(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2d2− (n − d2){1 + F (zT₂)}zT₂− 2

d2

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0,

∂lnL6(θ|xxx)

∂θ = − 1 2θ

"

2k − (n − k){1 + F (zk:n)}zk:n− 2

k

X

i=1

F (zi:n)zi:n

#

= 0. (3.2)

ᄋ

ᅧ기서 zT1 = T1/θ, zT2= T2/θ이다.

ᄋ

ᅱ의 식 (3.2)를 θ에 대하여 풀면 θ에 대한 최대우도추정량 ˆθ를구할 수 있다. 하지만 식 (3.2)는 θ에 ᄃ

ᅢ하여 정확하게 풀리지 않으므로 뉴튼 랩슨 방법을이용하여 θ의 최대우도추정량 ˆθ를구하였다 (Lee, 2017; Lee와 Park, 2017; Yoon 등, 2017).

3.2. 근사된 최대우도추정량 ᄋ

ᅡ

ᇁ의 3.1절에서 최대우도추정량을 구하기 위한 θ에 관하여 미분한 로그우도함수 (식 3.2)는 정확한 ᄒ

ᅢ를 가지지 않는다는 것을 알 수 있었다. 이는 식 (3.2)에서 F (z^i:n)zi:n 부분이 θ에 관한 식으로 나

ᄐ

ᅡ내기에 어려움이 있어서이다. 따라서 이를해결하기 위하여 F (zi:n)zi:n를 ξi:n를 중심으로 하는테일 ᄅ

ᅥ 급수 전개를 이용하여 해결하고자 한다. 여기서 ξi:n = F⁻¹(pi:n) = −ln[qi:n/(1 + pi:n)], pi:n = i/(n + 1), pd^∗₁ = (pd₁+ pd₁−1)/2, pd^∗₂ = (pd₂+ pd₂−1)/2, qi:n= 1 − pi:n 이다. 이렇게 로그우도함수 시

ᆨ 안의 값을테일러 급수 전개를이용하여 계산한 정확한 추정량을근사된최대우도추정량이라고 한다.

ᄆ

ᅥᆫ저 F (zi:n)zi:n를테일러 급수 전개를이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

F (zi)zi≈ α1i+ β1izi:n, (3.3) ᄋ

ᅧ기서

α1i= −1 − p²_i:n

2 ξ²i:n, β1i=1 − pi:n

2 ξi:n+ pi:n. 시

ᆨ (3.3)을 식 (3.2)에 대입하면 다음과 같은근사된식을구할 수 있다.

∂lnL1(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d1− (n − d1)zT1− (n − d1) α1d^∗₁+ β1d^∗₁zT1

− 2

d1

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0,

∂lnL2(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2r − (n − r)zr:n− (n − r) (α1r+ β1rzr:n)

− 2

r

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0,

∂lnL3(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d2− (n − d2)zT₂− (n − d2) α1d^∗₂+ β1d^∗₂zT₂

− 2

d₂

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0,

∂lnL4(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2r − (n − r)zr:n− (n − r) (α1r+ β1rzr:n)

− 2

r

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0,

∂lnL5(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d2− (n − d2)zT₂− (n − d2) α1d^∗₂+ β1d^∗₂zT₂

− 2

d₂

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0,

∂lnL6(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2k − (n − k)zk:n− (n − k) (α1k+ β1kzk:n)

− 2

k

X

i=1

(α1i+ β1izi:n)

#

= 0. (3.4)

ᄄ

ᅡ라서 척도 모수는다음과 같은근사된최대우도추정량 ˆθ1을구할 수 있다.

Case 1: ˆθ1=(n − d1)(1 + β1d^∗₁)T1+ 2Pd₁

i=1β1iXi:n

2d1− (n − d1)α1d^∗₁− 2Pd₁ i=1α1i

,

Case 2: ˆθ1=(n − r)(1 + β1r)Xr:n+ 2Pr

i=1β1iXi:n

2r − (n − r)α1r− 2Pr i=1α1i

,

Case 3: ˆθ1=(n − d2)(1 + β1d^∗₂)T2+ 2Pd₂

i=1β1iXi:n

2d2− (n − d2)α1d^∗₂− 2Pd2 i=1α1i

,

Case 4: ˆθ1=(n − r)(1 + β1r)Xr:n+ 2Pr

i=1β1iXi:n

2r − (n − r)α1r− 2Pr i=1α1i

,

Case 5: ˆθ1=(n − d2)(1 + β1d^∗₂)T2+ 2Pd2

i=1β1iXi:n

2d2− (n − d2)α1d^∗₂− 2Pd2 i=1α1i

,

Case 6: ˆθ1=(n − k)(1 + β1k)Xk:n+ 2Pk

i=1β1iXi:n

2k − (n − k)α1k− 2Pk i=1α1i

. (3.5)

ᄋ

ᅱ의근사된최대우도추정량 ˆθ1은 αi< 0이고, βⁱ> 0이므로 항상 양의 값을가진다.

