Chapter 12 복사열전달의 기본

Chapter 12 복사열전달의 기본

본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니 다.

참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011

<학습목표>

1. 전자기복사와 열복사를 구별할 수 있어야 한다.

2. 흑체를 이해하고 스펙트럴 총 흑체방사도를 계산할 수 있어야 한다.

3. 흑체복사함수를 이용하여 명시한 파장에서 버/밧사된 복사분율을 계산할 수 있 어야 한다.

4. 복사강도의 개념을 이해하고 강도를 사용하여 스펙트럴 방향의 양을 정의할 수 있어야 한다.

5. 방사율 흡수율 반사율의 성질을 이해하고 스펙트럴 방향의 투과성과 이에 대한 원칙을 설명할 수 있어야 한다.

6. 방사율을 알 때 Kirchhoff의 법칙을 이용하여 표면의 흡수율을 결정할 수 있도 록 한다.

7. 유효하늘온도를 사용하여 대기복사를 모델하고 온실효과의 중요성을 인지한다.

1 서론

(1) 열복사의 특징

① 복사는 다른 두 메카니즘과 달리 진공상태에서도 일어난다.(태양에너지 복사)

② 복사는 열전달이 발생하는데 매체가 필요없다.

③ 복사에 의한 에너지 전달이 가장 빠르고(광속), 진공속에서도 감소되지 않는다.

④ 열복사는 고체, 액체, 기체 모두 발생하고 실제경우에는 복합적으로 일어난다.

⑤ 복사열전달은 두 물체보다 더 낮은 온도의 매체에 의하여 분리된 두 개의 물체사이 에서 일어난다.

(2) 복사의 이론적 근거

λ= c ν

∙c : 빛의 속도(진공상태 c = c0 = 2.998×10⁸㎧)

∙매체 내에서 c = c0/n (n은 굴절률) e = hν= ^hc　

∙Plank 상수 h = 6.625×10^-34J․s

∙파장이 짧은 감마선이나 X선은 파괴력이 커서 인체에 위험하다.

2 열복사

① 전자기 스펙트럼(electromagnetic spectrum) : 감마선, X선, 자외선복사, 가시광선, 적외선 복사, 열복사, 극초단파, 라디오파 등을 포함

② 여러 형태의 전자기파의 발생요인

∙ 감마선 : 핵반응에 의해

∙ X선 : 높은 전자에너지를 가진 금속의 충돌에 의해

∙ 극초단파 : 클라이스트론과 마그네트론과 같은 특수한 전자관에 의해

∙ 라디오파 : 크리스탈을 자극하거나 전도체를 통해

③ 열복사 : 물질의 분자, 원자 및 전자들이 진동과 회전하면서 방출하는 전자기복사

∙ 감마선과 X선(짧은파장) : 원자력분야

∙ 극초단파와 라디오파(긴파장) : 전기분야

④ 열복사의 특징

∙ 활동의 강도에 대한 미시적 척도

∙ 열복사 방사율은 온도가 증가함에 따라 증가한다.

∙ 온도가 절대영도보다 높은 모든 물체에 의하여 항상 방사된다.

∙ 주의의 모든 물체는 연속적으로 복사를 방사 또는 흡수한다.

∙ 열복사는 전자기 스펙트럼 0.1～100㎛사이의 부분이며 복사를 방출하는 물체의 온 도가 대부분 이 파장범위에 속한다.

∙ 가시광선(IR)복사 모두와 자외선(UV)복사의 일부도 포함

Color Wavelength band Violet 0.40～0.44mm

Blue 0.44～0.49mm Green 0.49～0.54mm Yellow 0.54～0.60mm Orange 0.60～0.673mm

Red 0.63～0.76mm

⑤ 가시광선

∙ 전자기 스펙트럼 중 0.40～0.76㎛파장으로 볼 수 있는 부분

∙ 광원(light source) : 가시범위에서 복사를 방사하는 물체

∙ 태양복사(solar radiation) : 태양에 의하여 방사된 전자기복사, 0.3～3㎛파장에 해당

∙ 다른 색깔의 파장 대역

⑥ 적외선(infrared)

∙ 0.76～100㎛까지 범위의 스펙트럼 구역

⑦ 자외선복사(ultraviolet radiation)

∙ 열복사 스펙트럼의 낮은 파장에 자리하며, 0.01～0.40㎛의 파장 사이

∙ 생물의 조직에 심한 해를 끼침

∙ 태양복사의 12%를 차지하며 오존(O3)층이 대부분을 흡수

∙ 프레온12와 그 밖의 화학물질이 오존층을 파괴시킴 ⇒ 사용의 제한

⑧ 극초단파

∙ 102～105㎛범위

∙ 유리와 플라스틱은 투과, 금속에는 반사된다.

∙ 음식물(물, 지방)은 흡수되어서 음식물을 데우는데 활용 ⇒ 전자레인지

∙ 전자기복사 : 레이더와 무선전화에 이용

⑨ 체적현상과 표면현상

∙ 체적현상

절대온도 이상의 모든 전자, 원자, 고체의 분자, 그리고 기체는 항상 운동하고 있으 며 따라서 복사는 물질의 모든 체적을 통하여 항상 방사될 뿐만 아니라 흡수되며 투과되고 있다.

∙ 표면현상

불투명한 고체에 대한 복사는 내부에서 방사된 복사가 표면에 도달할 수 없고, 그 러한 입사된 복사는 일반적으로 표면으로부터 몇 마이크론 이내에 흡수된다.

