테일러 다항식 Taylor Polynomial

(1)

한빛미디어 Engineering Numerical Analysis Learning by MATLAB 1^/37

CHAPTER 05

테일러 다항식

Taylor Polynomial

방성완

중앙대학교 전자전기공학부

2012. 12. 31

(2)

테일러 다항식의 오차

5.3

다항식의 계산

5.4

(3)

학습목표

테일러 급수를 기초로 테일러 다항식의 개념을 이해할 수 있다.

간단한 테일러 다항식을 구하여 복잡한 형태의 함수를 근사시킬 수 있다.

단순화시킨 테일러 다항식과 실제 구하려는 함수 사이에 발생하

는 오차를 측정할 수 있다.

(4)

테일러 급수(Taylor series)

: 함수를 미분 가능한 한 점의 값으로 계산되는 각 항들의 무한한 합으로 표시

 미분 가능한 함수를 다항식의 형태로 근사

테일러 정리

: 특정 조건을 만족하는 임의의 함수가 테일러 급수로 표현

 평균값 정리를 임의의 n차수(order) 도함수에 일반화시킨 형태로 전개

 실제 함수 f(x)를 x = a 근처에서 전개

 테일러 정리

(5)

5.1 테일러 급수

5.1 테일러 급수

 테일러 다항식의 근삿값(approximation): 일반화시킨 식 (5.1)

 f(x)가 n차 항까지 연속적인 도함수값을 가지면 모든 항을 유효하게 이용

 n → ∞이고 R_n→ 0이면, 이 전개를 x = a에서 f(x)에 대한 테일러 급수라 부름

 R_n: 함수 f(x)의 나머지항의 미분

 b: a와 x 사이의 값

(6)

맥클로린(Maclaurin) 급수

: 모든 항의 변수가 음수가 아닌 정수의 거듭제곱(power)을 갖는 급수 확장의 유형

 식 (5.2)에서 a = 0인 경우

 삼각함수 f(x) = sin(x)에 대한 테일러 급수의 전개

 1차, 2차, 3차, ···, n차 미분의 계산 먼저

(7)

5.1 테일러 급수

5.1 테일러 급수

 식 (5.2)에 사인(sine)함수에 대한 미분 결과 대입

 맥클로린 급수, a = 0, 이라고 가정

 sin(0) = 0, cos(0) = 1로 계산

(8)

예제

5-1

테일러 급수 전개하기

식 (5.2)를 이용하여 다음 함수의 테일러 급수를 전개하라. 이때 a = 0이라고 가정한다.

(a) f(x) = cos(x) (b) f(x) = e^x

Tip !

 (a) 식 (5.2)에 코사인함수에 대한 미분항을 대입

 (b) 식 (5.2)에 지수함수에 대한 미분항을 대입

(9)

5.1 테일러 급수

5.1 테일러 급수

MATLAB

5-1

테일러 급수 구하기

매트랩의 심볼릭 수학 도구상자를 이용하여 [예제 5-1]의 두 함수를 실행하라. 처음 항 네 개까지만 나타내라.

Tip !

 taylor 함수: 매트랩 심볼릭 도구상자에서 제공

 기본 구문

f: 전개시키려는 함수

n: f에 의해서 정의되는 테일러 급수의 처음 n – 1항까지 표시 a: x = a에서 평가되는 값

a = 0: 매개변수 a가 생략

(10)

테일러 다항식의 근삿값

: 복잡한 함수를 쉽게 풀 수 있다

테일러 다항식으로 함수의 근삿값 찾기

 선형 다항식: 변수 x에 대한 다항식이 1차 이하의 항들로 구성

 a₀: 0차항, 상수

 a₁: 1차항, 계수

 x = a인 점에서 p₁(x)와 f(x)가 다음 상태를 만족

(11)