ᄃ

ᅡ음으로 F (z^i:n)를테일러 급수 전개를이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

F (zi:n) ≈ α2i+ β2izi:n, (3.6) ᄋ

ᅧ기서

α2i= pi:n−1 − p²i:n

2 ξi:n, β2i= 1 − p²i:n

2 . 시

ᆨ (3.6)을 식 (3.2)에 대입하면 다음과 같은근사된식을구할 수 있다.

∂lnL1(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d1− (n − d1)zT₁− (n − d1) α2d^∗₁+ β2d^∗₁zT₁
zT₁

− 2

d₁

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0,

∂lnL2(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2r − (n − r)zr:n− (n − r) (α2r+ β2rzr:n) zr:n

− 2

r

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0,

∂lnL3(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d2− (n − d2)zT₂− (n − d2) α2d^∗₂+ β2d^∗₂zT₂
zT₂

− 2

d₂

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0,

∂lnL4(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2r − (n − r)zr:n− (n − r) (α2r+ β2rzr:n) zr:n

− 2

r

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0,

∂lnL5(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2d2− (n − d2)zT₂− (n − d2) α2d^∗₂+ β2d^∗₂zT₂
zT₂

− 2

d₂

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0,

∂lnL6(θ|xxx)

∂θ ≃ − 1 2θ

"

2k − (n − k)zk:n− (n − k) (α2k+ β2kzk:n) zk:n

− 2

k

X

i=1

(α2i+ β2izi:n) zi:n

#

= 0. (3.7)

ᄄ

ᅡ라서 척도 모수는근의 공식을이용하면 다음과 같은근사된최대우도추정량 ˆθ2을구할 수 있다.

Case 1: ˆθ2=−B1+pB²₁− 8d1C1

4d1

, Case 2: ˆθ2=−B2+pB₂²− 8rC2

4r ,

Case 3: ˆθ2=−B3+pB²₃− 8d2C3

4d2

, Case 4: ˆθ2=−B4+pB₄²− 8rC4

4r ,

Case 5: ˆθ2=−B5+pB²₅− 8d2C5

4d2

, Case 6: ˆθ2=−B6+pB₆²− 8kC6

4k , (3.8) ᄋ

ᅧ기서

B1= −(n − d1)(1 + α2d^∗₁)T1− 2

d₁

X

i=1

α2iXi:n, C1= −(n − d1)β2d^∗₁T₁²− 2

d₁

X

i=1

β2iX_i:n² ,

B2= −(n − r)(1 + α2r)Xr:n− 2

r

X

i=1

α2iXi:n, C2 = −(n − r)β2rXr:n² − 2

r

X

i=1

β2iXi:n² ,

B3= −(n − d2)(1 + α2d^∗₂)T2− 2

d2

X

i=1

α2iXi:n, C3= −(n − d2)β2d^∗₂T2²− 2

d2

X

i=1

β2iXi:n² ,

B4= −(n − r)(1 + α2r)Xr:n− 2

r

X

i=1

α2iXi:n, C4 = −(n − r)β2rXr:n² − 2

r

X

i=1

β2iXi:n² ,

B5= −(n − d2)(1 + α2d^∗₂)T2− 2

d₂

X

i=1

α2iXi:n, C5= −(n − d2)β2d^∗₂T₂²− 2

d₂

X

i=1

β2iX_i:n² ,

B6= −(n − k)(1 + α2k)Xk:n− 2

k

X

i=1

α2iXi:n, C6= −(n − k)β2kXk:n² − 2

k

X

i=1

β2iXi:n² .

ᄄ

ᅩ한 β2i> 0이므로 C1 < 0, C2< 0, C3< 0, C4< 0, C5 < 0, C6< 0이다. 따라서 식 (3.8)의 제 고

ᆸ근안은항상 양수이므로 항상 ˆθ2는 존재한다.