3 흑체복사

(1) 흑체

완전한 복사 흡수체이자 방사체이다. 또한 확산방사체이다. 확산은 방향과 무관 (2) Stefan-Boltzmann 법칙

Eb = σT⁴ (W/m²)

∙ Eb : 흑체의 방사도

∙ σ=5.67×10^-8W/m²․K⁴ ⇒ Stefan-Boltzmann 상수

∙ T는 절대온도(K) (3) Planck의 분배법칙

Ebλ(T) = ^{λ5[ exp (} C^C₂¹/λT)- 1]

∙ 파장 흑체방사도(spectral blackbody emissive power)

; 절대온도 T에서 단위시간당, 단위면적당, 파장λ에서 흑체가 방사하는 복사

∙ C1=2πhc02=3.742×10⁸W․㎛⁴/m²

∙ C2=hc0/κ=1.439×10⁴㎛×K

∙ K=1.3805×10^-23J/k ⇒ Boltzmann상수

∙ 다른 매체에 대해 C1대신 C1/n²사용, n은 매체의 분율지수 (4) Wien의 변위법칙

( λT) _maxpower= 2897.8　・K

(5) Ebλ를 적분하여 총 흑체방사도 Eb 구하기 E _b(T)= ⌠⌡

∞

0 E_bλ(T)d^λ=σ T ⁴ (W/m²)

∙ 삽입 E ^bλ-λ의 차트에서 주어진 온도에 대하여 곡선 아래의 면적은 그 온도에서 흑 체에 의하여 방사된 총 복사에너지를 나타냄

(6) 일부파장에 대한 방사된 복사에너지의 양

① λ=0으로부터 λ까지의 파장 영역 E ^{b, 0→λ}(T)=^⌠⌡

λ

0 E _b

λ(T)dλ (W/m²)

② 흑체복사함수(blackbody radiation function) : f ^λ

f ^λ(T)=

⌠⌡

λ

0 E _bλ(T)d^λ σT ⁴

③ λ=λ ¹으로부터 λ=λ ²까지의 유효한 파장 영역에서 온도 T인 흑체가 방사하는 복사에너지 분율 f ^{λ1 →}(T)=f^{λ2 λ2}(T)-f ^λ1(T)

(6) 주어진 온도에서 파장에 따른 흑체방사도의 변화

① 방사된 복사는 파장의 연속함수이다. 주어진 온도에서 파장이 증가하면 방사도 증 가하며 최고점에 도달한 이후에는 파장이 증가하면 감소한다.

② 주어진 파장에서 방사된 에너지량은 온도가 증가함에 따라 증가한다.

③ 온도가 증가함으로 곡선은 가파르게 되고 왼쪽의 짧은 파장 구역으로 이동한다. 결 과적으로 고온어서는 복사의 상당부분이 짧은 파장에서 방사된다.

④ 5762K인 태양에 의한 복사는 흑체로 취급되며 스펙트럼의 가시범위에서 최고에 도 달한다. 그래서 태양이 우리 눈에 보이는 것이다. 반면, T≤800K인 표면은 거의 다 적외선 구역에서 방사되기 때문에 다른 광원으로부터 오는 빛을 반사하지 않는 한 눈으로 볼 수 없다.

4 복사특성

(1) 방사율(emissivity)

① 정의 : 같은 온도에서 실제표면에서 방사된 복사와 흑체에 의해 방사된 복사의 율

② 표현 : 표면의 방사율은 ε로 나타내고 0≤ε≤1사이에서 변화

③ 총반구 방사율(total hemispherical emissivity) e(T)= E(T)

E _b(T) = E(T) σ T⁴

④ 실제표면의 총 방사도

E(T)= ε(T)σ T⁴ (W/m²)

⑤ 파장 방사율

ε _λ(T)= E λ(T) E_bλ(T)

∙ ^{E λ(T)} : 실제표면의 파장 방사도

⑥ 평균방사율

ε(T) =

⌠⌡

∞

0 Eλ(T) E_bλ(T)d^λ σ T⁴

⑦ 표면에서의 방사율

∙실제표면

≠ 정

_≠ 일정

∙확산표면

_  일정

∙회체표면

_  일정

∙확산, 회체표면

  _ _  일정

(2) 흡수율, 반사율, 투과율

① 흡수율(absorptivity) : α

 사복사

흡수복사  _

0≤α≤1

∙G : 입사복사, 조사(irradiation)

② 반사율(reflectivity) : ρ

  입사복사 반사복사



_{ }

0≤ρ≤1

③ 투과율(transmissivity) : τ

  입사복사 투과복사



_

0≤τ≤1

④ 열역학 제1법칙

∙ ^{G abs+ Gr ef+ G tr=G} 을 G로 나누면

α+ρ+τ = 1

⑤ 방향성

α_θ= G _θ,abs

Gθ , ^{ρ θ= G}G^θ,θ^{r ef} , ^{τθ= G}G^θ,θ^tr

⑥ 평균치

α=

⌠⌡

∞

0 α_λ Gλd^λ

⌠⌡

∞

0 Gλd^λ ,

ρ=

⌠⌡

∞

0 ρ_λ G λd^λ

⌠⌡

∞

0 G λd^λ ,

τ=

⌠⌡

∞

0 τ_λ Gλd^λ

⌠⌡

∞ 0 Gλd^λ

⑦ 표면에서의 여러 가지 반사형태

∙산란반사(specular reflection)

∙확산반사(diffuse reflection)

∙거울 같은 반사 : 입사각=반사각

(3) Kirchhoff의 법칙

① 식의 유도

∙ 온도 T, 표면온도 A, 방사율 ε, 흡수율 α인 물체

∙ ^Gabs= αG=ασ T⁴

∙ ^E emit= εσ T ⁴

∙ ^{Aεσ T4=Aασ T4}

ε(T) =α(T)

② 파장형태의 Kirchhoff

ε_λ(T)= α_λ(T)

③ 주의 : 표면온도와 입사되는 복사 광원의 온도 사이에 상당한 차이가 있을 때

(4) 온실효과(Greenhouse effect)

① 차에서의 온실효과

∙ 유리는 가시범위 내의 복사를 90%이상을 투과하지만 적외선 복사를 나갈수 없게함

∙ 비회체 특성 : 유리, 투명한 플라스틱 ⇒ Heat trap

② 지구에서의 온실효과

∙ 낮에는 태양에너지를 흡수, 밤에는 우주공간에 적외선 복사에너지 방사하여 균형

∙ CO2와 H2O : 태양복사는 투과하나 지구의 표면에서 방사된 적외선 복사는 흡수

∙ 온실효과는 엘리뇨와 라니냐같은 기후변화를 일으킨다.

