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3차 차 차원 원 원 음 음 음향 향 향장 장 장 및 및 및 유 유 유동 동 동특 특 특성 성 성에 에 에 관 관 관한 한 한 수 수 수치 치 치해 해 해석 석 석 연 연 연구 구 구
2009년 2월
석사학위논문
- -
-N N Nu u um m me e er r ri i ic c ca a al l lA A An n na a al l ly y ys s si i is s so o of f fT T Th h hr r re e ee e eD D Di i im m me e en n ns s si i io o on n na a al l lo o of f fA A Ac c co o ou u us s st t ti i ic c cs s s a
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an n nd d dW W Wa a ak k ke e eF F Fl l lo o ow w w o o ov v ve e er r ra a aC C Ci i ir r rc c cu u ul l l a a ar r rC C Cy y yl l li i in n nd d de e er r r- - -
2 2
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3 3차 차 차원 원 원 음 음 음향 향 향장 장 장 및 및 및 유 유 유동 동 동특 특 특성 성 성에 에 에 관 관 관한 한 한 수 수 수치 치 치해 해 해석 석 석연 연 연구 구 구
지 지 지도 도 도교 교 교수 수 수 김 김 김 재 재 재 수 수 수
이 논문을 공학 석사학위신청 논문으로 제출함.
2 2
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레이놀즈 수에 따른 원형실린더 주위의
3차원 음향장 및 유동특성에 관한 수치해석 연구
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김 김태 태 태수 수 수의 의 의 석 석 석사 사 사학 학 학위 위 위 논 논 논문 문 문을 을 을 인 인 인준 준 준함 함 함
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20 0 00 0 08 8 8년 년 년 1 1 11 1 1월 월 월 2 2 27 7 7일 일 일
조 조 조 선 선 선 대 대 대 학 학 학 교 교 교 대 대 대 학 학 학 원 원 원
목 목
목 차 차 차
LIST OF FIGURES ... iii
LIST OF TABLES ... vi
NOMENCLATURE ... vii ABSTRACT ... ix 제 1장 서 론 ... 1
제 2장 지배방정식 및 변환 ... 4
제 1절 지배방정식 ... 4
제 2절 지배방정식의 좌표변환 ... 7
제 3장 수치해석 기법 ... 9
제 1 절 공간 이산화 ... 9
제 2절 기하보존법칙 ... 11
제 3절 시간 이산화 ... 13
제 4 절 인공감쇄항 ... 15
제 5절 경계 조건 ... 19
제 6 절 병렬처리기법 ... 21
제 4장 원형실린더 ... 23
제 1절 원형 실린더의 형상 및 파라미터 ... 23
제 2절 출류 경계조건과 완충영역의 영향성 검토 ... 25
제 3 절 원형실린더 유동장의 일반적 특성 ... 29
제 4절 원형실린더 유동장의 3차원 특성 ... 38
제 5 절 원형실린더의 음향장 특성 ... 44
제 5장 결 론 ... 52
참고 문헌 ... 53
L L LI I IS S ST T T O O OF F F F F FI I IG G GU U UR R RE E ES S S
Fig.3.12ndorderfinitedifferentiationInviscidFlux Vector... 12
Fig.3.24thorderfinitedifferentiationInviscidFluxVector... 12
Fig.3.3PressurecontoursatDissipationfact=2... 18
Fig.3.3PressurecontoursatDissipationfact=3 ... 18
Fig.3.3PressurecontoursatDissipationfact=5 ... 18
Fig.3.6Parallelcomputingusing OpenMP ... 21
Fig.3.7OpenMP usingperformanceimprovementfor1hour... 22
Fig.3.8OpenMP using performanceimprovementateach2node... 22
Fig.4.1Computationalgridfor 2D circularcylinder... 23
Fig.4.2Computationalgridfor3D circularcylinder... 23
Fig.4.3EffectofOutflow boundaryconditionandbufferzone... 25
Fig.4.4Pressurecontour:Pressurecontour:Calculatetheareaof20D ...26
Fig.4.510D in theback ofthecylinderpressuresignal...26
Fig.4.6Pressurecontour:Pressurecontour:Calculatetheareaof50D ...27
Fig.4.710D in theback ofthecylinderpressuresignal...27
Fig.4.8Pressurecontour:Pressurecontour:Calculatetheareaof100D ...27
Fig.4.910D in theback ofthecylinderpressuresignal...27
Fig4.10Pressurecontour:Pressurecontour:Calculatetheareaof150D ...27
Fig.4.1110D in theback ofthecylinderpressuresignal...27
Fig.4.12Pressurecontour:Pressurecontour:Calculatetheareaof200D ...28
Fig.4.1310D in theback ofthecylinderpressuresignal...28
Fig.5.1Timehistoriesofliftcoefficientandfrequency f ...29
Fig.5.2Schematicdiagram offlow ...29
Fig.5.3Relationshipbetween StandRe...30
