Estimation of half logistic distribution under multiply progressive censoring^†

2020, 31

5)

839–850

다중 점진적 중도절단에서 하프 로지스틱 분포의 추정 ^†

ᄇ ᅡ

ᆨ성희

¹

²

12대구대학교 수리빅데이터학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 27ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 9ᄋ ᅯ ᆯ 10ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 9ᄋ ᅯ ᆯ 21ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄌ

ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ (progressive censoring scheme)ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅴ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄃ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅵᄋ ᅦᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ

ᆫᄎ ᅳ ᆨᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅴ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅮ ᄒ ᅩ ᆨᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄀ ᅵᄀ ᅨᄋ ᅴ ᄋ ᅩᄅ ᅲᄅ ᅩ ᄋ ᅵ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄄ ᅩ ᄃ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄇ ᅡ ᆯᄉ ᅢ ᆼᄒ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅥ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ

ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ (multiply progressive censoring scheme)ᄋ ᅵ ᄉ ᅢᄅ ᅩ ᆸ ᄀ ᅦ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫ ᄌ

ᅥ

ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄎ ᅥ ᆨᄃ ᅩ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅱᄒ ᅢ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ (maximumm likelihood estimator)ᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ, ᄐ ᅦᄋ ᅵ ᆯᄅ ᅥ ᄀ ᅳ ᆸ ᄉ ᅮ ᄌ ᅥ ᆫᄀ ᅢᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮ ᄌ ᅥ

ᆼᄅ ᅣ ᆼ (approximate maximumm likelihood estimator)ᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄎ ᅥ ᆨᄃ ᅩ ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄅ

ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄃ ᅡᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄆ ᅩ ᆫ ᄐ ᅦᄏ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄅ ᅩ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄌ

ᅦᄀ ᅩ ᆸ ᄋ ᅩᄎ ᅡ ᄆ ᅵ ᆾ ᄑ ᅧ ᆫᄋ ᅴᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ, ᄉ ᅡᄅ ᅨ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯ ᄋ

ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ, ᄐ ᅦᄋ ᅵ ᆯᄅ ᅥ ᄀ ᅳ ᆸ ᄉ ᅮ ᄌ ᅥ ᆫᄀ ᅢ, ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ, ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ.

1. 서론 ᄆ

ᅡᆫ약 총 n개의 개체가 실험의 대상이라고 할 때 실험 대상이 고장 혹은 사망 시점 (failure time)이 ᄎ

ᅡ례대로 기록된다고 하자. 첫 번째 사망 시점이 측정되었을 때 남아있는 n − 1개의 개체 중 무작 ᄋ

ᅱ로 R¹개를 중도절단 시키고, 두 번째 사망 시점이 측정되었을 때 남아있는 n − R1 − 2개의 개 ᄎ

ᅦ 중 무작위로 R2개를 중도절단 시키고 이러한 실험을 반복적으로 진행하다 마지막 m번째 사망 ᄉ

ᅵ점이 측정되었을 때 남아있는 모든 개체 (Rm = n − m −Pm−1

i=1 Ri)를 중도절단 시키는 방법 ᄋ

ᅳᆯ 점진적 중도절단 방법이라 한다. 이러한 점진적 중도절단 상황에서 관측되는 시점의 자료를 각각 X1:m:n, X2:m:nj, · · · , Xm:m:n로 나타낸다. 하지만 점진적 중도절단 상황에서관측되는 시점의 자료들 ᄉ

ᅡ이에는 관측원의 실수 혹은 관측 기계의 오류로 인하여 또 다른 중도절단이 발생할 수 있다. 따라 ᄉ

ᅥ 이러한 기계적 오류 등을 고려하기 위하여 Lee 등 (2012)은 다중 점진적 중도절단 (multiply pro- gressive censoring scheme)을새롭게 제안하였다. 점진적 중도절단 상황에서관측된자료들사이에 총 Ps

i=2li−1개의관측을 실패했다라고 한다면 다음과 같이 자료를나타낼 수 있다.

Xa₁:m:n, Xa₂:m:n, ..., Xa_s:m:n,

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2020ᄂ ᅧ ᆫ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ DU-ᄅ ᅵᄃ ᅥᄉ ᅳ ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄉ ᅢ ᆼ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄉ ᅡᄋ ᅥ ᆸᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅢ ᄌ ᅵ ᆫᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅵ ᆷ.

1

(38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

2

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄌ ᅩᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: indra [email protected]

ᄋ

ᅧ기서 li = ai+1− ai− 1, i = 1, 2, · · · , s − 1. 따라서 이러한 자료를다중 점진적 중도절단 자료라 ᄀ

ᅩ 하고, 여기서 ai는점진적 중도절단 상황에서관측된 순서를타나낸다. 이러한 상황은다음의 Figure 1.1과 같이 나타낼 수 있다.