5 대기와 태양복사

① 대기복사(atmosphere radiation)

② 태양상수(solar constant) : ^{G s} G _s= 1353W/m ²

③ 유효표면온도(effective surface temperature)

2 2 4

(4

p L G

p r

s T

④ 지구에 들어오는 태양에너지

∙ 직접 태양복사(direct solar radiation) : ^{G D}

대기에 의해 산란되거나 흡수되지 않고 지구에 도달하는 태양복사의 부분

∙ 확산 태양복사(diffuse solar radiation) : ^Gd

산란된 복사는 모든 방향에서 균일하게 지구에 도달한다고 가정

∙ 단위면적당 들어오는 총 태양에너지

G _solar=G_Dcosθ +G_d

⑤ 유효하늘온도(effective sky temperature) : ^T sky 4

sky sky

G

s T

⑥ Kirchhoff의 법칙으로부터 표면의 흡수율은 ^α=ε

4 4

,

sky absorbed sky sky sky

E

a G

as T

es T

⑦ 태양과 대기 복사에 노출된 표면까지의 순 복사열전달률

,

net rad absorbed emitted

q

å E

å E

=^{E solar,absor bed+E sky,absor bed-E emitted}

4 4

s

G

T

T

a es es

= + -

4 4

( )

s

G

T

T

a es

= + - (W/m²)

6 형태계수(view factor)

(1) 정의

두 표면 사이의 복사열전달에서 방향의 영향을 고려하기 위해서 표면 도에 무관한 순수한 기하학적인 값

(2) 표현

∙ 표면 I로부터 표면 j까지 형태계수는 Fi→j나타냄

Fi→j=표면 i를 떠나서 표면 j에 곧바로 부딪히는 복사의 분율

∙ j=i의 경우

Fi→j=표면 I를 떠나서 자신에게 부딪히는 복사의 분율

(3) 여러 가지 표면에서의 형태계수

① 평면 : F1→1=0

② 볼록한 표면 : F2→2=0

③ 오목한 표면 : F3→3≠0

∙ 무한한 크기의 일반적인 형상(3차원)에 대하여 나타낸 형태계수

∙ 어떤 무한한 크기를 가진 긴 형상(2차원)에 대한 형태계수

(4) 형태계수 관계

① 상호성 법칙

∙Ai=Aj 일 때 Fj→i=Fi→j

Ai≠Aj 일 때 Fj→i≠Fi→j

AiFi→j=AjFj→i

② 합의 법칙

∑ⁿ

j= 1F_ij= 1

③ 중첩의 법칙

F _{1→ ( 2,3)}= F _1→2+ F _1→3

④ 대칭의 법칙

∙ 표면 j와 k가 표면 I에서 대칭이라면

F _i→j= F _i→k

∙ 상호성법칙을 적용 F _j→i= F _k→i

⑤ 무한히 긴 표면사이의 형태계수 : 교차선법 L2

L3 L5 L6 L4

L1

∙Hottel은 형태계수 F1→2를 팽팽한 실의 길이로 나타냄 F _1→2= ( L₅+ L ₆)-(L ₃+ L ₄)

2 L1

F_i→j= ∑^{( 셇　) -}∑^{( 셇켉쑶　)}

2×(  죲i^{  큦}　)

7 복사열전달 : 흑체 표면

∙균일한 온도 T1과 T2인 임의형상의 흑체표면을 가정

∙흑체에서는 단위표면적당 ^{E b= σ T 4}의 율로 복사

∙표면 1로부터 표면 2까지 복사열전달률

Q _1→2=(전체표면 1을 떠나서 표면 2에 부딪히는 복사)-(전체표면 2를 떠나서 표면 1에 부딪히는 복사)

= ^{A 1 E b1 F 1→2- A 2 E b2 F 2→1} (W)

∙상호성법칙을 적용

Q _1→2= ^{A1 F 1→2σ(T 41-T 42)} (W)

∙복사열전달의 합

4 4

1 1

( )

N N

i i j i i j i j

J j

Q Q

A F

s T T

= =

=

å

å

& &

(W)

8 복사열전달 : 확산 회체표면

(1) 복사도(radiosity) : J

① 불투명, 회색인( ^{εi= αj쇚졻 αi+ ρi=1} ) 표면 i의 복사도

J_i=(  죲i콿큦  쾗챫쩟챫)+(  죲i콿큦  쾗챫쩟챫)

= ^{ε i E bi+ ρ i Gi}

= ^{E i E bi+(1- εi)G i} (W/m²)

∙표면 i의 흑체방사도 : ^{E bi= σT 4i}

∙조사 : ^{G i}

② 흑체( ^εi= 1 ) 표면 i의 복사도

J_i= E _bi= σT ⁴_i

(2) 표면으로의 순 복사열전달

① 면적 Ai의 표면으로부터 순 복사열전달률 : ^Q i

Q_i=(퍖   죲i^{졒쌪쑶쩟챫})-(퍖  죲i콿얷콦  쑶쩟챫)

= ^{Ai( Ji- G i)} (W)

