3 장. 일반 가진에 의한 동적 반응

3 장. 일반 가진에 의한 동적 반응

일반 가진

2 장에서는 조화 함수의 가진이 가해질 때의 진동계의 동적 반응이 구해졌다. 본 장에서는 일반 함수 가진이 가해질 때의 동적 반응을 구하려 한다. 이러한 일반함수 가진의 예로는 충격함수 또는 계단함수로 모델링이 되는, 건물에 가해지는 풍력과 조화함수가 감소하도록 모델링 되는 지진 등이 있다. 이렇게 시간에 대해 결정된 (Deterministic) 함수들로 주어지는 경우뿐 아니라 자동차에 가해지는 노면 가진과 선박에 가해지는 파도에 의한 가진은 통계적 으로 (Stochastic or Random) 모델링 되는 가진의 대표적인 예제들이다. 본 장에서는 이같이 여러 가지 형태로 가해지는 일반 가진에 의한 진동계의 동적 반응을 다루려 한다.

충격 응답 함수

동역학에서 사용하는 용어로 힘을 시간에 대해 적분한 값을 충격량이라 (Impulse) 부른다.

^F

^{ˆ }

 ^F

⁽

^t

⁾

^dt

짧은 시간 동안 가해지는 힘에 의한 충격량 중에 그 값이 1 인 경우를 단위 충격 함수라 (unit impulse function) 부르고



(t)로 표기한다. 이는 디락 델타함수라 (Dirac’s delta function) 부르는데 수학적으로는 다음과 같은 성질을 갖는다.







(

t

 )0

if t









(

t

 )

if t



















0 0

) ( )

( ) (

1 ) (











f dt t t f

dt t

힘이 짧은 시간 동안에 질점에 가해지면 (

t



t

_I부터 시작되어

t



t

_I^에 종료) 그 짧은 시간 동안에 질점의 속도가 바뀌게 된다. 질점의 운동방정식을 풀이하기 위해서 그 힘과 원래의 두 초기조건

x

(

t

_I) 및

x

(

t

_I)를 고려하기 보다, 그 힘이 종료된 후의 초기조건인

x

(

t

_I^) 및

) (

t

_I^

x

 을 고려할 수 있다. 이 때 힘이 가해지는 시간이 매우 짧은 경우

x

(

t

_I^)

x

(

t

_I)^로 근사화 할 수 있고

x

(

t

_I^)는 운동량-충격량 법칙을 이용하여 구할 수 있다. 즉,

F t x m t x

m

(_I^) ( _I) ˆ

여기서

F ˆ

는 짧은 시간 동안 질량에 가해지는 충격량을 의미한다.

무감쇠 진동계의 단위충격 응답함수

0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ),

(  



 kx F t x x

x

m   

앞 쪽에서 언급된 절차에 의해 초기조건을 변환하면,

m x F

x kx

x

m    0 , ( 0

^

)  0 ,  ( 0

^

) 

위 방정식은 제차방정식이므로 그 해는 다음과 같이 구해진다.

m t F

t x

x t t x

 



 

sin

cos ) 0 ( )sin

0 ) ( (





  ^{ }

F

가 1 일 때의 동적 응답

x (t )

를

h (t )

로 표시하고 이를 단위충격 응답함수라고 부른다.

m t t

h 



^sin ) 1

(   무감쇠 진동계의 단위충격 응답함수

감쇠 진동계의 단위충격 응답함수

0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ),

(  





 c x kx t x x

x

m

_{ }



_

위 문제를 앞에서 언급된 절차를 적용해 변환하면,

x m x

kx x c x

m

1

) 0 ( , 0 ) 0 ( ,

0  





  ^  ^



1) Underdamped system 의 경우

t

m t e

h

_d

d

t







sin )

(

 

2) Overdamped system 의 경우

[ ]

1 2

) 1

( ^{( 1) ( 1)}

2

2

2 t t

e e

m t

h

^{     }















 

 

3) Critically damped system 의 경우

h t

 1

te

^t

) (

임의 가진 입력에 의한 동적 반응

2 장에서는 조화함수로 대표되는 주기적 가진에 의한 정상상태 동적 반응을 주로 다루었다.

그러나 가진은 일반적으로 임의의 함수 형태로 주어지므로 이에 대한 동적 응답이 어떻게 얻어질 수 있는 지 알아보려 한다. 일반 가진에 의한 동적 반응은 앞 절에서 설명된 충격 함수에 의한 동적 반응을 이용하여 구한다. 요약하여 설명하면, 일반 가진 함수를 여러 개 함수들로 분리하고 그들에 의한 동적 응답을 각각 구한 다음 그 동적 응답들을 중첩 원리를 적용하여 모두 더하면 일반 가진 함수에 대한 동적응답을 구할 수 있다.

