전기물성론전기물성론

(1)

전기물성론

(2)

제1장 물성론 기초지식

1.1 전자의 특성 1.2 원자구조

1.3 분자의 성질

1.4 에너지와 분자운동

1.5 고체 구조

(3)

1.5 고체의 구조

에너지밴드 이론(Energy band theory)

1.5.6 에너지대 이론

(1) 에너지준위의 대구조

(1) 고립원자의 근사

고립원자가 갖는 에너지준위를 기준으로, 원자간 거리가 가까워 짐에 따라 원자간에 미치는 힘으로 인해 준위가 분리되는 현상 을 규명하는 방법

→ 이 방법은 비교적 내각에 있는 원자핵과의 결합이 강한 전자 에 대한 근사법으로 유용하다.

(2) 집단전자의 근사

자유전자모형과 같이 전자의 퍼텐셜을 결정내부의 퍼텐셜로 간주해서 전자의 운동상태를 규명하는 방법

→ 이 방법은 가전자와 같은 원자핵과의 결합이 약한 전자에 대 해 근사로 유용하다.

(4)

1.5 고체의 구조

※ 여기서는 집단전자의 근사방식으로 에너지 밴드를 설명한다.

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

(+)이온에 의해서 만들어지는 정전계 내의 전자 퍼텐셜을 고려한다.

퍼텐셜V

자유전자

전자 퍼텐셜 V(x)는 거리에 따라 달라지므로 격자 상호간 거리

a

를 주기로 하는 주기 퍼텐 셜이 된다.

슈뢰딩거 파동방정식 (식 1.161) (1.175)

(1.176)

(5)

1.5 고체의 구조

인 경우,

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

V가 주기성을 갖는 경우인 경우, 해의 형태는 는 다음 식으로 된다.

[블로흐(Bloch)정리]

여기서,

블로흐함수 ψ(x)는 V=0일 때의 해 를 격자와 같은 주기를 갖는 해를 구하면,

를 블로흐 함수라 한다.

함수 로 변조시킨 변조파이다.

(1.177)

(6)

1.5 고체의 구조

주기는

a + b

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

주기적 퍼텐셜에서,

각각의 구간에 대한 슈뢰딩거 방정식

Ⅱ Ⅰ

Ⅰ Ⅱ

Ⅱ

영역Ⅰ:

영역Ⅱ:

(1.178)

(1.179)

(7)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

여기서, 전자에너지 E<V₀ 라고 가정하고 상수항을 α, β로 나타내면,

이 관계를 각 영역별로 슈뢰딩거 방정식에 대입하면, (1) 영역Ⅰ의 슈뢰딩거방정식 :

(1.180)

(8)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

그리고 영역 Ⅰ의 파동함수

이 파동함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면,

한 번 미분하고 전개하면,

미분하면

(9)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

다시 한 번 미분하면,

정리하면,

미분 미분

(10)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

따라서

다음으로, 영역Ⅰ의 이차미분방정식의 해를 구한다.

(1.181)

특성방정식

s 의 근 (→ 근의 공식이용)

따라서

(1.183)

(11)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

(2) 영역Ⅱ의 슈뢰딩거방정식:

영역 Ⅱ의 파동함수

(V₀-E) 이므로

이 파동함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면,

(12)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

한 번 미분하고 전개하면,

미분

다시 한 번 더 미분.

(13)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

정리하면,

(1.182) 따라서

(14)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

다음으로, 영역Ⅰ의 이차미분방정식의 해를 구한다.

특성방정식

s 의 근 (→ 근의 공식이용)

따라서

(1.184)

(15)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

결과적으로, 영역 Ⅰ과 영역 Ⅱ의 퍼텐셜은 다음 식으로 나타내게 된다.

이 식은 파동함수의 진행방향(진행파인가 반사파인가), 그리고 진폭이 얼마나 감쇠하 는가를 보여주는 식이다.

(16)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

파동함수는 경계부근에서 매끄럽게 이어져야 하므로 다음의 경계조건을 만족해야만 한다.

1. 경계면에서 두 파동함수의 값이 서로 같아야 한다.

이 조건을 만족하려면

(17)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

각각에 대해서 미분한 다음 x=0를 대입한다.

2. 경계면에서 두 파동함수의 미분값이 서로 같아야 한다.

(18)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

3. 파동함수 경계조건

(19)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

4. 파동함수 미분값 경계조건

(20)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

위의 결과를 종합하면,

이 식들은 A, B C D에 관계되는 선형 동차방정식이므로 그 계수행렬식이 0 이 되어야 한다.

(21)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

위의 계수행렬식을 계산하면,

이 식은 α를 통해서 총에너지 W에 관련되고, β를 통해서 전위 V₀에 관련된다.