∙Gi에 대하여 구하고 윗 식에 대입 Q_i= A _i( J_i= j_i- ε_i E _bi

1- ε i ^{) =}

A _i ^ε_i

1- ε _i ( E _bi- J_i) (W)

∙Ohm 법칙을 적용하면 Q_i= E _bi- J_i

R _I (W)

R_I= 1- ε_i A _i^ε _i

② 재복사표면(reradiating surface) : ^{Q i}=0이라고 놓고 윗식을 풀면 J_i= E _bi= σT ⁴_i (W/m²)

(3) 두 표면 사이의 순 복사열전달

① 표면 i로부터 표면 j까지의 순 열전달률

Q i→j=(전체 표면 i를 떠나 표면 j에 부딪히는 복사)-(전체 표면 j를 떠나 표면 I에 부딪히는 복사)

=^{AiJiF i→j-A jJjFj→i} (W)

∙ 상호성 관계식 ^{A iF i→j=A jFj→i}을 적용하면 Q _i→j=A _iF_i→j(J_i-J_j) (W)

∙ Ohm의 법칙을 상사성에 적용하면 Q _i→j= J_i-J_j

R _i→j (W) R _i→j= 1

A _iF _i→j ⇒ 복사의 공간저항

② N개 표면을 가진 밀폐용기에서 표면 i로부터의 순 열전달

=표면 I로부터 밀폐용기의 각각의 N표면까지의 열전달의 합

Q _i= ∑_j^N

= 1Q _i→j= ∑_j^N

= 1A _iF _i→j(J_i-J_j)=∑_j^N

= 1

J_i-J_j

R _i→j (W) E _bi-J_i

R _i ⁼ ∑_j^N

= 1

J_i-J_j

R _i→j (W)

(4) 복사문제를 풀기 위한 방법

① 단순화

∙ 순 열전달률이 주어진 표면 Q _i=A _i ∑_{j= 1}^{N F} i→j(J_i-J_j)

∙ 온도가 주어진 표면

4

1

1 ( )

N i

i i i j i j

i J

T J e F j J

s e

= + -

å

② 직접방법(direct method)

표면의 수가 많을 경우 EES, Mathcad, Mathlab을 사용

③ 회로방법(network method)

전기회로의 유사성을 이용, 두 개나 세 개의 표면을 가진 밀폐용기에서 적용

(5) 두 개의 표면을 가진 밀폐용기 내의 복사열전달

① 두 표면사이의 복사열전달률 Q ₁₂= Q ₁=- Q ₂

Q ₁₂= E _b1-E _b2

R ₁+R₂+R ₃ ⁼ Q ₁=- Q ₂

4 4

1 2

12

1 2

1 1 1 12 1 2

( )

1 1 1

T T Q

A A F A

s

e e

e e

= -

- -

+ +

&

② 복사도 ^J1,J2,J3을 구하는 방법 ⇒ 전류의 대수의 합이 0이어야 한다.

E _b1-J₁

R ₁ ⁺ J₂-J₁

R₁₂ ⁺ J₃-J₁ R ₁₃ ^{= 0} J₁-J₂

R ₁₂ ⁺ E _b2-J₂

R ₂ ⁺ J₃-J₂ R ₂₃ ^{= 0} J₁-J₃

R ₁₃ ⁺ J₂-J₃

R ₂₃ ⁺ E _b3-J₃ R ₃ ^{= 0}

9 복사차폐막과 복사효과

① 복사차폐막(radiation shields)

두 표면 사이의 복사열전달은 두 개의 표면 사이에 얇고 반사율이 큰(작은)판을 끼 워 크게 감소시키는 막

② 방사율이 ^{ε 1, ε 2}이고 ^{T 1,T 2}의 균일한 온도로 유지되는 평판 사이의 복사열전달

4 4

1 2

12,

1 2

( ) 1 1

1

noshield

A T T

Q s

e e

= -

+ -

&

③ 직렬로 연결된 저항의 복사열전달률

1 2

12,

3,1 3,2

1 2

1 1 1 12 3 3,1 3 3,2 3 32 2 2

1 1

1 1 1 1

b b

oneshield

E E Q

A A F A A A F A

e e

e e

e e e e

= -

- -

- -

+ + + + +

&

④ 평행 평판에 대해 윗 식을 단순화

4 4

1 2

12,

1 2 3,1 3,2

( )

1 1 1 1

( 1) ( 1)

oneshield

A T T

Q s

e e e e

= -

+ - + + -

&

⑤ N개의 복사차폐막에 의하여 분리된 평행 평판을 통한 복사열전달

4 4

1 2

12,

1 2 3,1 3,2 ,1 ,2

( )

1 1 1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

Nshields

N N

A T T

Q s

e e e e e e

= -

+ - + + - + ×××× + + -

&

⑥ 모든 표면의 방사율이 같다면

4 4

1 2

12, 12,

( ) 1

1 1 1

( 1)( 1)

Nshields Nshields

A T T

Q Q

N N s

e e

= - =

+ + - +

& &

⑦ 온도측정에서 복사효과

∙ 평행상태(센서가 측정한 대류에 의한 열유입과 복사에 의한 열손실인 같다.)

4 4

( _{f th}) _th ( _{th w})

h T

T

e s T

T

4 4

( )

th th w

f th

T T T T

h e s

= +

(W) T _f=유체의 실제온도, K

T _th=온도계에 의하여 측정된 온도값, K Tw=주위 표면의 온도, K

h=대류열전달계수, W/m ²․K ε=온도계 센서의 방사율

예제 12 -1 흑구(black ball)에서의 복사

지름 20 cm 의 구가 800K의 온도로 공중에 그림 9-12 같이 매 달려 있다.