Fig.5.4TimehistoriesofliftcoefficientatRe=300...31
Fig.5.5 TimehistoriesofliftcoefficientatRe=400...31
Fig.5.6 Time histories ofliftcoefficientatRe=600 ...31
Fig.5.7 Time histories ofliftcoefficientatRe800 ...31
Fig.5.8 Time histories ofliftcoefficientatRe=1000 ...32
Fig.5.9Relationship between and Re...33
Fig.5.10TimehistoriesofdragcoefficientatRe=300...33
Fig.5.11Timehistoriesofdrag coefficientatRe=400...33
Fig.5.12Timehistoriesofdrag coefficientatRe=600...34
Fig.5.13Timehistoriesofdrag coefficientatRe=800...34
Fig.5.14TimehistoriesofdragcoefficientatRe=1000...34
Fig.5.15RelationshipbetweenCDandRe...35
Fig.5.16Timevariation ofCD andCL...35
Fig.5.17Vortex shedding and Streamlinearound CircularcylinderatCL1 period...37
Fig.5.18Spanwisevorticitydistributioninthebaselinelocated3D downstream ofcylinder...39
Fig5.19SpanwiseextensioninfluenceonB-modevortexsheddingatRe=300...40
Fig5.20SpanwiseextensioninfluenceonB-modevortexsheddingatRe=400...40
Fig5.21SpanwiseextensioninfluenceonB-modevortexsheddingatRe=200...41
Fig5.22SpanwiseextensioninfluenceonB-modevortexsheddingatRe=800...41
Fig5.23SpanwiseextensioninfluenceonB-modevortexsheddingatRe=1000....42
Fig.5.24Spanwisewavelengthsofthe3-D instabilities ...42
Fig.5.25 3D karman vortex atRe=1000,spanwise length=πD/2 ...43
Fig.5.26 3D karman vortex atRe=1000,spanwiselength=πD ...43
Fig.5.273D karman vortex atRe=1000,spanwiselength=πD/2...43
Fig.5.28Visualizationofdipolesoundfieldatmaximum liftcoefficient...44
Fig.5.29Visualizationofdipolesoundfieldatminimum liftcoefficient...44
Fig.5.30VisualizationofdipolesoundfieldandKarman`svortex at1periodlift
coefficient...46
Fig.5.31DipolesoundfieldatRe=1000,SpanwiseLength= πD/2...48
Fig.5.32DipolesoundfieldatRe=1000,SpanwiseLength = πD ...48
Fig.5.33DipolesoundfieldatRe=1000,SpanwiseLength=2πD ...48
Fig.5.34Comparisontimehistoriesoftheacousticspressureat45°...49
Fig5.35Comparisontimehistoriesoftheacousticspressureat45°...49
Fig.5.36acousticsignalmeasurementlocation...50
Fig.5.37TimehistoriesoftheacousticspressureatRe=1000,Spanwiselength= 2πD ...50
Fig5.38TimehistoriesoftheacousticpressureatRe=1000,Spanwiselength= πD ...50
Fig.5.39TimehistoriesoftheacousticpressureatRe=1000,Spanwiselength=πD/2...51
Fig.5.40Timehistoriesoftheacousticpressureat5D ...51
Fig.5.41Timehistoriesoftheacousticpressureat10D ...51
Fig.5.42Timehistoriesoftheacousticpressureat20D ...51
L L
LI I IS S ST T T O O OF F F T T TA A AB B BL L LE E ES S S
Table 3.1 Comparison of the St at different Dissipation fact and experiment study .... 18 Table. 4.1 Numerical condition of each case ... 24 Table. 5.1 Relationship between St and Re
N N NO O OM M ME E EN N NC C CL L LA A AT T TU U UR R RE E E
Speed of sound
Drag coefficient
Lift coefficient
Pressure coefficient
Total energy,
Frequency in Hz
M Mach number
Static Pressure
Heat flux
Reynolds number, ∞∞∞
Spanwise wavelength St Strouhal number
time
Temperature
Freestream Velocity
Velocity component
Normalized cartesian coordinates,
Dimensional cartesian coordinates
Greek Symbols
Specific heat ratio, 1.4
Viscosity
Density
Reynolds stress
Subscripts
∞ Freestream condition
Viscosity
ABSTRACT
by Kim, Tae-Su
Advisor : Prof. Kim, Jae-Soo, Ph. D.
