Estimation for half-logistic distribution based on generalized adaptive progressive hybrid censored sample^†

2021, 32

2)

405–416

일반화된 조정 점진적 복합 중도절단에서 하프 로지스틱 분포의 추정 ^†

ᄌ

ᅩ수빈

¹

²

1대구대학교 통계학과 · ²대구대학교 수리빅데이터학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 30ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2021ᄂ ᅧ ᆫ 2ᄋ ᅯ ᆯ 18ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2021ᄂ ᅧ ᆫ 3ᄋ ᅯ ᆯ 12ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄉ ᅢ

ᆼᄌ ᅩ ᆫᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆼ ᄅ ᅭᄒ ᅡᄀ ᅵᄁ ᅡᄌ ᅵ ᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄋ ᅩᄅ ᅢ ᄉ ᅩᄋ ᅭ ᄃ ᅬ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻ ᄃ

ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆫ ᄌ ᅢᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄄ ᅡᄅ ᅡᄉ ᅥ ᄎ ᅬ ᄀ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅵ ᄉ ᅩᄀ ᅢᄃ ᅬᄋ ᅥᄌ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ

ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄅ

ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄀ ᅪ ᄐ ᅦᄋ ᅵ ᆯᄅ ᅥ ᄀ ᅳ ᆸ ᄉ ᅮ ᄌ ᅥ ᆫᄀ ᅢᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻ ᄃ

ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄃ ᅢᄎ ᅵ ᆼᄉ ᅩ ᆫᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄒ ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄒ ᅡᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆫ ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ ᄅ

ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅪ ᆨ ᄒ ᅡᄀ ᅦ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅥ ᆹᄋ ᅥ Tierneyᄋ ᅪ Kadaneᄋ ᅴ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅵ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ

ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅳᄅ ᅵᄀ ᅩ ᄃ ᅡᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ

ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯ ᄋ ᅴ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄌ ᅦᄀ ᅩ ᆸ ᄋ ᅩᄎ ᅡᄋ ᅪ ᄑ ᅧ ᆫᄋ ᅴᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄆ ᅡᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅡᄅ ᅨ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ

ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ, ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ, ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ, ᄎ ᅬᄃ ᅢ ᄋ ᅮᄃ ᅩ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ, ᄒ

ᅡᄑ ᅳ ᄅ ᅩᄌ ᅵᄉ ᅳᄐ ᅵ ᆨ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ.

1. 서론 ᄉ

ᅵᆫ뢰성 및 생존 분석 실험에서는 실험 단위가관측되기 전에 부주의 또는무의식적으로 실험에서 제거 ᄃ

ᅬ거나 손실되는상황이 발생할 수 있다. 이 같은경우를 중도절단이라 하며, 일반적으로 제 1종 및 제 2종 중도절단 방법 (type I and II censoring schemes)이 있다. 그러나 실험자가 실험의 최종 종료 지 ᄌ

ᅥᆷ이 아닌 다른지점에서 생존 실험 단위를제거하려는경우 제 1종 및 제 2종 중도절단 방법을사용할 ᄉ

ᅮ 없다. 실험 도중 실험 단위 제거는초기에 제거되고 남아있는단위를다른 실험에 사용할 수 있는경 ᄋ

ᅮ 바람직할 수 있다. 따라서 실험 단위와의 접촉이 끊어지거나 실험 단위가 예기치 않게 파손되는경우 ᄋ

ᅪ 같이 종점 이외의 지점에서 생존단위가 손실되는것은피할 수 없다. 이러한 이유에서 신뢰성 이론 ᄀ

ᅡ와 실무자들은점진적 중도절단 방법 (progressive censoring scheme)을고려했다 (Balakrishnan과 Aggarwala, 2000).

Herd (1956)가 제안한 점진적 중도절단 방법은다음과 같이 설명할 수 있다. 첫 번째 실패 (X1:m:n)가 과

ᆫ측되면, 실험에서 R¹개의 생존 단위를 무작위로 제거하고, 두 번째 실패 (X^2:m:n)가 관찰되면

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄄ ᅩᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅥᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ 2019ᄂ ᅧ ᆫ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅮ ᆨ ᄀ ᅭᄋ ᅲ ᆨ ᄇ ᅮᄋ ᅪ ᄒ ᅡ ᆫᄀ ᅮ ᆨᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅢᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄋ ᅵ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡᄒ ᅬᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅣ ᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅵ ᆫᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅡᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄉ ᅡᄋ ᅥ ᆸᄋ ᅴ ᄌ

ᅵᄋ ᅯ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆮᄋ ᅡ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅵ ᆷ(NRF-2019S1A5A8034216).