(1.187)

(22)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

여기서, 을 적용하고,

V₀ x b를 일정하게 유지하면서, V₀ → ∞, b →0으로 하면, V₀ x b는 퍼텐셜 장벽 의 면적이 된다. 그 크기는 높이를 높게 하고 폭을 적게 하는 결과로 된다.

그 결과로써 전위장벽 V₀ 》E(전자에너지)의 관계로 된다.

따라서 식(1.187)은 다음 식으로 된다.

이므로,

(1.188)

(23)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

여기서,

라고 하면, P는 V₀ x b 즉, 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응하는 양으로 식(1.188)은 다음 식으로 된다.

(1.189)

(1.190)

(24)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

π 2π

-3π -2π -π 0 3π

+1

-1

에서, 좌변항에 대한 그래프 이다.

(25)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

의 값은 coskα와 같기 때문에 +1과 -1 사이 값만 취하게 된다.

허용대(Allowed band) 금지대(Forbidden band)

에너지 허용대(Allowed band)

(26)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

이와 같은 결과로써, 결정 내 전자에너지에 관한 정보를 얻을 수 있다.

ⅰ) 횡축으로 취한 αa는 α가 으로써, 에너지에 대응되는 양이므로 횡축은 에너지를 나타낸다. 따라서 에너지가 어떤 폭을 갖는 에너지대(허용대)와 전자에너지를 취할 수 없는 금지대(Forbidden band)로 나누어진다.

ⅱ) 에너지가 커질수록 허용대는 넓어진다.

ⅲ) P는 퍼텐셜 장벽을 나타내므로 P=0 이면 장벽이 전혀 없는 경우로서 금지대가 생기지 않는다.

P=0 이면, cos αa = cos ka 가 되므로 α = k가 된다.

(27)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

Ⅳ) 파수 k에 의한 에너지 E의 변화

그리고 P=∞의 경우, 장벽이 대단히 크므로 전자가 각각의 이온에 강하게 속박되어 전혀 움직이지 않은 경우 이므로 고립원자에 대응된다.

E가 불연속이 되는 것은 에서, 우변이 ±1이 될 때 이다.

이 조건을 만족하려면,

따라서,

(28)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

그리고

여기서, 이므로,

여기서, 이므로

(1.191) 따라서

(29)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기 전계 중의 전자

브래그 조건과의 연관성

에서,

그러므로 sin 90°로 입사되는 파장이 격자면에서 전반사를 이루어 결정내부로 진행되지 않 는 것처럼, k에 대응되는 파장을 가진 전자는 결정 중에 존재하지 않게 된다.

따라서 k에 해당되는 곳에서 금지대를 만들게 된다.

여기서, sinθ = 1이고, d = a라고 하면, 실제로 브래그 조건에 해당된다.

브래그 조건 :

Θ=90°

(30)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

브릴리언 대(Brillouin zone) 여러 가지 k값에 대응되는 E값을 구하여 그래프로 나타낸 것.

값에 따라서 다음의 3 대역으로 나누어진다.

1차 브릴리언 영역(Brillouin zone, B-1) : 2차 브릴리언 영역(Brillouin zone, B-2) : 3차 브릴리언 영역(Brillouin zone, B-3) :

(31)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

(32)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기 전계 중의 전자 축소대역도

0

이므로 라 해도 값은 같다.

편의상 다음과 같이 제한하기도 한다.

(33)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

※ 금지대가 생기는 물리적 원인

금지대의 조건식 k를 2π/λ로 놓으면 다음과 같다.

즉,간격으로 배열된 반사면에 파장 λ의 파동이 입사할 때 전반사가 일어난다는 조건(Bragg 반사조건)의 특별한 경우(=π/2)이다. 그러므로 k=±(π/)은 전반사조건이 된다.

그러므로 전자파는 결정 내부를 진행할 수 없기 때문에 k=±(π/)에 대응되는 에너지를 가 진 전자는 결정 내에서는 존재할 수가 없다.

(34)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

Ⅴ) 에너지 준위에 속하는 준위의 수 퍼텐셜 V가 주기성을 갖는 경우,

파동함수

해 Ψ(x) 는

(블르흐 함수)

(35)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

결정길이 L을 주기로 하는 결정들이 무한히 배열된 경우는, 어떤 점 x에서 L만큼 이동한 점은 결정 내에서 전부 등가가 되므로,

그러므로

이때, 블르흐 함수는 다음과 같으며 두 식은 같은 식이 된다.

따라서, 두 식이 같으므로

→

(36)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

의 조건을 만족시키기 위해서는 k가 다음 식으로 되어야 한다.

따라서 dk가 되는 범위에 있는 준위 수 dn는,

L=1이면, k의 단위길이당 1/2π 개의 준위수가 존재함을 의미한다.

(37)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(2) 주기전계 중의 전자

k의 범위가 이므로 k의 길이는 가 된다.