4. 모의실험

4.1. 실제 사례 분석 ᄋ

ᅱ의 3절에서 제시된 방법을 사용하여 실제 사례 데이터를가지고 데이터 분석을 실시하고자 한다.

ᄃ

ᅡ음은지속적으로 증가하는전압 응력을받는 특정 유형의 전기 절연에 대한 고장 시간을 분단위로 나 ᄐ

ᅡ낸 데이터이다 (Lawless, 1982).

12.3 21.8 24.4 28.6 43.2 46.9 70.7 75.3 95.5 98.1 138.6 151.9 ᄋ

ᅧ기서 Shin 등 (2014)은위의 데이터가 하프 로지스틱 분포에 적합하다고 나타내었다. 위의 데이터 르

ᆯ 6가지의 통일된 복합 중도절단의 경우에 적용하여 하프 로지스틱 분포의 모수를 3절에서 제시된 방 버

ᆸ을이용하여 추정하였다. 즉, 첫 번째 경우는 n = 12, r = 7, k = 4, T1 = 90, T2= 150,두 번째 경 ᄋ

ᅮ는 n = 12, r = 9, k = 4, T1 = 90, T2 = 150,세 번째 경우는 n = 12, r = 11, k = 4, T1 = 70, T2= 100,네 번째 경우는 n = 12, r = 7, k = 5, T1= 40, T2= 150,다섯 번째 경우는 n = 12, r = 12, k = 8, T1 = 70, T2 = 140,여섯 번째 경우는 n = 12, r = 8, k = 6, T1= 30, T2 = 45로 설정하였다.

ᄀ ᅡ

ᆨ 경우에 최대우도추정값,근사된최대우도추정값은아래의 Table 4.1과 같다.

Table 4.1 Estimation for the scale parameter for example

Case n r k T

T

θ ˆ θ ˆ

θ ˆ

1 12 7 4 90 150 48.90467 55.02583 54.94884

2 9 4 90 150 45.22105 51.51648 51.46156

3 11 4 70 100 41.69611 48.08220 47.99331

4 7 5 40 150 48.22395 53.55170 53.51016

5 12 8 70 140 43.23287 49.99656 49.88497

6 8 6 30 45 41.27486 51.48290 45.21847

4.2. 모의실험 결과 ᄋ

ᅱ의 3절에서 구한 최대우도추정량과 테일러 급수 전개를이용한 2가지의 근사된 최대우도추정량을 ᄇ

ᅵ교하기 위하여 평균제곱오차 (mean squared error, MSE)를 몬테카를로 모의실험을이용하여 구하였 ᄃ

ᅡ. 총 10,000번의 실험이 시행되었고, 표본의 수 (n)는 20, 40으로, T¹, T2, r, k를다양하게 주어 통일 되

ᆫ 복합 중도절단의 형태를구성하였다. 먼저 통일된 복합 중도절단의 형태가 주어졌을때, 통일된 복합 주

ᆼ도절단 표본을생성하는방법을간단히 소개하면 다음과 같다.

ᄆ

ᅥᆫ저 n개의 하프 로지스틱 분포의 난수를생성한 후, X^r:n < T1이면 Case 1에 해당하여 통일된 복 ᄒ

ᅡᆸ 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n, · · · , Xd₁:n)와 같다. 그리고 X^k:n < T1 < Xr:n< T2이면 Case 2에 ᄒ

ᅢ당하여 통일된복합 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n, · · · , Xr:n)과 같고, Xk:n < T1 < T2 < Xr:n이면 Case 3에 해당하여 통일된 복합 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n, · · · , Xd₂:n)과 같다. 또한 T1 < Xk:n <

Xr:n< T2이면 Case 4에 해당하여 통일된 복합 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n, · · · , Xr:n)과 같고, T¹<

Xk:n< T2 < Xr:n이면 Case 5에 해당하여 통일된 복합 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n, · · · , Xd₂:n)과 같 ᄃ

ᅡ. 마지막으로 T1 < T2 < Xk:n이면 Case 6에 해당하여 통일된복합 중도절단 표본은 (X1:n, X2:n,

· · · , Xk:n)과 같다.

ᄆ

ᅩ의 실험에서 척도모수 θ = 1로 모든경우 동일하게 두어 3절에서 구한 추정량의 편의 (bias)와 평균 ᄌ

ᅦ곱오차를계산하여 비교하였다. 그 결과는아래의 Table 4.2에 나타나 있다.