1

(38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄉ ᅥ ᆨᄉ ᅡᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

2

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄌ ᅩᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: indra [email protected]

R2개의 생존 단위를 무작위로 제거한다. 마지막으로 m번째 실패 (Xm:m:n)가 관측되면 남아있는 ᄆ

ᅩ든 생존 단위 Rm(= n − R1− · · · − Rm−1− m)가 실험에서 제거된다. 실험 전 점진적 중도절 ᄃ

ᅡᆫ은 미리 설정한다. 이때, m개의 사건이 발생한 시간의 순서를 점진적 중도절단 데이터라고 하고 X1:m:n, X2:m:n, · · · Xm:m:n로 나타낸다. 점진적 중도절단 데이터의 결합 확률 밀도 함수 (probability density function; pdf)는다음과 같이 표현할 수 있다.

f (x1:m:n, x2:m:n,· · · , xm:m:n) =





m

Y

j=1 m

X

k=j

(Rk+ 1)





m

Y

j=1

f (xj) [1 − F (xj)]^Rj, (1.1)

ᄋ

ᅧ기서, −∞ < x1:m:n< x2:m:n < · · · < xm:m:n< ∞이고, f(·)와 F (·)은각각확률밀도함수와 누적분 ᄑ

ᅩ함수이다.

ᄌ

ᅥᆷ진적 중도절단의 단점 중하나는단위의 신뢰성이 높으면 실험 시간이 매우 길 수 있다는점이다.

ᄄ

ᅡ라서 Kundu와 Joarder (2006)는최소한 실험 종료시간 T (∈ (0, ∞))와 사전에 할당되는 관측 개수 m이 발생한 시점 (Xm:m:n)에서 테스트를 중단하는 점진적 복합 중도절단 방법 (progressive hybrid censoring scheme)을소개했다. 이때 점진적 복합 중도절단에서 실험을 종료하는데 필요한 총시간은 T 를초과하지 않는다. Childs 등 (2007)에서는점진적 복합 중도절단을기반으로 지수분포에 대한 최 ᄃ

ᅢ우도추정량의 구간 추정과 정확한 조건부 분포를도출했다. 점진적 복합 중도절단은 Figure 1.1과 같 ᄋ

ᅵ 나타낼 수 있다.

Figure 1.1 Schematic illustration of progressive hybrid censoring scheme

ᄀ

ᅳ러나 점진적 복합 중도절단의 단점은 관찰된 실패 횟수가 무작위라는 점이다. 따라서 관찰된 실 ᄑ

ᅢ 단위의 수가 0과 같을 수도 있어 이를이용한 통계적 추론을할 수 없을수도 있다. 따라서 Ng 등 (2010)은유효 표본크기 개수 m을미리 할당시킨 조정 점진적 복합 중도절단 방법 (adaptive progres- sive hybrid censoring scheme)을제안하였다. 점진적 중도절단 방법에서 점진적 중도절단의 개수는미 ᄅ

ᅵ 할당되어 변하지 않지만 조정 점진적 복합 중도절단에서는점진적 중도절단의 개수는 일부 변경될수 이

ᆻ다.

시

ᆯ험자가 사전에 이상적인 총 실험 시간 T1을 미리 설정하고, T1에 걸쳐 실험이 계속 실행된다고 가 저

ᆼ한다. 미리 지정된시간 T¹ 이전에 m번째 실패가 발생하면 테스트는 Xm:m:n에서 중단된다. 그렇지 ᄋ

ᅡ

ᆭ고 실험 시간이 T1을경과 했는데 실패횟수 m에 도달하지 않는경우 가능한 한 빨리 실험을 종료하

느

ᆫ것이 좋다. 따라서 가능한 빨리 실험을 종료하기 위해 T1 이후에 실험이 지속되는경우 점진적 중도 저

ᆯ단을모두 0으로 설정하고, m번째 실패를관측하였을때 남아있는모든생존단위를 실험에서 제거한 ᄃ

ᅡ (Ashour와 Nassar, 2017; Nassar와 Abo-Kasem, 2017). 조정 점진적 복합 중도절단은 Figure 1.2와 ᄀ

ᅡ

ᇀ이 나타낼 수 있다.

Figure 1.2 Schematic illustration of adaptive progressive hybrid censoring scheme

ᄌ

ᅩ정 점진적 복합 중도절단은 실패 수를 미리 설정할 수 있지만 이를관측하고 실험을 종료하는 데 ᄉ

ᅵ간이 오래 걸릴 수 있다는 단점이 있다. 이러한 이유로 실험이 사전 할당된시간에 종료되도록보장 ᄒ

ᅡ는 일반화된 적응형 복합 점진적 중도절단 기법 (genralized adaptive progressive hybrid censoring scheme)이 제안되어졌다 (Lee와 Lee, 2020). 이 방법은조정 점진적 복합 중도절단의 단점을수정하여 ᄉ

ᅩ요되는 총 시간과 비용을모두 절약할 수 있게 설계되었다. 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방 버

ᆸ은 조정 점진적 중도절단 방법에서 최대한 실험을 진행할 수 있는 시간 T2를추가한 방법이다. 따라 ᄉ

ᅥ 만약 m번째 실패 시점이 T1 이전에 발생하면 일반적인 점진적 중도절단 방법 (Case 1), m 번재 사 ᄆ

ᅡᆼ시점이 T¹과 T² 사이에 발생하면 조정 점진적 중도절단 방법 (Case 2), 그리고 m번재 사망시점이 T² ᄋ

ᅵ후에 발생하면 조정 점진적 중도절단 방법으로 진행하다 T2에서 실험을 종료하고 남아있는모든 실험 ᄀ

ᅢ체를점진적 중도절단 시키는방법 (Case 3)이다 (Lee 등, 2020). 따라서 일반화된조정 점진적 복합 ᄌ

ᅮᆼ도절단은 3가지 경우를생각할 수 있고, 이를 Figure 1.3과 같이 나타낼 수 있다.

