참고)

(1)

(2) Maple (2) Maple

예제 1. 다음 함수와 그 도함수의 그래프를 그리고, 극값을 구하라.

애니메이션을 이용하여 접선의 움직임을 살펴보아라.

f(x)=5.0x⁶-24x⁵-165x⁴+1120x³-765x²-5400x+3000, (-6≤x≤5)

 함수 f(x)와 그 도함수를 구하고 g(x)로 하여 두 그래프를 그린다. 또한 극값은 g(x)=0의 해를 이용하여 구한다.

(다음 페이지의 그림을 참고하자.)

(

Lec6.mw

참고)

 x=a에서 접선의 방정식이 y=Df(a)(x-a)+f(a)이므로 이를 이를 a와 x를 변수로 하는 이변수 함수로 정의하고 이를 이용하여 애니메이션을 만든다.

또한 접점을 나타내기 위하여 점의 모양(disk)을 추가한다.

(다음 페이지의 그림에 나타나는 방법을 이용한다.)

(2)

(2) Maple (2) Maple

(3)

(2) Maple (2) Maple

(4)

(2) Maple (2) Maple

예제 2. 다음 분수함수의 그래프와 점근선을 찾아라.

g(x)=(x⁴-21x³+60x²+1)/(x² – x -6)

 함수 g(x)의 수직 점근선은 분모=0을 풀어서 x의 값을 구한다.

solve(denom(g(x))=0,x)

여기서 denom(g(x))은 g(x)의 분모를 나타낸다.

(

Lec6.mw

참고)

 g(x)의 그래프를 [-3,4] 사이에서 그려보면 매우 부자연스럽다.

그 이유는 x와 y값의 비율이 문제가 된다. 따라서 y 값의 범위를 -30에서 50으로 지정하여 다시 그린다.

plot(g(x),x=-3..4,-30..50)

(5)

(2) Maple (2) Maple

(Lec6.mw 참고)

 위 그래프는 에서 좀 더 넓은 정의역 [-100,100]에서 그래프를 그리면 포물선과 같이 보인다. 이는 g(x)를 정리하면

quo(numer(g(x)),denom(g(x)),x) x² rem(numer(g(x)),denom(g(x)),x) 12

여기서 numer은 분자를, quo는 몫을, rem은 나머지를 나타낸다.

따라서 g(x)=x²+ 12/(x²- x – 6)가 된다. 따라서 x가 클 때 y=x²와 근사적으로 같기 때문이다.

 위에서 살펴본 내용으로 g(x)의 그래프를 비교적 적절하게 나타내는 방법은 x의 범위를 [-10,10] 정도로 하고, y의 값은 [-40,60] 정도로 하여 그래프를 그리면 다음 페이지에 있는 그래프를 얻을 수 있다. (y=x²의 그래프를 추가한다)

(6)

(2) Maple (2) Maple

예제 3. 방정식 x²+3xy+4y²=4로 나타나는 음함수의 그래프를 그려라.

(

Lec6.mw

참고)

 음함수의 그래프는 implicitplot을 이용하여 그린다.

implicitplot(x^2+3 x y+4 y^2=4,x=-4..4,y=-4..4)

(7)

(2) Maple (2) Maple

예제 4. 다음 매개방정식의 그래프를 그려라. 또한 n이 1에서 4까지 변할 때 나타나는 애니메이션을 나타내어라.

x=cos(t)(2 cos(t)+1), y=sin(t)(2 cos(n t)+1), (0≤t ≤ 2π, n=1,2,3,4)

(

Lec6.mw

참고)

 여러 개의 매개방정식의 그래프 그리는 방법은 다음과 같이 나타낸다.

with(plots):

g1:=plot([cos(t) (2 cos(t)+1), sin(t) (2 cos(t)+1), t=0..2 Pi]):

g2:=plot([cos(t) (2 cos(t)+1), sin(t) (2 cos(2 t)+1), t=0..2 Pi]):

G:=array(1..2,1..2); G[1,1]:=g1: G[1,2]:=g2:

G[2,1]:=g3, G[2,2]:=g4:

display(G)

그림은 다음 페이지에 있다.

(8)

(2) Maple (2) Maple

(9)

(2) Maple (2) Maple

 n=1에서 4까지의 프래임 수를 40으로하여 다음과 같은 애니메이션을 만들어 보자.

animate([cos(t) (2 cos(t)+1), sin(t) (2 cos(n t)+1), t=0..2 Pi],n=1..4, frames=40,numpoints=1000)

(10)

(2) Maple (2) Maple

예제 4. 다음과 같은 극좌표로 나타나는 함수의 n에 따른 애니메이션을 만들어라.

r=1-sin(nt), 0≤t ≤ 2π, n=0,…,10

(Lec6.mw 참고)

 극좌표로 나타나는 함수의 그래프 그리는 방법과 애니메이션을 만드는 방법을 이용하여 애메이션을 만들어 보자.

with(plots):

animate(polarplot,[1-sin(n t),t=0..2 Pi],n=0..10, frames=31,numpoints=1000)

(11)

(2) Maple (2) Maple

(12)

(3) Mathematica (3) Mathematica

예제 1. 다음 함수와 그 도함수의 그래프를 그리고, 극값을 구하라.