5.2 테일러 다항식의 근삿값

5.2 테일러 다항식의 근삿값

 식 (5.5)에 의해서 선형 다항식은 다음과 같은 고유의 근삿값 얻음

 x = a인 점에서 y = p₁(x)의 그래프는 y = f(x)의 그래프와 접선을 가짐

 x = a 인 점에서 2차 다항식 p₂(x) = a₀ + a₁

x + a

₂

x

²와 f(x)가 다음 상태를 만족

 식 (5.7)에 의해서 2차 다항식은 다음과 같은 고유의 근삿값 얻음

(12)

 x = a인 점에서 확장시킨 n차 다항식이 다음 상태를 만족

 일반적인 테일러 다항식의 근삿값

 다른 표현의 식 (5.10)

 x가 a에 근접하면 가 된다.

(13)

5.2 테일러 다항식의 근삿값

x = 4인 점에서 함수 에 대한 2차 테일러 다항식의 근삿값을 구하고 이를 이용하여 의 값을 구해보자

 식 (5.2)를 이용한 2차 테일러 다항식

 1차 미분과 2차 미분: ,

 2차 테일러 다항식에 a = 4 대입

 위 식에 x = 5 대입

 곱셈과 덧셈 연산만으로도 충분히 복잡한 함수의 근삿값을 찾는다.

(14)

예제

5-2

테일러 다항식의 근삿값 구하기

x가 상수 2에 근접하는 x = 2인 점에서 함수 에 대한 선형(혹은 1차) 및 2차 테일러 다항식의 근삿값을 각각 구하라.

Tip !

 선형 테일러 다항식의 근삿값

 2차 테일러 다항식의 근삿값

(15)

5.2 테일러 다항식의 근삿값

MATLAB

5-2

테일러 다항식의 근삿값 구하기

[예제 5-2]에서 구한 선형 및 2차 테일러 다항식의 근삿값을 매트랩을 이용하여 그려라.

이때 x의 범위는 1.0~3.0사이에 있다고 가정한다. 또한 x 값은 0.1씩 증가시킨다.

Tip !

 fx는 함수 를, p1과 p2는 선형과 2차 테일러 다항식의 근삿값을 각각 표시한다.

(16)

[그림 5-2] [MATLAB 5-2] 실행 결과

 와 비교하여 그려진 선형 및 2차 테일러 다항식

(17)

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

 2차 테일러 다항식의 곡선이 1차 테일러 다항식의 곡선보다 f(x)에 더 가깝다

 f(x)와 완전히 중첩되지 않고 일정한 틈새 형성

 이 틈새가 테일러 다항식과 평가하려는 함수 f(x) 사이에 발생하는 오차

 만일 틈새가 없이 완전히 중첩되면, 오차는 전혀 발생하지 않음을 의미

 함수 f(x)와 테일러 다항식 p_n(x) 사이에서 발생하는 오차를 구하는 공식

 x = a에서 테일러 다항식을 근사

 식 (5.3)의 나머지 항과 동일

 점 c_x는 x와 a 사이에 있을 때만 제한적으로 값을 알 수 있음

 점 c_x는 x와 a 사이에 있지 않으면 알 수 없음

(18)

 점 c_x를 고려하지 않고 더욱 정확하게 표현한 식 (5.12)

 식 (5.13)이 식 (5.12)보다 정확한 오차를 계산

 식 (5.12)가 주로 테일러 다항식에 대한 오차 계산에 이용

 대개 점 c_x는 변수 x와 근접하는 상수 a의 범위 내에서만 알 수 있음

 식 (5.10)에서 테일러 다항식의 첫 번째 항 표현

 식 (5.14)에 대한 테일러 오차 공식

(19)

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

중간값(mean-value) 정리

: 함수 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 함수이고 개구간 (a, b)에 점 c_x가 놓여 있을 때, 이 구간에서 미분이 가능

 식 (5.15)에 중간값 정리 적용

 테일러 오차 공식 혹은 테일러 나머지 정리는 중간값 정리를 일반화시킨 형태

(20)

