3.8. Linear Models: Initial-Value Problem

- 32 -

3.8. Linear Models: Initial-Value Problem

이 절에서는 수학적 모델이 특정 시간에서의 초기조건들과 함께 상수 계수를 가지는 선형 2계 미방으로 기술되는 몇 가지의 선형 동적 시스템(linear dynamical systems)들에 대해 다룬다. 즉

2

2

d y

2 1

dy

0

( ), ( )

0 0

, '( )

0 1

a a a y g t y t y y t y

dt  dt    

앞서 이미 학습한 바와 같이 함수 g는 시스템의 입력(input), 구동(driving) 혹은 강제 함수(forcing function)라 한다. 시스템의 출력(output) 혹은 응답(response)은

t

₀를 포함한 구간 I에서 정의되고 미방과 초기조건 모두를 만족하는 함수

y t ( )

가 된다.

3.8.1. Spring/Mass Systems: Free Undamped Motion

 Hooke’s Law

그림 3.8.1과 같이 스프링이 지지부(support)에 고정되어 매달려(suspended)있고 자유단(free end)에는 질량 m이 붙어있다고 생각하자. 질량에 의한 무게로 인해 스프링은 늘어나며(stretch or elongation), 후크의 법칙에 의해 스프링은 늘어난 양 s에 비례하며 늘어난 방향과 반대쪽으로 향하는 복원력 (restoring force) F를 작용시킨다. 이 관계식은 F=



ks (k >0)로 표시되며, 비례상수 k는 스프링 상수 (spring constant)라고 한다.

 Newton’s Second Law

스프링에 질량 m이 연결되면 무게 W가 스프링의 복원력 ks에 의해 밸런스가 이루어질 때까지 s만큼 늘어나 평형 위치에 도달한다. 무게는 W = mg로 표현되며, 질량은 slug, kg, g 등의 단위로, 중력가속도 g = 32 ft/s², 9.8 m/s², 혹은 980 cm/s²이다. 평형 상태는 그림 3.8.1(b)와 같으며 이 때 mg = ks 혹은 mg



ks = 0이다. 만일 그림 3.8.1(c)처럼 평형 위치에서 질량이 x 만큼 변위되면 (displaced), 스프링의 복원력은 k(x+s)가 된다. 시스템에 작용하는 억제력(retarding force)이 없다고 가정하고, 질량이 다른 외력(external forces)이 없는 상태에서 진동(vibrate)한다고 가정하면 –즉, 자유 운동 (free motion) – 뉴튼의 제2법칙에 의해

2

2

( )

zero

m d x k x s mg kx mg ks kx

dt          

(1)

- 33 -

식 (1)의 음부호는 복원력이 움직임의 방향과 반대방향으로 작용함을 나타낸다. 그리고 여기서는 평형점 아래로 움직이는 변위를 양의 값으로 정의하는 표기법을 사용한다 (그림 3.8.2 참고)

 DE of Free Undamped Motion

식 (1)을 질량 m으로 나누면

2

2

0

d x k

dt  m x 

형태의 2계 미방을 얻는다. ²

k

  m

이라 하면,

2 2

2

0

d x x

dt   

(2)

위 식 (2)는 단순 조화 운동(simple harmonic motion) 혹은 자유 비감쇠 운동(free undamped motion) 을 기술한다고 한다. (2)와 관계된 분명한 두 가지의 초기조건들은 초기 변위량을 나타내는

(0)

0

x  x

과 초기 속도를 나타내는

x '(0)  x

₁이다. 두 값의 부호는 다양한 상황을 나타낸다.

 Solution and Equation of Motion

식 (2)를 풀기 위한 보조방정식은

m

²

 

²

 0

이므로

m    i

이고, 따라서 일반해는

1 2

( ) cos sin

x t  c  t  c  t

(3)

자유진동의 주기(period of free vibrations)는

T  2 /  

, 주파수(frequency)는

f  1/ T    / 2

이다.

x t ( )

의 최대값은 평형점

아래로

최대로 움직이는 양의 변위이고,

x t ( )

의 최소값은 평형점

위로

최대로 움직이는 음의 변위이다. 초기조건을 사용하여 상수들의 값이 결정되면, 그 결과로서 나타나는 특수해 혹은 응답을 운동방정식(equation of motion)이라 한다.

[Example 1] 자유 비감쇠 운동

2 파운드(lb)의 무게를 가지는 질량이 스프링을 6 인치(in)만큼 늘어나게 한다. t = 0에서 질량을 평형점 아래로 8 인치만큼 당긴 후 위로 4/3 ft/s의 속도를 주면서 놓았다(released). 자유 운동의 방정식을 구하여라.

