그래프와 비례 관계

(1)

그래프와 비례 관계

1

좌표평면과 그래프

2

정비례와 반비례

(2)

상황을 그래프로 나타내면

금융 기관에서 제공하는 환율과 주식 시세, 국 가에서 제공하는 기상 상태와 교통 정보 등과 같은 수많은 정보가 신문이나 방송, 인터넷을 통해 하루 에도 몇 번씩 쏟아지고 있습니다.

그런데 이처럼 다양하고 복잡한 정보를 이용자 들이 쉽게 이해할 수 있도록 전달하기 위해서는 시 시각각 일어나는 정보의 변화를 그림으로 보여 주 는 것이 효과적입니다.

이와 같이 어떤 상황을 그림으로 나타낸 것을 그래프라고 하는데, 지금 같은 정보화 사회에서 그 래프는 과거와 현재의 상태를 분석하여 설명하고 미래를 예측하는 데 꼭 필요한 도구입니다.

좌표평면에서 여러 가지 그래프를 알아보고, 정비례

이 단원에서는

(3)

2

•수직선

다음 수를 수직선 위에 나타내시오.

⑴ -3 ⑵ 1 ⑶ 4

　

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

•두 수 사이의 관계

다음 표를 완성하고, 와 △ 사이의 관계를 말하시오.

1 2 3 4 5 6

△ 2 4 6

준비 학습

좌표평면과 그래프

1

고대 그리스의 수학자 에라토스테네스

(Eratosthenes, B.C. 275~B.C.

194?)는 지도 위에 가로와 세로로 선을 그어 경도와 위도를 나타낸 세계 지도를 최초로 만들었다고 합니다.

또한 왼쪽 그림은 1901년에 제작된 것으로 보이 는 『한성부지도(漢城府地圖)』인데, 지금의 서울인 한양의 각 지점의 위치를 경도와 위도를 이용하여 찾을 수 있게 만들었습니다.

지도 위의 점의 위치를 경도와 위도를 써서 정하 는 것처럼 평면 위에 있는 점의 위치도 같은 방법으 로 나타낼 수 있는데, 이때 경도와 위도의 역할을 하는 것을 좌표라고 합니다.

이 단원에서는 순서쌍과 좌표 및 그래프를 알아봅니다.

(4)

생각 열기

수직선 위의 점의 위치는 그 점이 나타내는 수를 이용하여 표시할 수 있다.

이때 수직선 위의 점이 나타내는 수를 그 점의 좌표라고 한다.

수직선 위의 점 P의 좌표가 a일 때, 이것을 기호로 P(a)와 같이 나타낸다.

특히, 좌표가 0인 점을 수직선의 원점이라 하며 O로 나타낸다. 즉, O(0)이다.

O 0

P 원점 a

점 P의 좌표

▶ 원점은 영어 Origin의 첫 글자를 따서 보통 O로 나타낸다.

다음 수직선 위의 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 기호로 나타내시오.

　　　　 _-5 _-4^A _-3 _{-2 -1} ^B_O ₁ ^C₂ ₃ ^D ₄ ₅

1

문 제

오른쪽 수직선에서 점 A의 좌표는 -1, 점 B의 좌표는 ;2#;이므로 이것을 기호로 A(-1), B {;2#;}

과 같이 나타낸다.

▶ 앞으로 수직선에서 숫자 0은 원점을 나타내는 기호 O로 나타낸다.

A -2 -1

B 2 1 O

직선 위의 점의 위치는 어떻게 나타내는가 ?

다음 수직선 위의 세 점 A, B, C가 나타내는 수를 각각 말해 보자.

4 3

-4 -3 -2 -1 0

A

1 2

B C

순서쌍과 좌표

학습 목표 •순서쌍과 좌표를 이해한다.

다 가 서 기

동해

(5)

생각 열기

평면 위의 점의 위치는 어떻게 나타내는가?

오른쪽 그림은 어느 소극장에 있는 좌석 배치 도이다. 각 좌석의 위치를 간단히 나타내기 위 해 색칠된 2열 3번의 좌석을 (2, 3)으로 나타 낼 때, 다음에 답하시오.

1. ³^열⁸번의좌석을위와같은방법으로나타내보자.

2. ⁽⁴^,⁵⁾^와⁽⁵^,⁴⁾가 나타내는 좌석을 각각 그림 에 표시해 보고,두좌석이같은지확인해보자.

위의 생각 열기에서 (2, 3), (4, 5), (5, 4)와 같이 순서를 정하여 두 수를 괄 호 안에 짝 지어 나타낸 것을 순서쌍이라고 한다.

순서쌍은 두 수의 순서를 정하여 나타낸 것이므로 (4, 5)와 (5, 4)는 서로 다르다.

이제 순서쌍을 이용하여 평면 위의 점의 위치를 나타내 보자.

오른쪽 그림과 같이 두 수직선이 각각의 원점에 서 서로 수직으로 만나게 그린다.

이때 가로의 수직선을 x축, 세로의 수직선을 y축 이라 하고, x축과 y축을 통틀어 좌표축이라고 한다.

또 두 좌표축이 만나는 점 O를 좌표평면의 원점 이라 하고, 두 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이 라고 한다.

좌표평면 위의 한 점 P에서 x축, y축에 각각 내 린 수선과 x축, y축이 만나는 점이 나타내는 수가 각각 a, b일 때, 순서쌍 (a, b)를 점 P의 좌표라고 한다.

좌표평면 위의 점 P의 좌표가 (a, b)일 때, 이것 을 기호로

P(a, b) 와 같이 나타낸다.

이때 a를 점 P의 x좌표, b를 점 P의 y좌표라고 한다.

▶ 데카르트 (Descartes, R. , 1596~1650) 프랑스의 수학자로, 도형 의 성질을 연구하는 데 좌 표평면을 이용하였다.

y

O x 원점 x축

y축

좌표축

y

x O a

b P{a,`b}

x좌표 y좌표

좌표평면에서 원점 O 의 좌표는 무엇일까?

생각

1^열1^번2^번3^번4^번5^번6^번7^번8^번9^번 2^열

3^열 4^열 5열

(6)

오른쪽 좌표평면에서 점 A의 x좌표는 3, y좌표는 2 이므로 점 A의 좌표는 (3, 2)이다.