Table 4.2 Relative MSE and bias for the MLE and approximate MLE of the scale parameter MSE (bias)

n r k T

T

θ ˆ θ ˆ

θ ˆ

20 18 12 1.0 2.0 .0516 (.0140) .0502 (-.1062) .0479 (.0337)

13 .0501 (.0118) .0489 (-.1090) .0437 (.0275)

14 .0464 (.0060) .0466 (-.1156) .0421 (.0230)

15 8 .0657 (.0001) .0591 (-.1134) .0569 (.0085)

10 .0656 (.0000) .0591 (-.1135) .0560 (.0078)

12 .0616 (-.0031) .0558 (-.1168) .0553 (.0075)

12 6 .0688 (-.0174) .0586 (-.1140) .0566 (-.0090)

10 .0687 (-.0174) .0586 (-.1140) .0559 (-.0093)

18 12 1.5 2.0 .0497 (.0150) .0502 (-.1061) .0478 (.0230)

13 .0482 (.0128) .0489 (-.1090) .0437 (.0245)

14 .0445 (.0071) .0466 (-.1156) .0421 (.0258)

15 8 .0554 (.0087) .0562 (-.1096) .0542 (.0129)

10 .0554 (.0086) .0561 (-.1097) .0532 (.0123)

12 .0513 (.0055) .0528 (-.1130) .0526 (.0120)

12 6 .0529 (.0088) .0529 (-.1010) .0506 (.0120)

10 .0528 (.0088) .0528 (-.1010) .0499 (.0117)

18 12 1.5 2.5 .0458 (.0086) .0484 (-.1193) .0446 (.0148)

13 .0459 (.0086) .0483 (-.1192) .0429 (.0142)

14 .0447 (.0075) .0475 (-.1204) .0420 (.0136)

15 8 .0469 (-.0055) .0507 (-.1267) .0441 (-.0020)

10 .0469 (-.0055) .0507 (-.1267) .0441 (-.0020)

12 .0467 (-.0056) .0505 (-.1269) .0429 (-.0022)

12 6 .0489 (.0057) .0497 (-.1042) .0460 (.0086)

10 .0488 (.0056) .0495 (-.1044) .0458 (.0085)

40 38 20 1.0 2.0 .0235 (.0104) .0319 (-.1102) .0235 (.0115)

24 .0233 (.0102) .0317 (-.1104) .0227 (.0116)

28 .0215 (.0070) .0306 (-.1144) .0217 (.0174)

32 22 .0246 (.0074) .0332 (-.1125) .0256 (.0095)

24 .0244 (.0073) .0330 (-.1128) .0248 (.0086)

26 .0237 (.0064) .0326 (-.1138) .0246 (.0084)

30 18 .0269 (.0018) .0343 (-.1156) .0254 (.0035)

24 .0267 (.0016) .0341 (-.1158) .0253 (.0036)

38 20 1.5 2.0 .0235 (.0104) .0319 (-.1102) .0235 (.0115)

24 .0233 (.0102) .0317 (-.1104) .0227 (.0116)

28 .0215 (.0070) .0306 (-.1144) .0217 (.0174)

32 22 .0245 (.0075) .0331 (-.1125) .0255 (.0096)

24 .0244 (.0073) .0330 (-.1127) .0247 (.0087)

26 .0237 (.0064) .0325 (-.1137) .0245 (.0085)

30 18 .0251 (.0032) .0339 (-.1151) .0253 (.0042)

24 .0249 (.0030) .0338 (-.1154) .0251 (.0040)

38 20 1.5 2.5 .0207 (.0064) .0309 (-.1200) .0207 (.0080)

24 .0207 (.0064) .0309 (-.1200) .0207 (.0080)

28 .0205 (.0062) .0308 (-.1202) .0205 (.0081)

32 22 .0223 (-.0006) .0330 (-.1244) .0223 (.0006)

24 .0223 (-.0006) .0330 (-.1244) .0223 (.0006)

26 .0223 (-.0006) .0330 (-.1244) .0223 (.0006)

30 18 .0225 (-.0036) .0329 (-.1239) .0225 (-.0026)

24 .0224 (-.0035) .0328 (-.1240) .0223 (-.0022)

Table 4.2를보면, 일반적으로 평균제곱오차는표본의 크기 (n)가 커지면 그 값은작아지는것을확인 ᄒ

ᅡᆯ 수 있다. 그리고 표본의 크기를고정하였을때, 평균제곱오차는반드시관측해야 하는수 k가 커지면

주

ᆯ어드는것을확인할 수 있다. 또한 표본의 크기와 반드시관측해야 하는수 k를고정하였을때, 평균 ᄌ

ᅦ곱오차는사전에 고정시키는값 r이 커지면 줄어드는것을확인할 수 있다. 그리고 T1과 T2가 커질수 ᄅ

ᅩ

ᆨ평균제곱오차는 줄어드는것을확인할 수 있다.