Case 1: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xm:m:n, if Xm:m:n< T1,

Case 2: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xd1:m:n, T1, · · · , Xm:m:n, if T1< Xm:m:n< T2, Case 3: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xd₁:m:n, T1, · · · , Xd₂:m:n, T2, if T2< Xm:m:n,

ᄋ

ᅧ기서 d1과 d2는각각 T1과 T2까지 실패횟수를나타낸다.

ᄋ

ᅵ러한 일반화된조정 점진적 중도절단 상황에서 자료가 f (x; σ) = 2 exp −^x_σ

σ1 + exp −^x_σ
2, F (x; σ) =1 − exp −_σ^x

1 + exp −_σ^x
, x > 0, σ > 0 ᄋ

ᅪ 같은하프 로지스틱분포 (half-logistic distribution)을따를때를고려하고자 한다. 하프 로지스틱분 ᄑ

ᅩ는생존 분포 연구 (life-testing study)에서 고장 시간 모델 (failure time model) 연구에활용되고 있

Figure 1.3 Schematic illustration of generalized adaptive progressive hybrid censoring scheme

ᄀ

ᅩ, 위험률 (hazard rate)이 증가하는형태를가지고 있다. 그리고 하프 로지스틱분포를따르는확률변 ᄉ

ᅮ를표준화 (Z = X/σ)하였을때, 표준화된하프 로지스틱분포는

f (z) = 2 exp (−z)

[1 + exp (−z)]², F (z) = 1 − exp (−z)

1 + exp (−z), x > 0, σ > 0 ᄋ

ᅪ 같이 나타나고, 이는

f^′(z)

f (z) = −F (z), −f^′(z)

1 − F (z) = −1 + F (z) 2 ᄋ

ᅪ 같은성질을가지고 있다.

AL-Hussaini 등 (2015)은 점진적 중도절단 상황에서 베이지안 추정량 (Bayesian estimator)을 이 ᄋ

ᅭ

ᆼ하여 하프 로지스틱분포의 모수를 추정하였고, Roy 등 (2017)이 2종 중도절단 (type II censoring scheme)상황에서 일반화된하프 로지스틱분포 (genearlized half logistic distribution)의 모수와 신뢰 ᄃ

ᅩ 함수 (reliability function)을추정하였다 (Park과 Lee, 2020). 그리고 Gwag과 Lee (2018)가 통일 되

ᆫ 복합 중도절단 (unified hybrid censoring scheme) 상황에서 하프 로지스틱분포의 모수를추정하였 ᄀ

ᅩ, Park과 Lee (2020)가 최근에 다중점진적 중도절단 (multiply progressive censoring scheme)에서 ᄒ

ᅡ프 로지스틱분포의 모수를추정하였다.

ᄄ

ᅡ라서 본연구는 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방법에서 하프 로지스틱분포의 모수를추정하 ᄀ

ᅩ자 한다. 우선 최대우도추정량 (maximum likelihood estimator; MLE)을 고려하여 뉴튼랩슨방법 (Newton-Raphson method)을 통해 하프 로지스틱분포의 모수를 추정하고자 한다. 그리고 테일러 급 ᄉ

ᅮ 전개 (Taylor series expansion)를이용하여 우도함수를근사시켜근사 최대우도추정량을 통해 하프

ᄅ

ᅩ지스틱분포의 모수를추정하고자 한다. 또한, 감마 사전분포와 좌우대칭 손실함수를이용한 베이지안 ᄎ

ᅮ정량을이용하여 하프 로지스틱분포의 모수들을추정하고자 한다. 제안된추정량들을다양한 일반화 되

ᆫ조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 모의실험 (Monte Carlo simulation)을 실시하여 평균제곱오차 (mean squared error; MSE) 및 편의 (bias)를이용하여 제안한 추정량들을비교한 후, 실제 사례 데이 ᄐ

ᅥ를이용하여 하프 로지스틱분포의 모수를추정하고자 한다.

2. 추정량

2.1. 최대우도추정량 이

ᆯ반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서의 우도함수는 Lee와 Lee (2020)에 의하면 다음과 같 ᄋ

ᅵ 나타낼 수 있다.

L(σ|x) =

" _I Y

i=1 m

X

j=i

(Rj+ 1)

# _I Y

i=1

f (xi:m:n) [1 − F (xi:m:n)]^RiW (σ),

ᄋ

ᅧ기서, Case 1과 2의 경우 I = m, W (σ) = 1이고, Case 3의 경우 I = d², W (σ) = [1 − F (T2)]^R′d2, R^′_d2 = n −Pd₁

i=1Ri− d2.또한, Z = X/σ, V = T2/σ라고 한다면, 우도함수는다음과 같이 나타낼 수 이

ᆻ다.