) ( ) ( t  h t



이면

) ( )

(  

 t   h t 

위 그림은 일반 가진 함수

f (t )

를 여러 개의 막대 함수들로 나눌 때, 그들 중 하나를 나타 내며 이 함수에 의한 충격량의 크기는

f (   ) 

임을 알 수 있다. 따라서 이에 의한 동적 반응은

f (  )   h ( t   )

이 된다. 따라서 각각의 함수에 의한 동적 응답을 모두 다 더하면 전체 가진 함수에 의한 동적 반응이 다음과 같이 구해진다.



^{ }



^

 ^t

f h t d

^t

f t h d

t

x

( ) 0 (



) (



)



0 (



) (



)



이를 중첩적분(Convolution integral 혹은 Duhamel’s integral)이라 부른다.

예를 들어 m-k system 에 unit step force 가 가해질 때 응답 함수는 다음과 같이 구할 수 있다.



^{   }









t

t

d k m t

t x

t f m t

t h

0 1(1 cos )

) ( 1 sin 1 ) (

1 ) ( , 1 sin

) (







 

 

위 밑줄 친 결과만 보고 중첩적분의 결과는 특해가 아니라고 생각할 수 있다. 왜냐하면, 공업수학에서 미정계수법을 잘못 배운 경우, 비제차 항이 상수면

x

_p =constant 라는 고정 개념을 갖고 있을 것이기 때문이다. 그러나 비제차 미분방정식을 만족시키는 모든 해는 특해가 될 수 있으며, 따라서 밑줄 친 항과 같은

x

_h 

x

_p 형태도 특해인 것이다.

계단함수에 의한 1 자유도 감쇠 진동계의 반응

실제 예로서 자동차가 달리다가 지면에 단이 진 높이가 다른 위치로 이동할 경우 발생하는 동적 반응을 구하는 문제가 대표적이다. 이 때의 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

) ( ₀

0

u t t F kx x c x

m

   

여기서

u

(

t



t

₀)는 아래 그림 형태의 함수를 의미하며 그 모양에 따라 계단함수라 부른다.

중첩적분을 적용하면,

2 1

0 0

) ( 2 0 0

) ( 0 0

) ( 0 0

1 tan ]

) ( cos[

1

)]

( sin[

)]

( sin[

) ( )

(

0

0



 



 





 





 











 





 

































t t t

t e

k F k

F

d m t

F e d

m t t e t u F t x

d t

t

d d

t t

t t

d d

t

아래 그림은 위 결과를

t

₀ 0일 때 나타낸 것이며, 그림에서 시간이 흘러 수렴하게 되는 평형위치로부터 최대 응답까지의 양을 초과 응답(Overshoot), 외력이 가해지기 시작해 최대 응답에 이르는 시간을 최대 응답 도달시간(Time to peak), 시간이 흘러 평형위치에 일정 오차 범위 이내로 수렴하는 데 걸리는 시간을 안정화 시간(Settling time)이라고 한다. 이 값들은 제어공학에서 감쇠 진동계의 과도 특성을 대표하는 수치들로 사용된다.

평형 위치

사각 파에 (Square pulse) 의한 동적 응답

일정 시간 동안 주어지는 함수를 파(Pulse)라고 말한다. 파의 종류는 여러 가지가 있는데 그 중 가장 널리 사용되는 것이 사각 파이다. 그 이유는 사각 파가 다른 모든 형상을 감쌀 수 있으므로 사각파를 이용해 계산을 하고 설계를 하면 보수적인 안전한 설계를 할 수 있기 때문이다.

사각 파는 아래 그림과 같이 두 계단 함수의 합으로 나타낼 수 있으므로 이미 앞에서 구한 계단 함수에 대한 동적 응답을 이용하여 사각 파에 대한 동적응답을 쉽게 구할 수 있다.

) ( ) ( )

(

t F

₀

u t F

₀

u t t

₁

f

   이므로 우변의 첫째 및 둘째 항의 경우, 앞에서 다룬 예제에서

0 0

t

인 경우와

t

₀ 

t

₁에 해당하는 동적 응답이 구해지므로, 그 둘을 합하면 다음과 같은 동적 반응을 얻게 된다.