구를 흑체와 가깝다고 가정하고 (a) 총 흑체방사도,

(b) 5분동안 방사한 총 복사량,

(c) 파장 3㎛에서의 파장 흑체방사도를 구하라.

<가정> 이 구는 흑체와 같은 성질을 지녔다고 가정한다.

□풀이

(a) 총 흑체방사도는 Stefan-Boltzmann 법칙을 이용,

E_b= σT⁴= (5.67 ×10^{- 8}W/m²․K⁴)(800K)⁴= 23,224W/m²

이것은 구가 23224J의 에너지를 전자기복사 형태로 구의 표면에서 초당, 단위 미터제곱에서 복사한다는 뜻이다.

(b) 5분동안 구 전체에서 방사한 총 복사에너지 양은 얻은 흑체방사도에 구의 전체 표면적과 주어진 시 간을 곱해서 정해진다.

A = πD²= π (0.2m)² = 0.1257m² Δt= (5 min ) 60 sec1min = 300 sec Q_{r ad}= E_bA^Δt= (23,224W/m²)(0.1257m²)(300 sec )( 1kJ

1000W․s ^{) = 875.8}kJ (c) 파장 3㎛일 때 파장 흑체방사도는 Planck의 분배법칙에 의해 구할 수 있다.

E _bλ= C

λ⁵

[

(

)

]

8W㎛⁴/m²

(3㎛)

[

(

)

]

■ λ=0부터 λ까지의 파장영역에 대하여 단위면적당 흑체에 의하여 방사된 복사에너지는 다음과 같이 결정된다.

E_{b, 0→λ}(T) = ⌠⌡

λ

0 E _bλd^λ (W/m²) (12-7)

■윗식이 실용적이 아니므로 다음과 같이 흑체복사함수라는 무차원양 f_λ 로 정의한다.

fλ(T) =

⌠⌡

λ

0 E _bλ(T)d^λ

σT^{4 (12-8)}

함수 fλ은 온도 T에서 λ까지 파장영역에서 흑체로부터 방사한 복사의 분율을 나타낸다. fλ의 값은 λT의 함수로써 표 9-2에 있으며 λ = ㎛이고 T는 K이다.

λ = λ₁으로부터 λ = λ₂ 까지의 유한한 파장영역에서 온도 T인 흑체가 방사하는 복사에너지 분 율은 다음과 같이 정의된다.

fλ₁- λ₂(T) = fλ₂(T) - fλ₁(T) (12-9)

예제 12- 2 백열등의 복사

백열등의 필라멘트 온도는 2500K이다. 필라멘트를 흑체로 가정하 고 필라멘트에 의해 방사된 복사에너지의 가시광선 영역에 대한 비율을 구하라. 또한, 필라멘트의 방사도가 가장 높은 파장을 구 하라.

<가정> 필라멘트는 흑체와 같은 성질을 가졌다고 가정한다.

□풀이

가시광선의 파장은 λ1= 0.4㎛에서 λ = 0.76㎛이다. 온도가 2500K이고 λ1T와 λ2T에 해당하는 흑체복사함수는 표 9-2로부 터 구할 수 있다.

λ₁T = (0.4 ㎛)(2500K) = 1000㎛․K→fλ₂= 0.000321 λ₂T = (0.76㎛)(2 500K) = 1900㎛․K→fλ₂= 0.053035 즉 0.03%의 복사가 파장 0.04㎛이하에서 복사되고 5.3%가 파장

0.76㎛이하에서 복사된다. 그러면 두 파장 사이에서 방사된 복사의 분율은 그림 9-15와 같다.

fλ₁→λ₂= fλ₂- fλ₁= 0.053035 - 0.000321 = 0.0527135

이것으로 단지 약 5%의 복사가 전구의 필라멘트에 의해 가시광선의 영역에서 방사된다는 것을 알 수 있다.

필라멘트에서 방사도가 가장 높은 파장은 Wien의 변위법칙으로 쉽게 구할 수 있다.

( λT) _maxpower = 2897.8㎛․K→ λ _maxpower = 2897.8㎛․K

2500K ^{= 1.16㎛}

예제12 - 3 표면에서의 평균방사율과 방사도

온도 800K인 불투명한 표면의 파장 방사율 함수는 대략 그림 9-22와 같다.

ε₁= 0.3 0≤λ < 3㎛

ε_λ = ε₂= 0.8 3㎛≤λ < 7㎛

ε = 0.1 7㎛≤λ < ∞

표면에서 평균 방사율과 방사도를 구하라

□풀이

파장에 따른 표면의 방사율의 변화가 단위함수의 형태로 주어졌다, 따라서 평균방사율은 9-13에서 3부 분으로 나누어 적분하여 계산할 수 있다.

ε(T) = ε₁

⌠⌡

λ₁

0 ε_λ(T)E_bλ(T)d^λ σT^{4 + ε2}

⌠⌡

λ₂

λ₁ε_λ(T)E _bλ(T)d^λ σT^{4 + ε3}

⌠⌡

∞

λ₂ε_λ(T)E_bλ(T)d^λ σT⁴

= ε₁f_{0 - λ1}(T) + ε₂fλ₁- λ2(T) + ε₃fλ₂- ∞(T)

= ε₁f_{0 - λ1}+ ε₂(fλ₁- λ₂) + ε₃(1 -fλ₂)

여기서 흑체복사함수 fλ₁과 fλ₂는 표 9-2에 의하여 λ1,T, λ2,T에 의 해 구할 수 있다.

λ₁T = (3㎛) (800.K) = 2400㎛․K → fλ₁= 0.140256 λ₂T = (7㎛) (800.K) = 5600㎛․K → fλ₂= 0.701046

f₀= 0에서 f_{0 - λ1}= fλ₁-f₀ = fλ₁이고, f_∞= 1에서 fλ₂- ∞ = f_∞-fλ₂= 1 -fλ₂임을 주목하라.

