경제수학 강의노트 14

경제수학 강의노트 14

^

등식제약하의 최적화: 라그랑지안 승수법(Lagrange-Multiplier method) Do-il Yoo^

PART IV: Optimization Problems 최적화 문제

Chapter 12: Optimization with Equality Constraints 등식제약하의 최적화

12.2. Finding the Stationary Values 정지값을 구하는 방법

 Lagrange-Multiplier Method 라그랑지안 승수법

- 제약하의 극값문제(a constrained-extremum problem)를 - 무제약하의 극값문제(the free-extremum problem)로 변형시켜 - 1계조건(FONC)을 그대로 적용시키는 방법

 

 

1 2

1 2

, , ,

1 2

max , , ,

s.t. , , ,

n

x x x n

n

f x x x

g x x x  k ^ L  f x x 

1

,

2

, , x

_n

    k  g x x 

1

,

2

, , x

_n

 

-

x x

₁

,

₂

, , x

_n:

∙ 선택변수(choice variables) -

f x x 

1

,

2

, , x

_n



:

∙ 목적식(objective function) -

g x x 

1

,

2

, , x

_n

  k

:

∙ 제약식(constraint);

∙ 이 경우 등식제약식(equality constraint) -



: 라그랑지 승수(Lagrange multiplier)

Note) 극대화(max)문제뿐만 아니라 극소화(min)도 마찬가지로 적용됨

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 ‘경제∙경영수학 길잡이’ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

<풀이방법>

i) 모든

x

로 미분

1 1 1 1

1

0

f g f g

x  

     

 L

2 2 2 2

2

0

f g f g

x  

     

 L

…

n n

0

n n

n

f g f g

x  

     

 L

ii) 모든



로 미분



1

,

2

, ,

_n

 0 

1

,

2

, ,

_n



k g x x x g x x x k



     

 L

Note) 라그랑지안

L

은

- 선택변수들과 라그랑지안승수의 함수 형태:

L  x

1

, , x

_n

,  

Note) 제약식이 여러 개 있을 때

 

 

 

 

1 2

1 2

, , , 1

1 2 1

2

1 2 2

1 2

max , , ,

s.t. , , , , , ,

, , ,

n

x x x n

n

n

n

n n

f x x x

g x x x k

g x x x k

g x x x k









     

 

 

 

 

1

1 2 1 1 1 2

2

2 2 1 2

1 2

, , , , , ,

, , , , , ,

n n

n n

n n n

f x x x k g x x x

k g x x x

k g x x x







  

 

  

L

<풀이방법>

i) 모든

x

로 미분

1 1 1 1

1

0

f g f g

x  

     

 L

2 2 2 2

2

0

f g f g

x  

     

 L

…

n n

0

n n

n

f g f g

x  

     

 L

ii) 모든



로 미분

   

1 1

1 1 2 1 2 1

1

, , ,

_n

0 , , ,

_n

k g x x x g x x x k



     

 L

   

2 2

2 1 2 1 2 2

2

, , ,

_n

0 , , ,

_n

k g x x x g x x x k



     

 L

…



1

,

2

, ,  0 

1

,

2

, , 

n n

n n n n

n

k g x x x g x x x k



     



L

 라그랑지 승수의 의미

° Shadow price(잠재가격)

*

d

*

dk L  

- optimal에서 제약식이 핚 단위 변핛 때 목적식이 얼마나 변하는가를 측정

° (유도) 1) 전미분으로 유도하며 2) optimal에서 행해지므로 FONC를 이용하고 3) 파라미터

k

가 외생변수로 취급됨(

k

를 변화시키는 것이므로)

 

   

       

 

1 1 1 2 1 1

1 1 1 1 2

1 , , , 1

, , ,

0 0 0 by FONC

n n n n n

n n n n

d f dx f dx d k g x x x dk g dx g dx

f g dx f g dx d k g x x x kd

kd

 

   



       

       

     

L

*

d

*

dk 

 L 

(at optimal)