Figure 1.1 Schematic illustration of multiply progressive censoring scheme

ᄃ

ᅡ중점진적 중도절단 상황에서 Yun과 Lee (2018)는 지수분포의 적합도 검정 통계량을 순서통계량 (order statistics)과 로렌츠 곡선 (Lorenz curve)을이용하여 제안하였고, Shin과 Lee (2019)는최대공 ᄀ

ᅡᆫ곱추정량 (maximum product spacings estimator)과근사된최대공간곱추정량 (approximate maxi- mum product spacings estimator)를이용하여 지수분포의 모수를추정하였다.

ᄋ

ᅵ러한 다중점진적 중도절단 상황에서 자료가

f (x; θ) = 2 exp −^x_θ
θ1 + exp −^x_θ
2, F (x; θ) =1 − exp −^x_θ

1 + exp −^x_θ
, θ > 0 ᄋ

ᅪ 같은하프 로지스틱분포 (half logistic distribution)를따른다고 할 때, Z = X/θ라고 한다면 g(z) = 2 exp (−z)

[1 + exp (−z)]², G(z) = 1 − exp (−z)

1 + exp (−z)

와 같이 표준화할 수 있고, 표준화된하프 로지스틱분포 (standard half logistic distribution)는 g^′(z) = −G(z)f (z),

g(z) = [1 − G(z)] [1 + G(z)]

2 ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 하프 로지스틱분포는확률변수가 로지스틱분포 (logistic distribution)를따른 ᄃ

ᅡ고 할 때 이확률변수의 절대값의 분포이다. 이러한 하프 로지스틱분포는생존 분포 연구 (life-testing study)에서 고장 시간 모델 (failure time model) 연구에 활용되고 있다. 또한, 하프 로지스틱분포는 ᄋ

ᅱ험률 (hazard rate)이 증가하는형태를가지고 있다 (Balakrishnan, 1985). 그리고 하프 로지스틱분 ᄑ

ᅩ는 Olapade (2003)가 하프 로지스틱분포의 특징을정리하여 다른 분포로의확장을연구하였고, AL- Hussaini 등 (2015)은점진적 중도절단 상황에서 베이즈 추정량 (Bayes estimator)을이용하여 모수를 ᄎ

ᅮ정하였다. 그리고 Roy 등 (2017)이 2종 중도절단 (type II censoring scheme) 상황에서 일반화된하

ᄑ

ᅳ 로지스틱분포 (genearlized half logistic distribution)의 모수와 신뢰도 함수 (reliability function)을 ᄎ

ᅮ정하였고, Gwag과 Lee (2018)가 통일된 복합 중도절단 (unified hybrid censoring scheme) 상황에서 ᄒ

ᅡ프 로지스틱분포의 모수를추정하였다.

ᄄ

ᅡ라서 본연구는다중점진적 중도절단 방법 상황에서 하프 로지스틱분포의 척도 모수를추정하고자 ᄒ

ᅡᆫ다. 기본적으로 최대우도추정량 (maximum likelihood estimator)은정확하게 구해지지가 않으므로 ᄂ

ᅲ튼 랩슨 방법 (Newton-Raphson method)을 이용하여 하프 로지스틱 분포의 척도모수를 추정하고, ᄐ

ᅦ일러 급수 전개를이용한근사된최대우도추정량 (approximate maximum likelihood estimator)을 ᄋ

ᅵ용하여 하프 로지스틱분포의 척도 모수를추정하고자 한다. 또한, 다양한 다중점진적 중도절단 상황 ᄋ

ᅦ서 몬테카를로 모의실험 (Monte Carlo simulation)을 실시하여 평균제곱오차 (mean squared error;

MSE) 및 편의 (bias)를이용하여 제안한 추정량들을비교한 후, 실제 사례 데이터를이용하여 척도 모 ᄉ

ᅮ를추정하고자 한다.

2. 추정량

2.1. 최대우도추정량 ᄃ

ᅡ중 점진적 중도절단 상황에서 관측된 s개의 자료인 Xa₁:m:n, Xa₂:m:n, ..., Xa_s:m:n을 간단하게 Xa₁, Xa₂, ..., Xas라고 표현한다면 다중점진적 중도절단 상황에서의 우도함수는

L(θ) ∝

s

Y

i=2

F (xa_i) − F xa_i−1
l_i−1 s

Y

i=1

f (xa_i) [1 − F (xa_i)]^Ri

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 그리고 다중점진적 중도절단상황에서 하프 로지스틱분포를따르는자료를표 주

ᆫ화 (Za_i = Xa_i/θ) 변환한 표준화된하프 로지스틱 분포인 g(za_i), G(za_i)를이용하게 되면 위의 우 ᄃ

ᅩ함수는

L(θ) ∝ θ^s

s

Y

i=2

G (za_i) − G za_i−1

l_i−1 s

Y

i=1

g (za_i) [1 − G (za_i)]^Ri

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 따라서 로그우도함수는

ℓ(θ) ∝ − s ln θ +

s

X

i=2

li−1lnG (za_i) − G za_i−1


+

s

X

i=1

{ln g (za_i) + Riln [1 − G (za_i)]} .