Department of Aerospace Engineering, Graduate School of Chosun University
Itisimportantforunderstand oftheflow around thevehicle,alsoithasbeen studied by many people.In particular,the flow around a circular cylinder has various flow character and it has difference flow characteristics by Reynolds number.In thepastflow aroundthecircularcylinderstarttheKarnman vortex,it generated between the critical Reynolds number(re=47) to 180,and show the 2-dimensionalflow.The Karman Vortex change to 3-dimensionalflow when the Reynoldsnumbersarebiggerthan180
In thispaper,study aboutflow & acousticwavearound circularcylinderwith OHOC Schemeandahighorderandhighresolutionnumericaltechniquealsoused.
The past flow around the circular cylinder has many kinds of flow characteristics,such as2 kinds of3d flow mode,B-mode,also reynolds number and spanwise length characteristics by Strouhalnumber,liftand drag coefficient are calculated and flow characteristics comparison with numerical study and experiment.Afterthatfitness 2nd vortex in B-mode unstable regime verify the spanwiselength.
This paper research the basic aero-acoustic around the 3-d circular cylinder by flow field and past flow effect aero-acoustic filed's change.
제 제
제 1 1 1장 장 장 서 서 서 론 론 론
항공기,자동차,선박 주위의 비정상운동에서 발생하는 공력소음과 진동은 운송체의 성능 저하 및 불안정성을 초래한다.뭉툭한 물체 주위의 유동에 대한 연구는 이러한 실제 운송체 주위 유동을 이해하는데 가장 기본이 되는 연구로서 오래전부터 많은 연 구가 이루어 졌다.특히 원형 실린더 주위 유동은 실린더 벽면의 경계층 유동,경계층 유동박리,층류와 난류유동,전단층과 전단층의 박리유동,와류와 와류 쉐이딩 등,다양 한 유동형태가 존재하고,Reynolds수와 Strouhal수로 특성화 되어있다[1].
원형 실린더 후류에서는 매우 낮은 Reynolds수의 경우,위 아래가 대칭인 정상상 태 유동이 발달하게 되고,임계 Reynolds수(Re≈47)로부터 약 190이하의 Reynolds 수에 범위에서 Karman와류가 형성되기 시작하고,2차원적인 유동구조를 보인다.Reynolds 수가 약 190이상이 되면서 원형실린더 후류유동의 구조는 3차원적으로 변하게 된다.
실린더 주위의 유동에 대한 3차원 천이영역 연구로는 Roshko[2]가 속도 섭동 (velocityfluctuations),분광(spectra),그리고 주파수 측정결과를 토대를 150≤Re≤300 일 때와 Re>300이상일 때 Reynolds와 Strouhal수의 관계가 불규칙성이 나타나는 것 을 언급한 이래로 3차원 원형 실린더 후류에 관한 많은 연구가 이루어 졌다.
근래에 Williamson등은 3차원 천이과정은 Re=178일 때와 230<Re<260일 때 Strouhal수 와 Reynolds수 관계가 불연속적인 특성을 갖는다는 것을 확인하였다[3~6].실린더 후류 의 3차원 와류의 구조는 180<Re<230근처에서 2차 와류의 스팬 방향 파장이 실린더 직경 의 약 4배에 해당하는 크기로 형성되는 A-mode불안정성이 나타난다.또한 230<Re<260 이상에서 2차 와류의 파장의 길이가 실린더 직경에 해당하는 크기로 형성되는 B-mode 불안정성이 나타난다.
3차원 불안정성을 갖는 A-mode와 B-mode에서는 Reynolds와 Strouhal수 관계는 뚜렷한 차이를 찾아볼 수 있다.A-mode에서 Strouhal수는 2차원적인 유동구조의 Strouhal수에서 Reynolds수가 커짐에 따라 불연속적인 감소를 나타내고,B-mode영 역에서는 A-mode영역의 Strouhal수로부터 B-mode에 해당하는 Strouhal수로 불연 속적인 증가를 보인다[7].
Noack& Eckelmann[8]은 이 두 가지 불안정성에 대하여 임계 Reynolds수와 스팬 방향 파장에 대하여 안정성 해석을 도입하였고,이후 Barkley & Henderson[9]의 Floquet안정성 해석에 의해 각 mode가 발생하기 시작하는 임계 Reynolds수와 최대
성장률을 보이는 스팬 방향 파장을 구하고 실험치와 잘 일치함을 보였다.
최근에는 3차원 천이 영역에 대해 Zhang[10],Thompson[11]등이 3차원 수치해석을 시작 하였으며,Braza[12],Labbe[13]등에 의해 연구가 진행되어,실험에서 발견되었던 A-mode,B-mode및 와류 전위 등이 수치적으로도 확인되었다.Norberg[14]는 현재까 지의 원형 실린더 유동에 대한 이론적,실험적 및 수치적 연구결과를 종합하여 Reynolds수 영역에 따른 유동특성을 분석하였다.여기에서 Norberg는 3차원 불안정 성에 의한 Reynolds수 와 Strouhal수의 관계,임계 Reynolds수 및 축방향의 파장 등 많은 부분이 밝혀졌지만 각 mode의 정확한 발생 메커니즘, 이 영역에서의 Reynolds수에 따른 양력 및 항력의 변화 등 아직까지 실험과 수치해석 결과 사이에 다양한 부분에서 상이한 결과가 얻어지고 있음을 보여주었다.