P358~359) 예제 1 & 2

P362) 연습문제 12.2

12.3. Second-Order Conditions 2계조건

 Bordered-Hessian 유테헤시안

- 2계미분 행렬인 Hessian과 구분

∙ 유테; 테두리가 있다(有)는 의미

<Bordered-Hessian (determinant)>

1 2 1 2

1 11 11 12 12 1 1 1 11 12 1

2 21 21 22 22 2 2 2 21 22 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 11 11 12 12 1 1

2 21

0 0

0

n n

n n n

n n n

n n n n n nn nn n n n nn

n

n n

g g g g g g

g f g f g f g g

H g f g f g f g g

g f g f g f g g

g g g

g f g f g f g

g f

  

  

  

  

     

    

      

    

  

 

L L L

L L L

L L L

1 2

1 11 12 1

21 22 22 2 2 2 21 22 2

1 1 2 2 1 2

0 _n

n

n n n

n n n n n nn nn n n n nn

g g g

g

g f g f g g

g f g f g f g g

  

  

  

  

L L L

L L L

L L L

, where

1 2

2 1 11 12

2 21 22

0 g g

H g

g

 L L

L L

,

1 2 3

1 11 12 13

3

2 21 22 23

3 31 32 33

0 g g g

H g g g

 L L L

L L L

L L L

, …

Note) bordered-Hessian의 행렬식은

H

₂ 부터 정의됨에 유의

Note) FONC를 이용

1행)



와 관련된 1계미분 _

k g x x 

1

,

2

, , x

_n





   



L L

을 차례대로

 , , x x

_{1 2}

, , x

_n의 순서대

로 2계미분

2행)

x

₁과 관련된 1계미분 _{1 1 1}

1

f g

x 

   



L L

을 차례대로

 , , x x

_{1 2}

, , x

_n의 순서대로 2계미분

3행)

x

₂과 관련된 1계미분 _{2 2 2}

2

f g

x 

   



L L

을 차례대로

 , , x x

_{1 2}

, , x

_n의 순서대로 2계미분

…

1

n 

행)

x

_n과 관련된 1계미분 _{n n n}

n

f g

x 

   



L L

을 차례대로

 , , x x

_{1 2}

, , x

_n의 순서대로 2계 미분

Note2) 테두리(1행과 1열)에 -1을 곱해 주어도 행렬식은 변하지 않음

<Determinantal Test for Relative Extremum 상대적 극값에 대핚 행렬식검증법:



1

,

2

, ,

_n



y  f x x x

>

Condition Maximum w/o constraint Minimum w/o constraint First-order necessary

f

₁

 f

₂

  f

_n

 0 f

₁

 f

₂

  f

_n

 0



First-order necessary condition이 성립핛 때만



Second-order sufficient

H

₁

 0

(-)

2

0

H 

(+)

3

0

H 

(-)

…

   ¹

ⁿ

H

n

 ⁰

1

0

H 

(+)

2

0

H 

(+)

3

0

H 

(+)

…

n

0

H 

(+)

 d y

² is Negative Definite:

T

0 D HD 

 d y

² is Positive Definite:

T

0 D HD 

Strictly concave Strictly convex

<Determinantal Test for Relative Constrained Extremum 제약하 상대적 극값에 대핚 행렬식검증법:



1

,

2

, ,

_n



y  f x x x

s.t.

g x x 

1

,

2

, , x

_n

  k



^{L  f x x} 

¹

^,

²

^{, , x}

ⁿ

 ^{ }  ^{k  g x x} 

¹

^,

²

^{, , x}

ⁿ

 

^>

Condition Maximum w/ constraint Minimum w/ constraint First-order necessary

L = L

_{ 1}

 L

₂

  L

_n

 0 L = L

_{ 1}

 L

₂

  L

_n

 0



First-order necessary condition이 성립핛 때만



Second-order sufficient

2

0

H 

(+)

3

0

H 

(-)

4

0

H 

(+)

…

   ¹

ⁿ

H

n

 ⁰

2

0

H 

(-)

3

0

H 

(-)

4

0

H 

(-)

…

n

0

H 

(-)

 d y

² w/ constraint is Negative Definite:

T

0 D HD 

 d y

² w/ constraint is Positive Definite:

T

0 D HD 

Strictly concave Strictly convex

p367) 예제2~4

P370) 연습문제 12.3