Sol. 단위를 공학적으로 조정한다. 6 in = 1/2 ft, 8 in = 2/3 ft 이다.

m = W/g 므로 m = 2/32 = 1/16 slug 이다. 또한 후크의 법칙에서 2 = k(1/2)에서 k = 4 lb/ft 이다.

초기조건을 수식화하면 x(0) = 2/3, x′(0) = 4/3 이다.

2

64

 

, 즉

  8

이므로 일반해는

x t ( )  c

₁

cos 8 t  c

₂

sin 8 t

이다.

초기조건을 적용하면

c

₁

 2 / 3, c

₂

  1 / 6

이다. 따라서 운동방정식은

2 1

( ) cos8 sin 8

3 6

x t  t  t

(5) 

- 34 -

 Alternative Form of x(t)

1

0,

2

0

c  c 

일 때 자유 진동의 실제 진폭(amplitude) A는 식 (3)만으로는 분명하지 않다. 예제 1 에서 질량을 아래로 2/3 ft 만큼 당겼다 놓았지만, 진동의 진폭은 2/3 보다 더 크다. 그러므로 식 (3)과 같이 주어진 (

x t ( )  c

₁

cos  t  c

₂

sin  t

) 운동방정식을 시간축에서 이동된 sine 이나 cosine 함수의 형태로 표현하는 것이 더 편리하다. 즉,

 

1

1

2 2

sin (6) sin

tan (7) cos

y A t

c A c

c c

A

 







 

    

 



 

2

2

1 1

cos (6') sin

tan (7') cos

y A t

c A c

c c

A

 







 

    

 



위에서

A  c

₁²

 c

₂² 은 자유 진동의 진폭(amplitude of free vibrations)이라 하고,



는 위상각 (phase angle)이라 한다.

식 (6)을 검증하기 위해

^sin  ^{  t } 

^{를 전개하면}

     

sin sin cos cos sin sin cos cos sin

A   t   A  t   A  t   A   t  A   t

(8) 그림 3.8.3을 참고하여



를 다음과 같이 정의하면

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

sin c c , cos c c

A A

c c c c

     

 

식 (8)은

c

₁

cos  t  c

₂

sin  t  x t ( )

와 같아진다.

[Example 2]

예제 1의 해인 식 (5)를 위에서 학습한 식 (6) 혹은 (6′)과 같이 쓸 수 있다. 두 경우 모두

2 2

2 1 17

0.69 ft

3 6 36

A             

   

이다. 하지만 위상각을 계산할 때 주의해야 한다.

(a)

c

₁

 2 / 3, c

₂

  1 / 6

이면 식 (7)에 의해

tan    4

이므로

  tan ( 4)

^1

   1.326 rad

이다.

그러나 이 값은 4사분면에 위치하므로,

c

₁

 0, c

₂

 0

에 의해

sin   0, cos   0

이어야 하는 조건과 모순된다. 이는 2사분면에 해당하므로

    (1.326) 1.816 rad 

로 잡아야 한다.

 5판 교과서 오류.

따라서 식 (6)에 의해

^{( ) 17 sin 8}  ^1.816 

x t  6 t 

(b) 식 (7′)을 쓸 경우

sin   0, cos   0

이므로 위상각은 4사분면에 있어여 한다. 이 경우

tan    1/ 4

이므로

  tan ( 1 / 4)

^1

   0.245 rad

이며, 이는 4사분면에 있다.

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따라서 식 (6′)에 의해

^{( ) 17 cos 8}  ^{( 0.245)}  ^{17 cos 8}  ^0.245 

6 6

x t  t    t 



 Graphical Interpretation

그림 3.8.4 참고

 Double Spring Systems (added from 6

^th

ed.)

그림 3.8.5처럼 스프링 상수가 k1, k2인 두 개의 병렬 스프링을 사용할 경우, 질량이 평형점에서 변위되면 두 스프링은 같은 변위를 가지게 되므로 알짜 복원력은  k1 x  k2 x = (k1 + k2)x 와 같다.

이 때 이 시스템은 실효 스프링 상수(effective spring constant) keff = k1 + k2 를 가진다고 한다.