[예제 5-1] 다시 살펴 보기

 지수함수 e^x에 대한 n차 테일러 다항식의 근삿값

 식 (5.18)에 대한 오차

 점 c_x는 0과 x 사이

 만일 x가 0 값에 근접하면 , 점 c_x도 0 값에 근접

 위의 식은 p_n+1(x)의 마지막 항과 동일

(21)

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

 자연상수 e

 탄젠트(tangent) 곡선의 기울기에서 유도

 특정 실수로 무리수이면서 초월수

 무리수이기 때문에 근삿값만 추정함

 부동 소수점 다섯 자리까지 표시, 2.71828

 식 (5.18)에서 x = 1 대입한 자연상수 e의 근삿값 계산

 위 식에 대한 오차

 경계에 대한 오차

 c_x는 0과 1 사이 경계에 놓임

(22)

 자연상수 e에 대한 오차의 범위

 n = 3인 경우의 오차

 실제 계산

 자연상수값 2.71828에서 위의 값을 뺀 값 0.05161는 오차 범위 내에 존재

 테일러 다항식의 경계 오차 공식으로 식 (5.12) 변환

(23)

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

 x = 0에서 지수함수에 대한 3차 테일러 다항식의 경계 오차

 네 번 미분한 지수함수도 지수함수 자신

 0~1 사이의 경계에서 네 번 미분한 최대값은

a

= 1점에서 존재

 최종적으로 계산된 절대 오차

 n = 3에 대한 오차 결과의 오른쪽 경계값과 동일



a

= 0의 작은 값을 적용하면 왼쪽 경계값과 동일

 n = 8인 경우로 확장하면 오차 범위는 급격하게 감소

(24)

예제

5-3

테일러 다항식 근삿값의 경계 오차 구하기

5.2절에서 x = 4인 점에서 함수 에 대한 2차 테일러 다항식을 이용하여 의 근삿값 2.234375를 구하였다. 테일러 다항식에 대한 경계 오차와 절대 오차를 구하고 각각의 결과를 비교하라.

Tip !

 식 (5.20)를 이용

(25)

5.3 테일러 다항식의 오차 공식

MATLAB

5-3

테일러 다항식의 절대 오차의 최댓값 구하기

[그림 5-3]의 매트랩 스크립트를 이용하여 선형 테일러 다항식과 2차 테일러 다항식의 절대 오차의 최댓값을 계산하라.

Tip !

 max는 최댓값을 실행

 abs는 절댓값을 실행

(26)

덧셈과 곱셈이 반복되는 n차 다항식 풀이

 식 (5.21)에서 남아 있는 항들의 각 항을 서로 독립적으로 계산

 다양한 x 값을 이용하여 다항식의 계수들을 구함

연산 횟수(operation count)의 중요성

: 덧셈 혹은 곱셈에 대한 연산 횟수를 줄임으로써 컴퓨터 실행 속도 향상

 식 (5.21)에서 n번의 덧셈 연산 횟수 필요

 다음과 같이 식 (5.21)에서 번의 곱셈 연산 횟수 필요

(27)

5.4 다항식의 계산

5.4 테일러 다항식의 계산

중첩된 곱셈 형태 이용

: 식 (5.21)의 연산 횟수를 줄인다.

 차수를 증가시킨 중첩된 곱셈 형태

 차수 n에 대한 중첩된 곱셈의 일반식

 식 (5.21)과 식 (5.22)에 대한 덧셈 연산 횟수는 동일한 n번

 식 (5.22)에 대한 곱셈 연산 횟수는 n번으로 감소

 n = 20인 경우 식 (5.21)의 횟수는 210번, 그러나 식 (5.22)의 횟수는 20번

 다항식의 차수가 증가할수록 중첩된 곱셈은 더욱 효과적

(28)

