개념완성
기하와 벡터
VITAEDU-ACADEMY
노박사수학교실
제1장
평면곡선
01 포물선
➊삼각자의 한 변 AB의 길이와 같게 실 을 자른다.
➋실의 한쪽 끝을 삼각자의 한 꼭짓점 A 에, 다른 끝을 점 F에 고정한다.
➌실을 팽팽하게 유지하며 막대자를 따라 삼각자를 움직이면서 곡선을 그린다.
개념완성 기하와 벡터
6 / 제1장 평면곡선
1. 포물선
(1) 포물선
평면 위의 한 정점 F 와
이 점을 지나지 않는 한 정직선 로부터
같은 거리에 있는 점의 자취를 이라 한다.
초 점 : 준 선 : 축 : 꼭지점 :
(2) 포물선의 방정식
포물선 초점 : F
준선 : ⇨ 초점 : F
준선 : ⇨
그래프
초 점 꼭지점 준 선
축
▶ 증명 초점 : F
준선 : ⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하고 점 P 에서 준선에 내린
수선의 발을 H 라 하면, 포물선의 정의에 의하여
PF PH 이므로
양변을 제곱하여 정리하면
포물선
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 7
1.
다음 자취의 방정식을 구하시오.1)⑴ 점 과 직선 로부터 같은 거리에 있는 점의 자취
⑵ 점 와 직선 로부터 같은 거리에 있는 점의 자취
2.
원 의 중심을 초점으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 점 을 지날 때, 상수 의 값을 구하시오.2)3.
오른쪽 그림과 같이 포물선 모양인 강이 포물선의 초점 위치에 있는 마을 와 또 다른 마을 를 돌아 흐르고 있다. 강변의 한 곳에 하수 처리장을 건설하려 하는 데 하수 처리장으로부터 두 마을까지의 직선거리의 합이 최소가 되도록 하려면 , , , , 중 어느 곳이 좋을지를 구하시오. 3)개념완성 기하와 벡터
8 / 제1장 평면곡선
2. 포물선의 평행이동
방정식
⇨
⇨그래프
초 점 꼭지점 준 선
축
■ 포물선의 방정식의 일반형
(1)
축에 평행한 축을 가지는 포물선의 방정식
≠
⇦
(2)
축에 평행한 축을 가지는 포물선의 방정식
≠ ⇦
▶ 포물선의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형 x축:m, y축:n
→
⇨ 꼭지점 : ⇨ 축 : ⇨ 초 점 : ⇨ 준 선 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 9
4.
다음 포물선의 꼭짓점의 좌표, 초점의 좌표, 준선의 방정식을 구하시오.4)⑴
⑵
5.
포물선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하였더니 초점이 원점이 되었다. 이 때, 상수 , 의 합 의 값을 구하시오.5)6.
포물선 를 직선 에 대하여 대칭이동한 도형을 이라고 하자.점 에서 축과 평행한 직선을 그어 포물선 과의 교점을 라고 할 때, 포물선 의 초점과 점 를 이은 선분의 길이를 구하시오.6)
개념완성 기하와 벡터
10 / 제1장 평면곡선
■ 초점을 지나는 직선
(1) 어떤 포물선의 꼭지점을 O, 초점을 F 라 하고, F 를 지나는 직선이 이 포물선과 만나는 두 점을 A B
FA , FB , FO 라 할 때,
(2) 포물선 ( ) 의 초점을 지나는 직선 이 포물선과 서로 다른 두 점 P Q 에서 만난다.
두 점 P Q 에서 직선
에 내린 수선의 발을 각각 R S라 하고, 초점을 지나고 직선 에 수직인 직선이 직선 과 만나는 점을 M 이라 하면다음 관계가 성립한다.
