9 Z 4, pp. 943∼951

 9 Z 4, pp. 943∼951

4

Æ k È T  ] Ø8 ý • ¤V X ì Ä Ž ì ŏ Œ

Ù

• vŠ û BM 

Integrated Science Laboratory, Department of Physics, Ume˚ a University, 901 87 Ume˚ a, Sweden



™ »( 8 + Ö <

$ í

ç  H› ' a @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , à º" é ¶ 440-746 (2010¸   9 Z 4 1{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   9 Z 4 15{ 9  > F  S X ‰& ñ )

 â

] j† < Æs 
 & ñ u † < Æõ  ° ú  “ É r   rõ † < Æ\ " f > e ” s  : r“ É r  r & h “     r‰ & ³ © œ`  ¦ s K    H y © œ§ 4 ô  Ç • ¸½ ¨

–

Ð  o ¸ ú š€ Œ ¤ . þ j   H Ó ü t o † < Æ, : £ ¤ y  : Ÿ x > Ó ü t o † < Æ ì  r  _  ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r s  Qô  Ç > e ” s  : r _  — ¸+ þ A[ þ t`  ¦ s 6   x

# Œ 4 Ÿ ¤ ¸ ú š> – Ð" f_    r\  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð ƒ  ½ ¨   H, s  É r     rÓ ü t o † < Æ (sociophysics)s    H ’  › ¸# Q\  ¦ ò ø

ÍÒ q tr v €  " f  € ª œô  Ç ƒ  ½ ¨  õ [ þ t`  ¦ Ò q tí ß –K  ? /“ ¦ e ”  . ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H > e ”  s  : r _  ƒ  ½ ¨\ " f
 


 

H › ¸½ + ˏ : r& h  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ Y >  t  é ß –í  H  o  ) a & ñ õ  à ºu  > í ß –_  • ¸¹ ¡ §`  ¦ : Ÿ x K  ì  r$ 3 ô  Ç þ j   H ƒ  ½ ¨[ þ t`  ¦ ™ è

>

hô  Ç . €  $  ý eà º_  v 9 Y U \ " f y Œ • ‚ à Ð# Œ [ þ t _  l % 3 § 4 s  † ¾ Ó © œ÷ &% 3 `  ¦ M : a ž ?§ 4 s  # Qb  G>  µ 1 ÏÒ q t   H 

\ 

¦ ì  r$ 3  # Œ ‘% ò o ô  Ç ´ ú @ /6 £ x (Intelligent Tit-for-tat)’ „  | Ä Ìs  ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ à º' Ÿ ô  Ç   H  z  ´`  ¦ ˜ Г  



.  6 £ § Ü ¼– Ð # Œ Q  | à Ðs  1 l x r \   ’  _  ' Ÿ 1 l x`  ¦ › ¸& ñ K 
  H › ¸& ñ > e ” _   â Ä º, — ¸Ž  H  | à Ðs   ’   _

 ' Ÿ 1 l x`  ¦ Å Ò# Q”   ½ ©# 3 \     › ¸f ”   9“ ¦ ½ + É  â Ä º š ¸y  9 › ¸& ñ s  ~ ½ ÓK ~ à ΍  H  © œ S ! s  e ” `  ¦ à º e ” 6 £ §`  ¦ Ã

ºu  > í ß –`  ¦ : Ÿ x K  ˜ Г   .  t } Œ •Ü ¼– Ð ™ èà º  > e ” _  ô  Ç   + þ A“   % i  â B  > e ” \ " f_  ç  H+ þ A& h `  ¦ # Qb  G>  Ã

º† < Æ& h Ü ¼– Ð / B Nd ”  o½ + Ét ü < Õ ª > í ß – ~ ½ ÓZ O `  ¦  7 H ô  Ç .

Ù þ

˜d ” # Q: > e ”  s  : r,   rÓ ü t o † < Æ, ý eà º_  v 9 Y U  > e ” , ´ ú @ /6 £ x „  | Ä Ì, ˜ Ð' Ÿ   ë  H ] j, % i  â B  > e ” , ç  H+ þ A& h 

Numerical Study of Game Theory

Seung Ki Baek

Integrated Science Laboratory, Department of Physics, Ume˚ a University, 901 87 Ume˚ a, Sweden

Beom Jun Kim ^∗

Department of Physics, Sungkyunkwan University, Suwon 440-746 (Received 1 September, 2010 : accepted 15 September, 2010)

A game-theoretic approach has been providing a powerful tool in the qualitative understanding of macroscopic social phenomena in social sciences, e.g., in economics and in political science.

Recently, researchers in physics, especially in statistical physics, have also used these game-theoretic approaches, but in a more quantitative way, and have been producing a variety of interesting results in the new research area called ‘sociophysics’ by studying human society as a complex system. This work introduces recent works that have tackled the combinatorial complexities arising in game- theoretic studies with the aid of simplified assumptions and numerical computations. We first show how cooperation emerges in the prisoner’s dilemma game when each player’s memory capacity is enhanced and suggest that the intelligent tit-for-tat strategy plays a crucial role in the history of

-943-

cooperation. Then, we numerically show that there is a certain case of simultaneous coordination among many players where the system has a high risk of failure when everyone is willing to follow the coordination, which is actually higher than when some are not concerned about it. Lastly, we discuss a mathematical treatment of an equilibrium solution for a reverse auction game, which is a variant of the minority game, and its computational approach.

PACS numbers: 89.75.-k, 87.23.Ge

Keywords: Game theory, Sociophysics, Prisoners dilemma game, Tit-for-tat strategy, Pedestrian problem, Reverse auction game, Equilibrium point

I. " e  ] Ø

þ

j   H   rÓ ü t o † < Æ (sociophysics)s    H ’  › ¸# Q 1 p x  © œ

€  " f, Ó ü t o † < Æ_   € ª œô  Ç l Z O [ þ t`  ¦  Ö ¸6   x # Œ   r‰ & ³ © œ

`

 ¦ s K   9  H r • ¸  Ö ¸ µ 1 Ï >  s À Ò# Qt “ ¦ e ”   [1]. s 



Qô  Ç ƒ  ½ ¨, 7 £ ¤ 4 Ÿ ¤ ¸ ú š> – Ð" f_  “  ç ß –  r\  @ /ô  Ç : Ÿ x > Ó ü t o 

†

< Æ& h “   ƒ  ½ ¨_  { 9 ¨ 8 Š Ü ¼– Ð" f F è ß – © œ S ! \  % ƒô  Ç  | à Ð[ þ t _    1

l x [2], È Ò³ ð  — ¸+ þ A [3], Å Òd ” r  © œ`  ¦ l Õ ü t   H ' Ÿ 0 A  l  ì

ø Í — ¸+ þ A [4], “ §: Ÿ x â ì2 £ § [5], “  ç ß –1 l x% i † < Æ [6], ƒ    } © œ½ ¨› ¸0 A

\

" f_  > e ”  [7]1 p x s   Ö ¸ µ 1 Ïy  ƒ  ½ ¨÷ &% 3  . > e ”  s  : r“ É r, ô  Ç

‚ Ã

Ð# Œ  % 3   H Î .  Õ ª  ’  _  ' Ÿ 0 A÷  r ë ß –  m     É r

‚ Ã

Ð# Œ [ þ t _  ' Ÿ 0 A\  — ¸¿ º ƒ  › ' a ÷ &# Q   & ñ ÷ &  H  © œ S ! \  @ / ô

 Ç ƒ  ½ ¨s  . \ V\  ¦ [ þ t # Q 
_  U  ´`  ¦ " f– Ð ì ø Í@ / ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð :

Ÿ x' Ÿ  “ ¦    H ¿ º " î _   | à Ð, ° ú šõ  `  ¦ s  e ”  “ ¦  .

Ñ ü

t s  Ä º8 £ ¤: Ÿ x' Ÿ s 
 ý a8 £ ¤: Ÿ x' Ÿ  ×  æ ô  Ç t  ½ ©g Ë :`  ¦ & ñ † < ÊÜ ¼

–

Ð+ ‹ : £ ¤Z > y  ’   â j þ t { 9  \ O s • ¸ Ø  æ[  t \ O s  š ¸l \  ¦ " é ¶ ô

 Ç “ ¦ & ñ ½ + É Ã º e ”  . s  M : ° ú šs  s  3 l q& h `  ¦ $ í 2 [½ + Ét 

#

ŒÂ ҍ  H ° ú š Û ¼Û ¼– Ð_  ‚  × þ ˜ë ß –Ü ¼– Ð   & ñ ÷ &  H  כ s   m  

`

 ¦ _  ‚  × þ ˜, 7 á §  8 & ñ S X ‰ y  ´ ú ˜K  `  ¦ s  ° ú šõ  1 l x{ 9 ô  Ç ‚  × þ ˜`  ¦

  H t     H t \  _ K    & ñ  ) a  . s  כ s  ™ è0 A ´ ú ˜   H › ¸

&

ñ > e ”  (coordination game)_   © œ S ! s  . Õ ªo “ ¦ Ä º8 £ ¤: Ÿ x '

Ÿ `  ¦ ½ + Ét  ý a8 £ ¤: Ÿ x' Ÿ `  ¦ ½ + Ét % ƒ! 3  Å Ò# Q”    © œ S ! [ þ t \ " f # Q b 

G>  ' Ÿ 1 l x ½ + Ét \  ¦ p o  Ò q ty Œ •K ¿ º  H  כ , s  כ s  y Œ • ‚ à Ð# Œ  _

 „  | Ä Ì(strategy)s  “ ¦ Ô  ¦ o î  r  . Ó ü t : r ‚ à Ð# Œ [ þ t“ É r ˜ Ð




“ É r Î . \  ¦ ± ú ¢  H „  | Ä Ì A á ¤ Ü ¼– Ð  6 £ §`  ¦  Ü ã J à º• ¸ e ” 