 주어진 7차 다항식

 a = 1에서 선형 테일러 다항식

 0 ≤ x ≤ 2의 경계에서 오차 계산

 여기서

 a = 1 에서 p₁₀₀(x)를 구하는 방법

 f(x)를 100번 미분하고 각 항들에 대한 계수를 계산

 7차 다항식은 8번째 미분항부터 나머지 미분항까지는 0

 p₁₀₀(x) = p₇(x)

(29)

5.4 다항식의 계산

호너의 방법(Horner’s method)

(1) 다항식을 계산하는 알고리즘에 유리한 형태인 단항식으로 변형시키는 방법 (2) 고차 방정식에서 제곱근을 뽑아내는 방법을 일반화 시킴

 수학에서 다루고 있는 조립제법(synthetic division)과 매우 밀접

 조립제법은 임의의 다항식을 1차 다항식으로 나누었을 때의 몫인 다항식의 계수 및 나머지를 구하는 방법

(30)

[그림 5-5] 호너의 방법으로 구한 테일러 다항식의 계수들

(31)

5.4 다항식의 계산

 [그림 5-5]의 처음 행 세 개

 자세한 실행 과정 설명

(32)

 3행~5행에 대하여 과정 ①부터 ⑦까지 반복 실행

 f ‘(1) = 72 얻음

 같은 방법으로 남아 있는 차수의 계수를 연속으로 구함

 호너의 방법을 이용한 최종 결과

p₁₀₀(x) = 20 + 72(x – 1) + 146(x – 1)² + 186(x – 1)³ + 152(x – 1)⁴ + 78(x – 1)⁵ + 23(x – 1)⁶ + 3(x – 1)⁷

(33)

5.4 다항식의 계산

호너의 방법에 중첩된 곱셈 이용

 x = z인 점에서 중첩된 곱셈이용한 다항식

 부분적으로 다시 표현한 식 (5.23)의 계수

 b_n-1, ··· , b₀: 가장 안쪽에 위치한 괄호부터 바깥쪽으로 향하는 괄호 안의 값

(34)

 식 (5.25)를 이용하여 다시 쓴 식 (5.21)

 다항식 p(x)에 대한 근 찾기(rootfinding) 실행

 뉴턴 방법으로 다항식의 근을 찾을 때 유용 (7장에서 자세히 배울 예정)

 식 (5.25)의 몫

 식 (5.25)를 (x – z)로 나눈 형태의 수식

 q(x)는 몫이고 b₀은 나머지

(35)

5.4 다항식의 계산

 만일 z가 식 (5.25)의 근이면 p(z) = 0이고 나머지 b₀ = 0

 다시 쓴 식 (5.25)

 p(x)의 남은 근들을 찾기 위해서 q(x)의 근 찾기에 초점을 맞춤

 식 (5.25)를 x에 대해서 미분

 x = z인 점에서 다시 쓴 식 (5.29)

 식 (5.29)와 식 (5.30)은 중첩된 곱셈을 이용한 근 찾기의 또 다른 방법

 x = z인 점에서 p(z)에 중첩된 곱셈과 p’(z)를 계산하는 중간 과정 이용

 p(x)와 p’(x)의 값을 동시에 구할 수 있다

(36)

예제

5-4

중첩된 곱셈 방법으로 근 찾기

다음 물음에 답하라.

(a) 중첩된 곱셈을 이용하여 근 찾기를 실행하려고 한다. 다음 다항식을 중첩된 곱셈형 으로 다시 나타내라.

(b) x = z = 3에서 계수 b_i를 순서대로 나타내라.

(c) (b)에서 구한 계수들을 이용하여 다항식을 다시 정의하라.

(d) 중첩된 곱셈 방법을 이용하여 (c)에서 구한 다항식 q(x)를 변형하고, x = z = 3에서 계수 c_i를 순서대로 나타내라.

Tip !

 식 (5.24)와 식 (5.25)를 이용

(37)

테일러 다항식 Taylor Polynomial

CHAPTER 05