보의 전단력 및 굽힘모멘트

보의 전단력 및 굽힘모멘트

(Shear Forces & Bending Moments)

금오공대 기계시스템공학과 오충석 ([email protected])

Contents

„

보 (Beams)

„

부호 약속 : 전단력과 굽힘 모멘트

„

전단력 선도 (SFD)와 굽힘 모멘트 선도(BMD)

„

절단법

(평형 해석법)

„ 3점 굽힘

„ 4점 굽힘

„ 외팔보(집중 하중)

„ 외팔보(분포하중)

7

부호 약속 (Sign Convention)

„

(+) V, (+) M

„ 가상 절단

„ 내부

(Internal)

„ 저항

(Resisting) (+) Shear Force

(+) Bending Moment

좌측 면 우측 면

전단력 선도와 굽힘 모멘트 선도

„

전단력 선도 (SFD; Shear Force Diagram)

„ 길이 방향 좌표 x의 함수로 나타낸 (횡 or 저항) 전단력 변화 선도

„ 최대 값 (V_max)과 최대 값이 생기는 위치 중요

„

굽힘 모멘트 선도 (BMD; Bending Moment Diagram)

„ 길이 방향 좌표 x의 함수로 나타낸 굽힘 모멘트 변화 선도

„ 최대 값 ( M_max)과 최대 값이 생기는 위치 중요

9

절단 법 (평형 해석법)

„

내부 힘과 모멘트 (Internal Forces/Moments)

„ 내부 힘(internal forces) = 내력

„ 내부 모멘트(internal moments)

„

절단 법 (Sectioning Method) 또는 평형 해석 법

1) 좌표 설정

2) 지지 부위 반력 결정

3) 관심 부위 가상 절단 by 自由物體刀 (천하의 보검) 4) 힘 & 모멘트 평형

5) 위치에 따른 전단력과 굽힘 모멘트 선도로 표시 6) 직관력을 이용한 검토

„

3점 굽힘 (3PB; 3 Point Bending)

1) 좌표 설정

2) 보에 대한 반력 결정

„ FBD

„ 평형 방정식

L 2L x F y

F

F/2 F/2

F

R_L R_R

L

13

3) 同種 하중 작용 구간으로 분할한 뒤 각각의 구간에 대해 FBD 그리고 평형 방정식 적용

„ 임의의 위치 x 가상 절단

„ 0 < x < L

„

L < x < 2L

F/2 x y

x

4

V M

F/2 x y

x

4

V M L F

4) V(x), M(x) 정리

„ 0 < x < L :

„

L < x < 2L :

5) x 좌표에 대해 V(x)와 M(x)를 선도로 표시

„ LD/SFD/BMD 그리기

„ 좌표, 최대 값 등

가능한 모든 정보 표시

„

V

„

M

„ 중앙이 가장 위험?

F

F/2 F/2

LD

F/2 -F/2 SFD

FL/2 BMD

M_max

L

16

„

4점 굽힘 (4PB; 4 point bending)

1) 좌표 설정

2) 보에 대한 반력 결정

„ FBD

„ 평형 방정식

L 4L x P y

P

P P

P P

R_L R_R

L P

P L

3) 同種 하중 작용 구간으로 분할한 뒤 각각의 구간에 대해 FBD 그리고 평형 방정식 적용 & 좌우 대칭

„ 임의의 위치 x 가상 절단

„ 0 < x < L

„

L < x < 2L

P

x y

x

4

V M

P

x y

x

4

V M L P

18

4) V(x), M(x) 정리

„ 0 < x < L :

„

L < x < 2L :

5) x 좌표에 대해 V(x)와 M(x)를 선도로 표시

„ LD/SFD/BMD 그리기

„ 좌표, 최대 값 등

가능한 모든 정보 표시

„

V

„

M

„ 중앙이 가장 위험?

P

P P

P LD

P -P SFD

PL BMD

M_max

2L

„

외팔보 (Cantilever): 집중 하중

1) 좌표 설정

2) 보에 대한 반력 결정

„ FBD

„ 평형 방정식

L x F y

L

F R

4

M_L

L

F F

4

FL

22

3) 同種 하중 작용 구간으로 분할한 뒤 각각의 구간에 대해 FBD 그리고 평형 방정식 적용

„ 임의의 위치 x 가상 절단

„ 0 < x < L: 단일 구간

4) V(x), M(x) 정리

F x y

x

4

V

4

5) x 좌표에 대해 V(x)와 M(x)를 선도로 표시

„ LD/SFD/BMD 그리기

„ 좌표, 최대 값 등 가능한 모든 정보 표시

„

V

„ |M_max| = FL at x = 0 6) 직관에 의한 검토

„ 지지 점이 가장 취약 ^F

SFD

BMD

F F

LD

FL

L x

y

4

25

„

외팔보 (Cantilever): 분포 하중

1) 좌표 설정

2) 보에 대한 반력 결정

„ FBD

„ 평형 방정식

x L

y w

L wL R

4

M_L L/2

4

w

x y

4

x V

4

wL²/2

3) 同種 하중 작용 구간으로 분할한 뒤 각각의 구간에 대해 FBD 그리고 평형 방정식 적용

„ 임의의 위치 x 가상 절단

„ 0 < x < L: 단일 구간 x y

4

V

4

wL x

27

4) V(x), M(x) 정리:

5) x 좌표에 대해 V(x)와 M(x)를 선도로 표시

„ LD/SFD/BMD 그리기

„ 좌표, 최대 값 등 가능한 모든 정보 표시

„

V

„ |M_max| = wL²/2 at x = 0 6) 직관에 의한 검토

„ 지지 점이 가장 취약

wL

-wL²/2 wL wL²/2

4

y

종합 문제

„

A, B 점에서의 반력

„

지지 점 A에서 우측으로 10 ft 지점의 내력

29

„

풀이 : 보의 자중 무시

„ 보 전체에 대한 FBD (CID)

„ 평형조건

3000 lb x

y 1800 lb·ft

A

4

6 3 3

R_A R_B

3000 lb

3 3

Length [ft] C

„

A 점에서 우측으로 10 ft인 지점(C 점)을 가상 절단

3000 lb x

y

1800 lb·ft A

4

6 3 1

2600 lb

M V

C Length [ft]

31

„ 평형 조건

Useful Tip

힘/모멘트 평형을 적용할 때 분포력은 등가 집중력으로 바꿔 생각하는 것이 유리함.

„

A 점에서 우측으로 10 ft인 지점(C 점)을 가상 절단

„ 평형 조건

„ Check

„ 절단 부의 좌측과 우측 어느 부분을 고려하나

x y

B

2 ft

3000 lb

3 ft 3 ft C

3400 lb M

V