또 점 B의 x좌표는 0, y좌표는 3이므로 점 B의 좌 표는 (0, 3)이고, 점 C의 x좌표는 -4, y좌표는 -2이므로 점 C의 좌표는 (-4, -2)이다.

x축 위에 있는 점들의 좌표는 어떤 공통점이 있을까?

생각

y

O x

A

C -2 2

-4 4

2

-2 B

오른쪽 좌표평면을 보고, 다음에 답하시오.

⑴ 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 기호로 나타내시오.

⑵ 세 점 P(1, 3), Q(-3, -4), R(0, -2)를 좌표평면 위에 각각 나타내시오.

2

문 제 ^y

O 2 4x -4 -2

2 4

-4 -2 A

B

D

C

점 사분면 x^{좌표의 부호} y^{좌표의 부호}

A 제 1 사분면 +

B

C -

D y

O 2 4x -4 -2

2 4

-4 -2

D A B

C

좌표평면은 오른쪽 그림과 같이 좌표축에 의하여 네 부 분으로 나누어지며, 그 각 부분을 제 1 사분면, 제 2 사분면, 제 3 사분면, 제 4 사분면이라고 한다.

이때 좌표축은 어느 사분면에도 포함되지 않는다.

y

O x

제`2`사분면 제`1`사분면

제`3`사분면 제`4`사분면

다음을 통하여 각 사분면 위에 있는 점의 x좌표와 y좌표의 부호를 알아보자.

네 점이 각각 어느 사분면 위에 있는지 알아보고, 각 점의 x좌표와 y좌표의 부호를 조사하여 다음 표를 완성해 보자.

아래 그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 A, B, C, D가 있다.

함께 하기

(7)

수학 이야기

휴대 전화의 터치스크린과 컴퓨터 마우스의 기본 원리는 화면을 좌표평면으로 생각하여 터치한 지점의 위치를 파악하는 것이다.

드론에도 좌표의 개념이 이용된다. 위치 확인 시스템(GPS) 감지기가 달린 드론은 위치 확인 시스템 좌표를 이용하여 정확한 장소로 물건을 배달할 수 있고, 움직이는 물체 를 추적하면서 촬영하여 사진을 전송할 수 있다.

이러한 기술을 바탕으로 현재 드론은 응급 환자를 위한 구호 물품 수송, 기상 변화의 실시간 탐색, 정밀한 지도의 제

작, 농약 살포 및 씨뿌리기 등 다양한 분야에서 활용 되고 있다.

(출처: 이진천, 「활용 범위를 넓혀가는 드론」 )

실생활에서 좌표는 어디에 쓰일까?

앞의 활동에서 알 수 있듯이 각 사분면 위에 있는 점의 x좌표와 y좌표의 부호는 오른쪽 그림과 같이 정해진다.

따라서 좌표평면 위의 점의 x좌표와 y좌표의 부호를 알면 그 점이 어느 사분면 위에 있는지 알 수 있다.

다음 각 점은 어느 사분면 위에 있는지 말하시오.

⑴ A(3, -5) ⑵ B(4, 1)

⑶ C {-;3!;`, -;2#;} ⑷ D(-1.5, 2.8)

3

문 제

y

O x

, ,

오른쪽 그림은 남한산성의 동문 주변의 약도를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 이때 점으로 표시 된 남문과 수어장대, 벌봉의 위치를 각각 좌표로 나타내고, 어느 사분면 위에 있는지 말하시오.

4

문 제 ^y

O 2 4 x

-4 -2 2 4

남문

벌봉 수어장대

동문

(8)

생각 열기

하루 동안 기온의 변화, 월별 상품의 판매량, 날아가는 공의 이동 거리에 따른 높 이, 심장 박동의 상태를 나타내는 심전도 등은 다음과 같은 그림으로 나타낼 수 있다.

그래프란 무엇인가 ?

하루 동안 기온의 변화를 조사하여 그림으로 나타내려고 할 때 어떻게 나타낼 수 있는지 말해 보자.

그래프

학습 목표 •다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다.

다 가 서 기

기온`(æC)

시각`(시) O

105 1520 2530

21 18 24 15

12 9 6 3

[기온의 변화] [상품의 판매량]

판매량`(만 개)

1

O 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12월`(월) 70

50

100 81 73 84 79 71 52 49 52 50

118

36

높이`(m)

이동 거리`(m) O

40 80

20 40 60 80 100 [공의 높이]

-1.0 -0.50.00.5 1.0 전압`(mV)1.5

12.8 13.2 13.6 14.0 시각`(초)

[심전도]

(9)

이와 같이 여러 가지 상황 또는 자료를 분석하여 그 변화나 상태를 한눈에 알아볼 수 있도록 좌표평면 위에 나타낸 점이나 직선 또는 곡선 등을 그래프라고 한다.

합이 7인 두 자연수 x^와y 사이의 관계는 다음 표와 같다.

x 1 2 3 4 5 6

y 6 5 4 3 2 1

⑴ 표를 이용하여 순서쌍 (x, y)를 모두 구하시오.

⑵ 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 그래프 를 그리시오.

1

문 제

y

O x 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

1

얼음이 녹기 시작한 지 x분이 지났을 때 물의 온도를 y`¾라 하면 x와 y 사이의 관계는 다음 표와 같다. 이때 표를 완성해 보자.

x (분) 0 1 2 3 4 5 6

y (¾) 0 5 25 45 65 85 100

(x, y) (0, 0) (6, 100)

2 1

에서 구한 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평 면 위에 각각 점으로 나타내어 그래프를 완 성해 보자.

다음을 통하여 주어진 상황을 그래프로 나타내 보자.

위의 활동에서 알 수 있듯이 상황 또는 자료의 그래프는 x와 y 사이의 관계를 순 서쌍 (x, y)로 나타낸 후, 이를 좌표평면 위에 나타내면 된다.

함께 하기

O 1020 3040 5060 7080 10090

1 2 3 4 5 6 y`(æC)

x`(분)

그릇에 얼음을 넣고 가열하여 녹은 물의 온도를 1분 간격으로 측정하려고 한다.

(10)

다음은 태호가 집을 출발하여 수영장에 가서 수영을 하고, 다시 집으로 돌아오는 상황에 대한 설명이다.

[1] 집을 출발하여 일정한 속력으로 수영장에 간다.

[2] 수영장에 도착한 후, 일정 시간 동안 수영을 한다.

[3] 수영이 끝난 후, 곧바로 일정한 속력으로 집에 돌아온다.