그리고 이것을 대입하면 다음과 같다.

ε = 0.3 × 0.140256 + 0.8(0.701046 - 0.140256) + 0.1(1 - 0.701046) = 0.521 이것은 방사율 ε = 0.521인 800K인 회체가 방사하는 복사와 같다. 표면의 방사도

E = ε σT⁴= 0.521(5,67 × 10⁸W/m²․K⁴)(800K)⁴= 12,100W/m² 이다.

예제 12 - 5 동일한 구심을 갖는 두 구의 형태계수

그림 9-46과 같이 동일한 구심을 갖는 구속에 구가 들어가 있는 형상의 형태계수를 구하라.

<가정> 각 표면은 확산방사체이자 확산 반사체이다.

□풀이

작은 구의 바깥표면과 큰 구의 안쪽면의 두 개의 표면으로 된 밀폐용기이다. 따라서 N=2이고 행태계수 의 개수는 N²= 4이다. 그렇다면 우리가 구해야할 필요가 있는 행태계수의 개수는,

12 N(N- 1) = 12 ×2(2-1) = 1이다.

남아있는 세 개의 형태계수들은 합의 법칙과 상호성 법칙으로 구할 수 있다.

여기서,

F11= 0 표면 1을 떠난 복사는 자신의 표면에 도달하지 않는다.

F₁₂= 1 표면 1에서 떠난 복사는 모두 표면 2에 도달한다.

표면 1에 합의 법칙 F₁₁+ F₁₂= 1을 이용하여 나머지 한 개를 구할 수 있으므로 이 경우 관찰에 의 하여 한 개의 형태개수만 구하면 충분하다.

형태계수 F₂₁은 표면 1과 2에서 상호성 법칙을 이용하여, A₁F₁₂= A₂F₂₁이고,

따라서, F₂₁= A1

A₂ F₁₂= 4πr²₁

4πr²₂ ^{×1 =}

(

)

마지막으로 형태계수 F22는 표면 2에서 합의 법칙을 이용하여 결정된다.

F₂₁+F₂₂ = 1 에서,

∴F₂₂= 1 -F₂₁= 1 -

(

)

예제 12 - 6 출구로 나가는 복사의 분율

그림과 같이 동심축을 가진 원통 형태의 밀패용기에서 바닥에서 위쪽으로 복사 방출하는 분율을 구하라. 그림에서 보이는 것 같이 용기의 반지름은 r₁= 10cm, 이고, r₂= 5cm, r₃= 8cm 이며, 원통의 길이는 10cm 이다.

<가정> 바닥면은 확산방지체이자 확산 반사체이다.

□풀이

지름 r₁=10cm 인 표면을 표면 1이라 하고, r₂를 표면 2, r₃을 표면 3이라고 하자.

그렇다면 중첩법칙을 이용하여 표면 1에서부터 3까지의 형태계수는, F₁₃= F₁₂= F_{1r ing} 형태계수 F₁₂와 F₁₃은 그림 9-43의 차트로부터 구해질 수 있다.

rL₁ ^{= 10}cm

10cm ^{= 1 ,} r₂

L ^{= 5}cm

10cm ^{= 0.5 →} F₁₂= 0.11

rL₁ ^{= 10}cm

10cm ^{= 1 ,} r₃

L ^{= 8}cm

10cm ^{= 0.8 →} F₁₃= 0.28 그러므로,

F_{1→r ing}= F₁₃-F₁₂= 0.28 - 0.11 = 0.17

예제 12 - 7 사각뿔에서의 행태계수

그림과 같은 피라미드 형상에서 밑바닥에서 각 옆면으로의 행태계수를 구하라. 바닥면은 정사각형이고 옆면들은 이등변 삼각형이다.

<가정> 각 표면은 확산방지체이자 확산 반사체이다.

□풀이

대칭법칙에 따라,

F₁₂= F₁₃= F₁₄= F₁₅ 또한 표면 1에 합의 법칙을 적용하여,

∑⁵

j= 1F_1j= F₁₁+F₁₂+F₁₃+F₁₄+F₁₅= 1

또한 바닥이 평평한 표면이므로 F₁₁= 0 이고, 위의 두 식으로부터

F₁₂= F₁₃= F₁₄= F₁₅= 0.25

예제12 - 8 긴 삼각 덕트에서의 형태계수

그림과 같이 무한히 긴 삼각형의 덕트에서 한쪽면에서 다른쪽 면으로의 형태계수를 구하라.

<가정> 각 표면은 확산방지체이자 회체이다.

□풀이

구하고자 하는 형태계수의 필요 개수는,

12 N(N- 1) = 12 ×3(3-1) = 3 인데 세 표면은 관찰로부터,

F₁₁= F₂₂= F₃₃이다. (이것은 세 표면이 평평하기 때문이다.)

각각 세 표면에서 합의 법칙을 적용하여 다음이 얻어진다.

F₁₁+F₁₂+F₁₃= 1 F₂₁+F₂₂+F₂₃= 1 F₃₁+F₃₂+F₃₃= 1

여기서 F₁₁= F₂₂= F₃₃= 0에 유의 하고 각각에 해당면적을 곱해주면 다음이 얻어진다.

A₁F₁₂+A₁F₁₃= A₁ A₂F₂₁+A₂F₂₃= A₂ A₃F₃₁+A₃F₃₂= A₃

마지막으로 상호성법칙A₁F₁₂= A₂F₁₃= A₃F₃₁, A₂F₂₃= A₃F₃₂에서 다음이 얻어진다.

‘A₁F₁₂+A₁F₁₃= A₁ A₁F₁₂+A₂F₂₃= A₂ A₁F₁₃+A₂F₂₃= A₃

이 세 쌍의 방정식을 연립하여 풀면 세 개의 미지수를 얻을 수 있다.