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있고, 모수에 대하여 미분한 식은

∂ℓ(θ)

∂θ ∝ −1 θ

"

s +

s

X

i=2

li−1

g (za_i) za_i− g za_i−1
za_i−1

G (za_i) − G za_i−1

−1 2

s

X

i=1

Riza_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2



G (za_i) za_i

#

(2.1)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 위의 식 (2.1)이 0이 되게 하는모수에 대하여 정확하게 추정할 수 없으므로 뉴 ᄐ

ᅳᆫ-랩슨 (Newton-Raphson)방법을사용하여 모수의 최대우도추정량 ˆθ를구하고자 한다.

2.2. 근사된 최대우도추정량 ᄋ

ᅡ

ᇁ의 2.1절 마지막에서 확인한 것과 같이 식 (2.1)이 0이 되게 하는모수의 값을정확하게 추정할 수 어

ᆹ다. 따라서 이를해결 하기 위해근사된최대우도추정량을이용하여 모수를추정하고자 한다. 근사된 ᄎ

ᅬ대우도추정량은미분된로그 우도함수의 식 중 일부를테일러 급수 전개를이용하여 간단하게 변환한 ᄒ

ᅮ 모수를추정하는방법이다.

ᄆ

ᅥᆫ저 테일러 급수 전개를 하기 위해 중심이 되는점 (ζi:m:n)을다음과 같이 점진적 중도절단 상황에 ᄉ

ᅥ 비율의 기대값 (p^i:m:n = E(Ui:m:n))을하프 로지스틱분포의 역누적분포함수 (G⁻¹(pi:m:n))에 대입 ᄒ

ᅡᆫ 값으로 설정하였다. 즉,

ζi:m:n= G⁻¹(pi:m:n) = ln[− ln(1 − pi:m:n)], ᄋ

ᅧ기서,

pi:m:n= E(Ui:m:n) = 1 −

m

Y

j=m−i+1

 j + Rm−j+1+ · · · + Rm

1 + j + Rm−j+1+ · · · + Rm

 .

ᄄ

ᅩ한 다중점진적 중도절단 자료의 표현과 마찬가지로 ζi:m:n과 pi:m:n을각각 ζi과 pi로 축약하여 간단 ᄒ

ᅡ게 표현하고자 한다.

ᄃ

ᅡ음으로 식 (2.1) 중 [g (za_i) za_i− g za_i−1
za_i−1]/[G (za_i) − G za_i−1
]과 G (z^ai) za_i을 ζa_i을 중심 ᄋ

ᅳ로 하여 테일러 급수 전개를 실시한 결과

g (za_i) za_i− g za_i−1
za_i−1

G (zai) − G zai−1

≃ αi+ βizai+ γizai−1, (2.2)

G (za_i) za_i≃ δ1i+ η1iza_i, (2.3) ᄋ

ᅪ 같음을알 수 있다. 여기서,

αi= f (ζa_i)ζa_i− f (ζa_i−1)ζa_i−1

pa_i− pa_i−1

2

+f (ζa_i)ζ_a²_ipa_i− f (ζa_i−1)ζ_a²_i−1pa_i−1

pa_i− pa_i−1

,

βi=



1 − pa_iζa_i−f (ζa_i)ζa_i− f (ζa_i−1)ζa_i−1

pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i) pa_i− pa_i−1

,

γi= −



1 − pa_i−1ζa_i−1−f (ζa_i)ζa_i− f (ζa_i−1)ζa_i−1

pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i−1) pa_i− pa_i−1

, δ1i= −f (ζa_i)ζ_a²_i,

η1i= pa_i+ f (ζa_i)ζa_i. 시

ᆨ (2.2)와 식 (2.3)을 식 (2.1)에 대입하게 되면,

∂ℓ(θ)

∂θ ∝ −1 θ

"

s +

s

X

i=2

li−1 αi+ βiza_i+ γiza_i−1

−1 2

s

X

i=1

Riza_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2



(δ1i+ η1iza_i)

#

= 0 (2.4)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 따라서 식 (2.4)를모수에 대하여 풀게되면 다음과 같은 근사된최대우도추정 ᄅ

ᅣᆼ (ˆθI)을구할 수 있다.

θˆI= Ps

i=1 R_i

2 xa_i+Ps

=1 1 +^R₂ⁱ
η1ixa_i−Ps

i=2li−1 βixa_i+ γixa_i−1

s +Ps

i=2li−1αi−Ps

i=1 1 +^R₂ⁱ
δ1i

.