ㄱ. RM SM
ㄴ. ∠PMQ
ㄷ. MF
PR ⋅ QS
ㄱ. ∆PRM과 ∆PFM에서 PR PF ∠PRM ∠PFM , PM은 공통이므로
∆PRM ≡∆PFM ∴RM FM ⋯⋯ ㉠
같은 방법으로 ∆QSM ≡∆QFM이므로 SM FM ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에 의해 RM SM
ㄴ. ㄱ에서 ∆PRM ≡∆PFM이므로 ∠PMR ∠PMF ⋯⋯ ㉢
∆QSM ≡∆QFM이므로 ∠QMS ∠QMF ⋯⋯ ㉣
㉢, ㉣에 의하여 ∠PMQ
ㄷ. ∆MQF∆PMF이므로 MF PF QF MF
∴MF PF⋅QF PR⋅QS
02 타원
➊ FF′ cm인 두 점 F와 F′을 잡는다.
➋실 cm 의 양 끝을 두 점 F와 F′에 각각 고정한다.
➌연필 끝으로 실을 팽팽하게 당기면서 곡선을 그린다.
개념완성 기하와 벡터
12 / 제1장 평면곡선
1. 타원
(1) 타원
평면 위의 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점 전체의 집합을 이라 한다.
초 점 : 꼭지점 : 장 축 : 단 축 :
(2) 타원의 방정식
타 원 초점 : F±
거리의 합 : ⇨ 초점 : F ±
거리의 합 : ⇨
그래프
초 점 중 심 장 축 단 축
▶ 증명
초점 : F , F′ c
거리의 합 : ⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하고 점 P 에서 초점에 이르는 거리의 합은 타원의 정의에 의하여 PF PF′ a ⇨
양변을 제곱하여 정리하면
＞이라 놓으면
타원
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 13
7.
다음 타원의 그래프를 그리고, 장축, 단축의 길이와 중심, 꼭짓점, 초점의 좌표를 구하시오.7) (1)
(2)
(3)
8.
다음 자취의 방정식을 구하시오.8)(1) 두 점 ′ 로부터의 거리의 합이 인 점의 자취
(2) 두 점 ′ 로부터의 거리의 합이 인 점의 자취
9.
두 초점이 ′ 이고, 장축과 단축의 길이의 차가 인 타원의 방정식을 구하시오.9)개념완성 기하와 벡터
14 / 제1장 평면곡선
2. 타원의 평행이동
방정식
⇨
⇨
그래프
초 점 꼭지점 중 심 장 축 단 축
■ 타원의 방정식의 일반형
( 단, ≠ ＞ )
▶ 타원의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형
→
x축:m, y축:n
⇨ 초 점 : ⇨ 꼭지점 : ⇨ 중 심 : ⇨ 장 축 : ⇨ 단 축 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 15
10.
이차곡선 과 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 의 범위를 구하시오.10)11.
타원
의 두 초점 , ′ 에 대하여 의 값을 구하시오.11)
12.
이차곡선 에 내접하는 원의 넓이를 구하시오.12)개념완성 기하와 벡터
16 / 제1장 평면곡선
▶
의 초점의 좌표 구하기
그림과 같이 초점이 축
위에 있으므로 두 초점을F c F′ c
이라하고, 점P
로 놓으면 PF PF ′
이므로 PF PF ′ PF PF
∴ PF
이때
∆PO F
는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 이용하면
∴
따라서 초점의 좌표는
F
F ′
▶ (두 초점으로부터 거리의 합) = (장축의 길이)
타원 위의 점
P
를장축의 꼭짓점
A
로 옮겨보면 AF A ′F ′
PF PF ′ AF A ′F ′
A ′F ′ AF ′ AA ′
03 쌍곡선
➊ FF′ cm인 두 점 F와 F′을 잡는다.
➋실 cm 의 한쪽 끝을 자 cm 의 한쪽 끝에 붙인다.
➌실의 다른 끝을 F에, 자의 다른 끝을 F′에 고정한다.
➍실이 팽팽하도록 연필을 자에 붙이고
점 F′을 중심으로 자를 회전하면서 곡선을 그린다.
개념완성 기하와 벡터
18 / 제1장 평면곡선
1. 쌍곡선
(1) 쌍곡선
평면 위의 두 정점에서 거리의 차가 일정한 점 전체의 집합을 이라 한다.