저 마하수 유동이 원형 실린더를 지날 때 Reynolds수의 변화에 따른 유동 특성의 변화는 소음 특성의 변화에도 영향을 보이게 된다[15].또한 음파에 의한 충격파의 비 정상적인 진동은 유동과 음향간의 상호작용을 함으로써 발생한다.유체 소음의 음파에 의한 압력변동은 유체의 압력변동에 비해서 미약할 정도로 매우 작으며,이 때문에 고 정도의 계산 기법이 필요하다.또한 음파는 음속에서 전파하기 때문에 이러한 현상을 해석하기 위해서는 매우 큰 계산영역이 필요할 뿐만 아니라,실험결과나 원거리 흐름 에 대한 이론과 비교하기 위해서도 넓은 계산영역이 요구되기 때문에 이러한 흐름 현 상을 해석하기 위한 계산기기에 요구되는 부하도 매우 크게 증가한다.
과거에는 연속 방정식과 선형화된 비점성 운동량 방정식으로부터 유도되는 Wave Eq.이나, 유동에 의해 발생하는 소리를 수학적,물리적으로 이해 가능하게 하는 음향 상사 방정식인 Lighthill`sEq.이나 Lighthill`sEq.에서 경계면이 움직이는 경우로 확장 시킨 형태의 FfocwsWilliams-Hawking Eq.그리고 Phillips나 Lilley 방정식 등을 통 한 이론적이고 해석적인 방법으로 이러한 문제들을 해결 하였다.하지만 최근 병렬처 리 기법 등 컴퓨터 관련 기술이 비약적으로 발달함으로써 전산공력음향을 이용하여 유 동과 음향간의 상호 간섭 작용을 직접 모사 할 수 있게 되었다.
전산공력음향학에서는 선형화된 Euler 방정식을 사용하여 유동장에서의 음향장을 해석하는 방법과 비선형 방정식을 가정 없이 Euler나 Navier-Stokes방정식을 사용 하여 해석하는 두 가지 방법이 있다.최근에 들어서 Kim & Lee[16]는 OHOC 기법과 4th-orderRunge-Kutta기법,특성치 경계조건 등을 이용하여 2차원 원형 실린더 해석 을 통해서 와류 생성 매커니즘과 소음 방사를 계산하고,시간에 따른 양력,항력계수와
원음장에서의 공력소음을 분석하였다.
본 논문에서는 비정상,압축성 3차원 Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS)을 지배방정식으로 하여, 공간 차분법과 시간차분법으로 OHOC Scheme[17], 4th-orderRunge-KuttaScheme을 이용하여 수치계산을 수행하였다.또한 고차․고해상 도 기법에서 수치적으로 불안정을 유발하는 비선형 불연속파를 해결하기 위하여 Kim&Lee[18]가 제안한 인공감쇄모형인 ANAD Scheme사용하여 수치적 불안정성을 제거하였다.입류 경계조건으로는 자유유동 조건과 음파의 반사를 제거하기 위해 압력 에 대한 외삽조건을 사용하고,출류조건으로는 대류 경계조건을 사용하였고,특히 벽면 에서 반사파를 억제하기 위해서 넓은 수치계산영역을 설정하고 원방 경계영역에서 성 근격자(coarsegrid)를 사용하였다.또한 장시간의 계산 시간과 대용량의 메모리를 요 구하는 고해상도 수치기법의 계산을 위하여 병렬처리 방법 중 OpenMP 방법을 이용하 여 계산을 수행하였다.
수치해석 범위로 원형 실린더의 후류가 3차원 불안정성 보이는 Reynolds수 범위 중 B-mode형태의 유동 구조를 보이는 Reynolds수 300～1000범위에서 스팬 방향의 길이
를 로 수치해석을 수행하였다.이를 통해서 Reynolds수와 스팬방향의 길
이에 변화에 따른 Strouhal수와 양․항력계수의 상관관계에 대해 Williamson[19], Henderson[9]등의 연구 결과의 유동 특성 검증하였다.
또한 각 계산에서 2차 와류의 구조의 변화를 고찰을 통해서 3차원 원형 실린더의 B-mode형태의 유동 영역에서 보다 정확한 2차 와류 모사를 위한 최적의 스팬방향 길이를 찾고,3차원 원형 실린더의 유동특성의 실험 결과와 가장한 유사한 값을 가지 는 수치해석 조건의 결과를 토대로 하여 원형 실린더의 소음 특성을 정성적으로 분석 하였다.