ᄀ

ᅳ리고 식 (2.1)의 G (za_i) za_i 중 G (za_i)만을 ζa_i을 중심으로 하여 테일러 급수 전개를 실시하면

G (za_i) ≃ δ2i+ η2iza_i, (2.5) ᄋ

ᅪ 같음을알 수 있다. 여기서,

δ2i= −f (ζa_i)ζa_i+ pa_i, η2i= f (ζa_i).

ᄄ

ᅡ라서 앞의 식 (2.2)와 새롭게 전개한 식 (2.5)를이용하여 식 (2.1)에 대입하게 되면,

∂ℓ(θ)

∂θ ∝ −1 θ

"

s +

s

X

i=2

li−1 αi+ βiza_i+ γiza_i−1

−1 2

s

X

i=1

Riza_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2



(δ2i+ η2iza_i) za_i

#

= 0 (2.6)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 따라서 식 (2.6)을모수에 대하여 풀게되면 다음과 같은 근사된최대우도추정 ᄅ

ᅣᆼ (ˆθII)을구할 수 있다.

θˆII= −BII+pB_II² + 4AIICII

2AII

, ᄋ

ᅧ기서,

AII= s +

s

X

i=2

li−1αi,

BII=

s

X

i=2

li−1 βixa_i+ γixa_i−1
−

s

X

i=1

Ri

2 xa_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 δ2ixa_i,

CII=

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 η2ix²_ai.

ᄄ

ᅩ한, 식 (2.1)의 [g (za_i) za_i − g za_i−1
za_i−1]/[G (za_i) − G za_i−1
]을 각각 g (za_i) /[G (za_i) − G za_i−1
]과 g za_i−1
/[G (za_i) − G za_i−1
]으로 나누어 ζa_i와 ζa_i−1을 중심으로 하여 테일러 급수 전 ᄀ

ᅢ를 실시하면 각각

g (za_i) G (za_i) − G za_i−1

≃ α1i+ β1iza_i+ γ1iza_i−1, (2.7) g za_i−1

G (za_i) − G za_i−1

≃ α2i+ β2iza_i+ γ2iza_i−1, (2.8) ᄋ

ᅪ 같음을알 수 있다. 여기서, α1i=



1 + pa_iζa_i+f (ζa_i)ζa_i− f (ζa_i−1)ζa_i−1

pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i) pa_i− pa_i−1

β1i= −



pa_i+ f (ζa_i) pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i) pa_i− pa_i−1

,

γ1i=f (ζa_i)f (ζa_i−1)

pa_i− pa_i−1

2, α2i=



1 + pa_i−1ζa_i−1+f (ζa_i)ζa_i− f (ζa_i−1)ζa_i−1

pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i−1) pa_i− pa_i−1

β2i= −f (ζa_i)f (ζa_i−1)

pa_i− pa_i−1

2 = −γ1i, γ2i=



pa_i−1− f (ζa_i−1) pa_i− pa_i−1

 f (ζa_i−1) pa_i− pa_i−1

. ᄄ

ᅡ라서 앞의 식 (2.3)과 새롭게 전개한 식 (2.7)과 식 (2.8)을이용하여 식 (2.1)에 대입하게 되면,

∂ℓ(θ)

∂θ ∝ −1 θ

"

s +

s

X

i=2

li−1

 α1i+ β1iza_i+ γ1iza_i−1
za_i− α2i+ β2iza_i+ γ2iza_i−1
za_i−1

−1 2

s

X

i=1

Riza_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2



(δ1i+ η1iza_i)

#

= 0 (2.9)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 따라서 식 (2.9) 모수에 대하여 풀게되면 다음과 같은근사된최대우도추정량 (ˆθIII)을구할 수 있다.

θˆIII=−BIII+pB_III² + 4AIIICIII

2AIII

, ᄋ

ᅧ기서,

AIII= s −

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 δ1i,

BIII=

s

X

i=2

li−1 α1ixa_i− α2ixa_i−1
−

s

X

i=1

Ri

2 xa_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 η1ixa_i,

CIII =

s

X

i=2

li−1 β1ix²_ai+ 2γ1ixa_i−1xa_i− γ2ix²_ai−1
.

ᄆ

ᅡ지막으로, 앞의 식 (2.7)과 식 (2.8), 그리고 식 (2.5)를이용하여 식 (2.1)에 대입하게 되면,

∂ℓ(θ)

∂θ ∝ −1 θ

"

s +

s

X

i=2

li−1

α1i+ β1iza_i+ γ1iza_i−1
za_i− α2i+ β2iza_i+ γ2iza_i−1
za_i−1

−1 2

s

X

i=1

Riza_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2



(δ2i+ η2iza_i) za_i

#

= 0 (2.10)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 따라서 식 (2.10)을모수에 대하여 풀게되면 다음과 같은근사된최대우도추정 ᄅ

ᅣᆼ (ˆθIV)을구할 수 있다.