F₁₂= A₁+A₂-A₃

2A₁ ⁼ L₁+L₂-L₃ 2L₁ F₁₃= A₁+A₃-A₂

2A₁ ⁼ L₁+L₃-L₂ 2L₁ F₂₃= A₂+A₃-A₁

2A₂ ⁼ L₂+L₃-L₁ 2L₂

(12-33)

예제 12 - 9 형태계수의 교차선법

그림과 같이 각각의 넓이가 12cm, 5 cm 인 두 개의 무한히 긴 평판이 있다. 두 평판 사이의 거리는 6cm 이다. (a) 표면 1에서 표면 2로의 형태계수를 교차선법에 의하여 구하라. (b) 주어진 형태를 삼각형 으로 만들고 식 12-33을 이용하여 삼각형 변의 형태계수를 구할 수 있는 교차선법 공식을 유도하라.

<가정> 각 표면은 확산 방지체이자 확산 반사체이다.

□풀이

(a) 교차하는 선과 교차하지 않는 선을 구분하고 교차선법 식을 적용하여 행태계수 F₁₂를 구한다.

F₁₂= ∑^{( 교차선) -}∑^{( 교차되지않는선)}

2×(표면1위의선) = (L₅+L₆)-(L₃+L₄) 2L1

L₁= a = 12cm L₄= 7²+6² = 9.22cm L₂= b = 5cm L₅= 5²+ 6² = 7.81cm L₃= c = 6cm L₆= 12²+ 6² = 13.42cm

이것을 대입하면,

F₁₂= [7.81 + 13. 42?) - (6 + 9.22)]cm

2×12cm ^{= 0.250}

(b) 표면 1에 대하여 합의 법칙을 적용하여,

F₁₁+F₁₂+F₁₃+₁₄ = 1 그러나 평판이므로 F₁₁= 0이다. 따라서,

F₁₂= 1 -F₁₃-F₁₄

여기서 형태계수 F₁₃과 F₁₄는 삼각형 ABC 와 ABD에서 구할 수 있으며 식 9-33을 적용하여 삼각형 양면 사이의 형태계수를 얻을 수 있다.

F₁₃= L₁+L₃-L₆

2L₁ ^, F₁₄= L₁+L₄-L₅

2L₁ ^이다.

대입하면,

F₁₂= 1 - L₁+L₃-L₆

2L₁ ^- L₁+L₄-L₅

2L₁ ^{= (}L₅+L₆) - (L₃+L₄) 2L₁

이것은 예상했던 결과이다. 그리고 이것은 두 개의 평행한 무한히 긴 평판에서의 교차선법에 간단한 증 명이다.

예제 12 - 10 흑체 표면을 가진 정육면체노(Cubical furnace)에서 복사열전달

그림와 같이 각 변의 길이가 5m인 정육면체 형태의 노가 있으며 노 내부의 표면은 흑체표면과 같은 거 동을 하고, 바닥면과 윗면, 옆면의 온도는 각각 800K, 1500K, 500K를 유지하고 있다.

(a)바닥면과 옆면의 순 복사열전달률을 구하라.

(b)바닥면과 윗면의 순 복사열전달률을 구하라.

(c)바닥면으로부터 순 복사열전달률을 구하라.

<가정> 각 표면은 흑체이고 등온이다.

□풀이

(a) 6개의 표면을 가진 형상이므로 우리는 처음에 6개의 면을 가진 밀폐용기로 취급할 수 있다. 그러나 4개의 옆면들은 같은 성질을 가지고 있기 때문에 복사해석에는 1개의 표면을 갖는 것으로 취급할 수 있 다. 바닥면을 표면 1로 하고 윗면을 표면 2로 하고, 옆면을 표면 3으로 하면 문제는 Q₁₃, Q₁₂, Q₁을 구하는 것으로 볼 수 있다.

여기서 식 9-37을 이용하면,

Q₁₃= A₁F₁₃^σ(T⁴₁-T⁴₃) 여기에서,

F₁₁+F₁₂+F₁₃= 1

또는 F₁₃= 1 -F₁₁-F₁₂= 1 - 0- 0.2 = 0.8 대입하면 다음과 같다.

Q₁₃= ( 25m²)(0.8)(5.67×10^{- 8}W/m²․K⁴)[ (800K)⁴- (500K)⁴] = 393.611W

(b) 표면 1에서 표면 2로의 순 복사열전달률은 마찬가지로 식 9-37에서,

Q₁₂= A₁F₁₂^σ(T⁴₁-T⁴₂)

= ( 25m²)(0.2)(5.67×10^{- 8}W/m²․K⁴)[ (800K)⁴- ( 1500K)⁴] = - 1319097W

음수는 복사열 전달이 표면 2에서 표면 1로 된 것이기 때문이다.

(c) 바닥면에서의 순 복사열전달

Q₁은 식 9-38에서 첨자 I를 1로 바꾸고 N=3 이므로,

Q1= ∑_{j= 0}^{3 Q}1= Q11+Q12+Q13

= 0 + (- 1319097W)+ (393611W)

= - 925486W

예제 12-11 넓고 평행한 평판 사이의 복사열전달.

두 개의 매우 넓고 평행한 평판의 온도는 각각 T₁=800K, T₂=500K이며, 방사율은 각각 ε1=0.2, ε2

=0.7이다.

이때 평판의 단위면적당 순 복사열전달률을 구하라.

<가정> 두 표면은 모두 불투명하고, 확산을 하며, 회체이다.