. t ë ß –   ü <  ð ø Ít – Ð " f– Ð " f– Ð\ >  _ ” > r 

“

¦ e ”   H  © œ S ! s l  M :ë  H \  ™ D ¥   “ ¦  K " f  l  „  | Ä Ì`  ¦ à º

&

ñ ô  Ç “ ¦ ô  Ç[ þ t   É r  | à Ð[ þ t • ¸  ð ø Ít _  { 9 `  ¦ “ ¦ e ”  l

 M :ë  H \ , “ ¦  `  ¦ : Ÿ x K  [  t  š ¸  H Î .   H „  ) €
 t t 

· ú

§ 
, š ¸y  9
 | 9  à º• ¸ e ”  . \ V† @ / 0 A_  › ¸& ñ >  e ”

\ " f ° ú šõ  `  ¦ s  % ƒ6 £ § \  › ¸& ñ \  z  ´J  “ ¦ Ø  æ[  t M :ë  H \ 

“

¦  `  ¦   1 l x r \  ° ú š“ É r ý a\ " f Ä º– Ð, `  ¦“ É r Ä º\ " f ý a

–

Ð   & ñ `  ¦  õ  H  €    © œ S ! “ É r
 | 9  o  \ O  . s    כ ¹

“

 [ þ t`  ¦ — ¸¿ º “ ¦ 9K " f þ j‚  _  ' Ÿ 1 l x ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ ¹ 1 Ô ? /  H { 9 

∗

E-mail: beomjun@skku.edu

“ É

r  Å Ò ç ß –é ß –K ˜ Ðs   H > e ” \ " f› ¸  à º´ ú §“ É r  â Ä º_  à º

–

Ð “  K   © œ © œ`  ¦ œ í Z 4½ + É & ñ • ¸– Ð 4 Ÿ ¤ ¸ ú šK t Œ 4 H ô  Ç . Ä ºo   H Õ

ª Qô  Ç Y >  t  > e ” \ " f é ß –í  H  o  ) a & ñ õ  à ºu  > í ß –`  ¦ :

Ÿ

x K  Y >  t  D h– Ðî  r    : r`  ¦ • ¸Ø  ¦ K  ? /“ ¦  ô  Ç . ‘ : r  7 H ë

 H \ " f  H, €  $  ý eà º_  v 9 Y U > e ” \  ‚ à Ð# Œ [ þ t _  l % 3 

§

4 s  † ¾ Ó © œ÷ &% 3 `  ¦ M : # Q* ‹ô  Ç „  | Ä Ìs  $ í / B N& h “  t \  @ /ô  Ç

ƒ

 ½ ¨ [8]\  ¦ ™ è> h “ ¦,  6 £ § Ü ¼– Ð ˜ Ð' Ÿ ½ ©g Ë :`  ¦  Ø Ô  H  | à Р[

þ

t õ   Ø Ôt  · ú §  H  | à Ð[ þ t s  / B N” > r   H  â Ä º_  ˜ Ð' Ÿ   â ì 2

£

§ë  H ] j\  @ /K   ê  r   [9].  t } Œ •Ü ¼– Ð ™ èà º  > e ” _  ô  Ç



 + þ A“   % i  â B  > e ” \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  õ  [10]\  ¦ ™ è> h “ ¦  ô

 Ç .

II. 9 û• ¤8 ý ó m Ç7 _ 

‘ ý eà º_  v 9 Y U ’   H s 2 £ §“ É r s  > e ” s  ¿ º " î _  ý eà º

\

 ¦  – Ð – Ð  rÄ »   H  © œ S ! Ü ¼– Ð q Ä »÷ &€  " f · ¡ ­ # Œ& ’  .

ç

ß –é ß –ô  Ç \ V\  ¦ [ þ t # Q˜ Ð . † < Êa  # 3 ý e\  ¦ $ t  É r ° ú šõ  `  ¦ s 



  H ¿ º | à Ðs  e ” “ ¦, ë ß –€  •  â ¹ 1 Ï_  › ¸ \  ¦ : Ÿ x K  Ñ ü t — ¸¿ º

#

3 ý e\  ¦ $ t  É r  כ Ü ¼– Ð   & ñ  ) a  €   y Œ •y Œ • 4¸  m ”  f ç % i + þ A

`

 ¦ ~ à ΍  H  “ ¦  . ¢ ¸, ë ß –€  • ° ú šõ  `  ¦ s  ¶ n q q  Ý ¶`  ¦ ' Ÿ   

#

Œ  Á º   s  l • ¸  â ¹ 1 Ï\ >  K Å Òt  · ú §  H  €   Z > • ¸_ 

 

& ñ & h “   7 £ x  \  ¦ ¹ 1 Ô`  ¦ à º \ O   H  â ¹ 1 ϓ É r s Ñ ü t \ >   â p ô  Ç

%

ƒZ O ë ß –`  ¦ ×  ¦ à º e ”  “ ¦  . d ” ë  H   H  | à Г É r Ñ ü t`  ¦  

 É

r ~ ½ Ó\    o K Z  ~ “ ¦" f  6 £ § õ  ° ú  “ É r ] jî ß –`  ¦ ~  ”   . ðë ß – { 9

   É r / B N# 3 s  g Ë >¶ n q`  ¦ t v   H 1 l x î ß – €  $  # 3 ' Ÿ `  ¦  Ñ þ ˜ 

€

  { © œ’  “ É r  Á º % ƒZ O  \ O s  Û  ¦  9± ú ˜  כ s  . t ë ß – { © œ’   s

 g Ë >¶ n q   H 1 l x î ß – $  A á ¤ s   Ñ þ ˜ô  Ç €   { © œ’  “ É r 4¸  + þ A˜ Ð



  8 Á º î  r % ƒZ O `  ¦ ~ à Î>   ) a  .ñ s  Qô  Ç ] jî ß –`  ¦ ~ à Γ É r ° ú š

“ É

r `  ¦ s   Ñ þ ˜ €    l   H 4¸  + þ A˜ Ð  Á º î  r % ƒZ O `  ¦ ~ à Î

>

 ÷ &Ù ¼– Ð,  ’  • ¸  Ñ þ ˜   H  כ s  Ä »o  >   ) a  . ì ø Í@ /

–

Ð `  ¦ s  g Ë >¶ n q`  ¦ t v   H  © œ S ! \ " f• ¸,  ’  s   Ñ þ ˜   H  כ s

  ’  \ >   H { © œƒ  y   8 Ä »o ô  Ç  © œ S ! s   ) a  . 7 £ ¤, `  ¦ s 



Ñ þ ˜`  ¦ Ž  H g Ë >¶ n q`  ¦ t v Ž  H ° ú š_  { 9  © œ\ " f  H  Ñ þ ˜   H

 כ

s  Ä »o     H  כ “  X <,  ð ø Ít – Ð `  ¦ _  { 9  © œ\ " f• ¸

° ú

š_   Ñ þ ˜# Œ \  › ' a > \ O s   ’  s   Ñ þ ˜   H  כ s  Û ¼Û ¼

–

Ð\ >  Ä »o ô  Ç  כ s   ) a  .   " f y Œ •   H Û ¼Û ¼– Ð ‰ & ³" î

>  ' Ÿ 1 l x ô  Ç “ ¦ Ò q ty Œ • # Œ Ñ ü t    Ñ þ ˜   H  © œ S ! s  ÷ &  H X

<, s   â Ä º  H Ñ ü t — ¸¿ º g Ë >¶ n q   H  © œ S ! ˜ Ð   H Á º î  r % ƒ Z O

 (4¸  + þ A)`  ¦ ~ à Î>   ) a  . 7 £ ¤, d ” ë  H  _   rÄ »\  ¦ ~ à Î [ þ t s 



 H  כ “ É r y Œ • > h“  \ >  e ” # Q ½ + Ëo & h “   ‚  × þ ˜s t ë ß –, " f– Ð g Ë >

¶ n

q`  ¦ t v “ ¦ Û  ¦  9
“ : r    H  8
“ É r U  ´`  ¦ ü @€  ô  Ç  כ s l  M

:ë  H \  7 á x² D G \   H l ¬ ¹ô  Ç { 9 s  ÷ &  H  כ s  . t ë ß – ë ß –{ 9  s

 ý eà º[ þ t s  ° ú  “ É r  © œ S ! \  ì ø Í4 Ÿ ¤& h Ü ¼– Ð % ƒ >   ) a  €   # Q b 

G>  | ¨ c  . · ú ¡" f\ " f C ’  `  ¦ { © œÙ þ ¡~    | à Г É r  6 £ § l  r\ 

"

f €  $  C ’  `  ¦ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ € © œ° ú ¡6 £ §`  ¦ ½ + É Ã º• ¸ e ” “ ¦  m 

€

  > 5 Å q g Ë >¶ n q`  ¦ “ ¦| 9 † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹  © œ@ /\ >  # Q‹ "  ’    ñ\  ¦ ˜ Ð

?