θˆIV =−BIV +pB²_IV + 4AIVCIV

2AIV

, ᄋ

ᅧ기서,

AIV = s, BIV =

s

X

i=2

li−1 α1ixa_i− α2ixa_i−1
−

s

X

i=1

Ri

2 xa_i−

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 δ2ixa_i,

CIV =

s

X

i=2

li−1 β1ix²a_i+ 2γ1ixa_i−1xa_i− γ2ix²a_i−1
−

s

X

i=1

 1 +Ri

2

 η1ix²a_i.

3. 사례 분석과 모의 실험

3.1. 사례 분석 ᄋ

ᅱ의 2절에서 계산한근사된최대우도추정량들과 최대우도추정량을이용하여 실제 사례 자료를 분석 ᄒ

ᅡ고자 한다. 분석에 사용된자료는 Lawless (1982) 연구에서 나타난 전기 절연장치의 고장 시간 (단 ᄋ

ᅱ: 분)자료이고, 이를점진적 중도절단 상황 (m = 8, RRR = (1, 1, 0 ∗ 5, 2))을적용하면 다음과 같다.

12.3, 24.4, 43.2, 46.9, 70.7, 95.5, 98.1, 138.6 ᄋ

ᅱ의 Lawless (1982)의 자료는 Shin 등 (2014), Gwag과 Lee (2018)의 연구에서 하프 로지스틱분포를 ᄄ

ᅡ르는자료라고 검증하였다. 따라서 위 자료를 이용하여 위 자료의 하프 로지스틱분포의 모수를추정 ᄒ

ᅡ고자 한다. 먼저, 다중점진적 중도절단 상황을적용하기 위해 다음의 세 가지 경우의 다중점진적 중 ᄃ

ᅩ절단 상황을설정하였다.

1) s = 7, aaa = (a1, a2, · · · , a7) = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8), 2) s = 6, aaa = (a1, a2, · · · , a6) = (1, 2, 3, 6, 7, 8), 3) s = 5, aaa = (a1, a2, · · · , a5) = (1, 2, 3, 6, 8).

ᄋ

ᅱ의 세 가지 경우를적용하였을때, 각각의 최대우도추정량과근사된최대우도추정량들을계산한 결 ᄀ

ᅪ는다음의 Table 3.3과 같다.

Table 3.1 Estimates of the scale parameter for example

Case θ ˆ θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

1 69.88935 69.77829 70.03210 69.80272 70.05766 2 70.56550 70.45728 70.68640 70.65493 70.86689 3 72.12721 72.11364 72.25216 72.49155 72.60844

3.2. 모의 실험 ᄋ

ᅱ의 2절에서 계산한근사된최대우도추정량들과 최대우도추정량을비교하기 위하여 다양한 다중점 ᄌ

ᅵᆫ적 중도절단 상황에서 평균 제곱 오차 (mean squared error; MSE)를 몬테카를로 모의실험을 이 ᄋ

ᅭ

ᆼ하여 구하였다. 우선 세 가지 (1. 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는 경우, 2. 처음에 점진적 주

ᆼ도절단이 발생하는 경우, 3. 처음과 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는 경우)의 점진적 중도절 ᄃ

ᅡᆫ 상황을 구성하였다. 여기서 점진적 중도절단 상황을 표현할 때 사용된 RRR = (0 ∗ 17, 2)는 RRR = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2)를 나타낸다. 그 후, 각 점진적 중도절단 상황에서 중간 ᄋ

ᅦ관측에 실패하는경우를 설정하여 다중점진적 중도절단 상황을 구성하였다. 다음으로 하프 로지스 티

ᆨ분포의 모수를 1로 모든 경우에 동일하게 설정한 후, 난수를생성하여 2절에서 계산한 최대우도추정 ᄅ

ᅣᆼ과 근사된 최대우도추정량을 구한 후, 각 추정량의 편의와 평균 제곱 오차를 계산하여 비교하였다.

ᄀ ᅡ

ᆨ각의 다중 점진적 중도절단 상황에 따른편의 (bias)와 평균제곱오차는아래의 Table 3.1과 Table 3.2와 같다. Table 3.1과 Table 3.2에서괄호에 나타나 있는값은편의, 괄호로 나타나 있지 않은값은 펴

ᆼ균제곱오차를나타낸다.

Table 3.1과 Table 3.2를보면, 일반적으로 처음구성한 표본의 크기가 클수록평균제곱오차의 값은 ᄌ

ᅡ

ᆨ아지는것을확인할 수 있다. 그리고 사전에 설정한 점진적 중도절단 표본의 크기 (m)가 클수록평균 ᄌ

ᅦ곱오차의 값 역시 작아지는것을확인할 수 있다. 또한, 다중점진적 중도절단 표본의 크기 (s)가 클 ᄉ

ᅮ록평균제곱오차의 값 역시 작아지는것을확인할 수 있다. 그리고 세 가지의 점진적 중도절단 상황 ᄌ

ᅮᆼ마지막에 점진적 중도절단이 발생하는경우가 다른두 경우에 비해 평균제곱오차의 값이 작은것을 화

ᆨ인할 수 있었고, 처음과 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는경우가 평균제곱오차의 값이 가장 크 ᄀ

ᅦ 나타나는것을확인할 수 있었다.