초 점 : 중 심 : 주 축 : 꼭지점 :
(2) 쌍곡선의 방정식
쌍 곡 선 초점 : F±
거리의 차 : ⇨ 초점 : F ±
거리의 차 : ⇨
그 래 프
초 점 꼭 지 점 중 심 주축 길이 점 근 선
▶ 증명
초점 : F , F′ c
거리의 차 :
⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
PF PF′ a ⇨ 양변을 제곱하여 정리하면
＞이라 놓으면
쌍곡선
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 19
13.
두 점 A B 으로부터 거리의 차가 인 점 P의 자취의 방정식을 구하시오.13)14.
다음 조건을 만족하는 쌍곡선의 방정식을 구하시오.14)(1) 두 초점의 좌표가 F F′ 이고, 점근선의 방정식이 ±
인 쌍곡선
(2) 한 점 를 지나고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
15.
오른쪽 그림과 같은 쌍곡선
위의 점 P와 두 초점 F F′에 대하여 ∠F′PF 이고 PF′ PF 일 때, cos의 값을 구하시오.15)
개념완성 기하와 벡터
20 / 제1장 평면곡선
2. 쌍곡선의 평행이동
방정식
⇨
⇨
그래프
초 점 꼭지점 중 심 거리의차 주축길이 점근선
■ 쌍곡선의 방정식의 일반형
( 단, ＜ )
▶ 쌍곡선의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형
→
x축:m, y축:n ⇨ 초 점 : ⇨ 꼭지점 : ⇨ 중 심 : ⇨ 주 축 : ⇨ 점근선 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 21
16.
다음 쌍곡선의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 주축의 길이, 점근선의 방정식을 각각 구하시오.16)
을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 쌍곡선
17.
점 F 과 축에 이르는 거리의 비가 인 점 P 의 자취의 방정식을 구하시오.17)18.
두 초점의 좌표가 F , F′ 이고, 주축의 길이가 인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.18)개념완성 기하와 벡터
22 / 제1장 평면곡선
3. 쌍곡선의 점근선의 방정식
쌍곡선
± 의 점근선 ⇨
▶ ±
＞ ＞
쌍곡선의 방정식
………… ㉠
을 에 관하여 정리하면
에서
±
±
∴ ±
………… ㉡이 식에서 가 커짐에 따라
은 한없이 에 가까워지므로 ㉡ 는………… ㉢ 에 한없이 가까워진다.
따라서, 쌍곡선 ㉠ 은 원점에서 멀어질수록 직선 ㉢ 에 가까워짐을 알 수 있다.
이에 따라 ±
를 쌍곡선의 점근선이라 한다.
또, 점근선을
과 같이 하나의 방정식으로 나타낼 수 있다.
특히, 일 때 쌍곡선 ㉠ 의 점근선은 와 이고, 이들은 서로 직교한다.
이와 같이 두 점근선이 서로 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 한다.
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 23
19.
다음 조건을 만족하는 쌍곡선의 방정식을 구하시오.19)⑴ 두 초점의 좌표가 F F′ 이고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
⑵ 한 점 을 지나고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
20.
두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선의 한 점근선이
일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는? 20)
①
②
③
④ ⑤
21.
방정식 에 대한 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?21)ㄱ. 주축이 축에 수직이다.
ㄴ. 주축의 길이는 이다.
ㄷ. 중심의 좌표는 이다.
ㄹ. 점근선의 방정식은
또는
이다.