/ 9“ ¦ ½ + É Ã º• ¸ e ”  . 7 £ ¤ g Ë >¶ n q(/ B N# 3 \  @ /ô  Ç a ž ?§ 4 , coop- eration _  ' Í / å J  “   C “ ¦ g Aô  Ç )s 
  Ñ þ ˜(/ B N# 3 \  @ / ô

 Ç C ’  , defection_  ' Í / å J  “   D– Ð g Aô  Ç )s 
 „   Â

Ò  m   ‘כ ¹ „    r\ " f C ’   { © œÙ þ ¡Ü ¼€   s X O >  “ ¦



m €   $ X O >   ’% ƒ! 3 ,  s `›    8  € ª œô  Ç „  | Ä Ì_  0 p x

$ í

s  \ P o >  ÷ &  H ! l rs  . Õ ªo “ ¦ s   â Ä º “Z þ t C ’  ô  Ç



” õ ƒ    © œl & h Ü ¼– Е ¸ a % ~“ É r „  | Ä Ì{ 9 t   H _ d ” `  ¦ ¾ ¡ § # Q 4

Ÿ §f ”   . z  ´] j– Ð Á ºô  Çy  ì ø Í4 Ÿ ¤ ÷ &  H ý eà º_  v 9 Y U \ " f



 H a ž ?› ¸   H „  | Ä Ì• ¸ ? // ' ç  H+ þ A& h (Nash equilibrium, # Q Ö

¼ ‚ à Ð# Œ • ¸ ² D I s  „  | Ä Ì`  ¦ à º& ñ ½ + É s Ä » \ O   H M :\  ¦ _  p

† < Ê)`  ¦ s Ò  ¦ à º e ” 6 £ § s  · ú ˜ 94 R e ”  . — ¸Ž  H „  | Ä Ì& h  0 p x

$ í

`  ¦ “ ¦ 9ô  Ç   H  כ “ É r { © œƒ  y  Ô  ¦ 0 p x ô  Ç { 9 s  .   " f {

© œ © œ“ É r  – Ð f ” „  _  > e ”    õ ë ß –`  ¦ t “ ¦ s     r_  ' Ÿ  1

l

x`  ¦   & ñ   H „  | Ä Ì[ þ t`  ¦ €  $  “ ¦ 9K ˜ Е ¸2 Ÿ ¤  ’ x . >  e ”

   õ ê ø Í (° ú š, `  ¦)=(C, C), (C, D), (D, C), (D, D) _  W 1

t \  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . Õ ªo “ ¦ f ” „  _  > e ”    õ    & ñ ÷ &t  · ú §

€

Œ

¤`  ¦ M :, 7 £ ¤ þ jœ í– Ð > e ” \  e ” ½ + É M : # Q‹ "  ‚  × þ ˜`  ¦ ½ + Ét 



t   8K " f ‚ à Ð# Œ   H 8 ú x 5 t _   © œ S ! \  Z  ~{ 9  à º e ” 



. y Œ •y Œ •\  @ /K  C\  ¦ ½ + Ét  D\  ¦ ½ + Ét  ° ú ˜o Ù ¼– Ð ô  Ç ‚ à Ð

#

Œ  | 9  à º e ”   H „  | Ä Ì_  Ì  à º  H 2

⁵

= 32 s  . 0 A _

 5t   â Ä º\  @ /K  ° ú šs  2 [   H ' Ÿ 1 l x`  ¦  © œ S ! _  † < Êà º

“

  b “ ¦ ô  Ç €   ° ú š_  „  | Ä Ì“ É r  6 £ § % ƒ! 3  & h `  ¦ à º e ” `  ¦  כ s

 : b

0

|b(C, C), b(C, D), b(D, C), b(D, D). # Œl " f  ± p · ú ¡ _

 b

⁰

(= C ¢ ¸  H D)  H ¿ º ‚ à Ð# Œ  % ƒ6 £ § ë ß –
  H  â Ä º

\

 C\  ¦ × þ ˜½ + Ét  D\  ¦ × þ ˜½ + Ét \  ¦   & ñ   H „  | Ä Ìs  . \ V† 

@

/ ° ú šs  ƒ  ] j
 Cë ß –`  ¦ l – Ð  6 £ § " 3 % 3  €   s  „  | Ä Ì“ É r C|CCCC  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . C|CDDD  H ô  Ç   s  • ¸ C 

’

 s  µ 1 ÏÒ q t €   > 5 Å q K " f € © œ° ú ¡6 £ §   H ‘ Á º q  8 ú ¤ µ 1 Ï(Grim Trigger, GT)’ „  | Ä Ìs  9 C|CDCD  H  © œ@ /_  s „   ' Ÿ 1 l x

`

 ¦    Ù ¼– Ð ‘´ ú @ /6 £ x(Tit-for-tat, TFT)’ „  | Ä Ìs  .   t

} Œ • \ V– Ð" f C|CDDC  H ° ú šs   ’  \ >  Ä »o ô  Ç   õ 

\

 ¦ % 3 % 3 `  ¦ M :\   H  ’  _  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ “ ¦ (b(C, C) = C, b(D, C) = D), Ô  ¦ o ô  Ç   õ \  ¦ % 3 % 3 `  ¦ M :\   H ' Ÿ 1 l x`  ¦



õ  H    H _ p \ " f (b(C, D) = D, b(D, D) = C),  ™ è

Fig. 1. Numerical integration results of Eq. (1).

è

ß –K ô  Ç " î g A{ 9  à º e ” t ë ß – ‘ ^  ¦ – Ðá Ô_  > h’ s  l \  ¦   ü

< ‘ ^  ¦ – Ðá Ô(Pavlov)’ „  | Ä Ìs  “ ¦ Ô  ¦ 2 ; . Ä ºo   H ì  r$ 3 

`

 ¦ 7 á §  8 ç ß –é ß –" î « Ñ >  l  0 AK  ô  Ç  © œ S ! s  ƒ  ] j
 
 _

 ' Ÿ 1 l x Ü ¼– Ðë ß – s # Q”   “ ¦ & ñ “ ¦ S X ‰Ò  ¦& h “   ‚  × þ ˜, \ V

†

@ / 90 %– Ð C\  ¦ “ ¦ 10 %– Ð D\  ¦ ½ + É Ã º e ”    H d ” _  „  

| Ä

̓ É r “ ¦ 9 t  · ú § ’ x . Õ ªo “ ¦ y Œ • „  | Ä Ìs  Šҍ  H Î . \  ¦ à º u

 o l  0 AK  ° ú š“ É r  © œ  ñ a ž ?§ 4 “   (C, C)\ " f 3& h , C ’  `  ¦ ô

 Ç (C, D)\ " f 5& h , C ’   { © œô  Ç (D, C)\ " f 0& h , " f– Ð C ’   ô

 Ç (D, D)\ " f  H 1& h `  ¦ % 3   H  “ ¦  ’ x . : £ ¤& ñ „  | Ä Ì i\  ¦

× þ

˜ô  Ç  | à Ð[ þ t _  q Ö  ¦`  ¦ p

i

 “ ¦ K ˜ Ð  (i = 1, · · · , 32).  

| Ã

Ð[ þ t s  „  | Ä Ì`  ¦ à º& ñ K   H ' Ÿ 1 l x`  ¦  Å Ò ç ß –é ß – oK " f l  Õ

ü

t €  , ‘ô  Ç „  | Ä Ì“ É r Õ ª Î .  ¨ î ç  H ˜ Ð  ± ú Ü ¼€   ± ú `  ¦ à º2 Ÿ ¤ À

1 Ïo  ` ‚l ÷ &“ ¦ Z  } Ü ¼€   Z  }`  ¦ à º2 Ÿ ¤  8 À 1 Ïo  ‚  × þ ˜ ) a  ’  H d ”  s

 | ¨ c  כ s  . s  כ s  4 Ÿ ¤ ] j  1 l x% i † < Æ(replicator dynam- ics, RD) s  “ ¦ Ô  ¦ o Ä º  H  כ Ü ¼– Ð  6 £ § % ƒ! 3  & h `  ¦ à º e ” 



.

dp

i

dt = (U

_i

− hU i)p

_i

. (1) s

 M : U

ⁱ

ê ø Í Ó ü t : r „  | Ä Ì i\  ¦ : Ÿ x K  % 3 # Q”   & h à ºs “ ¦ hUi  H

„

 ^ ‰ “  ½ ¨ % 3   H ¨ î ç  H & h à º( P

j

U

j

p

j

)\  ¦ _ p ô  Ç . 0 A 32 > h „  | Ä Ìs  % ƒ6 £ § \  — ¸¿ º ° ú  “ É r q Ö  ¦ – Ð ” > r F Ù þ ¡ “ ¦ & ñ

“ ¦ RD\  ¦ & h 6   x €    6 £ § _    õ \  ¦ % 3   H   (Fig. 1). # Œ l

\ " f – л ¡ ¤ s  – ÐÕ ª– Ð Õ ª 94 R e ” 6 £ § \  Ä »_ K  ô  Ç .

7

£ ¤, @ / Òì  r _  „  | Ä Ìs  F  g  © œy    É r r ç ß – î ß –\  ` ‚l ÷ &“ ¦

š

¸f ”  4> h_  „  | Ä Ì, GT, TFT, Pavlovü < C|CDCCë ß –s  ¶ ú ˜



z Œ ™  H  .  z  ´ s  W 1 > h  H C|CDXY – Ð æ ¼“ ¦ XY _  4

t  0 p x$ í (X = C, Dü < Y = C, D) `  ¦ V , Ü ¼€   % 3 `  ¦ à º e ”

  H „  | Ä Ì[ þ t s l • ¸  . Õ ªo “ ¦ s  / B N Ä »  ) a [ j > h q à Ô _

 _ p \  ¦ D h ˜ Ѐ  , Õ ª[ þ t s  €  $  C ’   t  · ú §“ ¦, ¢ ¸ C 

’

  { © œÙ þ ¡`  ¦ M :\   H 7 £ ¤ r  ˜ Ð4 Ÿ ¤ ½ + É ×  ¦ î ß –   H  כ s  . s [ þ t

“ É

r   É r 28 > h — ¸¿ º ™ èY > ô  Ç s Ê ê " f– Ð a ž ?› ¸ €  " f / B N” > r

`

 ¦ s À ҍ  H X < s  M : XY \  ” > r F    H s   H  z  ´ © œ µ 1 ω & ³

÷

&t  3 l w ô  Ç . s [ þ t  s _  s   H €  •ç ß –_  ‘z  ´Ã º’, 7 £ ¤  © œ@ /

 ' Ÿ ô  Ç  \  ¦  Ë ¨– Ð l % 3    H  | s  # Q, ‹  ô  ǁ  m ”  { 9 

#

Q± ú ˜ à º e ”  “ ¦ ½ + É M : q – Й è × ¼ Qè ß – . \ V† @ / 2 " é ¶   



 0 A\  Z  ~“ É r ‚ à Ð# Œ [ þ t s   î  r s Ö  ©[ þ t õ  ì ø Í4 Ÿ ¤& h Ü ¼– Ð ý

eà º_  v 9 Y U  > e ” `  ¦ ' Ÿ ô  Ç  6 £ § > e ” s  ×  æ é ß – | ¨ c M :  

