2016 년 2학기 미분적분학1 중간고사

2016 년 2학기 미분적분학1 중간고사

주의: 1번을 제외한 모든 문제의 풀이 과정을 자세히 쓰시오. (1번을 제외한 문제에서 답만 쓸 경우, 답이 맞더라도 0점 처리함.)

1. 다음 문제에 대하여 O 혹은 X로만 답하시오. (맞으면 1점, 틀리면 −1점, 안쓰면 0점.) (1) a, b > 0일 때, ln(a + b) = ln a · ln b이다.

(2) f (x)가 구간 [0, 1]에서 연속함수이고, f (0) = −1, f(1) = 1이면, 방정식 f^′(x)−2 = 0은 구간 [0, 1]에서 적어도 하나의 해를 가진다.

(3) 모든 x에 대하여 f (x) < g(x) < h(x)이면, lim_x→af(x) < lim_x→ag(x) < lim_x→ah(x) 이다.

(4) 함수 f (x) = x sin¹_x, x6= 0

0, x= 0 는 연속이다.

(5) 임의의 실수 x에 대하여, cosh x ≥ 1이다.

2. 다음 문제에 대하여 답하시오. (각 3점) (1) lim_{x→0 sec(2x)−1}^tan2(3x) 의 값을 구하시오.

(2) x > 0일 때, f (x) = cos (tan⁻¹(2x))의 도함수를 구하고, 이를 무리함수로 표현 하시오.

(3) x > 0일 때, y = ^{(x+2)100·(3x)}

√x

(2x+1)³⁰·√⁵

x+1³의 도함수를 구하시오.

(4) lim_h→∞ 1 + _h³
2h

의 값을 구하시오.

(5) cos arctan√

3
의 값을 구하시오.

(6) sinh⁻¹(1)의 값을 구하시오.

3. 다음 문제에 대하여 답하시오. (각 4점)

(1) 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 lim_x→0 p|x| = 0임을 보이시오.

(2) 도함수의 정의를 이용하여 _dx^d 

√1 x

을 구하시오. (주의: 공식 (xⁿ)^′ = nxⁿ⁻¹을 사 용하면 안됨.)

(3) e^xy = x − y일 때, ^dy_dx를 x, y에 관한 식으로 표현하고, 점 (1, 0)에서의 곡선 e^xy = x− y의 접선의 방정식을 구하시오.