응용확률론, 2019년 2학기 중간고사 (2019/10/24)
※ 다음 문제들에 대한 풀이과정과 답을 쓰시오.
1. (15점) 서로 독립인 연속형 확률변수 와 에 대하여 의 pdf는 다음과 같다;
∞∞ ;단, 의 pdf & 의 pdf.
이것을 이용(증명할 필요없음)하여, 서로 독립인 세 개의 연속형 확률변수 , , 가 각각
을 따를 때 확률변수 의 pdf를 구하시오.
2. (15점) 총 명의 모집단에서, 명은 어떤 의견에 찬성하지만, 나머지 명은 그 의 견에 반대한다; 단, . 이런 모집단에서 명의 표본을 뽑을 때, 표본에서 찬성하는 사 람의 수를 라고 하자.
(1) 확률변수 를 적절한 베르누이 확률변수들의 합으로 표현하시오.
(2) 문제(1)을 이용하여 를 구하시오.
3. (15점) 개의 서로 다른 종류(타입)의 쿠폰들이 있다. 이 쿠폰들은 어떤 아이스크림을 한 개 구입할 때마다 1개씩 얻을 수 있으며, 타입의 쿠폰을 얻을 확률은 ⋯ 이다;
단, ∑ . 아이스크림을 개 구입할 경우, 얻게 되는 서로 다른 타입의 쿠폰 수를 라 고 할 때 를 구하시오.
4. (20점) 어떤 광부가 3개의 문이 있는 광산에 갇혔다고 하자. 첫 번째 문과 두 번째 문은 각각 3시간 및 4시간 걸려서 다시 최초 지점으로 다시 돌아오는 길로 연결되어 있고, 세 번째 문은 5시간 걸려서 탈출할 수 있는 문이다. 광부가 3개의 문 중 어느 하나를 선택할 확률은 항상 1/3이라고 하자. 탈출할 때까지 선택한 문의 총 회수를 , 번째 선택에서 걸린 시간을
≥ , 탈출할 때까지 걸린 총 시간을 라고 할 때 다음 물음에 답하시오.
(1) 확률변수 의 평균과 분산을 유도하시오.
(2) 를 과 들로 표현하고, 이 관계식을 이용하여 을 구하시오.
중간고사 평가항목
1. 두 개 이상의 확률변수에 대하여 convolution 공식을 사용할 수 있는가?
2. 초기하분포에 대하여 체계적인 방법으로 접근하여 성질을 파악할 수 있는가?
3. 복잡한 확률문제를 베르누이 확률변수로 표현함으로써 문제를 체계적으로 해결할 수 있는 가?
4. 비조건부 기댓값 문제를 조건부 기대값으로 접근하여 해결할 수 있는가? 이때, 적절한 확 률변수로 조건부를 걸 수 있는가?