[ 보 기 ]
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
개념완성 기하와 벡터
24 / 제1장 평면곡선
▶ (두 초점으로부터 거리의 차)=(주축의 길이)
쌍곡선 위의 임의의 점
P
를 꼭지점A ′
로 옮겨 보면 AF A ′F ′
이므로 PF PF ′ A ′F A ′F ′
A′A AF A ′F ′
A′A AF A F A′A
▶ 쌍곡선의 초점의 좌표구하기
쌍곡선의 방정식이
일때 원점을 중심으로 하고두 초점
F F ′
을 지나는 원이 점근선과 제1사분면에서 만나는 점을P
라 하면 점P
에서
축에 내린 수선의 발이 쌍곡선의 꼭짓점A
이므로점 P 의 좌표는
P
이다.이때
∆PO A
는 직각삼각형이므로
∴
따라서 초점의 좌표는
′
제2장
평면곡선의
접선
01 음함수의 미분법
개념완성 기하와 벡터
28 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 음함수의 미분법
(1) 음함수와 양함수
가 의 함수일 때, 꼴의 함수를 음함수라 하고,
꼴의 함수를 양함수라 한다.
(2) 음함수의 미분법
가 의 함수일 때,
위의 성질을 이용하여 의 양변을 에 대하여 미분하면
⇨
⋅
∴
■ 로그미분법
도함수를 구하는 한 방법으로서 양변의 절대값에 자연로그를 취한 다음 양변을 미분하여 도함수를 구하는 미분법을 로그미분법이라고 하며, 지수가 복잡하거나 형태가 복잡한 함수의 도함수를 구할 때는 로그미분법을 이용하는 것이 편리하다.
① 주어진 식의 양변의 절대값에 자연로그를 취한다.
② 양변을 에 대하여 미분한다.
이 때, ln ⇨ ′
이 이용된다.
양변이 양이면 절대값을 취하지 않고 직접 로그를 취한다.
▶ 의 미분법
함수 의 양변에 절대값을 취하면 ∣∣ ∣∣ 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln∣∣ ln∣∣
양변을 에 대하여 미분하면
⋅
ln ⋅
에서
ln
∴
′ ln
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 29
22.
에 대하여 를 구하시오.22)
23.
음함수
에서
는?
(단, ≠)23)
①
②
③
④
⑤
24.
함수 ln 에 대하여 ′을 구하시오. 24)개념완성 기하와 벡터
30 / 제2장 평면곡선의 접선
2.. 곡선 위의 점에서의 접선
이차곡선
위의 점
에서 그은 접선의 방정식 양변을 미분하면 ․
․
에서
이므로 접선의 기울기는
접선의 방정식
⇨
∴
☑ 이차곡선 위의 접점
이 주어졌을 때 접선의 방정식
⇨
⇨ ⇨ ⇨
상수항은 그대로
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 31
25.
곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식이 일 대, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.25)26.
곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.26)27.
곡선 위의 점 P에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? 27)(단, )<보기>
ㄱ.
ㄴ. 일 때, 의 최솟값은 8이다.
ㄷ. △의 넓이는 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ
02 평면곡선의 접선
개념완성 기하와 벡터
34 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 포물선의 접선
접선의 방정식
기울기가 인 접선
포물선 위의 점
▶ 특별한 경우가 아니면 공식을 이용하는 것이 편리하다.
▶ 증명
(1) 기울기가
인 접선의 방정식포물선 에 접하는 기울기 인 접선의 방정식을
이라 놓고 이것을 에 대입하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 포물선 위의 점
에서의 접선의 방정식 포물선 위의 점 에서의 접선 의 방정식을 ⋯ ① 이라 놓고
기울기기 인 접선의 방정식은 ⋯ ➁
이때 ➀, ② 는 같은 직선이므로
즉, ∴
±
⋯ ③
이때 점 은 포물선 위의 점이므로 이를 ③ 에 대입하여 기울기 을 구하면
이를 ①에 대입하여 정리하면
➡ (∵ )
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 35
28.
포물선 에 접하고 직선 에 수직인 직선은 점 를 지난다.이 때 의 값을 구하시오. 28)
29.
포물선 에 접하고 기울기가 인 직선과 직선 사이의 최단 거리를 구하시오.29)30.
