3.4 에너지 원리 및 운동량 원리
1. 에너지방정식
임의의 수로단면에서 흐름의 전체에너지는 기준면으로부터 위치수두 (potential head), 압력수두 (pressure head), 속도수두 (velocity head)의 합으로 표시할 수 있다. 그러나 실제 흐름은 각 흐름단면마다 유속분포가 다르기 때문에 속도분포가 균 일하지 않다. 따라서, 각 단면상의 모든 점에서 속도수두가 동일하다고 가정하고, 에 너지계수를 적용하여 불균일한 속도분포의 효과를 보정하면 그림 3.6에 보인 바와 같 이 임의의 단면에서의 기준면에 대한 전체수두
H
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
cos
(3.14)
식 (3.14)에서 는 기준면에서 하상 (수로바닥)까지의 높이, 는 하상과 직각으로 측 정한 유수단면수심, 는 하상의 경사각도,
는 속도수두이다. 이때, 압력수두 는 그 지점의 수심 나 유수단면수심 가 아닌 유수단면수심 의 연직면상 투영길 이인 cos 또는 cos 인 점에 주의해야 한다.그림 3.6 개수로 점변류의 에너지 관계
흐름의 전체 수두를 연결한 선을 에너지선이라 하며, 에너지선의 경사를 에너지경
사 (energy gradient)라 하고
로 표시한다. 또한, 수면경사를
, 하상경사를
sin 로 표시하면 등류일 경우
가 성립한다. 에너지 보존원리에 의하면 상류측 임의 단면의 전체수두는 하류측 임의 단면의 전체수두와 두 단면 사이 에서 발생한 에너지 손실수두 와의 합과 같아야 한다. cos
cos
(3.15)
식 (3.15)에서 아래 첨자 1 및 2는 각각 상류단면과 하류단면을 나타내며, 이 식을 에너지방정식 (energy equation)이라 한다. 참고로, 그림 3.6에서 cos 이다.
2. 운동량방정식
그림 3.7과 같은 경사진 수로를 흐르는 점변류 (≠,
≠
)에 대해 만큼 떨어진 두 단면 사이의 검사체적 (control volume)을 생각하자. Newton의 제 2법칙 으로부터 검사체적의 단위시간당 운동량 변화는 그 검사체적에 작용하는 모든 외력의 합력과 같다.그림 3.7 운동량 원리의 적용
또한, 단위시간 동안 임의의 흐름단면을 통과하는 흐름의 운동량은
이다. 따 라서, 두 단면 사이의 검사체적에서 단위시간당 운동량 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin
(3.16)식 (3.16)에서 아래 첨자 1 및 2는 각각 상류단면과 하류단면을 나타낸다. 또한,
과
는 각 단면에 작용하는 수압,
는 검사체적의 중량,
는 수로 바닥에 작용 하는 마찰력이다. 이 식을 운동량방정식 (momentum equation)이라 한다.압력
과
에 각각 ′ 와 ′ 이라는 보정계수를 적용하여 하상의 변화에 의한 영향을 고려하면 다음 식으로 표시된다.′
(3.17)식 (3.17)에서 는 수면으로부터 유수단면적
의 중심까지의 거리, 는 미소단면적
에 대한 압력수두, 는 압력수두 보정계수이다. ′ 값은 바닥이 오목한 부분의 흐 름에서는 1보다 크며, 반대로 볼록한 부분의 흐름에서는 1보다 작고, 직선흐름에서는 1이다.점변류의 경우에는 하상경사가 매우 완만하며, 두 단면의 압력분포를 정수압분포로 가정하므로 ′ 이 된다. 따라서, 폭
인 완만한 경사의 사각형수로에 대해 두 단면에 작용하는 수압과 마찰력은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(3.18)
(3.19)
′
(3.20 )식 (3.20)에서 ′ 는 마찰손실수두, 는 두 단면의 평균수심이다.
유량
Q
는 다음과 같이 두 단면의 평균 유속과 평균 단면적을 곱하여 구할 수 있 다.
(3.21)또한, 수체 (water body)의 중량
W
는
, sin 는 이므로 이들 과 식 (3.18)-(3.21)을 식 (3.16)에 대입하고 정리하면 다음과 같다.
′ (3.22)
이 식은 에너지방정식인 식 (3.15)와 형태가 같다는 것을 알 수 있다.