- 36 -

반면에 그림 3.8.6과 같이 두 스프링이 직렬로 연결된 경우, 평형점으로부터의 질량의 변위 x는 각 스프링의 변위의 합인 x = x1 + x2 로 구성된다. 그러나 두 스프링에 대하여 복원력은 같으므로 시스템의 실효 스프링 상수는



keff (x1 + x2) = k1 x1 = k2 x2

따라서 x1 = (k2 / k1) x2 이므로



keff (x1 + x2) = k2 x2 는 다음과 같다.

𝑘_𝑒𝑓𝑓(𝑘₂

𝑘₁𝑥₂+ 𝑥₂) = 𝑘₂𝑥₂ 이를 풀어주면 𝑘_𝑒𝑓𝑓 = ^𝑘1𝑘2

𝑘₁+𝑘₂ 를 얻을 수 있다.

3.8.2. Spring/Mass Systems: Free Damped Motion

자유 조화 운동은 어느 정도 비현실적인데, 그 이유는 움직이는 질량에 작용하는 억제력이 전혀 없다고 가정하기 때문이다. 완벽한 진공 상태에 있지 않으면 주변 매질에 의한 저항력이 존재할 것이다. 그림 3.8.7와 같이 질량은 점성(viscous) 매질 안에 놓여지거나, 혹은 완충 감쇠(dashpot damping) 소자에 연결될 수 있다.

- 37 -

 DE of Free Damped Motion

역학에서 물체에 작용하는 감쇠력(damping force)은 순간 속도(instantaneous velocity)의 거듭제곱에 비례하는 것으로 간주된다. 이 이후부터는 감쇠가 dx/dt의 상수배라고 가정한다. 다른 외력이 없는 경우 뉴튼의 제2법칙에 의해

2 2

d x dx

m kx

dt     dt

(10)

여기서



는 양의

감쇠상수

(damping constant)이고, 식 내의 음부호는 감쇠력이 운동 방향과 반대로 작용함을 의미한다. 식 (10)을 질량 m으로 나누면 자유 감쇠 운동(free damped motion)의 미방은

 

2 2

/ / / ( / ) 0

d x dt   m dx dt  k m x 

과 같다. 이는 다시

2

2

2

2 0

d x dx

dt   dt   x 

(11) 처럼 쓸 수 있으며, 이 때

2 ,

²

k

m m

    

이다. 여기서 2



는 단지 편의에 의해 잡은 것이다.

보조방정식은

m

²

 2  m  

²

 0

이므로 해는

m

₁

    

²

 

²

, m

₂

    

²

 

² 이다.

역시 근호 안의 부호에 따라 세 가지 경우로 나눌 수 있다. 각 해에는

감쇠 인자

(damping factor)

, 0

e

^t

 

를 포함하고 있으므로 오랜 시간이 지난 후에 질량의 변위는 무시할 수 있게 된다.

Case I:

 

²



²

 0

이 경우 시스템은 과도감쇠(overdamped) 되었다고 한다. 이유는 감쇠상수



가 스프링 상수 k 에 비해 크기 때문이다. 해당하는 식 (11)의 해는



^{1 2 2 2 2 2}



( )

^{t t t}

x t  e

^

c e

^{ }

 c e

^{  } (13) 이는 유려하고(smooth) 비진동적인(nonoscillatory) 움직임을 나타낸다 (그림 3.8.8).

Case II:

 

²



²

 0

이 경우 시스템은 임계감쇠(critically damped) 되었다고 한다. 이유는 미약한 감쇠력의 감소가 진동적인 움직임을 나타내는 결과를 초래하기 때문이다. 중근인 경우이므로



1 2



( )

^t

x t  e

^

c  c t

(14)

전형적 그래프는 그림 3.8.9와 같으며, 움직임은 과도감쇠의 경우와 상당히 유사하다. 또한 식 (14) 로부터 질량은 평형점을 기껏해야 한 번만 지나갈 수 있음을 알 수 있다.

- 38 -

Case III:

 

²



²

 0

이 경우 시스템은 부족감쇠(underdamped) 되었다고 한다. 이유는 감쇠 상수가 스프링 상수보다 작기 때문이다. 근은

m

₁

    

²

 

²

i , m

₂

    

²

 

²

i

이고



^{1 2 2 2 2 2}



( )

^t

cos sin

x t  e

^

c    t  c    t

(15)

그림 3.8.10과 같이 움직임은 진동의 형태를 갖지만, 시간이 지나면

e

^t에 의해 진동이 사라진다.

[Example 3~5] 각자 연습해 보자. 반드시!!!