 © œ ´ ú §“ É r & h à º\  ¦ % 3 “ É r s Ö  © _  „  | Ä Ì`  ¦   ç ß – “ ¦ K ˜ Ð



. > e ” s  ì ø Í4 Ÿ ¤| ¨ c S X ‰Ò  ¦“ É r 1 − q – Ð Z  ~  H   (q  1).  Á º



  z  ´Ã º \ O  €  (e = 0) Õ ª   õ   H RD \ " f ‘ : r  כ õ  f  ¨



 >  ´ ú §“ É r  â Ä º\  4> h_  „  | Ä Ìs  ¶ ú ˜ z Œ ™  H  כ s  . s 

 כ

“ É r  ™ è î  r s  a % ~“ É r   õ “  X <, s % ƒ! 3  ± ú “ É r " é ¶ _  1 l x

%

i † < Æs  ¨ î ç  H  © œë ß –`  ¦ “ ¦ 9   H d ”  (1)õ  Ä » ½ + É € 9 כ ¹  H \ O  l

 M :ë  H s  . ë ß –{ 9  z  ´Ã º S X ‰Ò  ¦ 0 < e  1 – Ð  Å Ò €  • ç

ß –m ”  µ 1 ÏÒ q t½ + É  â Ä º\   H, |   r ç ß –`  ¦ ¿ º“ ¦ s [ þ t W 1> h „  | Ä Ì



s \   â ½ + Ëõ  “ §^ ‰ { 9 # Q
  H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . s  ×  æ C|CDCC  H Z > – Ð  H % i ½ + É`  ¦ 3 l w   H X < ì ø ÍK , GT, TFTü <

Pavlov  s \   H í  H¨ 8 Š& h  Ä º0 A(cyclic dominance) ” > r F  K

" f TFT  H GT\  ¦ x 9 # Q? /“ ¦ Pavlov  H TFT\  ¦ x 9 # Q? /“ ¦



r  Pavlov  H GT \  _ K  g Ë ># 3  ) a  . t ë ß – TFT Ø  æ ì

 r y  Ä º[ jK " f GT\  ¦ ¢ - a„  y  x 9 # Q · p €   Pavlov   ² D G

„

 Â Ò\  ¦ t ô  Ç G  = å Q
>   ) a  . # Q‹ "  _ p \ " f GT  H a ž ?

§

4    H „  | Ä Ì ×  æ \ " f• ¸ z  ´Ã º\  ¦ 6   x " fu  · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð  © œ Á º



q ô  Ç  כ s “ ¦ Pavlov  H (D, D) \ " f• ¸ C– Ð ° ú ˜ U  ´`  ¦ \ P # Q Z

 ~ Ü ¼Ù ¼– Ð › ' a @ /   ½ + É Ã º e ”  . TFT  H  ’  [ þ t z o  > e ” 

`

 ¦   ô  Ç A á ¤ \ " f z  ´Ã º { 9 # Q± ú ˜  â Ä º  oK \  ¦ K ˜ Ð 9

t ë ß – % Á ~ à Ì – Ð (C, D)ü < (D, C)ë ß –`  ¦ š ¸€  " f z  ´J ô  Ç



  H _ p \ " f Õ ª ×  æ ç ß –A £ § s  . t ë ß – TFT  H Pavlov  



 H › ' a @ /ô  Ç „  | Ä Ìs  ~ à Î [ þ t # Œ| 9  à º e ” • ¸2 Ÿ ¤ [  v  H f ç  Ž  o 

%

i ½ + É`  ¦ ô  Ç .



– Ð f ” „  ë ß – l % 3    H „  | Ä Ì[ þ t @ /’  , ¿ º é ß –>  · ú ¡_  > e ” 

 

õ  t  “ ¦ 9\  V , # Q" f ' Ÿ 1 l x`  ¦   & ñ   H „  | Ä Ì[ þ t`  ¦ q  5

p

w >   4 Rú <• ¸ a ž ?§ 4    H „  | Ä Ì[ þ t s  ¶ ú ˜ z Œ ™`  ¦ t  _ ë  H`  ¦

¾

¡

§ # Q^  ¦ à º e ”  . s  M :\   H (CC, CC)  Ò'  (DD, DD)  t

 16t  > e ”    õ  e ” `  ¦ à º e ” “ ¦ > e ”    õ \  ¦ : £ ¤& ñ

½

+ É Ã º \ O   H þ jœ í_   © œ S ! \ • ¸ 2> h_  q à Ô ½ + É{ © œ÷ &l  M : ë

 H \  8 ú x 2

¹⁸

= 262, 144 > h_  „  | Ä Ìs  0 p x  .    32> h

×

 æ 28 > h  Ø Ô>  ™ èY > ô  Ç · ú ¡" f_   â Ä º\ " f% ƒ! 3  s  ×  æ @ / Â

Òì  r“ É r |   r ç ß – t ¨ î \ " f  H % i ½ + É`  ¦ t  3 l w “ ¦ œ íl 

\

    Q| 9   כ s  . t ë ß – # QÞ 5 xŽ  H s   H  © œ{ © œy   H Õ ü w   s

l  M :ë  H \  Ä ºo   H f ” ] X  RD\  ¦ [  t o   H @ /’  \  Y >  t 

& ñ `  ¦ : Ÿ x K  7 á §  8 ç ß –é ß –ô  Ç U  ´`  ¦ ¹ 1 Ô ˜ Е ¸2 Ÿ ¤  ’ x . Õ ª 

&

ñ [ þ t“ É r s X O  . €  $  @ / Òì  r _  „  | Ä Ìs     Qt   H  Œ ™õ ß – 1 l x î

ß –\   H e ” _ _  r & h \  ” > r F    H — ¸Ž  H „  | Ä Ì[ þ t _  q Ö  ¦ \  Ä

»_ p ô  Ç s  \ O `  ¦  כ s “ ¦ ¾ º ¾ º½ ¨\  ¦ ë ß –± ú ˜t • ¸ — ¸

¿

º % Á q 5 p w ô  Ç S X ‰Ò  ¦ – Ð Å Ò# Q| 9   כ s  . ¢ ¸ y Œ • „  | Ä Ì[ þ t s    Å

Ò ™ è½ ©— ¸– Ðë ß – ” > r F  “ ¦ e ” l  M :ë  H \  Õ ª ×  æ þ j€ Œ •_    

Fig. 2. Characteristic results of the iterated prisoner’s dilemma game on the two-dimensional 128 × 128 square lattice with q = 0.05. The error probabilities are given as (a) e = 0 and (b) e = 0.01, respectively.

õ

\  ¦ Šҍ  H „  | Ä Ì“ É r 7 £ ¤ r    ”   “ ¦ ˜ Ð • ¸ Á º~ ½ Ó½ + É  כ s 



. Õ ª Q€   Ä ºo   H d ”  (1)_  p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ & h ì  r   H @ /

’

 \ , þ j€ Œ •_  & h à º\  ¦ Šҍ  H „  | Ä Ì[ þ t`  ¦ t Ä º“ ¦ Õ ª „  | Ä Ì[ þ t s 

\ O

# Q”    © œI \ " f  r  z Œ ™“ É r „  | Ä Ì[ þ t _  & h à º\  ¦ > í ß –   H { 9

`  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ K • ¸  ) a  . ' ‘ ƒ    €  , s   Œ •\ O “ É r · ú ¡" f 32> h

„

 | Ä Ì\  @ /K  r ' Ÿ Ù þ ¡`  ¦ M : Ä ºo     H @ /– Ð W 1> h_  „  | Ä Ì ë

ß –`  ¦ z Œ ™ é  H  . z  ´] j s   Œ •\ O `  ¦ 2

¹⁸

> h „  | Ä Ì[ þ t \  @ /K  ' Ÿ  ô

 Ç   õ  95 %   t “ ¦, z Œ ™“ É r  כ [ þ t“ É r €  $  C ’   t 

· ú

§  H  כ [ þ t÷  r s  . s  כ “ É r · ú ¡\ " f f ” „     õ ë ß –`  ¦ l % 3  

>

 Ù þ ¡`  ¦ M :ü < { 9 u ô  Ç . t ë ß – z Œ ™“ É r 5 % \   H Pavlov 

Ÿ

í† < Ê÷ &t · ú §  H  . Õ ªX O  €   z  ´Ã º S X ‰Ò  ¦`  ¦ : Ÿ x K  › ' a ¹ 1 Ï÷ &  H

| 

 r ç ß – ' ‘ • ¸\ " f_  1 l x% i † < Æ\ " f ‚  × þ ˜÷ &  H „  | Ä Ì“ É r · ú ¡" f ü

<  Ó ü w  \  ¦ à º• ¸ e ”   H  כ s  . z  ´] j z Œ ™“ É r 5%\  ¦ t 

“

¦ z  ´Ã º\  ¦ ) ‡6   x K " f     0 A\ " f > í ß –ô  Ç   õ   H B Ä º < É ª p

\  v  . Ä ºo   H  Å Ò › ' a ¹ 1 Ï÷ &  H „  | Ä Ì[ þ t`  ¦ ß ¼>  [ j 7 á x À Ӗ Ð ì

 r À ÓÙ þ ¡  H X < ' Í   P :  H Ä ºo  ‘´ òÖ  ¦& h “   a ž ?§ 4  (Efficient Cooperator, EC)’  “ ¦  ÒØ Ô  H Á ºo – Ð" f, Pavlov% ƒ! 3  s 

„

 | Ä Ì`  ¦ æ ¼  H  | à Ð[ þ t z o  z  ´Ã º { 9 # Qz Œ ¤`  ¦ M : B Ä º & h “ É r

’

< Hz  ´ë ß –`  ¦ z • 2 ; G  " é ¶ A _  a ž ?§ 4   © œ S ! Ü ¼– Ð [  t  ° ú ˜ à º e ” > 

 F

K ô  Ç . t ë ß – ¿ º  P : 7 á x À Ó_  „  | Ä Ì“ É r s  EC ”   › ' a

Fig. 3. Change of fractions of three representative strate- gies belonging to EC, ET, and I-TFT, respectively, when simulated on the 32 × 32 square lattice.