L(σ|x) = 1 σ^m

" _I Y

i=1 m

X

j=i

(Rj+ 1)

# _I Y

i=1

f (zi:m:n) [1 − F (zi:m:n)]^RiW1(σ),

ᄋ

ᅧ기서, Case 1과 2의 경우 W1(σ) = 1이고, Case 3의 경우 W1(σ) = [1 − F (V )]^R′d2이다. 따라서 로그 ᄋ

ᅮ도함수는다음과 같이 나타낼 수 있다.

ln L(σ) ∝ −m ln σ +

I

X

i=1

ln f (zi:m:n) +

I

X

i=1

Riln[1 − F (zi:m:n)] + W2(σ),

ᄋ

ᅧ기서, Case 1과 2의 경우 W²(σ) = 0이고, Case 3의 경우 W²(σ) = R^′_d2ln [1 − F (V )]이다. 따라서 ᄆ

ᅩ수에 대한 최대 우도 추정량 ˆσ를구하기 위해 위 식을 σ에 대해 미분한 식을 0으로 두어 다음과 같이 ᄂ

ᅡ타낼 수 있다.

∂ ln L(σ|x)

∂σ = − 1 2σ

"

2I −

I

X

i=1

Rizi:m:n−

I

X

i=1

(Ri+ 2)F (zi:m:n)zi:m:n− W₂^′(σ)

#

= 0, (2.1)

ᄋ

ᅧ기서 Case 1과 2의 경우 W¹(σ) = 0이고, Case 3의 경우 W2^′(σ) = R^′_d2[1 + F (V )]V이다. 따라서 위 ᄋ

ᅴ 식 (2.1)은

h(σ) = σ ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있고,

h(σ) = 1 2I

" _I X

i=1

Rixi:m:n+

I

X

i=1

(Ri+ 2)

"

1 − exp −^xi:m:n_σ
1 + exp −^xi:m:n_σ

#

xi:m:n+ W3(σ)

#

(2.2)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 여기서, Case 1과 2의 경우 W³(σ) = 0이고, Case 3의 경우 W³(σ) = R^′_d2



2 1+exp

−^T2 σ



 T2이다.

(2.2)로부터 σ의 최대우도추정값을구하기 위해 다음과 같은알고리즘을사용하였다 (Lee, 2020; Lee ᄃ

ᅳᆼ, 2020). 먼저 σ의 초기값으로 σ^[0]를 임의로 설정한 후 (2.1)에 σ^[0]의 값을대입하여 σ^[1]= h(σ^[0])를 ᄀ

ᅨ산한다. 이러한 과정을계속반복하여 |σ^[n+1]− σ^[n]| < ϵ이될때 계산 과정을 종료하여 추정하고자 ᄒ

ᅡ는모수의 최대우도추정값 (ˆσ)을구할 수 있다.

2.2. 근사 최대우도추정량 ᄋ

ᅡ

ᇁ 절에서는 모수의 값을 정확하게 추정할 수 없어 Lee 등 (2020)이 활용한 알고리즘을 사용하여 ᄎ

ᅬ대우도추정값을 구하였다. 이번 절에서는 테일러 급수 전개를 활용한 근사 최대우도추정량을 이용 ᄒ

ᅡ여 모수를 추정하고자 한다. 먼저 테일러 급수 전개를 하기 위해 중심이 되는 점 (ζi:m:n)을 다음 ᄀ

ᅪ 같이 점진적 중도절단 상황에서 비율의 기대값 (p^i:m:n)을 하프 로지스틱분포의 역누적분포함수 (F⁻¹(pi:m:n))에 대입한 값으로 설정하였다 (Park과 Lee, 2020). 즉,

ζi:m:n= F⁻¹(pi:m:n) = ln[− ln(1 − pi:m:n)], ᄋ

ᅧ기서,

pi:m:n= 1 −

m

Y

j=m−i+1

 j + Rm−j+1+ · · · + Rm

1 + j + Rm−j+1+ · · · + Rm

 .

ᄃ

ᅡ음으로 식 (2.1) 중 F (zi:m:n)과 1 + F (V )를 ζi:m:n을 중심으로 하여 테일러 급수 전개를 실시한 결과

F (zi:m:n) ≃ αi:m:n+ βi:m:nzi:m:n, 1 + F (V ) ≃ 1 + αT+ βTV (2.3) ᄋ

ᅪ 같음을알 수 있다. 여기서, αi:m:n= pi:m:n+1

2qi:m:n(1 + pi:m:n) ln

 qi:m:n

1 + pi:m:n



, βi:m:n= 1

2qi:m:n(1 + pi:m:n), αT = pd₂+1

2qd₂(1 + pd₂) ln

 qd2

1 + pd2



, βT =1

2qd₂(1 + pd₂) ᄋ

ᅪ 같다. 따라서 식 (2.3)을 식 (2.1)에 대입하게 되면,

∂ ln L(σ|x)

∂σ ≃ − 1 2σ

"

2I −

I

X

i=1

Ri

xi:m:n

σ −

I

X

i=1

(Ri+ 2)

αi:m:n+ βi:m:n

xi:m:n

σ

xi:m:n

σ − W4(σ)

#

= 0 (2.4)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 여기서 Case 1과 2의 경우 W4(σ) = 0이고, Case 3의 경우 W4(σ) = R^′_d2(1 + αT+ βTT₂

σ )^T_σ²이다. 따라서 식 (2.4)를 모수에 대하여 풀게되면 다음과 같은 근사 최대우도추정량을 ᄀ

ᅮ할 수 있다.