⑴ 태호가 집을 출발하여 x분 동안 이동한 거리 를 y`km라 할 때, 오른쪽 그림은 x와 y 사이 의 관계를 나타낸 그래프의 일부이다. 그래프 를 완성하시오. (단, 수영장 안에서 이동한 거리는 생각하지 않는다.)

⑵ 나의 등교 과정을 그래프로 나타내시오.

2

문 제

y`(km)

x`(분) O [1] [2] [3]

어떤 상황을 설명하거나 알아보기 위해서 그래프를 그릴 때는 정확한 자료가 필 요하지만, 자료가 충분하지 않을 때는 대략적인 상황을 그래프로 나타내기도 한다.

예를 들어 서울을 출발하여 제주로 가는 비행기가 다음과 같이 비행한다고 하자.

[1] 이륙한 직후에는 빠르게 고도를 높인다.

[2] 일정한 고도에 올라가면 고도를 유지한다.

[3] 제주 상공에서는 급격히 고도를 낮추어 일정한 고도에서 착륙을 준비한다.

[4] 고도를 서서히 낮추면서 착륙한다.

좌표평면의 x축에 시간을, y축에 비행기의 고도를 표시하여 위와 같은 비행 상황을 그래프로 나타내면 다음 그림과 같다.

y`(km)

x`(분)

O [1] [2] [3] [4]

(11)

생각 열기

위의 생각 열기의 그래프에서 점 P의 최대 높이는 70`cm이고, 점 P는 1초마다 반복하여 땅에 닿는다는 사실을 알 수 있다.

다음 그림과 같이 서로 다른 모양의 그릇에 매초 일정한 양의 물을 x초 동안 채울 때, 그 릇에 담긴 물의 높이를 y`cm^{라 하자}. 시간에 따른 각 그릇의 물의 높이 변화를 나타내는 그래프를 찾아 연결하고, 그 이유를 설명하시오.

y`(cm)

x`(초) O

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

㉠㉡㉢㉣

y`(cm)

x`(초) O

y`(cm)

x`(초) O

y`(cm)

x`(초) O

3

문 제

그래프는 어떻게 해석하는가 ?

지름의 길이가 70`cm인 자전거 바퀴 위에 점 P를 표시하고, 이 바퀴가 일정한 속 력으로 x초 동안 굴러갈 때 점 P의 높이를 y`cm라 하자. 이때 x와 y 사이의 관계 를 그래프로 나타내면 다음 그림과 같다.

y`(cm)

x`(초) O

P

1 2

70

1. ^점^P의 최대 높이는 몇cm인지 말해 보자.

2. ^점^P는 몇 초마다 땅에 닿는지 말해 보자.

▶ 오른쪽 그림과 같은 곡선을 사이클로이드 (cycloid)라고 한다.

(12)

생각이 크는 수학

이와 같이 어떤 상황을 그래프로 나타내면 변화하는 양의 증가 또는 감소, 주기 적인 변화 등을 쉽게 파악할 수 있다.

1

다음 표를 완성해 보자.

x^(분) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y⁽¾⁾ 20 200

2

음식을 조리하기 시작한 지 5분 후부터 15분까지 오븐의 가장 높은 온도와 가장 낮은 온도를 각각 구해 보자.

3

^{그래프에서}^[1]^,^[2]^,^[3]의 구간은 다음 중에서 어느 상황에 해당하는지 각각 찾아보자.

㈎ 오븐에 열이 차단된다. ㈏ 오븐이 처음으로 가열된다. ㈐ 오븐이 다시 가열된다.

오븐은 설정된 조리 온도가 되면 감지기가 작동하여 열이 차단되다가 일정 수준까지 온도가 내려가면 다시 가열되는 과정을 반복한다. 음 식을 x분 동안 조리할 때, 오븐의 내부 온도를 y`¾^{라 하자}. 오른쪽 그림은 x^와y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다.

어느 승마 체험장에서 손님이 x^{분 동안 말을} 탈 때, 말의 속력을 분속 y`m라 하자. 오른쪽 그림은 x^와y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다.

⑴ 그래프에서 알 수 있는 사실을 다음 안 에 써넣으시오.

㈎ 말의 속력은 처음 5분 동안은 천천히 증가하다가 다음 분 동안은 빠르 게 증가한다.

㈏ 말의 속력은 20분부터 25분까지는 빠르게 감소하다가 25분부터 분까지는 천천히 감소한다.

⑵ ⑴ 이외에 그래프에서 알 수 있는 사실을 말하시오.

4

문 제

O 100 200 300 400

5 10 15 20 25 30 y`(m/min)

x`(분)

y`(æC)

x`(분)

[1] [2] [3]

O 200 150

20

5 7.5 12.5

2.5 10 15

창의•융합 문제 해결

(13)

탐구 1 다음은 민희네 가족의 나이와 키에 대한 상황을 그림과 그래프로 나타낸 것이다. 각 번호에 알맞은 가족 구성원을 찾아보자.

할머니 민희 동생 할아버지 아버지 어머니

← 막내

키 나이

7 O

6 5 4 2

3 1

1 1Ú [ ] 2 1Ú [ ] 3 1Ú [ ] 4 1Ú [ ] 5 1Ú [ ] 6 1Ú [ ] 7 1Ú [ ] 4 1Ú [ ]

탐구 2 다음은 진형이가 집에서 출발하여 마을 도서관에 가서 책을 보다가 다시 집으로 돌아오는 과정을 그림과 그래프로 나타낸 것이다. 각 구간에 알맞은 그림을 찾아보자.

㈎㈏㈐

㈒

㈑

시간 집까

지의 거리

O[1] [2] [3] [4] [5]

[1] 1Ú [ ] [2] 1Ú [ ] [3] 1Ú [ ] [4] 1Ú [ ] [5] 1Ú [ ]

일상생활에서 어떤 상황을 그림으로 나타내어 설명하는 경우가 있는데, 이때 그림의 특징을 분석하여 그래프로 나타내면 그 상황을 이해하는 데 편리한 경우가 있다.

그림 상황을 그래프로 나타내기

알콩 달콩 수학

실생활

태도 및 실천 의사소통

(14)

순서쌍과 좌표

1

⑴ 수직선 위의 점의 좌표

① 좌표: 수직선 위의 점이 나타내는 수

수직선 위의 점 P의 좌표가 a일 때, 기호로 P(a)와 같이 나타낸다.

