Calculation of Intensity Factors Using Weight Function Theory for a Transversely Isotropic Piezoelectric Material

(1)

<학술논문> DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-A.2012.36.2.149 ISSN 1226-4873

횡등방성 압전재료에서의 가중함수이론을 이용한 확대계수 계산

손 인 호^*†· 안 득 만^*

* 부산대학교 기계공학부

Calculation of Intensity Factors Using Weight Function Theory for a Transversely Isotropic Piezoelectric Material

In Ho Son^*† and Deuk Man An^*

* Dept. of Mechanical Engineering, Pusan Nat’l Univ.

(Received February 24, 2011; Revised December 9, 2011; Accepted December 14, 2011)

- 기호설명 -

σij : 응력

εij : 변형률

Di : 전기변위

Ei : 전기장 u : 변위

φ : 전기포텐셜

KI : 모드 I 에서의 응력확대계수 KII : 모드 II 에서의 응력확대계수 KD : 전기변위확대계수

r : 정상장

f : 기초장

1. 서 론

압전재료는 외부에서 기계적인 힘을 가해주면 재료 내부에 전기적인 분극현상이 발생하고 반대 로 외부에서 전기장을 작용시키면 재료가 변형을 일으키는 전기-기계적인 커플링 특성으로 인해 감 지기(sensor), 변환기(transducer), 작동기(actuator) 등 첨단산업분야 및 마이크로전자기계시스템(MEMS) 에도 널리 사용되고 있다.

압전재료의 사용이 늘어나면서 압전재료의 기계 적 특성과 내부에 있는 전위(dislocation), 균열, 공 동(void) 등의 결함이 압전재료의 활용에 많은 영 향을 미친다는 것을 인식하게 되면서 많은 연구자 들에 의해 압전재료의 파괴기구에 대한 연구가 진 행되고 있다.

Pak⁽¹⁾이 면외변형에서의 절연균열 문제에 대해,

Sosa^(2,3)가 절연결함을 가진 횡등방성 압전재료의

평면변형률 상태에 대한 해석을 수행하였다. Xu 와 Rajapakse⁽⁴⁾는 도전균열 문제에 대하여 연구하였다.

Key Words : Piezoelectric Material(압전재료), Weight Function Theory(가중함수이론), Stress Intensity Factor(응력 확대계수), Electric Displacement Intensity Factor(전기변위확대계수)

초록: 파괴역학에서 가중함수는 응력확대계수를 계산하기 위하여 사용되어진다. 본 논문에서는 균열을 가진 횡등방성 압전재료에 대한 전기-기계적 분석을 행하여 평면변형률 상태의 압전문제를 Leknitskii 해 석법으로 풀었고 가중함수이론을 압전재료에 확대 적용하였다. 가중함수이론을 이용하여 응력확대계수 와 전기변위확대계수를 구하였다.

Abstract: In fracture mechanics, the weight function can be used for calculating stress intensity factors. In this paper, a two-dimensional electroelastic analysis is performed on a transversely isotropic piezoelectric material with an open crack. A plane strain formulation of the piezoelectric problem is solved within the Leknitskii formalism. Weight function theory is extended to piezoelectric materials. The stress intensity factors and electric displacement intensity factor are calculated by the weight function theory.

† Corresponding Author, [email protected]

(2)

이방성 이종 압전재료에 대해서는 Suo 등,⁽⁵⁾ Beom 과 Atluri,⁽⁶⁾ Ma 와 Chen,⁽⁷⁾ Govorukha 등⁽⁸⁾에 의해 연구되었다.

압전재료에 대한 파괴역학적 연구는 주로 Storh 해석법을 바탕으로 하여 수행되어지는데 본 연구 에서는 직선균열을 가지는 분극방향을 z 축으로 하고 분극방향에 수직인 xy평면이 등방평면이 되 는 횡등방성 압전재료에 대해 Sosa^(2,3)가 수행한 해석을 바탕으로 하여 Lekhnitskii 해석법을 이용 하여 평면변형률 상태에서의 해석을 수행하고 가 중함수이론을 적용하여 응력확대계수와 전기변위 확대계수를 구하고자 한다.