ᄀ

ᅳ리고 계산된4가지의근사된최대우도추정량들 중 ˆθI인 G (zai) zai과 [g (zai) zai− g zai−1
zai−1] /[G (za_i) − G za_i−1
]을 테일러 급수 전개하여 적용한 근사된최대우도추정량의 평균 제곱오차의 값 ᄋ

ᅵ 다른 3가지의근사된최대우도추정량들보다 작은것을확인할 수 있었고, 이러한근사된최대우도추 저

ᆼ량은뉴튼랩슨을이용한 최대우도추정량보다 평균제곱오차의 값이 작은것을확인할 수 있었다.

Table 3.2 Relative MSE and bias for the MLE and approximate MLEs of the scale parameter (n = 20)

n m R R R s a a a θ ˆ θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

20 18 (0*17,2) 16 1∼5,8∼18 0.0395 0.0391 0.0400 0.0405 0.0421

(0.0019) (-0.0037) (0.0086) (0.0133) (0.0271)

15 1∼5,9∼18 0.0396 0.0392 0.0400 0.0406 0.0423

(0.0020) (-0.0034) (0.0081) (0.0148) (0.0284)

14 1∼5,10∼18 0.0396 0.0392 0.0400 0.0410 0.0426

(0.0012) (-0.0029) (0.0079) (0.0160) (0.0292)

16 (0*15,4) 14 1∼4,7∼16 0.0463 0.0455 0.0485 0.0476 0.0535

(0.0000) (-0.0101) (0.0223) (0.0080) (0.0455)

13 1∼4,8∼16 0.0463 0.0455 0.0487 0.0477 0.0537

(0.0002) (-0.0096) (0.0214) (0.0107) (0.0484)

12 1∼4,9∼16 0.0545 0.0455 0.0488 0.0480 0.0547

(-0.0210) (-0.0091) (0.0205) (0.0146) (0.0528)

14 (0*13,6) 13 1∼2,4∼14 0.0507 0.0492 0.0572 0.0501 0.0621

(-0.0020) (-0.0234) (0.0458) (-0.0105) (0.0648)

12 1∼2,5∼14 0.0507 0.0492 0.0576 0.0508 0.0654

(-0.0020) (-0.0232) (0.0446) (-0.0035) (0.0760)

11 1∼2,6∼14 0.0507 0.0492 0.0578 0.0514 0.0688

(-0.0019) (-0.0229) (0.0432) (0.0025) (0.0859)

18 (2,0*17) 16 1∼5,8∼18 0.0404 0.0400 0.0448 0.0436 0.0493

(0.0030) (-0.0014) (0.0368) (0.0256) (0.0599)

15 1∼5,9∼18 0.0405 0.0401 0.0448 0.0438 0.0494

(0.0031) (-0.0011) (0.0364) (0.0280) (0.0612)

14 1∼5,10∼18 0.0405 0.0402 0.0448 0.0443 0.0498

(0.0021) (-0.0004) (0.0361) (0.0304) (0.0623)

16 (4,0*15) 14 1∼4,7∼16 0.0476 0.0462 0.0602 0.0548 0.0710

(0.0028) (-0.0159) (0.0702) (0.0271) (0.1019)

13 1∼4,8∼16 0.0477 0.0463 0.0603 0.0552 0.0714

(0.0031) (-0.0151) (0.0697) (0.0331) (0.1043)

12 1∼4,9∼16 0.0615 0.0464 0.0604 0.0553 0.0716

(-0.0313) (-0.0141) (0.0690) (0.0404) (0.1078)

14 (6,0*13) 13 1∼2,4∼14 0.0522 0.0496 0.0763 0.0579 0.0901

(0.0026) (-0.0493) (0.1027) (0.0021) (0.1356)

12 1∼2,5∼14 0.0523 0.0496 0.0765 0.0630 0.0956

(0.0026) (-0.0490) (0.1019) (0.0200) (0.1456)

11 1∼2,6∼14 0.0524 0.0497 0.0767 0.0635 0.0966

(0.0019) (-0.0482) (0.1010) (0.0330) (0.1510)

18 (1,0*16,1) 16 1∼5,8∼18 0.0453 0.0413 0.0433 0.0430 0.0460

(-0.1164) (-0.0846) (-0.1055) (-0.0990) (-0.1222)