 Alternative Form of x(t)

앞서와 마찬가지로 case III의 경우, 즉

^{x t ( )  e}

^t

 ^c

¹

^{cos }

²

^{ }

²

^{t  c}

²

^{sin }

²

^{ }

²

^t 

^{일 때,}



^{2 2}



( )

^t

sin

x t  Ae

^

   t  

(23) 와 같이 표현이 가능하다. 이 때

A  c

₁²

 c

₂² ,

sin c

¹

  A

,

cos c

²

  A

, ¹

2

tan c

  c

이다.

식 (23)의 계수

Ae

^t는 때때로 진동의 감쇠진폭(damped amplitude)이라고 부른다. 식 (23)은 주기 함수가 아니기 때문에

2 /  

²

 

² 는 준주기(quasi period),



²

 

²

/ 2 

는 준주파수(quasi frequency)라고 한다.

- 39 -

3.8.3. Spring/Mass Systems: Driven Motion

 DE of Driven Motion with Damping

이제 질량에 외력 f(t)가 가해지는 경우를 고려해 보자. 예를 들자면 f(t)는 그림 3.8.13과 같이 스프링의 지지부를 수직방향으로 진동시키도록 구동시키는 경우를 생각할 수 있다. f(t)를 뉴튼의 제2법칙에 포함시키면 구동 운동(driven motion), 혹은 강제 운동(forced motion)의 미방은

2

2

( )

d x dx

m kx f t

dt = − − β dt +

(24)

양변을 질량 m으로 나누면

2

2

2

2 ( )

d x dx

x F t

dt + λ dt + ω =

⁽²⁵⁾

이 때

F t ( ) = f t ( ) / m

이다. 이 비제차 미방을 풀기 위해 미정계수법이나 변수변분법을 적용한다.

[Example 6]

다음 초기값 문제

2 2

1 1

1.2 2 5 cos 4 , (0) , '(0) 0

5 2

d x dx

x t x x

dt + dt + = = =

을 해석하고 풀어라.

Sol. 이 문제를 스프링/질량 문제로 해석하면, m = 1/5 slug (or kg)의 질량이 스프링 상수 k = 2 lb/ft (or N/m)를 가지는 기계적 스프링에 연결되어 있는 시스템을 생각할 수 있다. 질량은 평형점 아래로 1/2 unit (ft or meter)만큼 당긴 후 정지상태에서 놓여지게(released) 된다.

운동은 감쇠(

β

= 1.2) 상태이고 외부의 주기적인(T = π/2 s) 힘으로 t = 0에서 구동되고 있다.

위 미방을 고쳐쓰면

2

2

6 10 25 cos 4 d x dx

x t

dt + dt + =

이고, 먼저 제차미방을 풀어야 한다.

보조방정식은

m

²

+ 6 m + 10 = 0

이므로

m = − ± 3 i

이므로

x t

_c

( ) = e

^−3t

( c

1

cos t + c

2

sin t )

특수해를 구하기 위해 미정계수법을 적용하면

x t

_p

( ) = A cos 4 t + B sin 4 t

^, 중복항은 없다.

대입하면

x

p

^{'' 6} + x

p

^{' 10} + x

p

= − ( ⁶ A + ²⁴ B ) ^{cos 4} t + − ( ²⁴ A − ⁶ B ) ^{sin 4} t = ^{25 cos 4} t

이므로

6 A 24 B 25, 24 A 6 B 0

− + = − − =

이므로

25 50

,

102 51

A = − B =

이다. 따라서

- 40 -

( )

3

1 2

25 50

( ) cos sin cos 4 sin 4

102 51

x t = e

⁻t

c t + c t − t + t

초기조건들을 대입하면 ₁

38

₂

86 ,

51 51

c = c = −

이다.

따라서 ³

38 86 25 50

( ) cos sin cos 4 sin 4

51 51 102 51

x t = e

⁻t

   t − t    − t + t

^

 Transient and Steady-State Terms

F가

F t ( ) = F

₀

cos γ t

,

F t ( ) = F

₀

sin γ t

와 같은 주기함수일 때,

λ

> 0에 대한 식 (25)의 일반해는 비주기함수

x t

_c

( )

와 주기함수

x t

_p

( )

의 합이다. 더욱이 시간이 지나면

x t

_c

( )

는 사라져버린다; 즉

lim

_t→∞

x t

_c

( ) = 0

이다. 따라서 오랜 시간 이후 질량의 변위는 특수해

x t

_p

( )

로 근사화된다. 상보 함수

x t

_c

( )

는 과도항(transient term) 혹은 과도해(transient solution)라 하고, 시간이 지난 후 남는 해의 부분은 정상상태항(steady-state term) 혹은 정상상태해(steady-state solution)라 한다. 그러므로 F에 의해 구동되는 스프링/질량 시스템에 미치는 초기 조건들의 효과는 과도적인 것이다 (그림 3.8.14 참고).