ˆ

σA= B +√

B²+ 8IC 4I , ᄋ

ᅧ기서, Case 1과 2의 경우 B = PI

i=1Rixi:m:n +PI

i=1(Ri + 2)αi:m:nx:m:n, C = PI i=1(Ri+ 2)βi:m:nx²_i:m:n이고, Case 3의 경우 B =PI

i=1Rixi:m:n+PI

i=1(Ri+ 2)αi:m:nx:m:n+ R_d^′₂(1 + αT)T2, C =PI

i=1(Ri+ 2)βi:m:nx²_i:m:n+ R^′_d2βTT₂²이다. 또한, βi:m:n> 0, C > 0이므로근사 최대우도추정량 시

ᆨ의 제곱근안의 값은항상 양수이다.

2.3. 베이지안 추정량 ᄃ

ᅡ음으로 베이지안 추정방법을이용하여 하프 로지스틱분포의 모수를추정하기 위해 먼저 다음과 같 ᄋ

ᅳ

ᆫ사전분포를설정하였다.

π(σ) ∝ σ^−a−1exp(−bσ), σ > 0, a > 0, b > 0.

ᄋ

ᅵ로 인해 하프 로지스틱분포의 모수의 사후분포 (posterior density function)는

π(σ|X) ∝σ^−(I+a+1)exp

"

−1 σ

( _I X

i=1

(Ri+ 1)xi:m:n+ b + B1

)#

I

Y

i=1

h 1 + exp



−xi:m:n

σ

i−(R_i+2)

B2

ᄋ

ᅪ 같다. 여기서 Case 1과 2의 경우 B1 = 0, B2 = 1이고, Case 3의 경우 B1 = R^′_d2T2, B2 =

1 + exp −^T_σ²
^−R′_d2 ᄋ

ᅵ다. 하지만, 분모의 적분이 정확하게 계산이 되지 않아, 이를 근사하여 계산하 느

ᆫ Tierney와 Kadane의근사방법을이용하여 베이지안 추정량을구하고자 한다.

ᄎ

ᅮ정하고자 하는함수를 g(σ)라고 한다면, g(σ)의 사후 평균 (posterior mean)은다음과 같이 나타낼 ᄉ

ᅮ 있다.

E[g(σ)|X] = Z

g(σ)π(σ|X)dσ = R exp[nl^∗(σ)]dσ R exp[nl⁽σ)]dσ, ᄋ

ᅧ기서, l(σ) = n¹ln π(σ|X), l^∗(σ) = l(σ) + _n¹ln g(σ), n은 관측 (obserbation)의 수와 같다. 이를 Tierney와 Kadane의근사방법을이용하여 g(σ)의 사후 평균 (posterior mean)은다음과 같이 나타낼 ᄉ

ᅮ 있다.

E[g(σ)|X] = s

ψ^∗

ψ exp[n{l^∗(ˆσ^∗) − l(ˆσ)}]

= s

ψ^∗ ψ

g(ˆσ^∗)π(ˆσ^∗|X) π(ˆσ|X) ,

ᄋ

ᅧ기서 ˆσ는 l(σ)를최대화하는값이고, ˆσ^∗는 l^∗(σ)를최대화하는값이다. 또한, ψ^∗는 l^∗(σ)를두번 미 부

ᆫ하여 역 (inverse)을한 후 ˆσ^∗를대입하여 음 (minus)의 형태를나타낸 것이고, ψ는 l(σ)를두번 미분 ᄒ

ᅡ여 역을한 후 ˆσ를대입하여 음의 형태를나타낸 것이다. 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에 ᄉ

ᅥ 하프 로지스틱분포의 경우

l(σ) =1 n

"

−(I + a + 1) ln σ −1 σ

( _I X

i=1

(Ri+ 1)xi:m:n+ b + B1

)

−

I

X

i=1

(Ri+ 2) ln

1 + exp

−xi:m:n

σ



+ ln B2

# ,

l^∗(σ) =l(σ) +1 nln σ ᄋ

ᅪ 같다. 따라서 Tierney와 Kadane의근사방법을 이용한 하프 로지스틱분포의 모수의 베이지 추정량 ᄋ

ᅳ

ᆫ다음과 같다.

ˆ σB =

s

|ψ^∗|

|ψ|

ˆ σ^I+a+1

σˆ^∗I+a exp

"( _I X

i=1

(Ri+ 1)xi:m:n+ b + B1

) 1 ˆ σ − 1

ˆ σ^∗

#

×

I

Y

i=1

 1 + exp(−xi:m:n/ˆσ) 1 + exp(−xi:m:n/ˆσ^∗)

(R_i+2)

B3, (2.5)

ᄋ

ᅧ기서 Case 1과 2의 경우 B3= 1이고, Case 3의 경우 B3=h

1+exp(−T₂/ˆσ) 1+exp(−T₂/ˆσ^∗)

iR^′_d2

ᄋ ᅵ다.