② 원점: 좌표가 0인 점 O O(0)

⑵ 순서쌍: 순서를 정하여 두 수를 괄호 안에 짝 지어 나타낸 것

⑶ 좌표평면: 두 좌표축이 그려진 평면

y

O x 원점

x축 y축

좌표축

⑷ 좌표평면 위의 점의 좌표

① 좌표: 순서쌍 (a, b)

② 사분면: 좌표평면은 좌표축에 의하여 네 부분으 로 나누어지며, 그 각 부분을 제 1 사분면, 제 2 사 분면, 제 3 사분면, 제 4 사분면이라고 한다.

y

O x 제`2`^사분면

, ^제`1`^사분면 ,

제`3`^사분면

, ^제`4`^사분면 ,

2

그래프

여러 가지 상황 또는 자료를 분석하여 그 변화나 상태 를 한눈에 알아볼 수 있도록 좌표평면 위에 나타낸 점 이나 직선 또는 곡선 등을 그래프라고 한다.

다음 수직선 위의 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 기호로 나타내시오.

5 4 3 2

1 6

-5 -4 -3 -2 -1

-6 0

A B C D

01

기본 문제

오른쪽 좌표평면을 보고, 다음에 답하시오.

⑴ 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 기호로 나타내시오.

⑵ 두 점 E(-4, -3), F(4, 5)를 오른쪽 좌표평면 위에 각각 나타내시오.

02

A

B

D C y

x 4

2

-2 -4

O 2 4

-2 -4

다음 각 점은 어느 사분면 위에 있는지 말하시오.

⑴ A(-2, 3) ⑵ B(4, -2)

⑶ C(1, 4) ⑷ D(-1, -3)

03

(15)

좌표평면에서 다음 점의 좌표를 구하시오.

⑴ x축 위에 있고, x좌표가 6인 점

⑵ y축 위에 있고, y좌표가 -1인 점

06

점 A(a, b)가 제 4 사분면 위의 점일 때, 다음은 어느 사분면 위의 점인지 구하시오.

⑴ (b, a) ⑵ (a, -b)

08

다음은 x와 y 사이의 관계를 표로 나타낸 것이다.

x 1 2 3 4 5

y 3 3 4 2 1

⑴ 표를 이용하여 순서쌍 (x, y)를 모두 구하시오.

⑵ 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 그 래프를 그리시오.

04

x y

1

1 2 3 4 5

2 3 4 5

O

다음 세 점 A, B, C를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내고, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

A(-3, 2),　B(5,-2),　C(-3,-5)

07

^y

x 4

2

-4 -2

O 2 4

-2 -4

두 순서쌍 (3a-2, b+2)와 (6-a, -2b+1)이 서로 같을 때, a, b의 값을 각각 구하 시오.

05

표준 문제

(16)

최대 4명까지 앉을 수 있는 식탁만 있는 식당에서 x명의 예약을 받았을 때 준비해야 할 식탁의 수를 y개라 하자.

⑴ 다음 표를 완성하시오.

x(명) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(개) 1 1

⑵ 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 그래프를 그리시오.

09

x`(명) y`(개)

12 3

2 4 6 8

1 3 5 7 910 45

6

O

현수는 음료수 한 병을 사서 절반을 마시고, 한참 지나서 나머지 절반을 다 마셨다. 다 음 보기 중에서 현수가 음료수를 마시는 데 걸린 시간과 남은 음료수의 양 사이의 관계 를 그래프로 옳게 나타낸 것을 고르시오.

ㄱ.

시간 음료수 양

O

ㄴ.

O

ㄷ.

O 보기

10

토끼와 거북이가 경주를 할 때, x분 후에 출발점과 각 동물이 위치한 지점 사이의 거리를 y`km라 하자.

오른쪽 그림은 x와 y 사이의 관계를 그래프로 나타 낸 것이다.

⑴ 거북이가 출발한 지 몇 분 후에 토끼가 출발했는 지 말하시오.

⑵ 토끼가 출발한 지 몇 분 후에 거북이와 만났는지 말하시오.

⑶ 거북이는 출발한 지 몇 분 후에 토끼를 추월했는지 말하시오.

11

발전 문제

문제 해결

1

10 20 30 40 50 60 2

y`(km)

O x`(분)

거북이 토끼

(17)

1

•비례식

다음 비례식에서 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

⑴ 2`:`5=6`:` ⑵ 3`:` =9`:`12

준비 학습

정비례와 반비례

일회용 종이컵 한 개를 만들 때마다 11 g의 이산화 탄소가 배출되어서 지구 온난화 를 가중시킨다고 합니다. 지구 온난화란 이산화 탄소가 오존층을 점점 얇게 만들어 지구의 기온이 높아지는 현상을 말합니다.

실제로 우리나라 사람들이 1년 동안 사용하는 종이컵이 약 120억 개인데, 종 이컵 사용이 늘어남에 따라 이를 만들 때 배출되는 이산화 탄소의 양도 늘어나서 일 년에 약 13만 2천 톤의 이산화 탄소가 배출 된다고 합니다.

이와 같이 우리 주변에는 한 값이 커짐에 따라 다른

값이 같은 비율로 커지는 경우도 있고, 이와는 반대로 작아지는 경 우도 있습니다.

일회용 종이컵의 사용량과 이산화 탄소의 배출량 사이의 관계를 그래프로 나타내 보면, 종이컵 사용이 늘면서 이산

화 탄소로 인한 지구 온난화가 얼마나 빨리 진행될지 한눈에 알아보기 편리합니다.

이 단원에서는 정비례 관계와 반비례 관계 및 이들의 그래프를 알아봅니다.

(출처: KBS, 2008)

2

•식의 값

x=3일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ 2x ⑵ -x ⑶ ;[^; ⑷ -;;Á[ª;;

(18)

생각 열기

정비례 관계란 무엇인가 ?

윤서는 국토 순례 대장정에 참가하여 시속 4`km로 걸었다고 한다.

윤서는3시간 동안 몇km를 갔는지 말해 보자.

위의 생각 열기에서 시속 4`km로 x시간 동안 간 거리를 y`km라 하면 x의 값이 변함에 따라 y의 값도 변한다. 이때 x, y와 같이 여러 가지로 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고 한다.

여기에서 두 변수 x와 y 사이의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

x (시간) 1 2 3 4 5 6 7 y

y(km) 4 8 12 16 20 24 28 y

2배 3배 4배

위의 표에서 x의 값이 1의 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 4의 2배, 3배, 4배, y로 변함을 알 수 있다.

