12주차: 규칙성 지도(1)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용:규칙성 지도의 의의
✔패턴(규칙성): 건물의 조형물이나 벽지, 타일 등과 같이 일상생활에 스며들어 있으며, 수학의 영역까지 깊게 관련
학습 내용으로 뿐만이 아니라, 문제해결을 위한 전략 ✔규칙성과 문제해결: 문자와 식, 규칙성과 함수 영역
학습 내용: 규칙성 지도 내용
학년
영역 1학년 2학년 3학년
규칙성
․규칙적인 배열에서 규칙 찾기
․자신이 정한 규칙에 따라 배열하기
․100까지의 수 배열표 서 규칙 찾고 말하기
․다양한 변화의 규칙 찾기
․수 배열에서 규칙 찾고, 규칙에 따라 수배열하기
․곱셈표에서 여러 가지 규칙 찾기
․규칙에 따라 여러 가지 무늬 꾸미기
4학년 5학년 6학년
․다양한 변화 규칙을 수로 나타내고 설명하기
․규칙을 추측하고 말이나 글로 표현하기
․규칙적인 무늬 만들기
․규칙과 대응
․비와 비율 ․비례식
․연비와 비례배분
․정비례와 반비례
학습 내용: 규칙성 영역의 의의
✔수학자들(Devlin, 1994; Schoenfeld, 1994; Steen, 1988) =수학을 ‘패턴의 과학’
=수학이 패턴의 원리와 특성을 결정하기 위하여 공리적으로나 이론적으로 정의된 체계 안에서 탐구하고 실험을 하거나 실생활로부터 패턴을 추출하여 재구성한 체계적인 추상화된 모형이라는 것을 의미
✔수학의 발달 과정: 자연 속에 내재된 패턴을 발견, 그것을 설명, 그 패턴 속에 숨어 있는 질서와 규칙을 밝혀내려는 노력을 계속해 왔음
(예) 눈송이: 6겹 대칭이고, 나뭇잎: 일정한 규칙
✔인류는 많은 패턴을 인식하고 분류하고, 수학을 이용함으로써 실험을 하지 않고도 많은 자연의 현상을 알고, 미래를 예측
✔학교 수학에서 패턴: 수, 무늬, 도형 등을 일정한 규칙으로 늘어놓은 배열 초등학교 학생들에게 패턴이라는 용어가 낮 설어 규칙 또는 규칙성 용어
학습 내용: 규칙성 지도의 이유?
=규칙성이 우리의 삶과 무관하지 않다는데 있다.
일정한 규칙으로 배열된 수, 도형, 무늬, 현상, 행동 등 일상생활에서 다양하게 사용
=규칙 찾기는 문제해결 전략의 하나, 초등학교 수학 문제해결에서 자주 이용되는 전략
=규칙성과 관련지어 수, 도형, 측정 등을 학습, 영역들을 서로 관련, 수학을 통합 이해
다른 교과에서 수학을 이용, 일상의 생활에서 수학을 사용할 수 있도록 연결 상급단계에서 더욱 추상적인 아이디어를 갖게 하는 기초
=규칙성의 탐구는 수학 교육 전반에 걸쳐 강조되어야 할 의사소통 능력을 신장
=규칙성은 수학적 사고력을 향상
=규칙성은 창의적 사고를 향상
학습 내용: 규칙성 지도
✔패턴: 수학의 기초
패턴과 관계에 초점을 둔 활동은 어렸을 때부터 시작 모든 학년에서 계속
패턴이 우리의 삶과 무관하지 않기 때문 수학에서 패턴 탐구가 중요한 주제
✔6학년까지 학생들: 규칙을 인식하고, 설명하고, 일반화
규칙을 지닌 일상 현상을 예측하기 위한 수학적 모델을 만들기 자연세계에서는 규칙적이거나 무질서한 규칙이 광범위하게 존재 규칙성을 탐구함으로써 수학적 힘을 발달