2 1 0

0 cos[ ]

1 )

(

e t t t

k F k

t F

x

^t _d  

 

 ^

 







^{cos[ ( ) ] cos( )}



1 )

( ₁

2

0 1

   





    

 

e

^

e t t t

k t F

x

^{t t} _{d d}

t



t

₁

위 동적 반응을 두 개의

t

₁값에 대해 나타낸 그림이 아래 그림이다. 이 그림은

t

₁의 값이





보다 큰 경우와 작은 경우에 최대 동적 반응의 크기에 큰 차이가 나는 것을 보여주는데

(이 경우



3.16 그리고



0.1) 그 이유는 3 장 후반부 충격파 스펙트럼에서 설명한다.

반 사인 파에 (Half sine pulse) 의한 동적 응답

1

0 t

F t t

F 

sin )

(  for

t



t

₁

0 for

t



t

₁ 1)

t



t

₁에서는

1 0

1() sin

)

(

t

F t t f t

f

_{ }



에 의한 동적 응답을

x

₁(

t

)라 하면,

2)

t



t

₁에서는

) ( ) ( )

(

t f

₁

t f

₂

t

f

 

여기서

) ( sin )

( ₁

1 0

2

t t

F t t

f







따라서

) ( ) ( )

(

t x

₁

t x

₁

t t

₁

x

  

주기 가진 입력에 대한 동적 반응

푸리에 이론에 의해 모든 주기 함수는 상수와 조화 함수의 조합으로 늘 표현할 수 있다.

즉 주기

T

인 함수

F (t )

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.



^









1

0 ( cos sin )

) 2 (

n

T n

T

n

n t b n t

a a t

F  

여기서 ^T

T



 ²



그리고



 ^T

F t dt a T

0 2 0 ()

F (t )

의 직류 성분



 ^T _T

n

F t n t dt

a T

0 ()cos

2



F

(t)의 교류 우함수 성분



 ^T _T

n

F t n t dt

b T

0 ()sin

2



F

(t)의 교류 기함수 성분

가진 되는 시스템의 방정식은

m x

_

 c x

_

 kx  F (t )

이므로 다음 세 방정식을 풀어 중첩의 이론을 적용하여 해를 구하면 된다.

2

a

0

kx x c x

m

  

k x

_p

a

2

 0

ncos T

mx cx

 

kx



a n  t

x

_p 

x

_cn(t)

nsin T

mx cx

 

kx



b n  t

x

_p 

x

_sn(t)

이 방정식들의 해를 구하는 방법은 이미 앞 강의에서 모두 다루어졌다. 이 미분 방정식의 해들은 교재를 참조할 수 있다. 그런 후에 각각의 비제차 방정식 해를 모두 합하고, 여기에 제차방정식의 해를 더하면,

 



^



    



1

0 ( ) ( )

) 2 sin(

) (

n

sn cn

d

t

x t x t

k t a

Ae t

x

^

 

여기서

A

와



는 초기 조건으로부터 구해진다.

예제: 주기가

T

인 삼각파

F (t )

1

2

T

T

-1

삼각파의 함수를 구간으로 나누면

) (t

F

 t4 1

T

0

T

2

t









 

 



 2

1 4

T

T t

T



t



T

2

그림에서 보듯이 이 함수의 평균값은 0 이며 우함수이다. 따라서 직류성분과 기함수 성분은 교재처럼 계산해볼 필요도 없이 0 인 것을 알 수 있다. 우함수 성분만 계산해 보면,

dt t T n

T t dt T

t n T t

a T

_{T T}^T _T

T

n



cos



2 1 4

cos 2 4 1

2

2 2

0





^_^{  }_^{  }_^{  }_^{  }_^_^



계산하면,

a

n 0

n

: Even number

2 2

8

 n

 

n

: Odd number (즉,

n  1 , 3 , 5 ,  

)

즉,



^



 

 

1

2

2 2 (2 1)

) cos 1 2 ( ) 8 (

m

t T m

t m

F 



교재 그림은 (Fig.3.13)

m  1, 2, 3, 

으로 증가할수록 급수가 삼각파 형상에 점점 더 수렴 해가는 모습을 보여준다.

변환 방법 (Transform Methods)

라플라스 변환법



^{ }



 ( ) 0 () ))

(

(

f t F s f t e dt

L

^st

라플라스변환은 이 같이 정의되나 대표적 함수들에 대한 라플라스변환 결과는 이미 구해진 표를 참조해 구하는 것이 효과적이다.