일반적으로 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배, y로 변할 때, y는 x에 정비례한다고 한다.

정비례

학습 목표 •정비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

다 가 서 기

(19)

또한 앞의 표에서 x=1일 때 y=4, x=2일 때 y=8과 같이 y의 값은 항상 x의 값의 4배임을 알 수 있다. 즉, 두 변수 x와 y 사이에는 y=4x의 관계가 성립한다.

일반적으로 y가 x에 정비례할 때, 두 변수 x와 y 사이의 관계는 y=ax (단, a+0)

와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

한 변의 길이가 x`cm인 정오각형의 둘레의 길이를 ycm라 하자.

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 정비례함을 확인하시오.

x(cm) 1 2 3 4 5

y(cm) 5

⑵ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

1

문 제

두 변수 x, y^{에 대하여}y^가x에 정비례하고, x=2^{일 때}y=-4이다. x^와y^{사이의 관계} 식을 구하시오.

2

문 제

어느 약수터에서는 1분 동안 3`L씩 일정한 양의 물이 흘러 나온다고 한다. 이 약수터에서 x분 동안 흘러나온 물의 양 을 y`L라 하자.

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 정비례함을 확인하시오.

x (분) 1 2 3 4 5 6

y(L) 3

예 제

1

풀이 ⑴ _x_(분) ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆

y(L) 3 6 9 12 15 18

위의 표에서 x의 값이 1의 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 3의 2배, 3배, 4배, y로 변하므로 y는 x에 정비례한다.

⑵ 1분 동안 3`L의 물이 흘러나오므로 x분 동안에는 3x`L가 흘러나온다.

따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=3x이다.

⑴ 풀이 참조 ⑵ y=3x

(20)

정비례 관계의 그래프는 어떻게 그리는가?

다음을 통하여 정비례 관계의 그래프를 알아보자.

1

주어진 표를 완성하고, 순서쌍 (x, y)를 아래 좌표평면 위에 나타내 보자.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -4 6

2

x -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

y 1

변수 x의 값이 모든 수일 때, 정비례 관계 y=2x의 그래프를 다음 단계에 따라 그 려 보자.

함께 하기

3

x의 값 사이의 간격을 점점 좁혀서 x의 값이 모든 수일 때, y=2x의 그래프가 어떤 모양이 될지 추측해 보자.

y

O 1 2 3 4 5 6 x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

2 1 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

(21)

앞의 활동에서 x의 값 사이의 간격을 점점 좁혀서 y=2x 를 만족시키는 그래프를 좌표평면 위에 나타내면, 오른쪽 그림과 같이 원점을 지나는 직선이 됨을 알 수 있다. 이 직 선이 정비례 관계 y=2x의 그래프이다.

일반적으로 x의 값이 모든 수일 때, 정비례 관계 y=ax (단, a+0)의 그래프는 다음과 같다.

▶ 정비례 관계 y=ax (단, a+0)에 대하여 x의 값이 구체적으로 주어지지 않으면 x의 값은 모든 수 인 것으로 생각한다.

풀이 y=-x에서 x=1일 때 y=-1이므로 그래프는 점 (1, -1)을 지난다.

따라서 정비례 관계 y=-x의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 원점과 점 (1, -1)을 지나는 직선이다.

풀이 참조 정비례 관계 y=-x의 그래프를 그리시오.

예 제

2

y=-x

O 2 x -2

2

-2 y

서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이므로 정비례 관계 y=ax (단, a+0) 의 그래프는 원점과 이 그래프가 지나는 다른 한 점을 찾아 직선으로 이으면 쉽게 그릴 수 있다.

정비례 관계 y=ax (단, a+0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이다.

➊ a>0일 때 ➋ a<0일 때

　 y

a

O 1 x

　 y

a O 1 x

　 제`1`사분면과 제`3`사분면을 지난다. 　 제`2`사분면과 제`4`사분면을 지난다.

정비례 관계 y=ax (단, a+0)의 그래프 는 왜 항상 원점을 지날 까?

생각

정비례 관계 y=ax (단, a+0)의 그래프

y

O 2 x -2

2 4

-4 -2

(22)

정비례 관계 y=ax의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 a의 값을 구하시오.

⑴ ^y

2 4x -4 -2

2 4

-2 -4 O

⑵ ^y

O 2 4x -4 -2

2 4

-2 -4

4

문 제

오른쪽 좌표평면 위에 다음 정비례 관계의 그래프를 그리시오.

⑴ y=;2!;x

⑵ y=-2x

3

문 제 ^y

O 2 4x -4 -2

2 4

-2 -4

한 나라의 화폐와 다른 나라의 화폐와의 교환 비율을 환율이라고 한다. 일본 엔화 의 환율은 보통 100엔 단위로 표시하는데, 예를 들어 100^{엔당 환율이}1000^원 이라는 것은 100^엔을1000원으로 바꿀 수 있다는 뜻이다.

1

100엔당 환율이 1000원일 때, 10000엔을 몇 원으로 바꿀 수 있는지 구해 보자.

2

x엔을 y원으로 바꿀 수 있다고 할 때, 오늘의 엔화 환율을 조사하여 x와 y 사이의 관계식을 구하고 y가 x에 정비례함을 확인해 보자.

3

우리 주변에서 정비례 관계가 성립하는 예를 찾아 식으로 나타내고, 그래프를 그려 보자.

(23)

생각 열기

반비례 관계란 무엇인가 ?

국토 순례 대장정에서 윤서가 하루 동안 걸어야 할 거리는 24`km라고 한다.

윤서가 시속4`km로 걷는다면24`km를 가는 데 몇 시간이 걸리는지 말해 보자.

위의 생각 열기에서 24`km를 시속 x`km의 일정한 속력으로 걸을 때 y시간이 걸린다고 하자. 여기에서 두 변수 x와 y 사이의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

x(km/h) 1 2 3 4 y 12 y

y (시간) 24 12 8 6 y 2 y

2배 3배 4배

;2!;^배 ;3!;^배 ;4!;^배

위의 표에서 x의 값이 1의 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값이 24의 ;2!;배,

;3!;배, ;4!;배, y로 변함을 알 수 있다.

일반적으로 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값이 ;2!;배, ;3!;배, ;4!;배, y로 변할 때, y는 x에 반비례한다고 한다.

또한 위의 표에서 x=1일 때 y=24, x=2일 때 y=12와 같이 x와 y의 곱이 24 로 일정하므로 두 변수 x와 y 사이에는 xy=24, 즉 y=24

x 의 관계가 성립한다.