@

/† < Ê`  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤& h Ü ¼– Ð s 6   x K  s 1 p q`  ¦ 2 [ô  Ç . Ä ºo   H GT \ 

@

/6 £ x r v l  0 AK   ™ è_  # Q` ‚\  ¦ Á º\  v æ ¼“ ¦ s [ þ t`  ¦ ‘ ´ òÖ  ¦

&

h “   8 ú ¤ µ 1 Ï(Efficient Trigger, ET)’ „  | Ä Ìs  “ ¦ Ô  ¦! 3  . › ' a

@

/ô  Ç EC „  | Ä Ìs  z  ´] j ~ à Î [ þ t # Œt l  0 AK " f  H { 9 7 á x _  ‘´ ú 

@

/6 £ x’`  ¦ : Ÿ x K  s    כ ¹™ è[ þ t`  ¦ ' õ A™ è   H  כ s  € 9 כ ¹  . 7 £ ¤

#

Œl \ " f• ¸ Ä ºo  Intelligent Tit-for-tat(I-TFT)s  “ ¦ Â

ÒØ Ô  H „  | Ä Ìs  ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ { Œ ™{ © œ   H X <, s   H „  | Ä Ì_ 

½

¨› ¸ €  \ " f• ¸ · ú ¡" f Ä ºo  & ñ _ Ù þ ¡~   TFTü < B Ä º Ä » 

 . 7 £ ¤ z  ´Ã º S X ‰Ò  ¦ s  ± ú  €   @ / Òì  r _  r ç ß – 1 l x î ß – s  „  

| Ä

̓ É r ¿ º é ß –>  · ú ¡`  ¦ Á ºr  “ ¦  z  ´ © œ TFT% ƒ! 3  ' Ÿ 1 l x ô  Ç .

t ë ß – C ’  s  { 9 # Qz Œ ¤`  ¦  â Ä º s  „  | Ä Ì“ É r ¿ º é ß –>  · ú ¡  t

 ‚ à Л ¸ €  " f ' Ÿ ˜ Ð\  ¦ µ 1 á 
“ ¦ ë ß –{ 9  ° ú  “ É r I-TFT z o  z 

´Ã º\  ¦ ô  Ç  כ s  €   Á º y  a ž ?§ 4 Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤ ) ô  Ç . s  õ & ñ

“

É r EC ˜ Ð   H €  •ç ß –  8 ’ < Hz  ´s  ß ¼t ë ß – = å Q ? /  § 4 Ü ¼– Ð z  ´ Ã

º\  ¦ “ ¦u t  3 l w   H TFT \  q  €    s `›   ”  { 9 ˜ Ðô  Ç  כ s 



. Õ ªo “ ¦ s X O >  z  ´Ã º\  ¦ “ ¦5 g
  H õ & ñ “ É r EC _  › ' a

@

/† < Ê% ƒ! 3  > 5 Å q K " f s 6   x ½ + É Ã º e ”   H $ í | 9 _   כ s   m  .

I-TFT „  | Ä Ì`  ¦ > 5 Å q K " f 5 Å q # Œ˜ Ð 9  H  © œ@ /  H  Œ ™r  Ê ê   

² D

G \  TFT, 7 £ ¤ ^ o =$ ô  Ç ´ ú @ /6 £ x`  ¦  Å Ò “ ¦ e ”   H  ’  `  ¦ µ 1 Ï

|

 >  ÷ &“ ¦   ² D G ƒ  5 Å q ) a C ’   r • ¸  H 6 £ xf ç { © œô  Ç . s 



 H €  •ç ß –_  Õ ªA á Ô ì  r$ 3 Ü ¼– Ð ˜ Ð{ 9  à º e ”   H  כ Ü ¼– Ð # Œl \ 

"

f  H  [ jô  Ç  7 H _ \  ¦ Ò q t| Ä Ì l – Ð ô  Ç . I-TFT EC\  ¦ # Q b 

G>  [  v  H t   H Fig. 3 \ 
 ? /% 3  .

III. —  Þ{  E  È k Ä8 ý  ºX N Ë

· ú

¡" f " f : r \ " f \ V\  ¦ [ þ t% 3 ~   : Ÿ x' Ÿ ½ ©g Ë :_  › ¸& ñ ë  H ] j\  ¦ d ”

 (1)`  ¦ : Ÿ x K  ì  r$ 3 K ˜ Ð . ° ú šõ  `  ¦ _  Ø  æ[  t # ŒÂ Òë ß –`  ¦  

”

  €   ý a(L)ü < Ä º(R)  s \   H @ /g As  ” > r F  Ù ¼– Ð ° ú š õ

 `  ¦ s  › ¸& ñ \  $ í / B NÙ þ ¡`  ¦  â Ä º, 7 £ ¤ (L,L) <  ʓ É r (R, R) \ 

Fig. 4. Our model of a pedestrian.

"

f  H ° ú šõ  `  ¦ — ¸¿ º 1& h m ” `  ¦ % 3 “ ¦ (R, L)s 
 (L, R)– Ð z  ´ J

ô  Ç  â Ä º\   H 0& h `  ¦ % 3   H  “ ¦ Z  ~  H  . ° ú šõ  `  ¦ s  p

R

– Ð R`  ¦ ' Ÿ  “ ¦ p

^L

= 1 − p

R

– Ð L`  ¦ ' Ÿ ô  Ç €   d ”  (1)“ É r

dp

R

dt = p

R

(1 − p

R

)(2p

R

− 1) (2) s

 ÷ &“ ¦ p

R

= 0, 1, 1/2 s    H [ j > h_  ç  H+ þ A& h `  ¦ % 3   H  .

#

Œl \  €  •ç ß –_  כ ¹1 l x`  ¦ Å Ò# Q K _  î ß –& ñ $ í `  ¦ ì  r$ 3 K ˜ Ѐ  



t } Œ • K “   p

_R

= p

L

= 1/2, 7 £ ¤ Á º Œ •0 A– Ð ý aÄ º\  ¦ ‚  × þ ˜ 



 H K   H Ô  ¦ î ß –& ñ  .   " f ý a– Ў  H Ä º– Ў  H €  •ç ß –_  j " ta Ë >

ë

ß – • ¸{ 9  ) a  €   Õ ª ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð_  : Ÿ x' Ÿ  ½ ©g Ë :s  [ þ t # Q[ O   כ s 



“ ¦ d ”  (1)“ É r \ V8 £ ¤ ô  Ç . s  \ V8 £ ¤ s  { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð `  Š“ É r  כ

“

 t  ^ ‰ß ¼ l  0 AK   6 £ § % ƒ! 3  U  ´õ  ˜ Ð' Ÿ  \  ¦ — ¸+ þ A oK 

˜

Ð . ˜ Ð' Ÿ    H  y Œ •     0 A_  ô  Ç  © œ m ” `  ¦ t ½ + É Ã º e ”

  H X < ô  Ç  © œ \   H ¿ º " î s  © œ_  ˜ Ð' Ÿ   [ þ t # Q° ú ˜ à º

\ O

 . y Œ •   H  ’  s  “ ¦    H “ ¦Ä »_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  e ” # Q" f Õ

ª ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð
 ° ú ˜ à º e ” `  ¦ M :\   H Õ ªo – Ð ô  Ç µ 1 Ï „  ”   ô

 Ç . t ë ß – ë ß –{ 9  Õ ª ~ ½ ӆ ¾ Ós    É r ˜ Ð' Ÿ  \  _ K  – Ð }

Œ

•) €e ”  €     É r   & ñ `  ¦ ? / 2 ; . ' Í P :, “ ¦Ä » ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦   

˜

Г ¦ ý aÄ º — ¸¿ º \ P  9e ” `  ¦ M :\   H q _  S X ‰Ò  ¦ – Ð š ¸ É rA á ¤, 1 − q _  S X ‰Ò  ¦ – Ѝ  H ¢ , aA á ¤ Ü ¼– Ð  rx  ' Ÿ 1 l x`  ¦ ô  Ç . Ñ ü t P :, ý a Ä

º ×  æ ô  ÇA á ¤ ë ß –s  – Ð} Œ •) €e ” `  ¦ M :\   H } Œ •) €e ” t  · ú §“ É r ~ ½ Ó

†

¾ Ó`  ¦ × þ ˜ “ ¦, ! Ó P :– Ð ý aÄ º $  4 Ÿ x  W÷ &# Q e ”  €   Õ ª  o 

\

" f l   2 ; . Ó ü t : r s  כ “ É r F  g  © œy  ç ß –é ß – o  ) a — ¸+ þ A{ 9   כ s


 €  •ç ß –  8 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç ' Ÿ 1 l x( @ /y Œ •‚   ~ ½ ӆ ¾ Ó „  ”  s 
 { 9 ˜ ÐÊ ê

@)`  ¦ • ¸{ 9 ô  Ç “ ¦ K • ¸ & ñ $ í & h “    Òì  r“ É r ß ¼>   7 t  · ú §



 H  .