제 제
제 2 2 2장 장 장 지 지 지배 배 배방 방 방정 정 정식 식 식 및 및 및 변 변 변환 환 환
제 제 제 1 1 1절 절 절 지 지 지배 배 배방 방 방정 정 정식 식 식
11
1...333차차차원원원 비비비정정정상상상 압압압축축축성성성 NNNaaavvviiieeerrr---SSStttoookkkeeesssEEEqqquuuaaatttiiiooonnnsss
유체의 지배방정식을 무차원화 할 경우,기하학적으로 유사한 상황에서 동역학적으 로 유사성을 얻을 수 있으며,마하수나 Reynolds수와 같은 무차원수로써 유동의 상사 성을 판단할 수 있고,변수의 크기를 표준화함으로써 반복 연산에 따른 정확도의 감소 를 막을 수 있다.무차원화에는 여러 가지 방법이 있으나 본 연구에서는 다음과 같은 무차원화 방법을 사용하였다.
,
,
∞
,
∞
,
∞
,
∞
∞,
∞
,
∞
∞
,
∞
∞
∞
,
L은 무차원화를 위한 특성길이,첨자∞는 자유흐름조건을 나타내며 이후 편의를 위 해 무차원 변수를 뜻하는 기호 *는 생략하고 지배방정식을 정리하면 무차원화된 3차원 Navier-Stokes방정식은 다음과 같다.
(2-1)
(2-2) 여기서 는 무차원 보존형의 유량함수벡터(ConservativeFlow VariableVector)를 나타내며 는 각각 방향의 비점성 유속벡터(Inviscid Flux Vector)를 나타낸다.
유동변수벡터와 각 유속벡터들은 다음과 같은 식으로 정의된다.
(2-3)
(2-4)
(2-5)
는 각각 밀도,방향의 속도성분,압력,총 에너지(TotalEnergy)를 의미 하며 이상기체(공기의 경우: )에서 총에너지와 총 엔탈비의 관계식은 식(2-4)과 같 다.
,
(2-6)점성유속벡터에서 점성응력텐서
τ
는 Newtonian 유체의 가정에 따라 다음과 같이 정의되며,와 는 점성계수로 두 계수의 관계는 열적평형상태(ThermalEquilibrium) 에서 Stokes가정에 따라 다음과 같이 나타낸다. →
(2-7)
,
,
(2-8)
,
(2-9)이상기체 상태방정식을 이용하여 압력 와 열유속 의 정의는 다음과 같다.
(2-10)
여기서 는 열전달 계수,는 Prantle계수를 나타낸다.
제 제 제 2 2 2절 절 절 지 지 지배 배 배방 방 방정 정 정식 식 식의 의 의 좌 좌 좌표 표 표변 변 변환 환 환
수치해석 기법의 효율성과 경계조건의 적용을 간단히 하기위하여 지배방정식의 직
교좌표계 에서 일반좌표계 로 변환하였다.이때 직교좌표계에서의 독립변
수가 일반좌표계에서도 유지되도록 변환을 정할 수 있고,이와 같은 변환을 통하여 보 존법칙이 그대로 유지될 수 있다.주어진 직교좌표계의 물리영역을 다음과 같은 변환 을 통하여 계산영역으로 변환하였다.
(2-11)위의 좌표변환에 대하여 metric항들을 Chain rule에 의하여 전개하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
,
,
,
,
(2-12)
,
,
(2-13)좌표변환을 해서 얻어진 지배 방정식은 다음과 같다.
(2-14)
(2-15)
보존량 와 플러스벡터 는 다음과 같다.
(2-16)
제
제 제 3 3 3장 장 장 수 수 수치 치 치해 해 해석 석 석기 기 기법 법 법
제 제 제 1 1 1절 절 절 공 공 공간 간 간 이 이 이산 산 산화 화 화
11
1...고고고차차차․․․고고고해해해상상상도도도 집집집적적적유유유한한한차차차분분분법법법
7-pointstencil을 갖는 중앙 직접유한차분법(CompactFiniteDifferenceScheme)은 다음과 같다.
′
′
′
′
′
(3-1)여기서 는 유동 변수 같은 목적 함수이고 는 일차의 정확도를 가지고 있는 미분 계수 값을 나타낸다. 는 차분법 계수 값을 의미한다.직접유한차분법의 차분형식 은 ≠ 이거나 ≠ ≠ 인경우로 주변의 여러 점을 고려하여 미분하는 방식 이므로 삼각(Tridiagonal)또는 오각(Pentadiagonal)행렬을 이용하여 각 점들의 미분값 을 구할 수 있다.중앙차분법만을 이용하게 되면 절단오차(TruncationError)와 위상오 차(Phase Error)를 갖게 된다. 이러한 오차 값을 최소화하기 위해서는 Fourier Analysis를 통한 계수 값을 이끌어 낸다.본 연구에서는 J.W.Kim & D.J.Lee 가 제안한 Optimized High-OrderCompactScheme를 이용하였다.OHOC scheme을 사용할 때 각 노드에 사용되는 계수와 경계면에서 사용되는 식은 다음과 같다.