애니메이션을 이용하여 접선의 움직임을 살펴보아라.

f(x)=5.0x⁶-24x⁵-165x⁴+1120x³-765x²-5400x+3000, (-6≤x≤5)

 함수 f(x)와 그 도함수를 구하고 g(x)로 하여 두 그래프를 그린다. 또한 극값은 g(x)=0의 해를 이용하여 구한다.

(다음 페이지의 그림을 참고하자.)

(

Lec5.nb

참고)

 x=a에서 접선을 Excel에서와 같이 선분으로 그리고 접점을 두 함수의 그래프에 추가하여 애니메이션을 만든다.

이를 위하여 Show를 이용한다. 다음을 보자.

(다음 페이지 참고)

(13)

 func=Plot[{f[x],g[x]},{x,-6,5}, PlotRange->

{-150000,40000}];

Animate[Show[func, Graphics[{PointSize[0.02], Point[{a,f[a]}]}], Graphics[{Thick,Red,Line[

{{a-1,-g[a]+f[a]},{a+1,g[a]+f[a]}}] }] ], {a,-6,5}, AnimationRunning->False]

(14)

예제 2. 다음 분수함수의 그래프와 점근선을 찾아라.

g(x)=(x⁴-21x³+60x²+1)/(x² – x -6)

 Mathematica의 경우는 Maple의 경우와 다루는 방법이 같으므로 여기서는 입력 내용만을 쓰기로 한다.

Solve(Denominator[g[x]]==0,x]

Plot[g[x],{x,-3,4},PlotRange->{-30,50}]

PloynomialQuotient[Numerator[g[x]],

Denominator[g[x]],x] x² PloynomialRemainder[Numerator[g[x]],

Denominator[g[x]],x] 12 Plot[{g[x],x^2},{x,-10,10}, PlotStyle->{{Red},

Dashing[0.01],Blue}}, AxesLabel->{x,g}, PlotRange->{-40,60)]

(

Lec5.nb

참고)

(15)

(Lec5.nb 참고)

(16)

예제 3. 방정식 x²+3xy+4y²=4로 나타나는 음함수의 그래프를 그려라.

(

Lec5.nb

참고)

 음함수의 그래프는 두가지 방법으로 나타낼 수 있다.

하나는 Plot과 Evaluate를 이용하는 것이고, 다른 하나는 꾸러미 Graphics의 ImplicitPlot을 이용하는 것이다.

Plot[Evaluate[y/.Solve[x^2+ 3 x y+4 y^2==4,y]], {x,-4,4},AspectRatio->Automatic]

<<Graphics｀ImplicitPlot ｀

ImplicitPlot[x^2+3 x y+4 y^2==4,{x,-4,4},{y,-4,4}]

(17)

(18)

예제 4. 다음 매개방정식의 그래프를 그려라. 또한 n이 1에서 4까지 변할 때 나타나는 애니메이션을 나타내어라.

x=cos(t)(2 cos(t)+1), y=sin(t)(2 cos(n t)+1), (0≤t ≤ 2π, n=1,2,3,4)

(

Lec5.nb

참고)

 여러 개의 매개방정식의 그래프 그리는 방법은 다음과 같이 나타낸다.

Table[plot[n]=ParametricPlot[{

Cos[t] (2 cos[t]+1), Sin[t] (2 Cos[t]+1), {t,0,2 Pi}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-3,3}, DisplayFunction->Identity], {n,1,4,1}];

Show[GraphicsArray[{{plot[1],plot[2]},{plot[3],plot[4]}}] ] 그림은 다음 페이지에 있다.

(19)

(20)

 n=1에서 4까지 애니메이션을 만들어 보자.

Animate[ParametricPlot[{

Cos[t] (2 Cos[t]+1), sin[t] (2 Cos[n t]+1)},{t,0,2 Pi}, PlotRange->{Automatic,{-3,3}}],{n,1,4}]

(21)

예제 4. 다음과 같은 극좌표로 나타나는 함수의 n에 따른 애니메이션을 만들어라.

r=1-sin(nt), 0≤t ≤ 2π, n=0,…,10

(Lec5.nb 참고)

 극좌표로 나타나는 함수의 그래프 그리는 방법과 애니메이션을 만드는 방법을 이용하여 애메이션을 만들어 보자.

Animate[PolarPlot[1-sin[n t],{t,0,2 Pi},

PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],{n,o,10,1}, AnimationRunning->False]

(22)