포물선 위의 점 에서의 접선에 수직이면서, 이 포물선의 초점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.30)개념완성 기하와 벡터
36 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 타원의 접선
접선의 방정식 기울기가 인 접선 타원 위의 점
▶ 증명 (1) 타원
⋯ ① 에 접하고, 기울기가 인 접선의 방정식 기울기가 인 접선의 방정식을 이라 하고
① 에 대입하여 정리하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 타원
위의 점 에서의 접선의 방정식
ⅰ) ≠ 일 때,
① 접선의 기울기를 이라하면
② 기울기가인 접선의 방정식은 ±
③ ①, ② 에서 ⇨
양변을 제곱하여 정리하면 ⇨
④
⇨
⑤ ④를 ③ 에 대입 ⇨ ⇨ ∴ 따라서, 구하는 접선의 방정식은
ⅱ) 일 때, ± 이므로 접선의 방정식은 ±
이 경우에도 접선의 방정식은
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 37
31.
타원 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식을 구하시오.31)
32.
타원 위의 점 에서의 접선과 타원의 중심 사이의 거리를 구하시오.32)33.
타원
위의 점 P 에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A B라 할 때, 삼각형 AOB의 넓이의 최솟값은?33) (단, O는 원점이다.)
개념완성 기하와 벡터
38 / 제2장 평면곡선의 접선
3. 쌍곡선의 접선
접선의 방정식
기울기가 인 접선
쌍곡선 위의 점
▶ 증명 (1) 쌍곡선
의 기울기가 ≠ 인 접선의 방정식 기울기가 인 접선의 방정식을 이라 하고
① 에 대입하여 정리하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 쌍곡선
위의 한 점 에서의 접선의 방정식
ⅰ) ≠ 일 때,
① 접선의 기울기를 이라하면
② 기울기가인 접선의 방정식은 ±
③ ①, ② 에서 ⇨
양변을 제곱하여 정리하면 ⇨
④
⇨
⑤ ④를 ③ 에 대입 ⇨ ⇨ ∴ 따라서, 구하는 접선의 방정식은
ⅱ) 일 때, ± 이므로 접선의 방정식은 ±
이 경우에도 접선의 방정식은
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 39
34.
다음 접선의 방정식을 구하시오.34)⑴ 쌍곡선
에 접하고, 직선 와 평행한 접선
⑵ 쌍곡선
에 접하고, 축의 양의 방향과 의 각을 이루는 접선
35.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.35)
36.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.36)
■ 이차곡선
개념완성 기하와 벡터
42 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 이차곡선의 일반형
에 대한 이차방정식
의 좌변이 일차식의 곱으로 인수분해되거나 ⇨한 변수만의 이차식이 되는 경우 ⇨ 제곱의 합으로 나타내지는 경우 ⇨
가 아니면 다음과 같이 원, 포물선, 타원, 쌍곡선이 된다.
이차곡선 원 포물선 타원 쌍곡선
계수의 관계
■ 원뿔곡선
이차곡선인 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 흔히 원뿔곡선이라고도 부른다. 이는 원뿔을 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때의 단면이 이와 같은 곡선들로 나타나기 때문이다.
이때 자른 평면의 기울기에 따라 다음과 같은 곡선을 얻을 수 있다.
➊ 원 - 밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때
➋ 타원 - 밑면에 평행한 평면을 조금 기울여서 모선에 평행해지기 전까지 기울인 평면으로 잘랐을 때
➌ 포물선 - 모선에 평행한 평면으로 잘랐을 때
➍ 쌍곡선 - 모선에 평행한 평면보다 기울기가 더 급한 평면으로 잘랐을 때
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 43
2. 이차곡선의 정의
포물선 타원 쌍곡선
정 의 한 점과 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합
두 점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합
두 점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합
방정식
그래프
초 점
성 질
개념완성 기하와 벡터
44 / 제2장 평면곡선의 접선
3. 이차곡선의 접선
기울기가 인 접선 곡선 위의 점
포물선
타원
쌍곡선
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 45
■ 포물선의 접선
(1) 축에 평행하게 입사한 빛은 반사되어 초점을 지난다.
포물선 위의 한 점 P 에 있어서의 접선은 P 를 지나고 축에 평행한 직선과 P 를 초점 F 에 이어서 이루어지는 직선이 이루는 각은 서로 같다.