15 1∼5,9∼18 0.0453 0.0414 0.0434 0.0431 0.0460

(-0.1164) (-0.0840) (-0.1060) (-0.0975) (-0.1220)

14 1∼5,10∼18 0.0463 0.0415 0.0435 0.0434 0.0460

(-0.1206) (-0.0836) (-0.1065) (-0.0962) (-0.1216)

16 (2,0*14,2) 14 1∼4,7∼16 0.0749 0.0623 0.0689 0.0681 0.0781

(-0.2116) (-0.1692) (-0.1947) (-0.1918) (-0.2222)

13 1∼4,8∼16 0.0749 0.0630 0.0691 0.0694 0.0782

(-0.2116) (-0.1684) (-0.1955) (-0.1891) (-0.2218)

12 1∼4,9∼16 0.0819 0.0640 0.0694 0.0710 0.0784

(-0.2915) (-0.1676) (-0.1966) (-0.1864) (-0.2215)

14 (3,0*12,3) 13 1∼2,4∼14 0.1140 0.0902 0.1017 0.1043 0.1370

(-0.2941) (-0.2464) (-0.2704) (-0.2828) (-0.3141)

12 1∼2,5∼14 0.1141 0.0919 0.1021 0.1076 0.1239

(-0.2942) (-0.2403) (-0.2713) (-0.2733) (-0.3138)

11 1∼2,6∼14 0.1191 0.0934 0.1026 0.1109 0.1240

(-0.3031) (-0.2379) (-0.2725) (-0.2679) (-0.3135)

Table 3.3 Relative MSE and bias for the MLE and approximate MLEs of the scale parameter (n = 40)

n m R R R s a a a θ ˆ θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

θ ˆ

40 36 (0*35,4) 32 1∼12,17∼36 0.0184 0.0183 0.0188 0.0190 0.0199

(-0.0041) (-0.0055) (0.0072) (0.0060) (0.0202)

30 1∼12,19∼36 0.0184 0.0184 0.0188 0.0191 0.0201

(-0.0041) (-0.0054) (0.0068) (0.0076) (0.0216)

28 1∼12,21∼36 0.0185 0.0184 0.0188 0.0194 0.0204

(-0.0041) (-0.0053) (0.0063) (0.0084) (0.0221)

34 (0*33,6) 30 1∼10,15∼34 0.0196 0.0195 0.0207 0.0202 0.0225

(-0.0052) (-0.0070) (0.0179) (0.0058) (0.0338)

28 1∼10,17∼34 0.0196 0.0195 0.0207 0.0204 0.0231

(-0.0053) (-0.0069) (0.0171) (0.0085) (0.0369)

26 1∼10,19∼34 0.0196 0.0195 0.0208 0.0208 0.0237

(-0.0050) (-0.0065) (0.0165) (0.0119) (0.0405)

32 (0*31,8) 28 1∼9,14∼32 0.0220 0.0219 0.0246 0.0227 0.0277

(-0.0047) (-0.0070) (0.0335) (0.0067) (0.0527)

26 1∼9,16∼32 0.0220 0.0219 0.0247 0.0231 0.0289

(-0.0046) (-0.0067) (0.0325) (0.0108) (0.0577)

24 1∼9,18∼32 0.0230 0.0219 0.0249 0.0238 0.0305

(0.0008) (-0.0063) (0.0314) (0.0153) (0.0632)

36 (4,0*35) 32 1∼12,17∼36 0.0187 0.0187 0.0208 0.0201 0.0228

(-0.0034) (-0.0046) (0.0267) (0.0140) (0.0425)

30 1∼12,19∼36 0.0188 0.0188 0.0209 0.0205 0.0232

(-0.0034) (-0.0044) (0.0263) (0.0165) (0.0440)

28 1∼12,21∼36 0.0188 0.0188 0.0209 0.0206 0.0232

(-0.0035) (-0.0042) (0.0259) (0.0177) (0.0441)

34 (6,0*33) 30 1∼10,15∼34 0.0200 0.0199 0.0246 0.0220 0.0280

(-0.0049) (-0.0097) (0.0456) (0.0133) (0.0633)

28 1∼10,17∼34 0.0200 0.0199 0.0246 0.0220 0.0280

(-0.0050) (-0.0096) (0.0451) (0.0155) (0.0641)

26 1∼10,19∼34 0.0201 0.0200 0.0247 0.0227 0.0286

(-0.0058) (-0.0091) (0.0448) (0.0190) (0.0658)

32 (8,0*31) 28 1∼9,14∼32 0.0226 0.0224 0.0307 0.0253 0.0357

(-0.0031) (-0.0176) (0.0636) (0.0134) (0.0850)

26 1∼9,16∼32 0.0227 0.0224 0.0308 0.0260 0.0366

(-0.0029) (-0.0171) (0.0631) (0.0207) (0.0887)