예제 1: 계단함수 입력에 대한 무감쇠 1 자유도 진동계의 동적 반응

) (t u kx x

m

_

  x ( 0 )  0 x

_

( 0 )  0

위 미분방정식의 좌우변을 라플라스 변환하면

s s X k

ms

1

) ( )

( ²  따라서

) (

) 1

( ₂

k ms s s

X

 

역변환 하면 (부분분수로 나눈 후 표를 참조하여 계산) )

cos 1 1( )

(

t

t k

x

 



예제 2: 단위 충격함수 입력에 대한 무감쇠 1 자유도 진동계의 동적 반응 (



1)

) (t kx x c x

m

_



_

   x ( 0 )  0 x

_

( 0 )  0

위 미분방정식의 좌우변을 라플라스 변환하면 1

) ( )

(

ms

²

cs



k X s

 따라서

2 2

2 2

/ 1 ) 1

(  









 

s s

m k

cs s ms

X

역변환 하면

t m e

t

x

^t _d

d

 

 sin ) 1

(  ^

초기 조건의 영향

위의 두 예제는 초기조건의 영향이 배제된 문제이다. 그러나 초기조건이 0 이 아닌 경우에는 그 영향들도 고려되어야 한다. 그런 경우

) 0 ( ) ( )

( x sL x x

L

_

  L

(

x

)

s

²

L

(

x

)

sx

(0)

x

(0)

푸리에 변환과 (Fourier Transform) 라플라스 변환의 유사성



^



x t e



dt

X

(



) () ^jt 



^

 





d e X t

x

( ) ^{j t}

2 ) 1 ( 또는



^



x t e



dt

X

^jt

 

( )

2 ) 1

(

x

(

t

)



^

X

(



)

e

^jt

d 



^



x t e



dt

X

^jt

 

()

2 ) 1

( 



^

 





d e X t

x

( ) ^{j t}

2 ) 1 (

푸리에변환 및 역변환의 정의를 위해 앞에 붙는 상수는 위와 같이 약간씩 달라질 수 있다.

푸리에 변환의 경우, 라플라스 변환과 달리, 적분하는 시간의 범위가 부터  까지 이므로 초기조건의 영향을 고려하지도 않고 고려할 수도 없다.

예제

t i _n

Ae t

x

( ) ^ 이면, 즉 응답함수가 조화함수라 하면, 푸리에 역변환을 위한 정의로부터 다음 식이 성립한다.



 

^



X e d

Ae

^{i nt} ( ) ^{i t} 2

1



^



그런데 델타함수의 성질에 의해 (금주 강의노트의 첫 쪽을 참조) 위식이 성립하기 위해서는

) (

2 )

(

A

_n

X 



  





따라서 조화함수를 푸리에 변환하면 아래 그림과 같은 형태로 나타나게 된다.

( ) X

) (

2

 A  





_n

예제

다음과 같은 사각파가 주어질 때,

x (t )

A

2



T

2

T

이 함수의 푸리에 변환을 하면

























 

 







^



_ ^{ }



2 sin 2 )

( )

( ²

2

2 2

T T AT

e i e

dt A Ae dt

e t x X

T

T

T i T i t

i t

i







^{ }



^{ }

위 함수의 모양을 알기 위해 함수





sin 의 그림을 그려보면 아래와 같다.

-6 0 -4 0 -2 0 0 2 0 4 0 6 0

-1 -0 . 5 0 0 . 5 1

(ra d ) sin/

연습 문제

초기조건이 모두 0 인 다음 미분 방정식을 풀이하라.

3 x

_

 12 x

_

 12 x  3  ( t )

이 시스템의 고유진동수  2

m

 k

, 감쇠 비는 1

2 



km

 c

따라서 이 진동계는 Critically damped system 이다. 1 장 강의 노트에서 이 경우의 동적 반응은

0 2

( )

F

^{t t}

h t te te

m



 

 

연습 문제

Underdamped system이 계단 함수

u (t )

에 의해 가진 되어 응답이 발생할 때 그 최대 값이 발생하는 시간을 구하라.

이 시스템의 동적 반응은, 이미 앞에서 구해진 바와 같이 다음과 같이 구해진다.

2 1

2 0 0

1 tan )

cos(

1 )

(



 



 



 

 





e

^

t

^

k F k

t F

x

^t _d

함수의 최대 값은

x

0^{에서 발생하므로}



^{cos( ) sin( )}



⁰

1 ²

0     

 





^

  

^

 







t e t

e k

x



F

^t _{d d} ^t _d

따라서

1 2

)

tan(



 



_d

t

  

그러므로













 





 ^

2 1

1

tan



 





_d

t k

최대 응답이 발생하는 위치는

k

1일 경우이다. 따라서

t

p







<Homework Problems>

1, 5, 6, 10, 13, 16, 17, 22, 23, 25, 26, 32, 36, 41, 43