2. 균열을 가진 압전재료

2.1 지배방정식

압전재료에 대한 구성식은 다음과 같다.^(2,3)

k kij kl ijkl

ij =s σ +g D

ε

k ik kl ikl

i g D

E =− σ +β (1)

εij는 변형률, σ_ij는 응력, D_i는 전기변위 그리 고 E_i는 전기장을 나타낸다. s_ijkl는 컴플라이언 스 텐서, g_kij는 압전텐서, β_ik는 유전불투과성 텐 서(dielectric impermeability tensor)를 나타내며 식 (2)를 만족한다.⁽²⁾

klij jikl

ijkl s s

s = = , g_kij =g_kji, β_ij =β_ji (2) 변형률과 전기장은 식 (3)을 만족하며 u 는 변 위, φ는 전기포텐셜을 나타낸다.^(1,2)

(

i j ji

)

ij u_, u _,

2

1 +

ε =

i

Ei =−φ_, (3) 체적력과 자유전하가 없을 때의 평형방정식은 다음과 같이 주어진다.^(1,2)

,_j =0 σij

,_i =0

Di (4) 2.2 평면변형률 상태의 압전재료

횡등방성 압전재료에 대해서 식 (1)을 행렬형태 로 표현하면 다음과 같다.⁽²⁾

























+

































=





















z y x

xy zx zy zz yy xx

xy zx yz zz yy xx

D D D

g g

g g g

s s s s s s

s s s

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

2 2 2

15 15

33 31 31

66 44 44 33 13 13

13 11 12

13 12 11

σ σ σ σ σ σ

ε ε ε ε ε ε

^s₆₆ =²

(

^s₁₁−^s₁₂

)



























 +





































−

=













z y x

xy zx yz zz yy xx

z y x

D D D

g g g

g g

E E E

33 11 11

33 31 31

15 15

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

β β β

σ σ σ σ σ σ

(5) 평면변형률 상태에서의 전기-기계적 특성을 알 아보기 위해 다음과 같은 평면변형률 조건을 고려 해 보면

=0

=

= _zy _xy _y

yy ε ε E

ε (6)

σyy는 다음과 같이 나타내어진다.

[

_xx _zz _z

]

yy s s g D

s₁₁ ¹² ¹³ ³¹

1 + +

−

= σ σ

σ (7)

환산재료상수(reduced material constant)를 다음과 같이 정의하고

11 2 12 11

11 s

s s

a = − ,

11 13 12 13

12 s

s s s

a = − ,

11 2 13 33

22 s

s s

a = − , a₃₃=s₄₄

31 11 12

21 1 g

s

b s 



 



 −

= , ₃₁

11 13 33

22 g

s g s b = −

15

13 g

b = , δ₁₁ =β₁₁,

11 2 31 33

22 s

+ g

=β

δ (8)

좌표계를 x→x₁, z→x₂ 로 바꾸면 식 (5)는 다음과 같이 정리된다.























 +





























=













2 1

13 22 21

12 22 11

33 22 12

12 11

12 22 11

0 0 0

0 0

2 D

D b

b b

a a a

a a

σ σ σ ε

ε ε











 

 +















 



−

=







2 1 22 11

12 22 11

22 21

13 2

1

0 0 0

0 0

D D b

b

b E

E

δ δ σ σ σ

(9)

(3)

변형률과 전기장은 다음과 같은 적합조건을 만 족하여야 한다.

0 2

2 1

12 2

2 1

22 2

2 2 11 2

∂ =

∂

− ∂

∂ +∂

∂

x x x

x

ε ε

ε

0

1 2

2

1 =

∂

−∂

∂

x E x

E (10)

응력과 전기변위를 응력함수 U

(

x₁, x₂

)

와 유도 함수(induction function) Ψ

(

^x₁^{, x}₂

)

를 이용해 다음과 같이 정의하면 평형방정식 (4)를 만족하게 된다.

2 2 2

11 x

U

∂

=∂

σ , ₂

1 2

22 x

U

∂

=∂

σ ,

2 1

2

12 x x

U

∂

− ∂ σ =

2

1 x

D ∂ Ψ

= ∂ ,

1

2 x

D ∂

Ψ

−∂

= (11)

(

^x₁^{, x}₂

)

U 와 Ψ

(

^x₁^{, x}₂

)

는 식 (9), (10), (11)을 이 용하여 다음과 같이 구해진다.

( ) ∑ ( )

=

= ³

1 2

1, 2Re

k

k k z U x

x U

( ) ∑ ( )

=

= ′

Ψ ³

1 2

1, 2Re

k

k k

kU z

x

x λ

(

₁ ₂

)

₂

2

1 x x m x in x

x

z_k = +µ_k = + _k + _k (12)

λk는 다음과 같다.

( ) ( )

( )

^k_k

k k

b µ δ µ µ

λ =−

( ) (

^b₂₁ ^b₁₃

)

² ^b₂₂

b µ_k = + µ_k +

( )

µ δ₁₁µ² δ₂₂

δ _k = _k + (13)

복소 포텐셜 함수 ϕ_k

( )

^z_k 를 다음과 같이 정의 하고

( )

k k k

k

k dz

U dU z = ′ =

ϕ (14)

식 (11), (12), (14)를 이용하면 응력과 전기변위는 다음과 같이 구해진다.