 DE of Driven Motion without Damping

주기적으로 인가되는 힘은 있지만 감쇠력이 없는 경우, 해에는 과도항이 없다. 또한 주기적으로 인가된 힘의 주파수가 자유 비감쇠 진동의 주파수와 비슷해지거나 같아질 경우 진동하는 임의의 기계 시스템에는 심각한 문제를 초래할 수 있다.

[Example 8] 비감쇠 강제 운동

다음 초기값 문제

2 2

2 0

sin , (0) 0, '(0) 0

d x x F t x x

dt + ω = γ = =

⁽

F

₀는 상수,

γ ω ≠

)를 풀어라.

Sol. 상보함수는

x t

_c

( ) = c

₁

cos ω t + c

₂

sin ω t

이다. 특수해를

x t

_p

( ) = A cos γ t + B sin γ t

와 같이 가정하면

^x

^p

^{'' + ω}

²

^x

^p

^{= A} ( ^ω

²

^{− γ}

²

) ^{cos γ t + B} ( ^ω

²

^{− γ}

²

) ^{sin γ t = F}

⁰

^{sin γ t}

^이므로

0

2 2

0, F

A B

ω γ

= =

−

^{이다. 그러므로} _p

( )

²

F

^{0 2}

sin

x t γ t

ω γ

= −

^{이다. 일반해는}

0

1 2 2 2

( ) cos sin F sin

x t c ω t c ω t γ t

ω γ

= + +

−

^{와 같으며, 초기조건을 대입하면}

(

⁰

)

1

0,

2 2

F

2

c c γ

ω ω γ

= = −

−

와 같다. 따라서 해는

(

^{20 2}

) ^{( )}

( ) F sin sin ,

x t γ ω ω t γ t γ ω

ω ω γ

= − + ≠

−

^{(30) }

- 41 -

 Pure Resonance

비록 예제 8의 해인 식 (30)은

γ ω =

에 대해서는 정의되지 않지만,

γ → ω

인 경우의 극한값은 로피탈의 정리(L’Hôpital’s rule)에 의해 얻을 수 있다. 이 극한 과정은 구동력(driving force)의 주파수 (

γ

/2

π

)를 자유 진동의 주파수 (

ω

/2

π

)에 “tuning in” 하는 것과 유사하다.

이 극한값을 구하는 과정은 교과서에 정리되어 있으며, 결과는 다음과 같다.

0 0

( )

2

sin cos

2 2

F F

x t ω t t ω t

ω ω

= −

(31)

예상했던 바와 같이

t → ∞

이면 변위는 무한히 커진다; 실제로

t

_n

= n π ω / , 1, 2,... n =

이면

n

( )

x t → ∞

가 된다. 이러한 현상을 순수 공진(pure resonance)이라 하며, 그림 3.8.16에서 이러한 경우의 전형적인 움직임을 보여준다.

그러나 결론적으로는 극한 과정을 실제 사용할 필요는 없고,

γ ω =

로 놓은 다음 초기값 문제

2 2

2 0

sin , (0) 0, '(0) 0

d x x F t x x

dt + ω = ω = =

를 그간 학습한 방법으로 바로 풀면 된다.

 상보함수는 예제 8과 같고, 중복성에 의해

x t

p

^{( )} = t A ( ^cos ω t + B ^sin ω t )

로 놓아야 함을 알 수 있으므로, 식 (31)의 두 번째 항

t cos ω t

성분이 나타날 수 있다는 점이 설명된다.

스프링/질량 시스템의 변위가 실제로 식 (31)과 같이 기술된다면, 시스템은 필연적으로 고장나게 된다. 질량의 매우 큰 진동은 결국 스프링의 탄성 한계(elastic limit)를 넘어서게 할 수 있다. 실제 이 모델은 항상 존재하는 감쇠력의 지연 효과를 무시하므로 비현실적이다. 그러나 최소량의 감쇠 만으로도 순수 공진은 일어나지는 않는다 하더라도, 문제가 될 정도의 큰 변위는 발생 가능하다.

3.8.4. Series Circuit Analogue

 LRC-Series Circuit

많은 물리적 시스템들이 위에서 학습한 감쇠가 있는 강제 운동의 미방과 유사하게 기술된다.