□풀이

두 평판에서 단위면적당 순 복사열전달률은 식 12-55를 이용하여, q₁₂= Q₁₂

A ⁼

σ(T⁴₁-T⁴₂) 1

ε₁ + 1ε₂- 1 = (5.67 ×10^{- 8}W/m²․K⁴)[ (800K)⁴- (500K)⁴] 0.2 +1 1

0.7 - 1

= 3625W/m²

6)세개의 표면을 가진 밀폐용기 내의 복사열전달

세 표면과 관계되는 표면저항을 그리고, 그림에서 보는 것처럼 공간저항으로 표면저항을 연결한다. 여기 서 세 미지수를 구해야 하기 위해서는 각 노드에서 전류의 대수적 합이 0이 되어야 한다는 조건으로부 터 구할 수 있다.

E_b1-J₁

R₁ ⁺ J₂-J₁

R₁₂ ⁺ J₃-J₁ R₁₃ ^{= 0} J₁-J₂

R₁₂ ⁺ E_b2-J₂

R₂ ⁺ J₃-J₂ R₂₃ ^{= 0} J₁-J₃

R₁₃ ⁺ J₂-J₃

R₂₃ ⁺ E_b3-J₃ R₃ ^{= 0}

예제 12-12 원통형 노에서의 복사열전달

그림 9-63의 반지름과 높이가 각각 1m인 원통형 노를 생각할 때, 윗면(표면 1), 바닥면 (표면2)의 방사 율은 각각 0.8, 0.4이다. 그리고 온도가 각각 700K, 500K를 유지하고 이TEk. 노의 옆면은 흑체와 가깝게 거동하고 있고, 온도는 400K이다. 정상상태의 작동일 때, 각 표면에서의 순 복사열전달률을 결정하고, 어떻게 각 표면에서 온도가 일정하게 유지되는지 설명하라.

<가정>1 정상상태에서 작동한다.

2표면은 불투명하고, 확산체이자 회체이다.

3대류에 의한 열전달은 고려하지 않는다.

□풀이

직접방법을 위해 체계적으로 풀어나간다.

원통형 노는 3개의 면을 갖는 밀폐용기로 각 면의 면적은 3.14m², 6.28m²이다. 또한 그림 9-41에 의하 여 바닥면에서 윗면으로의 형태계수 F₁₂=0/38이다. 그러면 바닥에서 옆면으로의 형태계수는 합의 법칙 을 이용하여,

F₁₁+F₁₂+F₁₃ = 1 ー> F₁₃= 1 -F₁₁-F₁₂= 1 - 0 - 0.38 = 0.62

형태계수 F₃₁은 상호성법칙에 의하여 구할 수 있다.

A₁F₁₃= A₃F₃₁ -> F₃₁= F₁₃(A₁/A₂) = (0.62)( 0. 314/0.628) = 0.31

각 면에서의 방사도는,

윗표면 (i=1) : σT⁴₁= J₁+ 1 -ε₁

ε₁ [F₁₂(J₁-J₂)+F₁₃(J₁-J₃)]

바닥표면 (i=2) : σT⁴₂= J₂+ 1 - ε₂

ε₂ [F_21(J2-J₁)+F₂₃(J₂-J₃)]

옆표면 (i=3) : σT⁴₃= J₃+ 0(표면 3은 흑체이므로 ε3=1) 각각의 값을 대입하여 J₁,J₂J₃를 구하면,

J₁= 11,418W/m² J₂= 4562W/m² J₃= 1452W/m² 그리고 각 면에서의 순 복사열전달률은 Q_i= A_i ∑_j^N_{= 1}^Fi→j(J_i-J_j)를 이용하여 푼다.

값들은,

Q₁= 27,582W, Q₂= - 2126W, Q₃= - 25,456W이고

3개 값들의 합은 0이 되어야 하므로 검산해 보면, 0이 되는 것을 알 수 있다.

예제 12-13 삼각기둥 형태 노에서의 복사열전달

긴 이등변 삼각형 덕트 형태의 노가 그림 9-64와 같이 있다. 각각의 폭은 1m이다. 바닥면의 방사율 은 0.7이고 600K를 유지하고 있다. 가열되는 왼쪽면은 흑체와 같은 거동을 하고, 1000K를 유지한다. 그 리고 오른쪽면은 단열되어 이TEk. 이와같은 작동조건을 유지하려면 얼마만큼의 에너지가 열면의 단위 길이당 공급되어야 하는가?

<가정>1정상상태에서 작동.

2표면은 불투명하고, 확산체이자 회체이다.

3대류열전달은 고려하지 않는다.

□풀이

노를 그림에서 와 보는 것과 같은 복사회로망을 갖고 있는 3면을 갖는 밀폐용기로 생각할 수 있다. 또 한 매우 길기 때문에 양끝의 효과는 무시할 수 있다. 한 표면에서 다른 표면으로의 형태계수는 대칭이 기 때문에 0.5이다. 표면 3은 그 표면에서의 순 복사열전달률이 0이므로 재복사표면이다. 표면 1에서 잃 은 모든 열량은 표면 2에서 전부얻어야 하므로 Q₁= -Q₂이다. 이경우의 복사회로는 간단한 직렬-병 렬이며, Q₁는 직접 구할수 있다.

Q₁을 구해보면,

Q₁= E_b1-E_b2 R₁+

(

R₁₃+R₂₃

)

(

)

여기서

A₁= 1m²

F₁₂= F₁₃= F₂₃= 0.5 (대칭)

E_b1= σT⁴₁= ( 5,67 ×10^{- 8}W/m²․K⁴)(600K)⁴ = 7348W/m² E_b2= σT⁴₂= (5.67 ×10^{- 8}W/m²․K⁴)(1000K)⁴= 56,700W/m²

대입하면,

Q₁= 28,009W이다.

그러므로 노에서 정상상태의 작동을 유지하려면 가열 표면에 단위길이다. 28009 W의 에너지가 공급되 어야 한다.