∑ ( )

=

= ³ ′

1 2

11 2Re

k

k k kϕ z µ σ

∑ ( )

=

= ³ ′

1

22 2Re

k

k k z ϕ σ

∑ ( )

=

− ′

= ³

1

12 2Re

k

k k kϕ z µ σ

∑ ( )

=

= ³ ′

1

1 2Re

k

k k k

k z

D λ µ ϕ

∑ ( )

=

− ′

= ³

1

2 2Re

k

k k

k z

D λϕ (15)

식 (9)와 (15)에 의해 변형률과 전기장은 다음과 같이 구해진다.

{ } ( )

∑

=

− ′ +

= ³

1

21 12 2 11

11 2Re

k

k k k

k a b z

a µ λ ϕ

ε

{ } ^{( )}

∑

=

− ′ +

= ³

1

22 22 2 12

22 2Re

k

k k k

k a b z

a µ λ ϕ

ε

{ } ( )

∑

=

+ ′

−

= ³

1

13 33

12 2Re

2

k

k k k k

k b z

a µ λ µ ϕ ε

{ } ( )

∑

=

+ ′

= ³

1

11 13

1 2Re

k

k k k

k z

b

E δ λ µ ϕ

{ } ^{( )}

∑

=

+ ′ +

−

= ³

1

22 22 2 21

2 2Re

k

k k k

k b z

b

E µ δ λ ϕ (16)

변위와 전기 포텐셜은 식 (3)과 (16)에 의해 다 음과 같이 구해진다.

∑ ( )

=

= ³

1

1 2Re

k

k k

k z

p

u ϕ

∑ ( )

=

= ³

1

2 2Re

k

k k

k z

q

u ϕ

{ } ( )

∑

=

+

−

= ³

1

11

Re 13

2

k

k k k

k z

b δ λ µ ϕ

φ (17)

pk와 q_k는 다음과 같이 주어진다.

k k

k a a b

p = ₁₁µ² + ₁₂− ₂₁λ

k

k k

k

b a q a

µ

λ µ² ₂₂ ₂₂

12 + −

= (18)

(4)

위의 과정들을 통해 평면변형률 상태의 압전문 제는 복소 포텐셜 함수 ϕ_k

( )

^z_k 를 구하는 문제로 축소되었다. ϕ_k

( )

^z_k 를 구하기 위해서는 다음과 같은 경계조건을 만족하여야 한다.⁽²⁾

( ) ∫

∑

⁼⁻

=

s

k

k z t ds

0 2 3

1

Re

2 ϕ

( ) ∫

∑

⁼

=

s

k

k k

k z tds

0 1 3

1

Re

2 µ ϕ

( ) ∫

∑

⁼⁻

=

s n k

k k

k z Dds

0 3

1

Re

2 λϕ (19)

t1, t₂ 는 표면력 성분을 나타내고, D_n은 표면 전하의 수직방향성분을 나타낸다.

2.3 균열을 가진 무한체의 압전재료

Fig. 1 과 같은 균열선단을 가진 무한체의 압전 재료에 경계를 따라 표면력과 표면전하가 분포하 고 균열면에서는 표면력과 표면전하가 없다고 가 정하면 균열면에서의 경계조건은 다음과 같다.⁽²⁾

t = 0, D• n = 0 (20) 균열선단에서의 복소 포텐셜 함수는 일반적으로 다음과 같이 주어지며⁽⁹⁾

( )

_k _k _k

k z α z

ϕ = (21)

αk는 복소수 계수이다.

식 (19), (20), (21)에 의해 다음과 같은 조건을 얻 을 수 있다.

Fig. 1 Infinite piezoelectric medium with an open crack

(

1 2 3

)

⁰

3 2

1+α +α − α +α +α =

α

(

1 1 2 2 3 3

)

⁰

3 3 2 2 1

1α +µα +µα − µα +µ α +µ α =

µ

(

1 1 2 2 3 3

)

⁰

3 3 2 2 1

1α +λα +λα − λα +λ α +λα =

λ (22)

식 (22)는 아래와 같은 실수 매개변수 k₁, k₂, kd가 존재하면 만족하게 된다.