전기회로도 그 중 하나가 될 수 있다. 그림 3.8.17의 LRC 직렬 전기 회로(LRC-series electrical circuit)에 흐르는 전류가 i(t)라면, 인덕터, 저항 및 커패시터 양단의 전압 강하는 그림 1.3.5와 같다. 키르히호프 제2법칙에 의하면 이 전압강하의 합은 회로에 인가된 전압 E(t)와 같다. 즉,

1 ( )

L di Ri q E t

dt + + C =

- 42 -

커패시터에 축적되는 전하 q(t)는 전류 i(t)와 i = dq/dt 로 관련되므로 위 식은 선형 2계 미방

2 2

1 ( )

d q dq

L R q E t

dt + dt + C =

⁽³⁴⁾

과 같이 기술된다.

만일 E(t) = 0 이면, 회로의 전기적 진동(electrical vibrations)이 자유(free)라고 한다. 보조방정식은 Lm² + Rm + 1/C = 0 이므로, R ≠ 0 일 때 R²− 4L/C의 부호에 따라 3가지 형태를 가진다. 즉 회로는

R²− 4L/C > 0 이면 과도감쇠(overdamped) R² − 4L/C = 0 이면 임계감쇠(critically damped)

R² − 4L/C < 0 이면 부족감쇠(underdamped)

라고 한다. 이 3가지 경우 식 (34)의 각 해에는

e

^{−Rt/ 2L}항이 들어 있어

t → ∞

면

q → 0

이다.

부족감쇠의 경우 q(0)=q0 이면, 커패시터의 전하들이 감소(decay)하면서 진동한다; 다시 말해

t → ∞

가 됨에 따라 충전과 방전을 반복한다.

E(t) = 0 이면서 R = 0 이면 회로는 감쇠되지 않으며 t가 무한히 커져도 전기적 진동은 0으로 접근 하지 않는다. 회로의 응답은 단순 조화(simple harmonic)라고 한다.

[Example 9]

L = 0.25 [H], R = 10 [Ω], C = 0.001 [F]의 LRC 직렬 회로의 커패시터에 초기 전하 q(0) = q0 [C]이 충전 되어 있다. 전압원 E(t) = 0 [V]이고 초기 전류 i(0) = 0 [A] 일 때 커패시터의 전하 q(t)를 구하라.

Sol. 회로 방정식은

2 2

1 10 1000 0

4

d q di

dt + dt + q =

^

d q

²₂

40 dq 4000 0 dt + dt + q =

제차미방이며, 풀면

q t ( ) = e

^−20t

( c

1

cos 60 t + c

2

sin 60 t )

이다. 초기조건을 적용하면

1 0

c = q

,

c

₂

= q

₀

/ 3

이다. 따라서 ₀ ²⁰

1

( ) cos 60 sin 60

3

q t = q e

⁻ t

   t + t   

^이다.

식 (23)을 이용하여 합성하면

^{( )}

⁰

¹⁰

²⁰

( ^{sin 60 1.249} )

3 q

t

q t = e

⁻

t +

^

전압원 E(t)가 회로에 연결되면 전기적 진동은 강제(forced)되었다고 한다.

R ≠ 0 인 경우 식 (34)의 상보함수 qc(t)는 과도해(transient solution)라 한다.

만일 E(t)가 주기적이거나 혹은 상수인 경우, 식 (34)의 특수해 qp(t)는 정상상태해(steady-state solution)라고 한다.

- 43 -

3.12. Solving Systems of Linear Equations

 Coupled Systems/Coupled DEs

2.9절에서 연립 미분방정식으로 표시되는 몇 가지 간단한 모델에 대해 알아보았다. 만일 물리적 시스템들이 결합(coupled)되면(예: 두 개 이상의 혼합 탱크, 두 개 이상의 스프링/질량 시스템 등) 연립 미분방정식으로 표시된다. 상수계수를 가지는 선형 시스템 문제는 풀이가 가능하다. 그 예로 여기서는 결합된 스프링/질량 시스템의 두 개의 질량의 수직 운동에 대한 수학적 모델을 유도해 본다.

 Coupled Spring/Mass System

그림 3.12.1과 같이 두 개의 질량이 스프링 상수 k1, k2를 가지는 두 개의 (질량을 무시할 수 있는) 스프링 A, B에 연결되어 있다고 가정하자. 평형점으로부터의 각 질량의 변위를 x1(t), x2(t)라 하자.