ý

aÄ º– Ð . á <# Qe ”   H U  ´ 0 A\  ˜ Ð' Ÿ  [ þ t`  ¦ e ” _ – Ð C u K 

˜

Ð . s  M : U  ´_  ý aÄ º = å Q“ É r í  H¨ 8 Š& h   â > › ¸| Ü ¼– Ð s # Q

”

  . Õ ªo “ ¦ ˜ Ð' Ÿ  _  ] X ì ø ͓ É r ¢ , aA á ¤`  ¦ “ ¦Ä »~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð  t

“ ¦
 Qt  ] X ì ø ͓ É r š ¸ É rA á ¤`  ¦ “ ¦Ä »~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ”   G 


Fig. 5. Occurrence of jamming observed in the pedes- trian model..



 9 ô  Ç . Õ ªo “ ¦ y Œ • _  “ ¦Ä »~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦   ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M :

—

¸¿ º Ä º8 £ ¤: Ÿ x' Ÿ _  ½ ©g Ë :`  ¦   É r  “ ¦ K ˜ Ð (q = 1). # Œ



Q " î _  ˜ Ð' Ÿ  \  ¦ — ¸+ þ A ½ ©g Ë :\     ¹ ¡ §f ” s  9“ ¦ ½ + É M : Ä

»_ K   ½ + É  † ½ ӓ É r, ô  Ç r ç ß – ç ß –   1 l x î ß – # Q‹ "  í  H " f– Ð ˜ Ð '

Ÿ  [ þ t`  ¦ ¹ ¡ §f ” # Œ
° ú ˜  כ “  s  . — ¸Ž  H ˜ Ð' Ÿ  [ þ t s  ½ © g Ë

:`  ¦ ë ß –7 á ¤ >   F K ‘1 l x r \ ’ \ O X <s à Ô   H ~ ½ Ód ” “ É r    – Ð Ä

ºÙ ¼– Ð ô  Ç r ç ß – ç ß –     e ” _ – Ð ˜ Ð' Ÿ  [ þ t _  í  H " f\  ¦ & ñ

“ ¦ Õ ª í  H " f@ /– Ð ½ ©g Ë :`  ¦ & h 6   x K  ¹ ¡ §f ” # Œ
  H  כ s  ~ 1 



. Õ ª Q
 s   â Ä º ™ è0 A X <× ¼2 Ÿ ¤(dead-lock) s    H  © œ S !  s

 { 9 # Q± ú ˜ à º e ”  . s   H U  ´_  ô  Ç ‚  s  — ¸¿ º ô  Ç ~ ½ Ó

†

¾ ÓÜ ¼– Ð ¹ ¡ §f ” s  9  H ˜ Ð' Ÿ  [ þ t – Ð 1 p q ‚ à Û “ ¦ Ù þ ¡`  ¦ M :› ¸  é

ß –t  í  H " f © œ_  ë  H ] j M :ë  H \   Á º• ¸ „  ”   t  3 l w   H  © œ S !

`  ¦ > p w   H X < €  •ç ß –_  F ) · ú ˜“ ¦o 1 p u`  ¦ s 6   x K  í  H " f\  ¦

›

¸& ñ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ s  ‰ & ³ © œ`  ¦ ~ ½ Ót ½ + É Ã º e ”  . s X O >  ˜ Ð' Ÿ   [

þ

t _  0 Au \  ¦ r ç ß –\     \ O X <s à ÔK 
 ˜ Ð . — ¸Ž  H ˜ Ð '

Ÿ  [ þ t s  ô  ǁ  m ”  “ ¦ 9÷ &% 3 `  ¦ M : r ç ß – t  H 1 ë ß –
p u 7 £ x ô  Ç



. ˜ Ð' Ÿ  _  x 9 • ¸ Ø  æì  r y  ± ú  €   s [ þ t“ É r  Á º Ø  æ[  t \ O  s

  Ä »– Ðî  r â ì2 £ §(free flow)`  ¦ ë ß –[ þ t  כ s “ ¦, ë ß –{ 9  Ø  æì  r y  Z

 }  €   s [ þ t“ É r & ñ ^ ‰(jamming)\  ¦ { 9 Ü ¼v €  " f â ìØ Ôt  3 l w

>  | ¨ c  כ s  . s  כ s   © œ l ‘ : r& h Ü ¼– Ð ” > r F    H ¿ º > h _

 & ñ  © œ © œI (steady state)s  .



 " f ˜ Ð' Ÿ   x 9 • ¸ρ_  † < Êà º– Ð â ì2 £ § _  € ª œ φ\  ¦ Ò q ty Œ •K 

^

 ¦ à º e ”   H X <, x 9 • ¸ê ø Í U  ´`  ¦ ½ ¨$ í   H  y Œ •+ þ A  © œ [ þ t ×  æ

\ O

 _  q Ö  ¦ s  ˜ Ð' Ÿ  – Ð & h Ä »÷ &# Q e ”   H s “ ¦ â ì2 £ § _  € ª œ s

ê ø Í ˜ Ð' Ÿ   ×  æ \ O  _  q Ö  ¦ s   ’  _  “ ¦Ä »~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð „  

”

    H X < $ í / B N   H t \  ¦ > p w ô  Ç . Fig. 6“ É r : £ ¤& ñ ρ\  ¦  Å 

#

Q[ O  M : ¨ î ç  H φ  1\ " f 0Ü ¼– Ð / å L5 Å q >  y Œ ™™ è† < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ Å

Ò 9, s    „  s  { 9 # Q± ú ˜ M : & ñ  © œ © œI \    Ø Ô  H r ç ß – τ  B Ä º U  ´# Qf ” `  ¦ o †   . » · ¡ ­ s  €   φ 1õ  0   s

_  ° ú כ{ 9  M :\ • ¸ 
 
_  Ò  re  ¦“ É r @ /> h  Ä » â ì2 £ §

<

 ʓ É r & ñ ^ ‰  © œI  ×  æ 
– Ð ) ‚ à Ì÷ & 9 Ñ ü t  s _  q Ö  ¦ ë ß –s 



 ô  Ç .

ë ß

–{ 9  ˜ Ð' Ÿ  [ þ t _  { 9  Ò ½ ©g Ë :`  ¦ > h_ u  · ú §  H  “ ¦ K ˜ Ð



. 7 £ ¤ ρp  H q=1 – Ð" f ½ ©g Ë :`  ¦  Ø Ôt ë ß –
 Qt  ρ(1 − p)  H q=1/2 – Ð" f : £ ¤Z > ô  Ç ý aÄ º ‚    ñ \ O   H  כ s  . Õ ª Q€   ¿ º



 à º (ρ, p)_  † < Êà º– Ð â ì2 £ § _  € ª œ φ\  ¦ ^  ¦ à º e ”   H X <, Õ ª    õ

  H Fig. 7 õ  ° ú   .

Fig. 6. Results from the numerical simulations where the size of the road is set to be X × Y = 50 × 200.

Fig. 7. Average flow as a function of the pedestrian den- sity and the fraction of rule followers. The road sizes are (a) 50 × 200 and (b) 100 × 400, respectively.

#

Œl \ " f µ 1 ß`  ¦ à º2 Ÿ ¤ â ì2 £ § _  € ª œs  ´ ú §“ É r  כ s Ù ¼– Ð, — ¸¿ º

 ½ ©g Ë :`  ¦ ï  r à º   H  כ (p = 1)˜ Ð  €  •ç ß –_  q Ö  ¦ s  ½ © g Ë

:`  ¦ Á ºr    H  â Ä º š ¸y  9  8 ´ ú §“ É r â ì2 £ §`  ¦ 0 p x H † < Ê

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  . Õ ª s Ä »  H p = 1 \ " f Á º Œ •0 A_  C u Â Ò '

 r  Œ •ô  Ç Ê ê  Œ ™r  + '_  í  H ç ß –`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H  6 £ § _  Õ ªa Ë >

(Fig. 8)`  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜ à º e ”  . U  ´_  î  r X <\  ˜ Ð' Ÿ  [ þ t z  o

_  Ó ü æg Ë >s  { 9 # Q
“ ¦ e ” 6 £ § s  ˜ Г   . s   H € ª œA á ¤ Ü ¼– Ð ¹ ¡ § f ”

s   H ˜ Ð' Ÿ  [ þ t s  " f– Ð_  š ¸ É rA á ¤`  ¦ ¹ 1 Ô   ˜ Ðm  U  ´ _

 î  r X < Òì  r _  ˜ Ð' Ÿ   x 9 • ¸ Z  }  4 R" f ™ D ¥ ¸ ú šs  { 9 # Q

“ ¦ e ” 6 £ §`  ¦
  · p . Õ ªo “ ¦ s  כ s  & ñ ^ ‰– Ð µ 1 τ  ½ + É Ã º e ”

  H  כ s  . ë ß –{ 9  €  •ç ß –_   | à Ð[ þ t s  ½ ©g Ë :`  ¦ Á ºr  “ ¦ ¹ ¡ § f ”

“   €   Õ ª[ þ t s  s    Ó ü æg Ë >`  ¦ ~ ½ ÓK  “ ¦ f  ­ # Q! Qo l  M : ë

 H \  š ¸y  9 & ñ ^ ‰_  0 A+ « >“ É r ×  ¦ # QŽ  H  .

Ä

ºo  y © œ› ¸ “ ¦    H & h “ É r, ' Í P :– Ð ½ ©g Ë : Á ºr \  ¦ : Ÿ x K

 & ñ ^ ‰ W =  { 9 # Qè ß –   H s  % i [ O & h “   ‰ & ³ © œs  RD_  \ V 8

£

¤ \ " f # Á # Q
  H ì ø ÍY V   H  כ s  9, Ñ ü t P :– Ð s   H Á º Œ •0 A

Fig. 8. Typical configuration at t = 1000 when started with ρ = 0.2 and p = 1 on a road of 100 × 400.

