함수

1

함수

2

(정의 1) 에서 로의 함수(function)

⇔

다음의 두 성질을 만족하는 에서 로의 관계 가 (a) 모든 에 대해

(b) ⇒

함수 다양한 방법으로 정의됨

관계의 일종으로 함수를 정의함

A B

A B F

 A

 (, y')F F

y) ,

( (, y')F

y  y '

3

A B

함수관계 (○)

A B

함수관계 (○)

4

A B

함수관계 (X)

A B

함수관계 (X)

5

함수의 표기

에서 로의 함수

에서의 함수값

A

B f  :f A  B

x x f y

F y

x, ) ( ),

(   

f (x )

• 집합 를 함수 에 대한 정의역(domain)

• 집합 를 함수 의 공역(co-domain)

• 함수 의 치역 ⇔

f

A

B

f

f f ( A )  { f ( x ) x  A }

6

1. : → 이라고 할 때 다음 함수 의 치역을 구하라.

(1) 2 2 (2) 3 2

(3)

2. 어느 자동차 영업소 사원의 월급은 판매실적 에 따

라 80 20 (단위: 만 원)의 함수에 의해 결정

된다고 한다. 10 , 25 를 구하라.

7

함수의 종류

• 일변수함수: 독립변수가 한 개인 함수

• 다변수함수: 독립변수가 두 개 이상인 함수 (예)

• 다항함수: 형태의 함수

• 유리함수: 형태의 함수

(단, 와 는 다항함수, )

• 증가(감소)함수:

일 때 인 함수

• 강증가(감소)함수:

일 때 인 함수

일 때,

☞ 를 독립변수, 를 종속변수

) f (x y 

x ^y

)) , ( (

, 2

)

(x x₁ x₁x₂ x₂² x x₁ x₂

f    

n nx a x

a a

x

f ( )  0  1  )

( / )

(x g x f

) (x

f g(x) g(x)  0

2

1

x

x 

2

1

x

x 

) ( )

(x₁ f x₂

f 

) ( )

(x₁ f x₂

f 

8

(정의 2)

(a) 함수의 덧셈:

임의의 에 대해

(b) 함수와 상수의 곱셈:

임의의 상수 에 대해 (c) 의 정의:

, 즉, (d) 함수와 함수의 뺄셈:

, 즉, (e) 함수와 함수의 곱셈:

(f) 함수와 함수의 나눗셈:

일 경우 함수의 연산

A

x 

cf

x

cf

x

) )(

) 1 ((

) )(

(_

f x

f x

) ( )

( )

)(

( f  g x  f x  g x )

( ) ( )

)(

( f  g x  f x  g x

) ))(

( (

) )(

( f  g x  f  g x

) ( )

)(

( f x   f x

0 )

( x 

g

 f

9

3. 두 함수 : → , : → 이 다음과 같이 정의되어 있다.

3 2, 2 3

(1) , 3 , , · 를 구하고

1에서의 함수 값을 각각 계산하라.

(2) , 를 구하고 0에서의 함수값

을 각각 계산하라.

(3) 위의 (2)에서 구한 함수들의 정의역은 그대로

로 유지될 수 있는가?

10

(예)

(정의 3) 에

f g

C B

g B A

f :  , : 

)) ( ( )

)(

(

g f x

g f x

 

x x g x

x

f 2

) ( ,

2 3

)

(   　 

2 2)

( 3 )

)(

(  



f

g x x

11

4. 3 2, 일 때 다음을 구하라.

(1) ∘ (2) ∘

(3) ∘ (4) ∘

(5) ∘ 1

12

라고 하자.

(a) 가 를 의미

⇔ 가 에서 로의 1대 1 혹은 단사함수 (b)

⇔ 가 에서 로의 전사함수

(c) 가 에서 로의 단사함수이면서 동시에 전사함수

⇔ 가 에서 로의 쌍사함수

또는 1대 1 대응관계(one-to-one correspondence) (정의 3)

B A

f  

) ( )

(x₁ f x₂

f 

x

 x

B A

f ( ) 

f A B

f A B

f A B

f A B

13

(그림 2) 전사함수와 단사함수

A B 전사함수

14

(그림 2) 전사함수와 단사함수

A B 단사함수

15

(그림 2) 전사함수와 단사함수

A B 쌍사함수

16

(정리 1) 단사함수를 위한 충분조건 , 강증가(감소)함수

⇒ 는 단사함수 (정의 4) 역함수의 정의

가 쌍사함수일 때 가 의 역함수

⇔ 이면

(정리 2) 의 역함수가 일 때 (a) 임의의 에 대해

(b) 임의의 에 대해

R R

f : 

f

B A

f :  f ^1 :B  A f

y x

f ( )  _f ^1_{(y)  x} f

f ^1)^1  (

B A

f :  ^{f 1}

A x 

B y 

x x

f

f

)( ) _ (



y y

f

f

17

5. ^{: →} 일 때 다음은 어떤 함수인가를 판별하라.

(1) 2 1 (2)

(3) (4) 2

6. 다음 각 함수의 역함수가 존재하도록 정의역과 공역 을 설정하고 역함수를 구하라.

(1) 2 (2)

(3) 0