▶ 증명 : 포물선 ( ) 에 대하여 점
에서의 접선의 방정식 ⇨
,
∴ ∆
는 이등변 삼각형이고동위각으로부터 ∠
∠
∠
▶ 포물선 ( ) 위의
점 P 에서의 접선과 축과의 교점을 T, P 에서 준선에 내린 수선의 발을 Q, 또 이 포물선의 초점을 F 라고 하자.
위의 성질에 따르면 □QTFP 는 마름모이다.
개념완성 기하와 벡터
46 / 제2장 평면곡선의 접선
(2) 두 접선이 수직으로 교차하는 점의 자취는 포물선의 준선이다.
▶ 증명 : 기울기 m 인 접선의 방정식 ⇨ 이 접선과 수직인 직선의 기울기 ⇨ 이 접선과 수직인 접선의 방정식 ⇨
이 두 식을 연립하면
∴ (준선)
이 때 두 접점을 연결한 직선 AB 는 초점을 지난다.
또한, 포물선의 초점을 지나는 현을 지름으로 하는 원은 그 포물선의 준선에 접한다.
▶ [미적분 1] 에서 이차함수 (포물선)에서
′
⇨
(3) 이차곡선의 극선
▶ 극선 : 임의의 점 P (x1, y1) 에 대해
에서
을 곡선에 대한 점 P (x1, y1) 의 극선이라 하며 이 때, 점 P 를 극(極) 이라 한다.
점 P (x1, y1) 의 극선 ⇨
곡선 위의 점에서의 극선 ⇨
F A
B
T M
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 47
■ 곡선과 직선, 점
(1) 곡선과 직선
곡선과 직선 위의 두 점 사이의 거리의 최소값을 곡선과 직선 사이의 거리라고 한다.
곡선과 직선 사이의 거리 ⇨
(2) 곡선과 점
곡선 위의 점과 두 점 사이의 거리의 최소값을 곡선과 점 사이의 거리라고 한다.
곡선과 점 사이의 거리 ⇨
[예제]
두 점
와 포물선 위의 점
에 대하여 (1) ∆
의 최솟값을 구하여라.(2)
의 최솟값을 구하여라.개념완성 기하와 벡터
48 / 제2장 평면곡선의 접선
■ 타원의 접선
(1) 타원 상의 한 점 P 에서의 법선은 두 초점에 이어지는 각을 이등분한다.
▶ 쌍곡선
에 대해 P ( x1 , y1 ) 에서의
접선의 방정식
⇨
법선의 방정식
⇨
법선의 x 절편 A
⇨
′
′
∴
′
′
따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 직선 PA 는 ∠F'PF 를 이등분한다.
(2) 타원과 직선
타원
( )의 두 초점을 F, F′이라 하고, 타원 위의 점 P에서의 접선을 , 에 대하여 F와 대칭인 점을 R이라 한다. 또, 접선 위의 P가 아닌 점 Q, S를 서로 반대쪽에 잡을 때, 다음과 같은 성질이 있다.
ㄱ. P F P F′ Q F Q F′
ㄴ. 세 점 R , P , F′은 일직선 위에 있다.
ㄷ. ∠FP S ∠F′P Q
|다 음|
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 49
■ 쌍곡선의 접선
(1) 쌍곡선 상의 한 점 P 에서의 법선은 두 초점에 이어지는 각을 이등분한다.
▶ 쌍곡선
에 대해 P ( x1 , y1 ) 에서의
접선의 방정식
⇨
법선의 방정식
⇨
법선의 x 절편 A
⇨
′
′
∴
′
′
따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 직선 PA 는 ∠F'PF 를 이등분한다.
(2) 초점을 향해 입사한 빛은 반사되어 다른 초점을 지난다.
한 초점 F에서 쌍곡선에 보낸 빛이 쌍곡선 위의 한 점에 도달하여 반사될 때 반사궤적은 다른 초점 F′에서 쌍곡선 위의 한 점을 이은 선분의 연장선이다.