′
′
′
≠
(3-2)
′
′
′
′
≠
(3-3)
′
′
′
′
′
≠
(3-4)식(3-1)의 차분 계수값
,
,
식(3-2)의 차분 계수값
,
,
식(3-3)의 차분 계수값
,
,
,
식(3-4)의 차분 계수값
,
,
,
,
제 제 제 2 2 2절 절 절 기 기 기하 하 하보 보 보존 존 존법 법 법칙 칙 칙
Navier-Stokes방정식을 고차,고해상도의 수치기법을 이용하여 정확하게 해석하기 위해서는 격자계에 대한 값이 정확해야 한다.공간에 대해서 4차의 중앙 직접유한 차 분법을 적용하기 위해서는 flux내의 metric값도 4차의 정확도가 필요하다.격자계의 품 질에 따라서 flux내의 metric값의 변화를 알아보기 위하여 2차 정확도의 미분과 4차 의 정확도로 미분값으로 계산을 해보았다.격자계의 품질이 좋을 경우 미분 정확도에 영향을 받지 않지만,격자계의 품질이 좋지 않을 경우, Fig 3.1과 Fig 3.2에서 볼 수 있듯이 미분정확도에 따른 격자계 오차값이 수치 계산에 미치는 영향이 상당히 큼을 알 수 있다.직교좌표계 에서의 지배방정식을 일반좌표계로 표현할 때 다 음과 같이 나타낼 수 있다.
(3-5)
(3-6)
(3-7)2차원 경우에서보다 3차원의 경우 오차가 증가하고 이러한 오차는 해가 발산하게 되므로 음향해석에 있어 불안정성을 가져오게 된다.식(3-7,8,9)을 소거하지 않고 원천 항으로 이항하면 보정된 값을 갖는 Navier-Stokes방정식을 얻을 수 있다
(3-8)
(3-9)
Fig.3.12ndorderfinitedifferentiation
InviscidFluxVector Fig.3.24thorderfinitedifferentiation InviscidFluxVector
제 제 제 3 3 3절 절 절 시 시 시간 간 간 이 이 이산 산 산화 화 화
시간 적분법으로는 외재적(explicit)방법과 내재적(implicit)방법으로 분류할 수 있 다.외재적 방법은 알고리즘이 비교적 간단하고 적은 기억용량을 요구하는 장점이 있 어서 비교적 단순한 문제나 비정렬 격자와 같이 데이터 구조가 복잡한 문제의 경우에 편리하게 사용할 수 있는 방법이다.또한 적용이 용이하고 계산시간이 짧은 장점이 있 는 반면에 안정성이 높지 않으므로 계산 시간 간격을 크게 할 수 없어 반복계산이 많 아지고 CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)수가 작은 경우에만 사용이 가능한 단점이 있다.
내재적 방법은 많은 메모리 요구와 복잡한 알고리즘이 필요한 단점이 있어 수치계 산에 적용하기 어려운 점이 있지만 외재적 기법보다 안정성이 좋아 시간간격을 크게 할 수 있는 장점이 있다.정상유동문제의 수치해를 구하는 경우 수렴성을 좋게 하기위 하여 각 격자에서 최적의 시간간격으로 시간진행을 할 수 있지만,비정상 유동문제의 경우에는 모든 격자에 동일한 시간간격을 적용함으로써 시간에 따른 비정상해를 구하 게 된다.
본 연구의 공간차분법인 집적유한차분법은 고차-고해상도의 높은 정확도를 지니고 있기 때문에 궁극적으로 얻는 수치해의 효용성을 고려할 때 함께 이용되는 시간적분법 역시 그에 맞는 고차-고해상도의 정확도를 가져야 한다.그 방법 중 하나가 외재적 방 법으로 4thorderRunge-Kutta법이며,이는 여러회에 걸쳐 시간 미분항의 예상-보정 과정을 통해 다음 단계의 함수값을 계산하는 방법이다.지배방정식을 차분화후 정리를 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(3-10)각각 i번째 격자에 대한 는 격자의 넓이이고,
는 잔류치를 나타낸다.Runge-Kutta의 외재적 시간 적분법은 다음의 식으로 정리가 된다.