2

1 3 2 1

= k + +α α α

2

2 3 3 2 2 1 1

= k +

+µ α µα α

µ

3 2

3 2 2 1 1

kd

= + +λα λα α

λ (23)

식 (23)을 연립해서 풀면 다음과 같이 α₁, α₂,

α3^{가 구해진다.}

2

13 2 12 1 11 1

kd

k k +Λ +Λ

=Λ α

2

23 2 22 1 21 2

kd

k k +Λ +Λ

=Λ α

2

33 2 32 1 31 3

kd

k k +Λ +Λ

= Λ

α (24)

Λij는 다음과 같다.

[ ]

















−

= ∆ Λ

1 2 2 1 1 2 2 1

3 1 1 3 3 1 1 3

2 3 3 2 2 3 3

1 2

µ µ λ λ λ µ λ µ

ij

(

λ₂−λ₃

)

µ₁+

(

λ₃−λ₁

)

µ₂+

(

λ₁−λ₂

)

µ₃

=

∆ (25)

응력확대계수와 전기변위확대계수를 다음과 같 이 정의하고

k1

K_I = π , K_II =− πk₂, K_D = πk_d (26) 식 (26)을 식 (24)에 대입하면 α_k는 다음과 같 이 나타내어진다.

α π 2

k k

= C

D k II k I k

k K K K

C =Λ ₁ −Λ ₂ −Λ ₃ (27) 식 (15), (17), (21), (27)과 극좌표계를 사용하여 균열선

(5)

단 부근에서의 응력과 변위는 다음과 같이 구해지고

∑

= +

= ³

1

2

11 Re cos sin

2 1

k k

k kC

r θ µ θ

µ σ π

∑

= +

= ³

1

22 Re cos sin

2 1

k k

Ck

r θ µ θ

σ π

∑

= +

−

= ³

1

12 Re cos sin

2 1

k k

k kC

r θ µ θ

µ

σ π (28)

∑

=

+

= ³

1

1 2 Re cos sin

k

k k

kC r p

u θ µ θ

π

∑

=

+

= ³

1

2 2 Re cos sin

k

k k

kC r q

u θ µ θ

π ⁽²⁹⁾

전기변위와 전기포텐셜은 다음과 같이 구할 수 있다.

∑

= +

= ³

1

1 Re cos sin

2 1

k k

k C

D r

θ µ θ

µ λ π

∑

= +

−

= ³

1

2 Re cos sin

2 1

k k

k kC D r

θ µ θ

λ

π ⁽³⁰⁾

{ }

∑=

+ +

−

= ³

1 11

13 cos sin

2 Re

k

k k

k

k C

r b δ λ µ θ µ θ

φ π (31)

2.4 가중함수이론

식 (21)과 같이 주어진 장(field)을 정상장(regular field)이라고 하고 식 (32)와 같이 주어진 ϕ_k^f

( )

z_k 를 이용해 표면력과 표면전하를 계산한 후 방향이 반대 인 표면력과 표면전하를 합해주게 되면 경계에서의 표면력과 표면전하가 없어지게 되는데 이러한 장을 기초장(fundamental field)이라고 하고 기초장에서의 변위와 전기포텐셜을 가중함수라고 한다.^(9,10)

Fig. 2 Simply connected region which deleted the crack tip

( )

k f k k f

k z αz

ϕ =

3 3 2 2 1

1ρ ρ ρ

α_k^f =Λ_k +Λ_k +Λ_k (32)

ρ1, ρ₂, ρ₃는 실수 상수이다.

Betti 의 상반정리를 체적력과 자유전하가 존재 하지 않는 정상장과 기초장에 적용하기 위해 Fig.

2 와 같은 균열선단을 제거한 영역 A 에 대해서 Betti 의 상반정리를 적용하면 다음과 같다.⁽¹¹⁾

∫

+ + + +

+

= +

ρ ρ

φ φ

L f r n L

f i r i L

r f n L

r i f

i u ds D ds t u ds D ds

t ⁽³³⁾

K를 다음과 같이 정의하고

∫

⁺

=

L f r n L

f i r

iu ds D ds

t

K φ (34) 식 (33)에 기초장의 특성을 적용하게 되면 다음 과 같이 정리된다.

∫

− − −

−

− +

=

ρ ρ

φ φ ds t u ds D ds D

ds u t

K _i^r _i^f _n^r ^f _i^f _i^r _n^f ^r (35)

Dn

t =₃ 라 하고 u₃ =φ 라 하면 식 (35)는 다음 과 같이 간결하게 나타낼 수 있다.