시스템이 운동하면 스프링 B는 인장(elongation)과 압축(compression)을 모두 받으므로 알짜 변위는 x2 − x1 이 된다. 그러므로 후크의 법칙에 의해 스프링 A, B 는 질량 m1에 각각 − k1x1 과 k2(x2 − x1)의 힘을 작용시킨다. 만일 시스템에 감쇠가 없고 외력이 없으면 질량 m1에 작용하는 알짜 힘은

− k1x1 + k2(x2 − x1)이다. 뉴튼의 제2법칙에 의해

( )

2 1

1 2 1 1 2 2 1

m d x k x k x x

dt = − + −

유사하게, 질량 m2에 작용하는 힘은 오롯이 스프링 B의 인장에 기인하며, 즉 −k2(x2 − x1) 이므로

( )

2 2

2 2 2 2 1

m d x k x x

dt = − −

다시 말해 결합된 시스템의 운동은 다음 연립 선형 2계미방으로 표시된다.

- 44 -

( )

( )

1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 1

'' ''

m x k x k x x

m x k x x

= − + −

= − −

⁽¹⁾

 Systematic Elimination

상수계수의 연립미방을 풀기 위한 체계적 소거(systematic elimination) 방법은 대수 연립방정식에서 변수 소거 방법에 기반한다. 미방을 미분연산자로 표현하고 이를 상수처럼 취급한다. 예를 들어

'' 2 ' '' 3 sin

' ' 4 2

^t

x x y x y t

x y x y e

⁻

+ + = + +

+ = − + +

의 경우 종속 변수들을 모두 한 쪽으로 모아준 다음 미분연산자를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

'' 2 ' '' 3 sin ' 4 ' 2

^t

x x x y y t

x x y y e

⁻

+ − + − =

+ + − =

^

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 1 3 sin

4 2

^t

D D x D y t

D x D y e

⁻

+ − + − =

+ + − =

 Solution of a System

연립미방의 해는 충분히 미분가능한 함수들의 집합

x = φ

₁

( ), ( ), ( ) t y = φ

₂

t z = φ

₃

t

처럼 표현되며 어떤 구간 I에서 시스템의 각 미방들을 만족한다.

 Method of Solution

간단한 연립 1계 미방들을 생각해 보자.

3 2 dx y dt dy x dt

=

=



3 0

2 0

Dx y x Dy

− =

− =

⁽²⁾

첫 식에 D를 곱하고 두번째 식에 -3을 곱하여 서로 더해주면 y가 소거된다. 즉,

2

3 0

6 3 0

D x Dy x Dy

− =

+ − + =

^

( ^D

²

^{− 6} ) ^{x = 0}

이는

D x

²

− 6 x = 0

이고

x '' 6 − x = 0

인 상수계수의 2계 미방과 같다. 특성방정식을 통해 해를 구하면

m = ± 6

이므로

x t ( ) = c e

₁ ^{− 6t}

+ c e

₂ ^{6t (3)}

같은 방식으로 첫 식에 2을 곱하고 두번째 식에 D를 곱해 빼주면

( ^D

²

^{− 6} ) ^{y = 0}

^{의 식이 얻어}

진다. x 와 같은 형태의 식이므로

y t ( ) = c e

₃ ^{− 6t}

+ c e

₄ ^{6t (4)}

(3)과 (4)의 해는 모든 임의의 c1, c2, c3, c4 선택에 대해 식 (2)의 연립미방을 만족시키지는 못한다.

- 45 -

연립미방 자체가 임의로 선택할 수 있는 상수의 개수에 제한을 주기 때문이다 (1계 미방 2개의 연립 형태이고, 1계 미방은 1패러미터 해의 족을 가지므로 총 상수의 개수는 2개가 되어야 함을 예측할 수 있다). 얻어진 x(t), y(t)를 연립미방 (2)의 첫번째 식에 대입해 보면

Dx − 3 y = 0

에서

( ) ( ) ( )

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 1 3 2 4

6 c e

^{− t}

6 c e

^t

3 c e

^{− t}

c e

^t

6 c 3 c e

^{− t}

6 c 3 c e

^t

0

− + − + = − − + − =

모든 t에 대해 0이어야 하므로

− 6 c

₁

− 3 c

₃

= 0, 6 c

₂

− 3 c

₄

= 0

 ₃

6

_{1 4}

6

₂

,

3 3

c = − c c = c

그러므로 연립미방의 해는

6 6

1 2

( )

^{t t}

,

x t = c e

⁻

+ c e

6

₁ ⁶

6

₂ ⁶

( ) 3 3

t t

y t = − c e

⁻

+ c e

와 같이 상수 2개로만 표현해야 한다.