∆
,
∆
(3-11)
∆
,
∆
제 제 제 4 4 4절 절 절 인 인 인공 공 공감 감 감쇄 쇄 쇄항 항 항
전산공력음향학(CAA)해석을 위한 수치 해석 기법은 시간과 공간에 대해서 높은 해상도와 dissipation오차와 dispersion오차의 최소화를 요구한다.그러므로 일반적인 CFD 해석에 많이 사용되고 있는 인공감쇄항과 다른 전산공력음향학에 적합한 새로운 인공 감쇄항을 사용해야 한다.현재 인공감쇄항으로 많이 사용하고 있는 인공감쇄항 중 Tam[20]이 개발한 Artificialselectivedamping모델과 Jameson[21]이 개발한 모델 이 있지만 본 연구에서는 두 가지 모델의 장점을 살려서 개발한 Kim&Lee[18]가 제안 한 Adaptivenonlinearartificialdissipationmodel을 사용하였다.이 모델의 특징은 낮 은 파동수 성분의 감쇄가 억제되어 선형파에 대해 영향을 거의 미치지 않고 contact surface에 대한 해상도가 높고 특히 충격파 근처의 수치적인 진동을 효과적으로 제어 할 수 있는 장점이 있다. 3차원 일반좌표계에서 인공감쇄항은 다음과 같다.
(3-12)
(3-13) 는 각각 방향의 ANAD 항이다.
∆
(3-14) 여기서 인공감쇄항은
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
− +
− +
− +
−
=
− +
− +
+ + + + +
+ +
k j i k j i k
j i k j i k
j i k j k i
j i
k j i k j k i j i k j i
stencil i
i
Q Q
b Q
Q b Q Q
b
Q J Q
d
, , 2 , , 3 3 , , 1 , , 2 2 , , , , 1 1 ) 4 (
, 2, 1
, , , , 1 )
2 (
, 2, 1 , 2, 1 2 1
2
ˆ 1
ε λ ε
(3-15) 3차원 stencil의 고유값은 다음과 같이 구해진다.
(3-16)
(3-17)중간 노드 포인트에서의 Jacobian은 다음과 같이 산술적으로 구해진다.
(3-18)
또한,유동의 변화량을 대표하는 shockdetector와 2차 및 4차의 계수는 다음과 같 이 구해진다.
(3-19)
(3-20)
유동의 조건과 격자의 상태에 따라 자동적으로 전체계수의 양을 결정하는 적응제어 상수는 다음과 같다.
(3-21)
,
,
,
,
,
ANAD기법은 유동의 조건에 따라서 2차와 4차의 인공감쇄항 계수가 자동으로 부여 되어야 하나,벽면 경계조건을 특성치 경계조건이 아닌 외삽조건을 취함으로써 벽면 주위에 수치적 진동을 유발시키게 된다.이러한 진동을 억제하기 위해서 인공 점성항 을 적절하게 보정해주어야 한다.Fig3.3은 유동조건이 M=0.3,Re=400일 때,Dissipation Fact=2일 때의 등압선도를 나타낸 것이다.실린더 주위의 등압선도는 수치적 진동이 포함되어져 있는 것을 확인 할 수 있고,와류는 이러한 진동으로 인해 정확하게 모사 되지 않고 있다.Fig 3.4,5는 동일한 유동 조건에서 Dissipation Fact=3,5로 하였을 경우 이다.실린더 주위의 와류의 모사는 잘 되고 있는 것을 확인 할 수 있다.그러나 Table3.1을 통해서 와류의 쉐이딩 정도를 나타내는 Strouhal수를 실험결과와 비교해 보면,Dissipation Fact=5 일 때는 Dissipation Fact=3일 때에 비해 Willimason과 Leweke의 실험결과와 상이한 결과를 얻는다.
이것은 인공점성항의 영향이 쉐이딩 정도를 대변하는 Strouhal수에 영향을 주는 것 으로 사료 되며,Reynolds수에 적절한 Dissipation Fact적용함으로서 이러한 문제점 을 해결할 수 있다.
Fig.3.3Pressurecontoursat
Dissipationfact=2 Fig.3.4Pressurecontoursat Dissipationfact=3
Fig.3.5Pressurecontoursat Dissipationfact=5
St
Williamson 0.20408
Leweke 0.19528
Dissipationfact=2 - Dissipationfact=3 0.19341 Dissipationfact=5 0.18435 Table3.1ComparisonoftheStat
differentDissipationfactand experimentstudy
제 제 제 5 5 5절 절 절 경 경 경계 계 계 조 조 조건 건 건
대부분의 고차․고해상도 기법을 사용하는 아음속 연구에서 경계조건으로 특성치를 이용하여 경계에서 비물리적인 반사를 억제한다.그러나 이러한 특성치 경계조건을 사 용함에도 불구하고,비 물리적인 반사를 충분히 억제하지 못하였다.따라서 본 연구에 서는 수치적 소산에 의해 비물리적인 반사를 억제하는 방법을 적용하였다.이를 위해 계산 영역외에 완충영역(bufferzone)을 넓게 사용하고,원방 경계영역까지 성근 격자 계 (coarsegrid)로 처리해서 비물리적인 반사파의 수치적 소산을 유도해서 이러한 비 물리적인 반사파로 인한 해의 불안정성을 억제하였다.