3. 모의 실험과 실제 사례

3.1. 사례분석 이

ᆯ반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 하프 로지스틱분포의 모수를추정하기 위해 제안한 최 ᄃ

ᅢ우도추정량, 근사최대우도추정량, 베이지안 추정량들을사용하여 실제 사례 자료 분석에 적용하고자 ᄒ

ᅡᆫ다. 분석에 사용된자료는 Lawless (1982) 연구에서 나타난 전기 절연장치의 고장 시간 (단위: 분) ᄌ

ᅡ료이고, 이를점진적 중도절단 상황 (m = 8, R = (1, 0 ∗ 4, 1 ∗ 3))을적용하면 다음과 같다 (Park과 Lee, 2020).

12.3, 21.8, 24.4, 28.6, 43.2, 46.9, 75.3, 95.5 ᄋ

ᅱ의 자료는 Gwag과 Lee (2018), Park과 Lee (2020)의 연구에서 하프 로지스틱분포를따르는자료라 ᄀ

ᅩ 검증하였다. 따라서 위 자료를이용하여 위 자료의 하프 로지스틱분포의 모수를추정하기 위해 먼저 이

ᆯ반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황을적용하기 위해 T1과 T2를각각 1) T1= 100, T2= 150, 2) T1= 45, T2= 100, 3) T1= 45, T2= 80와 같이 세 가지의 형태로 설정하였다.

ᄋ

ᅱ의 세 가지 경우에 대하여 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 하프 로지스틱분포의 모수 르

ᆯ추정하기 위해 제안한 최대우도추정량,근사최대우도추정량, 베이지안 추정량들을계산한 결과는다 ᄋ

ᅳ

ᆷ의 Table 3.1과 같다. 이러한 결과는 Lee (2019)가 점진적 중도절단 상황에서 추정한 결과와 유사하 ᄌ

ᅵ만 더 다양한 상황에 적용할 수 있었다.

Table 3.1 Estimates of the parameter for example

Case σ ˆ ˆ σ

ˆ σ

1) 46.75585 46.91500 38.61159 2) 52.85526 52.99448 41.93071 3) 52.90148 53.06780 45.43710

3.2. 모의 실험 이

ᆯ반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 하프 로지스틱분포의 모수를 추정하기 위해 제안 ᄒ

ᅡᆫ 최대우도추정량, 근사최대우도추정량, 베이지안 추정량들을 비교하기 위하여 평균제곱오차와 편 ᄋ

ᅴ를 몬테카를로 모의실험을 이용하여 비교하였다. 모의 실험은 1,000번 반복 시행되었고 표본의 수 르

ᆯ 20, 30, 40으로 하였고, 점진적 중도절단 상황은 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는 경우, 처 ᄋ

ᅳ

ᆷ에 점진적 중도절단이 발생하는 경우, 처음과 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는 경우를 설정 ᄒ

ᅡ였다. 또한, 점진적 중도절단 표본 수 (m), T²를 다양하게 설정하여 일반화된 조정 점진적 복 ᄒ

ᅡᆸ 중도절단 상황을 구성하였다. 그리고 우선 점진적 중도절단 표본을 생성하여 Xm:m:n < T1이 ᄆ

ᅧᆫ X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xm:m:n으로 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 자료를 구성하고, T1 <

Xm:m:n < T2이면 X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xm:m:n으로 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 자료를구성 ᄒ

ᅡ고, 마지막으로 T²< Xm:m:n이면 X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xd₂:m:n으로 일반화된조정 점진적 복합 중도 저

ᆯ단 자료를구성하였다.

ᄆ

ᅩ의실험에서 하프 로지스틱분포의 모수의 값은 모든 경우에 1로 동일하게 두었고, 베이지안 추정 ᄋ

ᅦ서 사전분포의 모수는 모두 동일하게 a = b = 0.0001로 두었다. 마지막으로 제안한 추정량들을 ᄇ

ᅵ교하기 위해서 다양한 경우의 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 평균제곱오차와 편의 르

ᆯ비교하였다. 그 결과는아래의 Table 3.2와 같다. Table 3.2에서 점진적 중도절단으로 (0*17, 2)는 (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2)를나타낸다.

Table 3.2에서 보면, 일반적으로 전체 표본의 크기가 커지면 평균제곱오차의 값이 작아지는 것을 확 ᄋ

ᅵᆫ할 수 있다. 그리고 전체 표본의 크기가 고정된상태에서, 점진적 중도절단 표본의 크기가 커지면 평 규

ᆫ제곱오차의 값이 작아지는것을 확인할 수 있다. 또한, 전체 표본의 크기와 점진적 중도절단 표본의 ᄏ

ᅳ기가 고정된상태에서, 사전에 고정시키는시간 T2이 증가할수록평균제곱오차의 값이 작아지는것을 화

ᆨ인할 수 있다.