수학의 아름다움을 느낄 수 있는 기회
✔저학년: 신체 활동, 소리 운동 등의 반복에서 패턴을 인식 도형, 그림, 기호, 수 등을 사용하여 패턴을 익히기
✔패턴을 인식=>패턴을 말로 설명=>식으로 나타내어 보기(추상화 단계로 진입)
학습 내용: 패턴의 유형
(1) 속성에 따른 패턴유형
① 관계적인 속성을 지닌 패턴 ② 도형 속성을 지닌 패턴
③ 물리적 속성을 지닌 패턴
(2) 생성방식에 따른 유형 ① 반복패턴
② 증가패턴 ③ 대칭패턴 ④ 회전패턴
⑤ 카오스(chaos) 패턴
학습 내용: 이동과 테셀레이션
✔밀기(Slide, 평행이동) 뒤집기(flip, 대칭이동) 돌리기(turn, 회전이동)
✔테셀레이션: 어떤 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 덮는 패턴 바닥의 타일, 벽지, 장식물 등과 같이 많은 부분
라틴어 ‘tessella'에서 유래
무늬를 보고, 스스로 규칙을 정하여 다양한 무늬를 꾸며 볼 수 있도록 한다.
✔네델란드 화가인 Escher(1898-1972)
기하학적 무늬에서 수학적 변환을 이용하여 창조적인 형태(새, 물고기, 사람)
학습 내용: 함수의 의미
✔자연을 이루고 있는 구성요소들: 유기적인 관계를 맺으면서 변화
변화를 가져오는 구성요소가 무엇인가 탐구, 앞으로 일어날 현상에 대해서 예상
✔함수: 역사적으로 따라서 변하는 두 양 사이의 관계를 수학적으로 받아들인 데서 발생
두 집합 X, Y에서 X의 각 원소 가 Y의 단 하나의 원소 에 대응되는 관계
✔대응: 두 값으로 이루어지는 하나의 짝 표를 이용
(예) 한 사람이면 팔이 2개, 두 사람이면 4개, 세 사람이면 6개,…이므로 이를 표로 2개의 집합 X={1, 2, 3, …}과 Y={2, 4, 6,…} 사이의 대응관계로 나타낸 것
학습 내용: 함수적 사고의 지도
✔함수적 사고: 초등에서는 함수 그 자체를 가르치는 것이 아니라, 함수적 사고를 배양
함수이론에 근거를 두고 현상을 보고, 생각하고, 규칙을 찾아내는 과정
✔함수적 사고의 특성
① 함수적 사고는 관계에 의한 사고
② 함수적 사고의 추론 형식은 연역적, 귀납적 방법이 적용
③ 함수적 사고는 동적인 생각과 극한의 생각이 작용
✔함수적 사고의 배양을 위하여 다음과 같은 지도가 중요
① ‘따라서 변하는 변량’에 대한 인식을 가질 수 있게 한다.
② 2개의 집합 X, Y에서 서로 대응하는 원소를 발견할 수 있도록 한다.
③ 대응의 규칙성을 발견할 수 있게 한다. 즉 집합 X의 원소와 그에 대응되는 집합 Y의 원소 사이에 일반적으로 어떤 관계가 있는가를 발견할 수 있게 한다.
④ 대응관계를 말이나 식으로 표현할 수 있게 한다.
⑤ 대응 관계식을 이용하여 하나의 변량을 알면 다른 변량의 값을 구할 수 있게 한다.
⑥ 함수적 관찰에 의해 문제를 해결할 수 있게 한다.
학습 내용: 학습 내용 정리
규칙성 영역의 지도 내용을 조사하여라.
규칙성을 지도하는 이유에 대하여 논하여라.
함수 지도의 방법과 함수적 사고의 중요성에 대해 논하여라.
에셔의 작품을 찾아보고, 작품에 내재된 수학 원리에 대해 설명하여라.