&

h “   œ íl  › ¸| \ " f î ß –& ñ `  ¦ ¹ 1 Ô   H õ & ñ \  › ' aº   ) a  כ Ü

¼– Ð õ • ¸& h “   ‰ & ³ © œ(transient phenomenon)`  ¦ › ' a ¹ 1 ÏÙ þ ¡`  ¦ M

: { 9 # Qè ß –   H  כ s  . · ú ¡" f ý eà º_  v 9 Y U   Òì  r \ " f s  p

 RD_    õ  $  " é ¶ \ " f
 ± ú ˜ € 9 כ ¹  H \ O  “ ¦ ƒ  / å L Ù þ

¡  H X <, t F K _   â Ä º\  s   H : £ ¤ y 
  z  ´s  . ë ß –{ 9   s `

›

  Z  }“ É r " é ¶ \ " f €   ˜ Ð' Ÿ  [ þ t“ É r U  ´ ×  æ ç ß –\ " f_  Ø  æ[  t

`

 ¦ ~ 1 >  x  €  " f ] j  o \  ¦ ¹ 1 Ô ° ú ˜  כ s “ ¦ t F K _  % i [ O 

&

h “   ‰ & ³ © œ“ É r  _    | 9   כ s  .

IV. W Äß O Ë8 0 4 Æ k È

Ä

ºo   Ò  ¦ ¢ ¸ 
_  > e ” “ É r { 9 7 á x _  ™ èà º  > e ” s 



. ™ èà º  > e ” “ É r   É r ‚ à Ð# Œ ü <   É r ‚  × þ ˜`  ¦ K   s 1 p q

`

 ¦ % 3   H    H & h \ " f › ¸& ñ > e ” õ  ì ø Í@ /s  9 s    _ p \ 

"

f ì ø ͛ ¸& ñ (anti-coordination) > e ” s l • ¸  . Ø  ¦  HU  ´ _

 t  ^ o =\ " f l  _  · ú ¡Â Òì  r \   “ ¦ e ”   H  כ s  % i  Ø  ¦ ½ ¨

\

 ¾ ú š “ ¦ ô  Ç €      · ú ¡Â Òì  r \  €  $   “ ¦ e ”   H  כ s  7

á

§  8 Ä »o ½ + É  כ s  . Õ ª Q
 — ¸¿ º ° ú  “ É r Ò q ty Œ •Ü ¼– Ð ] j{ 9 

· ú

¡ ñ ß –\  ò ø Í €    -Á º q a % v  " f    Õ ª Ô  ¦¼ # s  €  •ç ß –_  ¼ #  o

\  ¦  © œ W “ ¦• ¸ z Œ ™`  ¦  כ s  . Õ ªX O  €      ¿ º  P : ñ ß –

\

 `  ¦     H  כ s  7 á §  8
“ É r ‚  × þ ˜{ 9  à º• ¸ e ”  ’ x . s   



© œ S ! `  ¦  8 é ß –í  H  oK " f n" î _   | à Ðs  1õ  n  s _   ƒ   Ã

º\  ¦ “ ¦ É r  “ ¦ K ˜ Ð . s  > e ” \ " f & h à º\  ¦ % 3 Ü ¼ 9€   



© œ ± ú “ É r Õ ü w  \  ¦ Y  J    t ë ß – Õ ª Õ ü w    H  ’  ë ß –s  “ ¦ É r

 כ

s # Q  ô  Ç . 7 £ ¤ 1`  ¦ ¿ º  | à Рs  © œs  i ( v “ ¦ 2\  ¦ ô  Ç " î s  Y

 J | à ÛÜ ¼€   5 p x    H 2\  ¦ “ ¦ É r  | à Ðs  ÷ &# Q 1& h `  ¦ % 3   H d ” s 



. Ä ºo   H „  | Ä Ì_  > h¥ Æ `  ¦ Õ ü w   1õ  n  s \    • 2 ; S X ‰Ò  ¦ ì

 r Ÿ í “ ¦, 7 £ ¤ : £ ¤& ñ Õ ü w   i\  ¦ “ ¦\  ¦ S X ‰Ò  ¦ p

i

_  | 9 ½ + Ës  “ ¦ ô

 Ç& ñ t # Q Ò q ty Œ •½ + É  כ s  . Ó ü t : r P p

i

= 1 s  ë ß –7 á ¤ ) a  . Õ ª X O

 €   s  > e ” \  e ”    H ™ è0 A ‘a % ~“ É r’ „  | Ä Ì“ É r Á º% Á { 9  ?

Ä

ºo  × þ ˜½ + É Ã º e ”   H > h¥ Æ  ×  æ 
  H ”   o& h Ü ¼– Ð î ß –& ñ ô  Ç

„

 | Ä Ì(evolutionarily stable strategy)“  X <, s   H @ / à º

s

 „  | Ä Ì`  ¦ × þ ˜ “ ¦ e ” `  ¦ M : # Œl \ " f # Á # Q
  H  כ s  Ô  ¦ o  K

t >   F K   H  כ s  . s ˜ Ð  › ¸F K  8 €  •ô  Ç > h¥ Æ “ É r ×  æ w n

& h Ü ¼– Ð î ß –& ñ ô  Ç „  | Ä Ì(neutrally stable strategy)“  X <, s 



 H  à º s  „  | Ä Ì`  ¦ 2 [ “ ¦ e ” `  ¦ M : # Œl " f # Á # Qè ß –[ þ t, ì

ø Í× ¼r  ’ < H K  t  ˜ Ðt   H · ú § 8 • ¸ s e ”  ^  ¦ >  \ O    H > p w s

 . n = 3s   © œ ç ß –é ß –ô  Ç  â Ä ºs Ù ¼– Ð s \  ¦ €  $  Ò q ty Œ • K

˜ Ð . ° ú šõ  `  ¦ s  : £ ¤& ñ „  | Ä Ì {p

ⁱ

}\  ¦ 2 [ “ ¦ e ” `  ¦ M : [ j



 P :  | à Г   # î s  # Œl \ " f # Á # Q± ú ˜ s Ä » \ O >   F K  9

€

  # Qb  G>  K   ½ + É ? ° ú šõ  `  ¦ s  ë ß –[ þ t # Qè ­ q à º e ”   H  © œ S ! 

“ É

r 8 ú x 9 t s  9 y Œ •y Œ •\  @ /K  # î “ É r {π

i

} _  „  | Ä Ì`  ¦ t 

“

¦  ’  _  s 1 p q`  ¦ > í ß –K  · p . €  $  (° ú šs  “ ¦ É r Õ ü w  , `  ¦ s

 “ ¦ É r Õ ü w  )=(1,1)“    â Ä º, s X O >  | ¨ c S X ‰Ò  ¦“ É r p

²₁

s  .

Õ

ªX O  €   # î “ É r Õ ü w   2
 3`  ¦ “ ¦2 £ § Ü ¼– Ð+ ‹ Ä º5 p x ½ + É Ã º e ” “ ¦



 " f % 3 `  ¦ à º e ”   H & h à º_  l @ /u   H s l >  | ¨ c M : ~ à ΍  H

&

h à º 1& h s Ù ¼– Ð, π

²

+ π

3

s  . s X O >  9t   â Ä º\  ¦ — ¸

¿

º Ò q ty Œ •K ˜ Ѐ   # î s  l @ /½ + É Ã º e ”   H & h à º\  ¦ > í ß –½ + É Ã º e ” 



. s  כ s  π

i

\  Á º › ' a K t >   F K p

i

\  ¦ › ¸½ + Ë €   # î “ É r  ’   _

 „  | Ä Ì`  ¦ : Ÿ x K   © œ S ! _  > h‚  `  ¦ l @ /½ + É Ã º \ O >  ÷ &“ ¦ s 

 כ

s  Ä ºo  " é ¶   H ² ú šs  . ë  H ] j ÷ &  H  כ “ É r n s  3˜ Ð



 €  •ç ß –ë ß – ´ ú § 4 R• ¸ 0 p x ô  Ç › ¸½ + Ë_  à º F  g  © œy    É r 5 Å q

•

¸– Ð Z þ t # Q
l  M :ë  H \  s \  ¦ `  ¦  – Ð ! l r l  ~ 1 t  · ú § 



 H  z  ´s  . Ä ºo _   s n # Q  H  † ½ Ód ” _  „  > hü < @ /à º

&

h

 ƒ  í ß –`  ¦ : Ÿ x K   â Ä º_  à º\  ¦ & ñ S X ‰ y  ! l r   H  כ s  . 7 £ ¤ 0

A_  n = 3 \ V\ " f Z

⁰

= (p

1

+ p

2

+ p

3

)

²

\  ¦ „  > hK " f % 3 # Q t

  H 9 > h_  † ½ ӓ É r ° ú šõ  `  ¦ s  ë ß –[ þ t # Qè ­ q à º e ”   H 9 > h  â Ä º _

 à º\  ¦ & ñ S X ‰ y  o v “ ¦ e ”  . s  ×  æ Õ ü w   1`  ¦ ô  Ç " î ë ß – s

 ‚  × þ ˜ô  Ç  â Ä º  H Á º% Á { 9  ? s   H 0 A 9> h † ½ Ó ×  æ p

1

_   Ã

º 1“    כ [ þ t – Ð
 ± ú ˜  כ s  . s \  ¦ @ /à º& h Ü ¼– Ð % 3 # Q

?

/  H { 9 “ É r ~ 1  . 7 £ ¤ Z

0

\  ¦ p

1

Ü ¼– Ð p ì  r ô  Ç Ê ê p

1

\  0`  ¦ @ / { 9

 €   Õ ª   † ½ Óë ß –s 
 ± ú ˜  כ s  .  Ë ¨– Ð, s \  ¦ ] jü @ ô

 Ç
 Qt  † ½ Ó[ þ t“ É r Õ ü w   1s  Ä º5 p x Õ ü w        â Ä º[ þ t s 



.

Z

₁

= Z

₀

− p

₁

[dZ

₀

/dp

₁

](p

₁

= 0) (3)



ð ø Ít _   7 H o – Ð, 2 % i r  Ä º5 p x Õ ü w  \ " f C ] j  9€   q

5 p w ô  Ç ƒ  í ß –`  ¦ Z

1

\  ' Ÿ  €    ) a  .