1 1
1...벽벽벽면면면 경경경계계계조조조건건건
벽면 조건은 벽면 경계조건은 점착조건을 사용하고 외삽(extrapolation)을 하여 계산 을 하였다.
2 2
2...아아아음음음속속속 입입입류류류 경경경계계계조조조건건건
실린더의 입류 경계조건으로는 자유 유동 조건과 비물리적인 반사파의 반사를 막기 위하여 압력에 대한 외삽을 하고 및 그 외의 항에 대해 대류 조건 을 사용하였다.
,
,
3 3
3...아아아음음음속속속 출출출류류류 경경경계계계조조조건건건
원형 실린더로부터 생성된 와류와 음파는 계산영역의 경계에 도달하면서 비물리적 인 반사를 일으키게 되고 계산영역에 영향을 주게 된다.본 연구에서는 아래와 같은 일반화된 출류 경계조건을 적용하고,성근 격자계를 이용해서 와류와 음파가 완충영역 을 지날 때 수치적인 소산에 의해서 자유유동이 되어 출류경계에 도달하였을 때 비물 리적인 반사를 일으키지 않도록 설정하였습니다.
,
,
,
제 제 제 6 6 6절 절 절 병 병 병렬 렬 렬처 처 처리 리 리기 기 기법 법 법
공력 음향 해석을 하기 위해서는 고차․고해상도 기법을 사용함으로써 많은 격자계 와 장시간 계산을 하게 된다.특히 고차의 공간 차분화를 수행하기 때문에 이를 해결 하기 위해서는 반드시 코드의 병렬화가 필요하다.최근 사용되는 병렬처리 기법으로는 공유메모리를 이용하고 상대적으로 쉽게 프로그램을 작성 할 수 있는 OpenMP 와 분 산메모리에서 사용 할 수 있는 MPI(MessagePassingInterface)그리고 이 두 가지의 방법을 결합시킨 하이브리드 병렬 방법(ClusterOpenMP)등이 있다.
각 프로세스마다 독립된 메모리를 가지고 프로세서 사이에 통신을 하는 MPI (MessagePassing Interface)을 이용할 경우,공간 차분화를 위해 Penta-Diagonal행 렬을 풀어야 하므로 프로세스 간의 자료전달을 위해서는 각 프로세스마다 정보를 받아 야 하므로 통신량의 급격히 증가로 인한 통신 부하를 가져오게 되고 전체적인 처리속 도를 감소하게 되는 결과를 가져 오게 된다.
OpenMp는 스레드(thread)를 기반으로 하는 공유메모리 프로그래밍 모델이며 기존 의 코드에 지시어만 간단하게 삽입함으로서 프로그램을 작성할 수 있다.대부분의 수 치해석 문제들은 순환문 (Loop)에서 많은 시간의 계산 시간을 소비하게 된다.이러한 점을 착안하여 순환문을 여러 개의 CPU에 분산 처리를 함으로써 프로그램의 계산시 간을 단축시킬 수 있는 병렬처리 기법 중 한 가지이다.각 프로세서에서 데이터 통신 을 하는 과정은 Fig.3.6과 같다.병렬화를 전에 Serial코드에서 반복문에 의한 Cache miss등을 줄임으로써 코드의 최적화가 필요하다.이는 계산 속도에 상당한 영향을 주 는 인자로 작용한다.
Fig.3.6ParallelcomputingusingOpenMP
본 연구에서는 KIST 슈퍼컴퓨팅센터의 Gaia에서 OpenMP 방법을 이용하여 처리속 도와 효율성을 검토해보았다.이때의 유동 조건은 Re=1000,M=0.3이고,격자수는 1,700,460개의 격자를 이용하였다.Fig.3.7은 OpenMP 방법으로 계산을 수행 했을 경 우에 1시간 동안의 총 Iteration 수를 나타낸 것이다.Thread 수가 증가 할수록 Iteration 수의 증가는 나타나고 있으나,데이터 통신량이 가장 많을 것으로 추측되는 공간 차분화의 영향으로 Thread가 증가 할수록 각 Thread가 계산을 수행하는 Iteration수가 감소하는 것을 Fig.3.8을 통해서 볼 수 있다.이러한 결과를 토대로 최 적의 Thread 수를 살펴보면 Thread 수가 2개가 발휘하는 성능을 기준으로 볼 때 Thread 수가 8개일 때 가 Thread가 2개가 발휘하는 성능에 비해 성능감소가 최소이 면서 Iteration수가 가장 증대되는 것을 볼 수 있다.
Fig. 3.7 OpenMP using performance improvement for 1 hour
Fig. 3.8 OpenMP using performance improvement at each 2 node