ᄀ

ᅳ리고 최대우도추정량과근사 최대우도추정량을비교하였을때, 근사 최대우도추정량의 평균제곱오 ᄎ

ᅡ 값이 최대우도추정량의 평균제곱오차 값보다 더 작게 나타나 최대우도추정량에 비해 근사 최대우도 ᄎ

ᅮ정량이 더 우수하다는것을확인할 수 있다. 또한, 근사 최대우도추정량과 베이지안 추정량을비교하 ᄋ

ᅧ

ᆻ을때, 베이지안 추정량의 평균제곱오차 값이근사 최대우도추정량의 평균제곱오차 값보다 더 작게 나 ᄐ

ᅡ나근사 최대우도추정량에 비해 베이지안 추정량이 더 우수하다는것을확인할 수 있다.

Table 3.2 Relative MSE and bias for the MLE, approximate MLE and Bayesian estimator of the parameter ˆ

σ σ ˆ

ˆ σ

T

T

n m R MSE Bias MSE Bias MSE Bias

1.5 1.8 20 18 (0*17,2)

0.0610 0.0314 0.0608 0.0351 0.0454 0.0351 (2,0*17) 0.0705 0.0331 0.0702 0.0385 0.0448 0.0385 (1,0*16,1) 0.0646 0.0317 0.0645 0.0335 0.0445 0.0316 16 (0*15,4) 0.0685 0.0258 0.0682 0.0431 0.0615 0.0431 (4,0*15) 0.0895 0.0363 0.0886 0.0484 0.0518 0.0484 (2,0*14,2) 0.0754 0.0294 0.0752 0.0314 0.0543 0.0265 30 28 (0*27,2) 0.0360 0.0147 0.0359 0.0167 0.0291 0.0167 (2,0*27) 0.0381 0.0161 0.0380 0.0191 0.0288 0.0191 (1,0*26,1) 0.0374 0.0147 0.0374 0.0159 0.0293 0.0159 26 (0*23,6) 0.0388 0.0187 0.0383 0.0266 0.0347 0.0266 (6,0*23) 0.0449 0.0198 0.0446 0.0263 0.0329 0.0263 (3,0*22,3) 0.0407 0.0174 0.0406 0.0186 0.0330 0.0183 40 38 (0*33,6) 0.0248 0.0109 0.0245 0.0153 0.0232 0.0153 (6,0*33) 0.0286 0.0130 0.0285 0.0172 0.0228 0.0172 (3,0*32,3) 0.0267 0.0128 0.0267 0.0137 0.0228 0.0137 36 (0*31,8) 0.0286 0.0108 0.0285 0.0121 0.0245 0.0121 (8,0*31) 0.0305 0.0102 0.0304 0.0122 0.0247 0.0122 (4,0*30,4) 0.0293 0.0102 0.0293 0.0111 0.0245 0.0106 2.0 20 18 (0*17,2) 0.0559 0.0263 0.0557 0.0310 0.0453 0.0310 (2,0*17) 0.0621 0.0269 0.0617 0.0336 0.0442 0.0336 (1,0*16,1) 0.0596 0.0293 0.0595 0.0316 0.0446 0.0335 16 (0*15,4) 0.0629 0.0205 0.0635 0.0405 0.0619 0.0405 (4,0*15) 0.0756 0.0273 0.0747 0.0424 0.0505 0.0424 (2,0*14,2) 0.0694 0.0241 0.0693 0.0265 0.0530 0.0314 30 28 (0*27,2) 0.0329 0.0106 0.0327 0.0132 0.0286 0.0132 (2,0*27) 0.0351 0.0113 0.0349 0.0151 0.0286 0.0151 (1,0*26,1) 0.0344 0.0115 0.0343 0.0130 0.0288 0.0130 26 (0*23,6) 0.0339 0.0110 0.0335 0.0213 0.0334 0.0213 (6,0*23) 0.0410 0.0154 0.0406 0.0236 0.0325 0.0236 (3,0*22,3) 0.0386 0.0168 0.0385 0.0183 0.0329 0.0186 40 38 (0*33,6) 0.0236 0.0086 0.0233 0.0143 0.0232 0.0143 (6,0*33) 0.0259 0.0113 0.0258 0.0166 0.0223 0.0166 (3,0*32,3) 0.0243 0.0089 0.0243 0.0101 0.0222 0.0101 36 (0*31,8) 0.0263 0.0085 0.0262 0.0103 0.0239 0.0103 (8,0*31) 0.0280 0.0081 0.0279 0.0105 0.0241 0.0105 (4,0*30,4) 0.0278 0.0095 0.0278 0.0106 0.0244 0.0111

†

(0*17,2): (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2)

4. 결론 새

ᆼ존실험에서 조정 점진적 복합 중도절단 방법은 실험이 종료하기까지 시간이 오래 소요될 수 있다 느

ᆫ단점이 존재하여, 최근 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방법이 소개되어졌다. 따라서 본 논문 ᄋ

ᅳᆫ 일반화된조정 점진적 복합 중도절단에서 하프 로지스틱분포의 모수를추정하였다. 모수를 추정하 느

ᆫ 방법으로 최대우도추정량과 테일러 급수 전개를 이용한 근사 최대우도추정량을 사용하였다. 또한, Tierney와 Kadane의 근사적인 방법을 사용하여 베이지안 추정량을계산하였다. 그리고 다양한 일반 ᄒ

ᅪ된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 모의실험을 통하여 제안한 추정량들의 평균제곱오차와 편의 르

ᆯ 계산하여 비교하였다. 그 결과 베이지안 추정량이 평균제곱오차 측면에서 보았을때 최대우도추정 ᄅ

ᅣᆼ과근사 최대우도추정량에 비하여 더 우수하다는것을확인할 수 있었다. 본연구에서는 일반화된조 저

ᆼ 점진적 복합 중도절단 상황에서 하프 로지스틱분포의 모수를추정하는데에 그쳤지만, 추후 생존실험

ᄋ

ᅦ서 나타나는와이블 분포 (Weibull distribution), 랄리 분포 (Rayleigh distribution), 이중지수분포 (double exponential distribution)에도 적용할 수 있을것이다.