24 1∼9,18∼32 0.0228 0.0224 0.0308 0.0267 0.0374

(-0.0135) (-0.0164) (0.0626) (0.0276) (0.0918)

36 (2,0*34,2) 32 1∼12,17∼36 0.0185 0.0184 0.0186 0.0192 0.0195

(-0.0037) (-0.0063) (-0.0012) (0.0068) (0.0117)

30 1∼12,19∼36 0.0186 0.0185 0.0186 0.0193 0.0196

(-0.0037) (-0.0061) (-0.0014) (0.0077) (0.0122)

28 1∼12,21∼36 0.0186 0.0185 0.0187 0.0194 0.0196

(-0.0038) (-0.0060) (-0.0017) (0.0072) (0.0114)

34 (3,0*32,3) 30 1∼10,15∼34 0.0197 0.0196 0.0197 0.0204 0.0207

(-0.0049) (-0.0078) (-0.0027) (0.0057) (0.0107)

28 1∼10,17∼34 0.0197 0.0196 0.0197 0.0205 0.0208

(-0.0050) (-0.0077) (-0.0030) (0.0060) (0.0106)

26 1∼10,19∼34 0.0198 0.0197 0.0198 0.0206 0.0209

(-0.0061) (-0.0074) (-0.0030) (0.0064) (0.0108)

32 (4,0*30,4) 28 1∼9,14∼32 0.0221 0.0220 0.0221 0.0230 0.0233

(-0.0039) (-0.0070) (-0.0022) (0.0067) (0.0114)

26 1∼9,16∼32 0.0221 0.0220 0.0222 0.0231 0.0234

(-0.0038) (-0.0067) (-0.0023) (0.0076) (0.0118)

24 1∼9,18∼32 0.0277 0.0220 0.0222 0.0232 0.0235

(-0.0172) (-0.0064) (-0.0024) (0.0073) (0.0112)

4. 결론 보

ᆫ 논문은 다중 점진적 중도절단 방법 상황에서 하프 로지스틱분포의 척도 모수를 추정하였다. 이 르

ᆯ 위해 뉴튼 랩슨 방법을 이용하여 최대우도추정량을 계산 하였고, 테일러 급수 전개를 이용한 근 ᄉ

ᅡ된 최대우도추정량을 이용하여 하프 로지스틱분포의 척도 모수를 추정하였다. 또한, 다양한 다중 ᄌ

ᅥᆷ진적 중도절단 상황에서 몬테카를로 모의실험을 실시하여 평균제곱오차 및 편의를 이용하여 제 ᄋ

ᅡᆫ한 추정량들을 비교하였다. 그 결과, 계산된 4가지의 근사된 최대우도추정량들 중 [g (za_i) za_i − g zai−1
zai−1]/[G (zai) − G zai−1
]과 G (zai) zai을 테일러 급수 전개하여 적용한근사된최대우도 ᄎ

ᅮ정량의 평균제곱오차의 값이 다른근사된최대우도추정량들보다 작은것을확인할 수 있었고, 또한 ᄂ

ᅲ튼랩슨을이용한 최대우도추정량보다 평균제곱오차의 값이 작은것을확인할 수 있었다.

보

ᆫ 논문에서는점추정만을고려하였지만, 테일러 급수 전개를이용한근사적 신뢰구간을이용하여 구 ᄀ

ᅡᆫ추정 역시 가능할 것이다. 또한, 본 논문은하프 로지스틱분포로 한정하여 추정을 실시하였지만, 또 ᄃ

ᅡ른 분포 (지수분포, 와이블 분포, 대수 정규분포 등)에도 적용할 수 있으리가 생각된다.

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5)

839–850

Estimation of half logistic distribution under multiply progressive censoring ^†

Seonghee Park

¹

²

12Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University

Received 27 August 2020, revised 10 September 2020, accepted 21 September 2020

Abstract

Under progressive censoring scheme, some units can be failed between two points of observation with exact times of failure of these units unobserved. In this reason, multiply progressive censoring scheme was introduced. In this paper, we consider the maximum likelihood estimator of the scale parameter of the half-logistic distribution under a multiply progressive censoring scheme. And, the scale parameter of half lo- gistic distribution is estimated by approximate maximum likelihood estimators that use Taylor series expansion. Monte Carlo simulations are conducted to compare the results among maximum likelihood estimator and approximate maximum likelihood estimators. A real data set based on the multiply progressive censoring scheme is also analyzed for illustrative purposes.

Keywords: Approximate maximum likelihood estimator, half-logistic distribution, max- imum likelihood estimator, Taylor series expansion.

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This work was supported by Daegu University Undergraduate Research Program, 2020.

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Undergraduate student, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University, Gyeongsan 38453, Korea.

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Corresponding author: Assistant professor, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu

University, Gyeongsan 38453, Korea. E-mail: indra [email protected]