−

∫

−

=

ρ

ds u t u t

K ( _i^r _i^f _i^f _i^r) i=1, 2, 3 (36)

T1, T₂, T₃를 다음과 같이 정의하고

∑ ( )

=

= ³

1

1 2Re

k

k k

k z

T µ ϕ

∑ ( )

=

−

= ³

1

2 2Re

k

k k z

T ϕ

∑ ( )

=

−

= ³

1

3 2Re

k

k k

k z

T λ ϕ (37)

식 (19)를 이용하면 식 (36)은 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

−

∫

+

=

ρ

) (u_i^fdT_i^r T_i^fdu_i^r

K (38)

식 (38)의 적분을 계산하고 일반적인 경우에 대해 고려하기 위하여 ∈→0 일 때의 K 는 다음과 같이 구해진다.

(6)























 ⋅

−

=

∑ ∑

= =

∈→

3

1 3

1

0 0 2 Im

lim

i j

f j r i ij

ij

K h

K β α α

π

j i i i

j i

ij pµ q b δ λ µ λ

β = − +( ₁₃+ ₁₁ )

i j j j

i

j q b

p µ − +( ₁₃+δ₁₁λ )µ λ +

1 1

µ µ

−

= −

i j

hij (39)

M1, M₂, M_d를 다음과 같이 정의하고

( )























Λ Λ +Λ +Λ

−

= ∑ ∑

= =

3

1 3

1

3 3 2 2 1 1 1

1 2 Im

i j

j j j ij ij

i h

M β ρ ρ ρ

π

( )























Λ Λ +Λ +Λ

−

= ∑ ∑

= =

3

1 3

1

3 3 2 2 1 1 2

2 2 Im

i j

j j j ij ij

i h

M β ρ ρ ρ

π

( )























Λ Λ +Λ +Λ

−

= ∑ ∑

= =

3

1 3

1

3 3 2 2 1 1

Im 3

2

i j

j j j ij ij i

d h

M β ρ ρ ρ

π (40)

식 (24)와 (32)를 식 (39)에 대입하여 정리한 후 식 (34)와의 관계를 이용하면 다음과 같이 나타내어진다.

∫

⁺

= +

+

L f r n L

f i r i d

dk t u ds D ds

M k M k

M₁ ₁ ₂ ₂ φ ⁽⁴¹⁾

식 (26)과 (41)을 이용하면 응력확대계수와 전기 변위확대계수를 구할 수 있다. 다음과 같은 특별 한 세가지 경우를 생각하고 k₁, k₂, k_d를 구하면 다음과 같다.

Case 1. M₂ =M_d =0

∫

⁺

=

L f r n L

f i r

iu ds D ds

M t

k φ

1 1

1 (42)

Case 2. M₁ =M_d =0

∫

⁺

=

L f r n L

f i r

iu ds D ds

M t

k φ

2 2

1 (43)

Case 3. M₁ = M₂ =0

∫

⁺

=

L f r n L

f i r i d

d t u ds D ds

k M¹ φ (44)

2.5 수치예제

Fig. 3 과 같은 SEN(Single edge notch)시편에 기계적 하중과 전기적 하중이 작용하는 상태에서의 응력확대 계수와 전기변위확대계수를 가중함수이론을 이용하여 구하고자 한다. 먼저 가중함수를 구하기 위하여 식 (32), (40), (42), (44)를 이용하여 ϕ_k^f

( )

z_k ^{를 구하고 이}

를 이용하여 응력, 변위, 전기변위, 전기포텐셜을 해 석적으로 구한 후 계산되어진 응력과 전기변위와 방 향이 반대인 응력과 전기변위를 경계를 따라 작용시 키게 되면 경계에는 표면력과 표면전하가 존재하지 않는 기초장을 얻을 수 있다. 또한 반대 방향의 응력 과 전기변위를 작용 시킬 때 얻어진 변위와 전기포텐 셜을 ϕ_k^f

( )

z_k 를 이용해 구한 변위와 전기포텐셜을 합해주게 되면 가중함수를 구할 수 있다. 반대 방향 의 응력과 전기변위가 작용 할 경우의 변위와 전기포 텐셜은 유한요소법을 이용하여 구하였다. 유한요소해 석에는 ANSYS 11 을 사용하였다.

해석에 사용된 압전재료는 PZT-5H 이고 물성치 는 Table 1 과 같다.

Table 1 Material properties of PZT-5H PZT-5H

Compliance coefficients (10⁻¹²m²/N )

s11 14.05 s12 -7.27 s13 -3.05 s33 8.9 s44 23.7 Piezoelectric constant

(10⁻³Vm/N)

g31 -9.11 g33 19.7 g15 26.8 Dielectric impermeability

(10⁷V²/N)

β11 3.6084

β33 3.3219

Fig. 3 SEN specimen