따라서 준위 수 n은,

여기서, 는 원자의 수이다. 각 에너지밴드에는 원자수 만큼 에너지 준위가 존재하게 되 고, 전자의 스핀을 고려하면 각 에너지대는 2N개의 에너지준위가 존재한다.

즉, 1개의 에너지 대에 2N개의 전자가 있으면 그 에너지대는 전자로 완전히 충만 된다.

그리고 각 에너지대에 전자가 얼마나 충만되는 가에 따라 도체, 절연체, 반도체로 구별 된다.

(38)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(3) 고립원자의 에너지밴드 구조 1) 위치에너지 PㆍE

원자핵으로부터 (m)만큼 떨어진 점에 놓여있는 한 점의 전계 [V/m]

전계 인 점에 전자(전하 -ｅ)를 놓았을 때 전자의 포텐셜 에너지 전계 인 점의 전위 

(39)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

Coulomb력 = 원심력

따라서 운동에너지 KㆍE

2) 운동에너지 KㆍE

(3) 고립원자의 에너지밴드 구조

(40)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

＊ 1(J) = 0.63X10¹⁹(eV)

전체에너지 E

(3) 고립원자의 에너지밴드 구조

(41)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

원자핵으로부터의 거리

운동에너지 KㆍE는 정의 부호로 표시되고, 위치에너지 PㆍE의 1/2 이 된다.

이 궤도에서 전자가 이온화하려면 전 에너지 E만큼의 에너지를 주어 야 한다.

전자궤도 반경 r이 작은 쪽이 에너 지가 낮으며, 그러므로 주 양자수 n이 작을 수록 에너지가 낮아지므 로 안정된 상태로 된다.

(3) 고립원자의 에너지밴드 구조

(42)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(43)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

N개의 원자로 이루어진 결정의 에너지준위

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(44)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

N개의 원자로 이루어진 결정의 에너지준위

최상위 허용대에서는 에너지 준위가 서로 겹쳐있기 때문에 허용대에 빈자리가 있는 경우, 허용대 내를 전자가 자유롭게 결정 내를 이동할 수가 있다.

이와 같이 결정 내를 자유롭게 이동할 수 있는 전자를 자유전자(Free electron)라 한다.

N개의 원자로 된 결정 중의 각 상태 즉 1s, 2s, 2p, 3s, …에 N배의 준위가 존재하게 된다.

따라서 1s에 2N개 2s에 2N개

2p에 6N개의 전위수가 존재한다.

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(45)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

① 절연체 밴드구조

이온결합물질인 KCl의 에너지밴드 구조에 대해서 설명한다.

Cl의 전자 수는 17개이고 각각은 [(1s)

²

], [(2s)

²

, (2p)

⁶

], [(3s)

²

, (3p)

⁵

]이다. 최외각 (3p)준위에 폐각 (3p)

⁶

을 만들려면 전자 1개가 부족하다.

K의 전자 수는 19개이고 각각은 [(1s)

²

], [(2s)

²

, (2p)

⁶

], [(3s)

²

, (3p)

⁶

], [(4s)

¹

으로서 (4s)준위에 가전자 1개를 갖고 있다. 그러므 로 (4s)준위에 전자 1개를 내 보냄으로써 (3p)준위만으로 안정화를 꾀하려 한다.

따라서 K는 전자 1개를 Cl에게 줌으로써 + ion이 되고 Cl은 K로부 터 전자 1개를 받음으로써 – ion이 되어 coulomb 인력에 의해 결정 화를 이룬다.

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(46)

1.5 고체의 구조

1.5.4 고체 내 전자상태

+ ion - ion

Coulomb 인력 KCl의 이온화 과정

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(47)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

N개의 Cl원자와 N개의 K원자로 된 KCl 결정

상태에 따른 전자점유 가능 준위 수

(3s) 상태의 준위 수 : 2N×2개 (3p) 상태의 준위 수 : 6N×2개 (4s) 상태의 준위 수 : 2N×2개 KCl 결합으로 인한 전자 점유 상태

K의 (4s)준위 → Cl에게 전자를 주었으므로 빈 상태로 된다.

Cl의 (3p)준위 → K로부터 받은 전자를 포함해서 (N+5N)×2개의 전자를 갖는다.

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(48)

1.5 고체의 구조

1.5.4 고체 내 전자상태

에너지밴드

KCl과 같이 금지대 에너지폭이 큰 물질은 전기전도가 일어나기 어렵게 된다.

이러한 물질을 가리켜 절연체(Insulator)라 한다.

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(49)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

② 반도체 밴드구조

Si (전자14개)

(4) 많은 전자를 갖고 있는 원자의 에너지준위

(50)

1.5 고체의 구조

1.5.6 에너지대 이론

Si의 금지대 폭이 1.12[eV] 정도로 적기 때문에 적은 에너지로도 쉽게 전기전도가 일어나게 된다. 이러한 물질이 반도체(Semiconductor)이다.