03 매개변수로
나타낸 함수의 미분
개념완성 기하와 벡터
52 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 매개변수로 나타낸 함수의 미분
가 각각 미분가능하고 ′ ≠
이면 다음이 성립한다.
▶ 매개변수로 나타낸 함수의 미분
가 에 대하여 미분가능하고 ′≠ 이면
는 의 함수라 생각할 수 있으므로
의 증분 에 대한 의 증분을 라 하면 → 일 때, → 이다.
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′
′
∵ →일 때, → )
∴
′
′
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 53
37.
의 함수 가
( 는 이 아닌 실수)로 주어질 때,
lim
→
의 값을
구하시오.37)
38.
으로 주어진 함수 에서 일 때
의 값을
구하시오.38)
39.
실수 에 대하여 로 주어진 함수 가 있다. 의 역함수를 라 할 때, 의 값은?39)
개념완성 기하와 벡터
54 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 이차곡선의 매개변수방정식
(1) cos sin ⇨
(2)
⇨
(3) sec tan ⇨
▶ 접선의 방정식
곡선
에 대하여 곡선 위의 점
에서의 접선의 방정식
▶ 이계도함수의 계산
곡선
에 대하여
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 55
40.
sin cos 로 표시된 곡선의 인 점에서의
접선의 방정식을 구하시오.40)
41.
곡선
,
위의 에 대응 하는 점에서의
접선의 방정식은 이다. 이때, 의 값을 구하시오.41)
42.
cos , sin 로 나타내어지는 곡선 위의 에 대응하는 점에서의
접선과 수직이고
에 대응하는 점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.42)
제3장
평면벡터
01 벡터
개념완성 기하와 벡터
60 / 제3장 평면벡터
1. 벡터
(1) 벡터와 스칼라
① 스칼라( scalar) : 크기만을 가지는 양 [예] 길이, 질량, 넓이
② 벡터( vector) : 크기와 방향을 가지는 양 [예] 속도, 가속도, 힘
(2) 벡터의 표시법
그림과 같이 유향선분 AB 로 나타내어지는 벡터를 기호로는 AB 와 같이 나타낸다.
점 A 를 벡터 AB 의 ,
점 B 를 벡터 AB 의 이라 한다.
▶ 벡터를 문자로 나타낼 때에는 ⋯ 등의 기호를 사용한다.
▶ 벡터 AB 와 의 크기를 기호로
AB
로 나타내고 선분의 길이를 의미한다. 즉,
AB
AB (3) 단위벡터와 영벡터
① 영 벡 터 : 시점과 종점이 일치하는 벡터, 크기는 이고 으로 나타냄
② 단위벡터 : 크기가 1 인 벡터. 즉, AB 인 벡터
(4) 벡터의 상등
크기가 같고 방향이 서로 같거나 평행인 벡터는 서로 같다.
즉, ABCD 이고 AB CD 이면 AB CD
(5) 역벡터
크기가 같고 방향이 반대인 벡터.
즉, AB 의 역벡터는 AB 또는 BA
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 61
43.
다음 설명 중 옳지 않은 것은?43)① 유향선분의 길이를 벡터의 크기라 한다.
② 두 벡터의 크기가 같을 때, 이 두 벡터는 같다 또는 상등이라 한다.
③ 크기가 인 벡터를 단위벡터라 한다.
④ 크기가 인 벡터를 영벡터라 한다.
⑤ 크기가 같고 방향이 반대인 두 벡터를 서로 다른 것의 역벡터라 한다.
44.
오른쪽 그림을 보고 다음 물음에 답하시오.44)⑴ 와 크기가 같은 벡터는 몇 개인가?
⑵ 와 방향이 같은 벡터는 몇 개인가?
⑶ 와 같은 벡터는 몇 번인가?
⑷ 의 역 벡터는 몇 번인가?
45.