References

AL-Hussaini, E. K., Abdel-Hamid, A. H. and Hashem, A. F. (2015). One-sample Bayesian prediction inter- vals based on progressively type-II censored data from the half-logistic distribution under progressive stress model. Metrika, 78, 771-783.

Ashour, S.K. and Nassar, M. (2017). Inference for Weibull distribution under adaptive type-I progressive hybrid censored competing risks data. Commun. Stat. Theory Methods, 46, 4756-4773.

Balakrishnan, N. and Aggarwala, R. (2000). Progressive censoring: Theory, methods and applications, Birkhauser, USA, Boston.

Childs, A., Chandrasekar, B. and Balakrishnan, N. (2007). Exact likelihood inference for an exponential parameter under progressive hybrid schemes. In Statistical Models and Methods for Biomedical and Technical Systems, Birkhauser, 319-330.

Gwag, J. and Lee, K. (2019). Estimation of the scale parameter of the half logistic distribution under unified hybrid censored sample. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 29, 13-25.

Herd, R. G. (1956). Estimation of the parameters of a population from a multi-censored sample, PhD.

Thesis, Iowa State College, USA.

Kundu, D. and Joarder, A. (2006). Analysis of type II progressively hybrid censored data. Computational Statistics and Data Analysis, 50, 2509-2528.

Lawless, J. F. (1982). Statistical models and methods for lifetime data, John Wiley & Sons, New York.

Lee, H. and Lee, K. (2020). Exact likelihood inference for an exponential parameter under generalized adaptive progressive hybrid censoring. Symmetry, 12, 1149.

Lee, K. (2019). Approximate maximum product spacing estimation of half logistic distribution under pro- gressive type II censored samples. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 30, 703-711.

Lee, K. (2020). Estimation of the entropy with generalized type I hybrid censored Weibull data. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 31, 687-697.

Lee, K., Lee, C., Cho, H. and Choi, J. (2020). Estimation for Weibull distribution based on generalized adaptive progressive hybrid censored sample. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 31, 1121-1135.

Nassar, M. and Abo-Kasem, O. E. (2017). Estimation of the inverse Weibull parameters under adaptive type-II progressive hybrid censoring scheme. J. Comput. Appl. Math., 315, 228-239.

Ng, H. K. T., Kundu, D. and Chan, P. S. (2010). Statistical analysis of exponential lifetimes under an adaptive type-II progressively censoring scheme. Nav. Res. Logist., 56, 687-698.

Park, S. and Lee, K. (2020). Estimation of half logistic distribution under multiply progressive censoring.

Journal of the Korean Data & Information Science Society, 31, 839-850.

Roy, S., Roy, S., Pradhan, B., Pradhan, B., Gijo, E. V. and Gijo, E. V. (2017). Estimation of P (X < Y ) for generalized half logistic distribution based on type-II censored data. International Journal of Quality

& Reliability Management , 34, 1111-1122.

2021, 32

2)

405–416

Estimation for half-logistic distribution based on generalized adaptive progressive hybrid censored sample ^†

Subin Cho

¹

²

1Department of Statistics, Daegu University

2Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University

Received 30 December 2020, revised 18 February 2021, accepted 12 March 2021

Abstract

One of the disadvantages of the adaptive progressive hybrid censoring scheme is that the time of the experiment can be very long if units are highly reliable. Therefore, generalized adaptive progressive hybrid censoring scheme was proposed. In this article, the estimation of the parameter of half-logistic distribution based on the generalized adaptive progressive hybrid censored sample has been considered. The parameter is estimated by maximum likelihood estimator and approximate maximum likelihood es- timator using Taylor series expansion. The Bayes estimator for the parameter of the half-logistic distribution based on the squared error loss function, are also provided.

The Bayes estimators cannot be obtained explicitly, and Tierney and Kadane approx- imation is used to obtain the Bayes estimator. Simulation experiments are performed to see the effectiveness of the different estimators. Finally, a real dataset has been analyzed for illustrative purposes.

Keywords: Approximate maximum likelihood estimator, Bayes estimator, generalized adaptive progressive hybrid censoring scheme, half-logistic distribution, maximum like- lihood estimator.

†

This work was supported by the Ministry of Education of the Republic of Korea and the National Research Foundation of Korea(NRF-2019S1A5A8034216).

1

Graduate student, Department of Statistics, Daegu University, Gyeongsan 38453, Korea.

2

Corresponding author: Assistant professor, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu

University, Gyeongsan 38453, Korea. E-mail: indra [email protected]