반비례

학습 목표 •반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

다 가 서 기

(24)

일반적으로 y가 x에 반비례할 때, 두 변수 x와 y 사이의 관계는 y=;[A; (단, a+0)

와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

넓이가 20`cmÛ` 인 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 x`cm, y`cm^{라 하자}.

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 반비례함을 확인하시오.

x(cm) 1 2 4 5 10 20

y(cm) 20

1

문 제

두 변수 x, y^{에 대하여}y^가x에 반비례하고, x=2^{일 때}y=5이다. x^와y^{사이의 관계식} 을 구하시오.

2

문 제

풀이 ⑴ _x_(개) ₁ ₂ ₃ ₄ ₆ ₁₂

y (분) 12 6 4 3 2 1

위의 표에서 x의 값이 1의 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값이 12의

;2!;배, ;3!;배, ;4!;배, y로 변하므로 y는 x에 반비례한다.

⑵ x와 y의 곱이 12로 일정하므로 x와 y 사이의 관계식은 y=12 x 이다.

⑴ 풀이 참조 ⑵ y=12 x 휘발유가 가득 찬 유조차에서 관 1개를 이용하

여 휘발유를 모두 빼내는 데 12분이 걸린다고 할 때, 같은 관 x개를 이용하여 휘발유를 모두 빼내는 데 걸리는 시간을 y분이라 하자.

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 반비례함을 확인하시오.

x (개) 1 2 3 4 6 12

y (분) 12

예 제

1

(25)

반비례 관계의 그래프는 어떻게 그리는가?

다음을 통하여 반비례 관계의 그래프를 알아보자.

1

x -6 -3 -1 1 3 6

y 6

2

x -5 -4 -2 2 4 5

y -;2#;

변수 x의 값이 0이 아닌 모든 수일 때, 반비례 관계 y=;[^;의 그래프를 다음 단계에 따라 그려 보자.

함께 하기

3

x의 값 사이의 간격을 점점 좁혀서 x의 값이 0이 아닌 모든 수일 때, y=;[^;의 그래 프가 어떤 모양이 될지 추측해보자.

y

O 1 2 3 4 5 6 x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

2 1 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

(26)

앞의 활동에서 x의 값 사이의 간격을 점점 좁혀서 y=;[^; 을 만족시키는 그래프를 좌표평면 위에 나타내 면, 오른쪽 그림과 같이 좌표축에 점점 가까워지면서 한없이 뻗어나가는 한 쌍의 매끄러운 곡선이 됨을 알 수 있다. 이 곡선이 반비례 관계 y=;[^;의 그래프이다.

일반적으로 x의 값이 0이 아닌 모든 수일 때, 반비례 관계 y=;[A; (단, a+0)의 그래프는 다음과 같다.

▶ 반비례 관계 y=;[A;

(단, a+0)^{에 대하여}x^의 값이 구체적으로 주어지지 않으면 x^{의 값은}0^{이 아} 닌 모든 수인 것으로 생각 한다.

y

O 2 4 6x -4

-6 -2

2 4 6

-2 -4 -6

풀이 x의 값이 -4, -2, -1, 1, 2, 4일 때 y=-;[$; 를 만 족시키는 순서쌍 (x, y)는 다음과 같다.

　　(-4, 1), (-2, 2), (-1, 4), 　　(1, -4), (2, -2), (4, -1)

이들을 좌표평면 위에 나타내고 매끄러운 곡선으로 이 으면 반비례 관계 y=-;[$;의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

풀이 참조

▶ 반비례 관계의 그래프는 그래프가 지나는 몇 개의 점을 찾아 매끄러운 곡선 으로 이어서 그릴 수 있다.

반비례 관계 y=-;[$;의 그래프를 그리시오.

예 제

2

y

x

O 2 4

-4 -2 2 4

-2 -4

반비례 관계 y=;[A; (단, a+0)의 그래프는 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.

1 a>0일 때 2 a<0일 때

　 ^y

a O 1 x

　 ^y

a

x O 1

　 제`1`사분면과 제`3`사분면을 지난다. 　 제`2`사분면과 제`4`사분면을 지난다.

반비례 관계 y=;[A; (단, a+0)의 그래프

(27)

오른쪽 좌표평면 위에 다음 반비례 관계 의 그래프를 그리시오.

⑴ y=;[*;

⑵ y=-;[^;

3

문 제 ^y

O 2 4 6 8 x -4

-6

-8 -2

2 4 6 8

-2 -4 -6 -8

반비례 관계 y=;[A;의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 a의 값을 구하시오.

⑴ ^y

x

O 2 4

-4 -2 2 4

-2 -4

⑵ ^y

O 2 4 x -4 -2

2 4

-2 -4

4

문 제

1

열대어가 모두 15마리일 때, 며칠을 먹일 수 있는지 구해 보자.

2

열대어 x마리를 y일 동안 먹일 수 있다고 할 때, x와 y 사이의 관계식을 구하고 y가 x에 반비례함을 확인해 보자.

3

우리 주변에서 반비례 관계가 성립하는 예를 찾아 식으로 나타내고, 그래프를 그려 보자.

열대어 5^마리를30일 동안 먹일 수 있는 만큼의 먹이가 있다. 같은 양 의 먹이를 먹는 열대어를 몇 마리 더 사려고 한다.

창의•융합 태도 및 실천

(28)

컴퓨터를 이용하여 그래프 그리기

2 애니메이션 기능을 이용하여 무늬 그리기

➊ 슬라이더 단추 를 클릭하여 슬라이더를 설정하고, 입력창에 ‘y=a/x’를 입력하면 a=1일 때 반비례 관계 y=;[!;의 그래프를 얻는다.

➋ 슬라이더의 점을 좌우로 이동시키면 여러 가지 a의 값에 따라 반비례 관계 y=;[A;의 그래 프를 얻는다. (아래의 그래프는 a=-1.5인 경우이다.)

➌ 마우스를 곡선에 대고 오른쪽 버튼을 눌러 를 클릭한 다음 슬라이더의 점 을 좌우로 이동시키면 재미있는 무늬가 만들어진다.

➊ ➋

➌

활동 정비례 관계와 반비례 관계의 그래프를 이용하여 자신만의 무늬를 그려 보자.