 이 풀이와 같이 항상 변수 두 개를 각각 따로 소거하여 2개의 미방을 풀고 계수를 간략화하는 과정을 거칠 필요는 없다. y를 소거하여 식 (3)을 구하였으면, 식 (2)의 첫번째 식

3 0 1

3 3

Dx dx

Dx y y

− = → = = dt

이므로 여기에 대입하면

(

^{1 6 2 6}

)

^{1 6 2 6}

1 6 6

( ) 6 6

3 3 3

t t t t

y t = − c e

⁻

+ c e = − c e

⁻

+ c e

와 같이 y(t)를 바로 얻을 수도 있다.

[Example 2]

' 4 ''

2

' ' 0

x x y t

x x y

− + =

+ + =

의 연립미방을 풀어라.

Sol. 미분연산자를 이용해 표시하면

( )

( )

2 2

4

1 0

D x D y t

D x Dy

− + =

+ + =

이다. x를 소거하면

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

1 4 1 1

1 4 4 0

D D x D D y D t

D D x D D y

+ − + + = +

− + − + − =

^

^ _ ^D

²

( ^{D + − 1} ) ^{D D} ( ^{− 4} ) ^ _ ^{y =} ( ^{D + 1} ) ^t

²

따라서

( ^D

³

^{+ 4 D y} ) ^{= Dt}

²

^{+ = + t}

²

^t

²

^{2 t}

^

^{y ''' 4 ' + y = + t}

²

^{2 t}

의 비제차미방을 얻었다.

먼저 제차미방을 풀면 특성방정식으로부터

m = 0, 2 ± i

가 얻어지므로

1 2

cos 2

3

sin 2 y

c

= + c c t + c t

특수해를 얻기 위해 미정계수법을 적용하면

y

_p

= At

³

+ Bt

²

+ Ct

(상수 중복성 고려).

' 3

2

2 , '' 6 2 , ''' 6

p p p

y = At + Bt + C y = At + B y = A

이므로 미방에 대입하면

- 46 -

(

²

)

^{2 2}

''' 4 6 4 3 2 12 8 6 4 2

p p

y + y = A + At + Bt + C = At + Bt + A + C = + t t

따라서

1 1 1

, ,

12 4 8

A = B = C = −

그러므로 _{1 2 3}

1

³

1

²

1

cos 2 sin 2

12 4 8

y = + c c t + c t + t + t − t

이번에는 y를 소거한다.

( )

( )

2 2

2

4

1 0

D x D y t

D D x D y

− + =

− + + =

^

^ _ ( ^{D − − 4} ) ^{D D} ( ^{+ 1} ) ^ _ ^{x = t}

^{2 }

( ^D

²

^{+ 4} ) ^{x = − t}

²

특성방정식으로부터

x

_c

= c

₄

cos 2 t + c

₅

sin 2 t

이며, 특수해는

x

_p

= At

²

+ Bt + C

이다.

위와 같은 방식으로 일반해를 구하면 _{4 5}

1

²

1 cos 2 sin 2

4 8

x = c t + c t − t +

이 경우 총 5개 상수가 존재하는데, 주어진 연립미방은 x에 대해 1계, y에 대해 2계이다.

따라서 총 3개 상수로 표현되는 것이 정상이다. 이를 위해 얻어진 해를 주어진 식들 중 좀 더 간단한 두번째 식에 대입해 보면

x ' + + x y ' = 0

으로부터

( )

²

4 5 4 5 2 3

2

1 1 1

2 sin 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos

8 4 8

1 1 1

4 8 8 0

c t c t t c t c t t c t c t

t t

− + − + + − + − +

+ + − =

정리하면

( c

5

− 2 c

4

− 2 c

2

) sin 2 t + ( 2 c

5

+ + c

4

2 c

3

) cos 2 t = 0

따라서 4

(

2 3

)

5

(

2 3

)

1 1

4 2 , 2 4

5 5

c = − c + c c = c − c

이다. 그러므로 최종 해는

(

2 3

) (

2 3

)

²

1 1 1 1

( ) 4 2 cos 2 2 4 sin 2

5 5 4 8

x t = − c + c t + c − c t − t +

3 2

1 2 3

1 1 1

( ) cos 2 sin 2

12 4 8

y t = + c c t + c t + t + t − t

와 같이 총 3개의 상수로 표현해야 한다. 