3절에서 제안한 추정량들과 비교해 보면 최대우도추정량과근사된최대우도추정량은평균제곱오차의 ᄀ

ᅡ

ᆹ에는큰차이는나타나지 않았지만,근사된최대우도추정량 중두 번째근사된최대우도추정량 (ˆθ2)이 ᄋ

ᅣ

ᆨ간 더 작게 나타났다. 그리고 2가지의근사된최대우도추정량 (ˆθ1, ˆθ2) 중두 번째근사된최대우도추 저

ᆼ량 (ˆθ2)의 평균제곱오차의 값이 약간 더 작게 나타남을알 수 있었다.

5. 결론 보

ᆫ 논문은 통일된 복합 중도절단에서 하프로지스틱 분포의 척도모수를최대우도추정법과근사된최대 ᄋ

ᅮ도추정법을이용하여 추정하였다. 최대우도추정량은정확하게 계산되지 않아 뉴튼랩슨방법을이용 ᄒ

ᅡ여 추정하였고,근사된최대우도추정법은 F (zi:n)zi:n과 F (zi:n)을각각 테일러 급수 전개법을이용하 ᄋ

ᅧ 추정하였다. 모의실험을 통하여 최대우도추정량과근사된최대우도추정량을비교하였을때, 최대우 ᄃ

ᅩ추정량과근사된 최대우도추정량은평균제곱오차의 값이 비슷하게 나타났지만, F (zi:n)을 테일러 급 ᄉ

ᅮ 전개한근사된최대우도추정량의 경우 약간 작게 나타나는것을알 수 있었다. 그리고 두 가지의근 ᄉ

ᅡ된 최대우도추정량 중 F (zi:n)을테일러 급수 전개한 방법이 F (z^i:n)zi:n을테일러 급수 전개한 방법 ᄇ

ᅩ다 평균제곱오차가 더 작게 나타나는것을알 수 있었다.

보

ᆫ 논문은점 추정만을 사용하였지만, 최대우도추정량을이용한근사적 신뢰구간을이용하여 구간추 저

ᆼ을 할 수 있을 것이다. 또한 본 논문은하프 로지스틱 분포인 경우에 한정하였지만 또 다른 분포인 ᄋ

ᅪ이블 분포 (weibull distribution), 대수 정규분포 (log-normal distribution), 지수 분포 (exponentail distribution)에도 적용할 수 있을것이다.

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2018, 29

1)

13–25

Estimation of the scale parameter of the half logistic distribution under unified hybrid censored sample ^†

Jaeyoung Gwag

¹

²

12Department of Computer Science and Statistics, Daegu University

Received 12 December 2017, revised 4 January 2018, accepted 4 January 2018

Abstract

The mixture of type I and type II censoring schemes is known as the hybrid cen- soring scheme. Hybrid censoring scheme has some disadvantages. Generalized hybrid censoring schemes (type I and type II) are designed to fix the disadvantages inherent in the hybrid censoring scheme. Unified hybrid censoring combine the two types of generalized hybrid censoring scheme. In this paper, we derive maximum likelihood es- timator of the scale parameter for the half logistic distribution under the unified hybrid censoring samples. Also, we derive some approximate maximum likelihood estimators of the scale parameter for the half logistic distribution under unified hybrid censored samples. The scale parameter is estimated by approximate maximum likelihood esti- mation method using Taylor series expansion types. We compare the estimators in the sense of the mean square error. And we present examples to illustrate all estimators.

Keywords: Approximate maximum likelihood estimator, half-logistic distribution, hy- brid censoring, maximum likelihood estimator, unified hybrid censoring.

†

This work was supported by Daegu University Undergraduate Research Program.

1

Undergraduate student, Department of Statistics and Computer Science, Daegu University, Gyeongbuk 68453, Korea.

2

Corresponding author: Assistant professor, Department of Statistics and Computer Science, Daegu

University, Gyeongbuk 68453, Korea. E-mail: [email protected]