공학적 도구 활용하기

1 정비례 관계와 반비례 관계의 그래프 그리기

입력창에 ‘y=2x’, ‘y=-2/x’를 입력하고 를 누르면 오른쪽 그림과 같이 정비례 관계 y=2x와 반비례 관계 y=-;[@;의 그래프를 각각 그릴 수 있다.

컴퓨터 기하 프로그램을 이용하여 그래프를 그려 보자.

정보 처리

(29)

1

정비례

2

^반비례

⑴ 변수: 여러 가지로 변하는 값을 나타내는 문자

⑵ 정비례

① 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배, y 로 변할 때, y는 x에 정비례한다고 한다.

② y가 x에 정비례할 때, x와 y 사이의 관계식

 y=ax (단, a+0)

⑶ 정비례 관계 y=ax (^단, a+0)^{의 그래프}

① a>0일 때 ② a<0일 때 ^y

a O 1 x

^y

a O 1 x

⑴ 반비례

① 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값이 ;2!;배, ;3!;배, ;4!;배, y로 변할 때, y는 x에 반비례한다고 한다.

② y가 x에 반비례할 때, x와 y 사이의 관계식

 y=;[A; (단, a+0)

⑵ 반비례 관계 y=;[A;(^단, a+0)^{의 그래프}

① a>0일 때 ② a<0일 때 ^y

a O 1 x

^y

a

x O 1

y가 x에 정비례할 때, 다음 표를 완성하고 x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

x 1 2 3 4 5 6

y 10

01

기본 문제

y가 x에 반비례할 때, 다음 표를 완성하고 x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

x 1 2 3 6 9 18

y 18

02

두 변수 x와 y 사이의 관계식이 다음과 같을 때, 그 그래프 를 오른쪽 좌표평면 위에 그리시오.

⑴ y=3x

⑵ y=-;;Á[ª;;

03

^y

x 4

2

-4 -2

O 2 4

-2 -4

(30)

두 변수 x, y에 대하여 y가 x에 반비례하고, x=-2일 때 y=8이다. x와 y 사이의 관 계식을 구하시오.

08

아래 보기의 두 변수 x와 y 사이의 관계식을 보고, 다음에 답하시오.

ㄱ. y=-2x ㄴ. x+y=1 ㄷ. y=;[#;

ㄹ. xy=-5 ㅁ. y=x+7 ㅂ. y=;4!;x

보기

⑴ y가 x에 정비례하는 것을 모두 고르시오.

⑵ y가 x에 반비례하는 것을 모두 고르시오.

04

표준 문제

두 변수 x, y에 대하여 y가 x에 정비례하고, x=-3일 때 y=12이다. x와 y 사이의 관 계식을 구하시오.

05

오른쪽 그림은 정비례 관계 y=ax의 그래프이다. 수 a의 값 을 구하시오.

06

^y

O 2 4x -4 -2

2 4

-2 -4

오른쪽 그림과 같이 정비례 관계 y=;3@;x의 그래프 위에 점 A(a, 4)가 있다. 원점 O와 점 B(a, 0)에 대하여 삼각형 AOB의 넓이를 구하시오.

07

^y₄

O B{a,`0} x A{a,`4}

(31)

반비례 관계 y=a

x 의 그래프가 두 점 (-9, 2), (b, 3)을 지날 때, a, b의 값을 각각 구하시오.

10

톱니가 각각 24개, x개인 두 톱니바퀴 A, B가 맞물려 돌아가고 있다. 톱니바퀴 A가 1번 회전하는 동안 톱니바퀴 B는 y번 회전한다고 하자.

⑴ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

⑵ 톱니바퀴 A가 1번 회전하는 동안 톱니바퀴 B는 3번 회전한다고 할 때, 톱니바퀴 B 의 톱니의 개수를 구하시오.

12

문제 해결

오른쪽 그림은 반비례 관계 y=;[A;의 그래프이다. 수 a의 값 을 구하시오.

09

^y

O x 2 4

-2 2 -2 -4

-4 4

y= a-x

오른쪽 그림은 정비례 관계 y=ax 와 반비례 관계 y=-10 x 의 그래프이다. 수 a의 값을 구하시오.

11

발전 문제

y

O 2 x

y=- 10-x y=ax

(32)

고대 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287?~B.C. 212)가 한 이 말은, 지레의 원리를 이용하면 작은 힘으로도 아주 무거운 물체를 쉽게 움직일 수 있음을 비유한 것이다.

지레의 양 끝에 작용하는 힘의 크기와 받침점까지의 길이를 각각 곱한 값은 서로 같다. 예를 들어 오른쪽 그림과 같은 지렛대에서 받침점으로부터 a, b만큼 떨어진

곳에 각각 무게가 A, B인 두 물체를 올려놓아 평형이 되면 　　　Aa=Bb

인 관계가 성립한다.

a b

A 받침점 B

1 지렛대에서의 비례 관계

지렛대의 받침점으로부터 1`m 떨어진 곳에 10`kg의 물체가 놓여 있는데, 받침점으로부터 x`m 떨어진 곳에 y`kg의 물체를 올려놓았더니 다음 그림과 같이 평형을 이루었다고 한다.

1`m x`m

10`kg y`kg

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 정비례하는지 반비례하는지 말해 보자.

x(m) 1 2 5 10

y(kg) 10

⑵ x와 y 사이의 관계식을 구해 보자.

2 대저울에서의 비례 관계

대저울의 손잡이로부터 10`cm 떨어진 곳의 접시와 물건의 무게의 합이 y`g인데, 손잡이로 부터 x`cm 떨어진 곳에 100`g짜리 추를 매달았 더니 다음 그림과 같이 평형을 이루었다고 한다.

10`cm x`cm

y`g 100`g짜리 추

⑴ 다음 표를 완성하고, y가 x에 정비례하는지 반비례하는지 말해 보자.

x(cm) 10

y(g) 100 200 300 400

⑵ x와 y 사이의 관계식을 구해 보자.

“나에게 지렛대와 지탱할 장소만 준다면, 지구도 움직일 수 있다.”

정비례 관계일까, 반비례 관계 일까?

(33)

02

점 {-4a, ;2A;+1}이 x축 위의 점이고, 점 (3-b, 2b+1)이 y축 위의 점일 때, a+b의 값 을 구하시오.

03

a<0, b>0일 때, 점 (-a+b, ab)는 어느 사분면 위의 점인가?

① 제 1 사분면 ② 제 2 사분면

③ 제 3 사분면 ④ 제 4 사분면

⑤ 어느 사분면에도 속하지 않는다.