Z

2

= Z

1

− p

2

[dZ

1

/dp

2

](p

2

= 0) (4) ô

 Ç µ 1 Ï  8
 , Õ ü w   i − 1 t \  ¦ Ä º5 p x Õ ü w  \ " f C ] j 

“

¦ i\  ¦ “ ¦ É r  | à Ðs   Á º• ¸ \ O >   9€   Z

_i−1

\  p

ⁱ

= 0`  ¦

@

/{ 9  €    ) a  .

c

_i

= [Z

_i−1

](p

_i

= 0) (5) Õ

ª Q€   # î s  % 3   H & h à º  H  6 £ § % ƒ! 3  > í ß –  ) a  .

W = X

c

i

π

i

(6)

#

Œl \ " f• ¸ % i r  P π

i

= 1 s Ù ¼– Ð c

ⁱ

 i\   © œ › ' a\ O s  — ¸

¿

º  © œÃ º– Ð Å Ò# Q”   “ ¦ €   {π

_i

}  H W _  > í ß –\   Á º % ò

†

¾ Ó`  ¦ p u t  3 l w ô  Ç . c

i

 — ¸¿ º  © œÃ º   H  כ “ É r n − 1 > h_ 

Fig. 9. Equilibrium solutions of the reverse auction game. Both panels (a) and (b) depict the same data but panel (b) scales both axes in terms of n to compare the outcomes with the uniform solution.

p

t à º\  ¦ t   H n − 1 > h_  ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t s l  M :ë  H \  " é ¶ g Ë :& h  Ü

¼– Ð Û  ¦ à º e ” “ ¦ s – РÒ'  ç  H+ þ A`  ¦ s À ҍ  H & h “   {p

i

}    

&

ñ  ) a  .  [ jô  Ç  † ½ ӓ É r Ò q t| Ä Ì  ’ xt ë ß – Õ ªX O >  % 3 # Q”   K 

\

 ¦ Fig 9 \ 
 ? /% 3  .

ô

 Ç t  < É ª p – Ðî  r  z  ´“ É r, ë ß –{ 9  — ¸¿ º ° ú  “ É r „  | Ä Ì`  ¦   6

 

x ô  Ç €   (p

i

= π

i

) s 1 p q`  ¦ þ j@ / o   H K   H ç  H{ 9 K , 7 £ ¤ p

_i

= 1/n s    H & h s  . ì ø ̀   — ¸Ž  H Ä »ô  Çô  Ç n\  @ /K  ç  H + þ

AK   H ç  H{ 9 ½ + É Ã º \ O    H  כ `  ¦ ~ 1 >  ˜ Ð{ 9  à º e ”  . # Œl 

\

" f• ¸ { 9 7 á x _  v 9 Y U , 7 £ ¤  © œ a % ~“ É r K Z O s  e ”   H X <• ¸ > h

>

h“  s   ’  _  s î  r`  ¦ Æ Ò½ ¨  ˜ Ѐ   š ¸y  9 Õ ª˜ Ð  ± ú 

“ É

r & h à º[ þ t`  ¦ t >   ) a    H % i [ O & h “    © œ S ! s 
 
  H

 כ

s  . s   H · ú ¡" f Ä ºo  ý eà º_  v 9 Y U \ " f• ¸ l Õ ü t 

“

¦  Ù þ ¡~    © œ S ! “  X < Õ ª M : ¿ º " î  s \ " fë ß – > e ” s  “ ¦ 9

÷ &% 3 ~    כ õ  ² ú ˜o  t F K s  v 9 Y U   H n" î _   | à Ð[ þ t  s 

\

" f { 9 # Q
“ ¦ e ”  . 0 A_  @ /à º& h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ t “ ¦• ¸ z  ´] j

–

Ѝ  H  † ½ Ód ” _  † ½ Ós  % 3 ' õ Aè ß – 5 Å q • ¸– Ð Z þ t # Q
l  M :ë  H \  ‰ & ³ F

– Ð" f ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  ¦ à º e ”   H  כ “ É r n = 12 z Œ ™f ± \  Ô  ¦ õ  



.   H  & h “   > í ß –`  ¦ : Ÿ x K  €  •ç ß –  8 Z  }“ É r Õ ü w  \  @ /K " f• ¸ K

\  ¦ \ V © œ½ + É Ã º e ” t ë ß – s   H a % v“ É r t €  \ " f [ O " î l \ 

&

h ½ + Ëu  · ú § .  ë ß – é ß –í  H y  " f– Ð $ í / B N& h “   „  | Ä Ì`  ¦ 4 Ÿ ¤ ] j 

>

 † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ 0 A_  ì  r$ 3 & h “   ² ú š\  à ºu & h Ü ¼– Ð   H] X ½ + É Ã º e ”

6 £ §`  ¦ µ 1 ß) €¿ º“ ¦  ô  Ç .

Ä

ºo  % 3 “ É r ² ú š“ É r n" î ×  æ ô  Ç " î s 
 Qt \  ¦   ˜ Г ¦



’  _  ' Ÿ 1 l x`  ¦  Ü ã J t  ´ ú ˜t \  ¦   & ñ   H  © œ S ! `  ¦ % i ¿ º\ 

¿

º“ ¦ > í ß –  ) a  כ s  . Ó ü t : r s  כ “ É r F  g  © œy   Ò" ft l  / 'î  r t

& h { 9  à º• ¸ e ”  . ´ ú ˜  €    t } Œ •  | à Г É r # Q‹ "  π

_i

\  ¦ + ‹

•

¸ 1 l x{ 9 ô  Ç Î . \  ¦ ~ à Îl  M :ë  H \  ² D I s  p

i

   H „  | Ä Ì`  ¦ & ñ S X ‰

Fig. 10. Numerical results when players imitate success- ful strategies. The black dotted lines show the analyti- cally obtained equilibrium solutions.

y

  \  ¦ € 9 כ ¹• ¸ \ O  . Õ ª  X < s   | à Ðs  { 9 é ß – p

ⁱ

\ " f # Á

#

Qè ß – €  
 Qt  n − 1" î ×  æ 
 ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M :\   H @ /g A s

 L :”    © œ S ! s  ÷ &“ ¦ s   H 0 A_  K  „  ^ ‰\  ¦ _ ë  H Û ¼X O >  ë ß – [

þ

t à º e ”   H  כ s  . Ä ºo  à ºu & h Ü ¼– Ð ' Ÿ ô  Ç   õ  € Œ ™ r

   H    H, Õ ª! 3 \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ & h ] X ô  Ç 1 l x% i † < Æ`  ¦ & ñ

l ë ß – ô  Ç €   „  ^ ‰& h “   K   H ì  r$ 3 & h “     õ \ " f  Å Ò ß

¼>  # Á # Q
t  · ú §“ É r G  QÁ º É r    H  z  ´s  .

V. + s Ç Â ] Ø

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H > e ”  s  : r _  à ºu & h “   6 £ x6   x _  \ V– Ð" f ý

eà º_  v 9 Y U  > e ” , ˜ Ð' Ÿ  _  : Ÿ x' Ÿ , Õ ªo “ ¦ % i  â B  > e ” 

\

 @ /K  ™ è> h % i  . ™ è> h  ) a Å Ò] j s ü @\ • ¸ È Ò³ ð  > e ” ,

Ÿ

íd ”  -x d ”   > e ” , „  % i # î _  S X ‰ í ß – ë  H ] j, • ¸– Ð0 A\ " f_ 

“

§: Ÿ x â ì2 £ § \  @ /ô  Ç ë  H ] j,  â ] jÓ ü t o _   € ª œô  Ç ' Ÿ 0 A  — ¸+ þ A 1

p x,  € ª œô  Ç Å Ò] j_  > e ” s  : r › ' aº   ƒ  ½ ¨[ þ t s   Ö ¸ µ 1 Ï >  s  À

Ò# Q t “ ¦ e ”  . s  Qô  Ç þ j   H _  ƒ  ½ ¨  ⠆ ¾ Ó, 7 £ ¤,   r‰ & ³ © œ

`

 ¦ l Õ ü t   H > e ” s  : r _  — ¸+ þ A`  ¦ & ñ w n  “ ¦ s \  ¦ : Ÿ x > Ó ü t o

† < Æ_  _ …¿ ºo \ " f s K  “ ¦    H r • ¸  H t F K  t _  Â

ú

ªt ë ß – $ í / B N& h “   & h 6   x \ V[ þ t`  ¦ ^  ¦ M : · ú ¡Ü ¼– Е ¸ & h & h   8 Ó ü t o

† < Æ\ " f t    H q ×  æ s  & 4 R° ú ˜ כ Ü ¼– Ð l @ /  ) a  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] C. Castellano, S. Fortunato and V. Loreto, Rev.

Mod. Phys. 81, 591 (2009).

[2] D. Helbing, I. Farkas and T. Vicsek, Nature 407, 487 (2000).

[3] F. Vazquez and V. M. Eguiluz, New J. Phys. 10, 063011 (2008).

[4] V.M. Eguiluz and M. G Zimmermann, Phys. Rev.

Lett. 85, 5659 (2000).

[5] D. Helbing, Rev. Mod. Phys. 73, 1067 (2001).

[6] A.-L. Barabasi, Nature 435, 207 (2005); C. Song, Z. Qu, N. Blumm and A.-L. Barabasi, Science 327, 1018 (2009).

[7] G. Szabo and G. Fath, Phys. Rep. 446, 97 (2007).

[8] S.K. Baek and B.J. Kim, Phys. Rev. E 78, 011125 (2008).

[9] S.K. Baek, P. Minnhagen, S. Bernhardsson, K. Choi and B. J. Kim, Phys. Rev. E 80, 016111 (2009).

[10] S.K. Baek and S. Bernhardsson, Fluctuation Noise

Lett. 9, 61 (2010).