오른쪽 그림은 어떤 정육면체의 전개도이다. 원래의 정육면체에서 벡터 AB 와 같은 것을 구하시오.45)개념완성 기하와 벡터
62 / 제3장 평면벡터
2. 벡터의 덧셈과 뺄셈
(1) 벡터의 덧셈
① 삼각형을 이용
AB BC 라 할 때,
삼각형의 변 AC c 를 와 의 합이라 하고
or AB BC AC 로 나타낸다.
② 평행사변형법을 이용:
AB AD 라 하고 AB 와 AD 를
두 변으로 하는 평행사변형 ABCD 를 만들 때,
AD BC 이므로 AC 는 와 의 합을 나타낸다.
AB AD AB BC AC
(2) 벡터의 덧셈에 대한 성질
① 교환법칙 :
② 결합법칙 :
③ 항등원( ) : 임의의 벡터 에 대하여
④ 역 원 : 임의의 벡터 에 대하여 인 가 존재
(3) 벡터의 뺄셈
두 벡터 에 대하여
를 만족하는 벡터 를
에서 를 뺀 차라고 하며 로 나타낸다.
오른쪽 그림에서 OA OB 라 하면
이므로
OA BO
OA AC OC BA
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 63
46.
오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육각형 이다. 일 때, 의 크기를 구하시오.46)
47.
평면 위의 정오각형 ABCDE 가 있다. 그 중심을 O 라고 할 때, 벡터 OA OB OC OD OE 의 크기를 구하시오. (단, 벡터 OA의 크기는 이다.)47)48.
사각형 와 점 에 대하여
가 성립할 때, 사각형 는 어떤 사각형인지를 말하시오. 48)
\
개념완성 기하와 벡터
64 / 제3장 평면벡터
3. 벡터의 평행
(1) 벡터의 실수배
임의의 실수 와 벡터 의 곱 에 대하여
≠ 일 때,
① ＞ 이면, 크기 ⇨
방향 ⇨
② ＜ 이면, 크기 ⇨
방향 ⇨
③ 이면,
(2) 벡터의 실수배에 대한 성질
실수 과 벡터 에 대하여
① 결합법칙 :
② 분배법칙 :
결합법칙
분배법칙
분배법칙
(3) 벡터의 평행
영벡터가 아닌 두 벡터 가 같은 방향이거나 반대 방향일 때,
와 는 서로 평행하다고 하며 기호로는 로 나타낸다.
▶ ≠ ≠ 일 때, (단, ≠ 인 실수)
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 65
49.
가 임의의 실수이고, 인 두 벡터가 있다. 다음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면?49)①
②
③ 는 그 크기가 에 배 한 것이고, 방향은 일 때, 의 방향과 같다.
④ 는 일 때, 영벡터이다.
⑤ 는 그 크기가 에 배 한 것이고, 방향은 일 때, 의 방향과 반대이다.
50.
다음 식을 간단히 하시오.50) (1) (2)
51.
영벡터가 아닌 두 벡터 가 서로 평행하지 않을 때, 세 벡터 는 , ,
로 나타내어진다. 와 가 서로 평행하기 위한 실수 의 값을 구하시오. 51)
개념완성 기하와 벡터
66 / 제3장 평면벡터
4. 공선조건
세 점 A B C 가 한 직선 위에 존재
AC AB
O C O A O B O A
O C O A O B
O C O A O B
▶ 두 벡터가 서로 같을 조건
영벡터가 아닌 두벡터 가 서로 평행하지 않을 때,
≠ ≠ ∦ ⇨
⇨
▶ 영벡터가 아닌 두 벡터 가 서로 평행하지 않을 때, 실수 에 대하여
에서 ⋯ ①
ⅰ) ≠ 일 때, ① 의 양변을 으로 나누면
이때 의 꼴이므로 두 벡터 는 서로 평행하게 되어 조건에 모순 따라서 이다.
ⅱ) 일 때, 벡터의 실수배에 의하여
· 이므로 이를 ① 에 대입하면 이때 주어진 조건에서 ≠ 이므로 이다.
ⅰ), ⅱ) 에 의하여 일 때, 이다.