04

어떤 자동차가 일정한 속력으로 달리다가 잠 시 휴게소에 들러 정차를 한 후 다시 일정한 속력으 로 달린다고 한다. 다음 보기 중에서 자동차의 시간 에 따른 이동 거리를 그래프로 옳게 나타낸 것을 고 르시오. (단, 가던 길을 되돌아가지 않는다.)

ㄱ.

시간 거리

O

ㄴ.

시간 거리

O

ㄷ.

시간 거리

O

ㄹ.

시간 거리

O 보기

05

민수가 등산로 입구에서 출발하여 x분 동안 등산을 할 때, 민수가 위치한 지점의 높이를 y`m라 하자. 아래 그림은 x와 y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 설명 중에서 옳은 것은?

40

50 80 100 120 160200

y`(m)360

O x`(분)

등산로 입구 구름다리

정상

억새밭

① 이 산의 높이는 400`m이다.

② 정상은 구름다리보다 50`m 높은 곳에 있다.

③ 정상 주변보다 등산로 입구 주변의 등산로가 더 가파르다.

④ 정상에서 억새밭까지 가는 데 걸린 시간은 100분 이다.

⑤ 정상에서 지상 40`m인 지점까지 내려오는 데 걸 린 시간은 등산로 입구에서 정상까지 올라가는 데 걸린 시간의 ;2!;이다.

01

오른쪽 좌표평면 위 의 점의 좌표로 옳지 않은 것은?

① A(-3, 4)

② B(3, 3)

③ C(4, -1)

④ D(-4, 0)

⑤ E(-4, -3)

A

E y

O 2 4x -4 -2

2 4

-2 -4 D

C B

Ⅲ 그래프와 비례 관계

(34)

07

다음 보기 중에서 x와 y 사이의 관계식의 그 래프가 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나는 것의 개 수는?

ㄱ. y=5x ㄴ. y=;5!;x ㄷ. y=-;7!;x ㄹ. y=;[!; ㅁ. y=-;[!; ㅂ. y=;[&;

보기

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

11

다음 보기 중에서 반비례 관계 y=-;[$;의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 원점을 지난다.

ㄴ. 점 (-2, 2)를 지난다.

ㄷ. 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다.

보기

06

두 변수 x, y에 대하여 y가 x에 정비례할 때, x와 y 사이의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

a+b+c의 값은?

x -2 -1 3 a

y b c -6 -10

① 11 ② 9 ③ 7

④ -7 ⑤ -9

08

다음 중에서 정비례 관계 y=-;2#;x의 그래 프 위의 점이 아닌 것을 모두 고르면? (정답 2개)

① (0, 0) ② (2, -3)

③ (-3, 2) ④ {-1, ;2#;}

⑤ {3, -;2!;}

10

정비례 관계 y=ax의 그래프가 두 점 (-1, 3), (2, -b)를 지날 때, a+b의 값을 구하 시오. (단, a는 수이다.)

09

오른쪽 그림은 정비 례 관계 y=ax의 그래프이 다. a+k의 값을 구하시 오. (단, a는 수이다.)

y y=ax

k

O 6 x -3 -2

12

오른쪽 ⑴~⑷의 그 래프에 알맞은 x와 y 사이 의 관계식을 다음 보기 중 에서 각각 고르시오.

ㄱ. y=;3@;x ㄴ. y=-5x ㄷ. y=-;[%; ㄹ. y=;[^;

보기

y

O x

⑴

⑵

⑶ ⑷

(35)

16

좌표평면 위의 네 점

A(-1, 4), B(-1, -1), C(3, -1), D(3, 2) 에 대하여 다음에 답하시오.

⑴ 네 점을 좌표평면 위에 각각 나타내시오.

y

O 2 4x -4 -2

2 4

-2 -4

⑵ 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD의 넓이 를 구하시오.

[16~19] 서술형　 풀이 과정과 답을 써 보자.

17

반비례 관계 y=;;Á[¼;;의 그래프 위에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.

15

길이가` 30`cm인 양초에 불을 붙여 양초의 길이가 18`cm가 될 때 불을 끄려고 한다. 양초의 길이가 1분에 0.6`cm씩 줄어든다고 할 때, 불을 붙 인 지 몇 분 후에 불을 꺼야 하는가?

① 14분 후 ② 16분 후 ③ 18분 후

④ 20분 후 ⑤ 22분 후

13

오른쪽 그림은 반비 례 관계 y=;[*;의 그래프이 다. 색칠한 직사각형의 넓 이를 구하시오.

y

O x

y= 8-x

14

정비례 관계 y=2x와 반비례 관계 y=;[A;의 그래 프가 오른쪽 그림과 같을

때, 수 a의 값을 구하시오. _x

y y=2x

O 4

y= a-x

(36)

19

집에서 6 km 떨어진 학교 운동장까지 진수 는 자전거를 타고 가고, 영서는 걸어가기로 했다.

다음 그림은 두 사람이 동시에 출발하여 x분 동안 이동한 거리를 y m라 할 때, x와 y 사이의 관계를 나타낸 그래프이다. 진수가 학교 운동장에 도착한 지 몇 분 후에 영서가 도착하는지 구하시오.

y`(m)

x`(분) 영서 진수

O 240 1200

3

18

경민이가 빈 욕조에 1분에 9`L씩 나오도록 수도를 틀었더니 물을 가득 채우는 데 20분이 걸렸 다고 한다. 1분에 x`L씩 나오도록 수도를 틀어 이 욕조에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 y분이라 하자.

⑴ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

⑵ 1분에 6`L씩 나오도록 수도를 틀면 욕조에 물을 가득 채우는 데 몇 분이 걸리는지 구하시오.

17^개~19개 훌륭합니다 !

학습 보충 계획:

문항 번호 학습 목표 성취도

01 02 03 16 순서쌍과 좌표를 이해하였는가?

04 05 다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있는가?

06 08 09 10 15 19 정비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있는가?

07 11 12 13 14 17 18 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있는가?

14^개~16개 실수를 줄여 봅시다 !

11^개~13개 부족한 부분을 검토해 봅시다 !

0^개~10개 개념 학습이 필요해요 !

자기 평가 정답을 맞힌 문항에 ◯표를 하고 결과를 점검한 다음, 이 단원의 학습 목표를 얼마나 성취했는지 스스로 평가 하고, 학습 보충 계획을 세워 보자.