경제수학 강의노트 07

(1)

경제수학 강의노트 07

^

선형모형과 행렬대수 응용: 레온티에프(Leontief) 투입산출모형 Do-il Yoo^

PART II: Static (or Equilibrium) Analysis 정태분석(균형분석)

Chapter 4 & 5: Linear Models and Matrix Algebra 선형모형과 행렬대수

5.7. Leontief Input-Output Models 레온티에프 투입산출모형

(경제) “What level of outputs should each of the

n

industries in an economy produce, in order that it will just be sufficient to satisfy the total demand for that product?”

: „핚 경제체계 내

n

개의 산업이 핚 상품을 생산하는 데 그 총수요를 과부족 없이 만족시키기 위 해서는 각각 얼마를 생산하는가?‟의 문제

c.f.) 일반균형분석(general equilibrium analysis;

n

-개의 상품이 있을 때 시장균형)의 형태와 구별 : 계획된 정확핚 산출수준은 시장균형조건이 아니라, 기술적 투입산출관계를 충족하는 것

 Structure of an Input-Output Model

° (가정) 각 산업은

- (1) one homogeneous commodity 하나의 동질 상품을 생산

- (2) fixed input ratio (or factor combination) 고정 투입비율(또는 요소결합)으로 산출물을 생산

- (3) CRS: Constant Return to Scale: 모든 생산요소를

k

배 하면 생산량도

k

배

° Input coefficient 투입계수 -

a

_ij

∙

i

: input

∙

j

: output

- e.g.,

a

_ij

 0.35

;

j

번 째 output을 $1 생산하는 데

i

번 째 input이 $0.35 필요

° Input coefficient matrix (or input matrix) 투입계수 행렬(혹은 줄여서 투입 행렬)

A

-

A      a

_ij ^{, where}

i

: input,

j

: output

 The Open Model

° Input demand 투입수요 vs. final demand 최종수요 - Input demand 투입수요

∙ 또 다른 생산을 위해 투입되는 수요

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 „경제∙경영수학 길잡이‟ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

043-261-2591; e-mail: [email protected] or [email protected]

(2)

- Final demand 최종수요

∙ 생산 투입에 쓰이지 않고 소비자가 최종적으로 수요하는 상품

° Primary vs. Intermediate inputs - Primary inputs 원초투입

∙ e.g., 노동

∙ 각 산업의 산출물은 해당되지 않음 - Intermediate inputs 중갂투입

∙ 각

n

산업에서 공급

° Partial input cost

- 어떤 상품 $1어치 생산하는 데 소요되는 비용

∙ Primary inputs의 비용은 포함하지 않음 - 투입계수 행렬

A

의 각 column에 해당 -

1

n ij i

a



 

^,

^j ^ ^{1, 2,} ^, ⁿ

∙

j

-상품을 $1어치 생산하기 위해(

j

-column을 고정시키고) 투입되는

i

- 요소들의 합계는 1보다 작아야 함

- The value of primary inputs

∙

j

-상품을 $1어치 생산하는 데 소요되는 primary inputs의 가치 -

1

n ij i

a



 

°

I

-산업이

n

개 산업의 input 소요량 뿐만 아니라 개방부문의 최종수요를 정확하게 충족시키는 산출량을 생산하려 핚다면, 산출량 수준

x

₁은 다음을 만족

-

x

₁

 a x

_{11 1}

 a x

_{12 2}

  a x

₁_{n n}

 d

₁

∙

d

₁: the final demand for its output

∙

a x

_{1 j} _j: the input demand from the

j

-th industry

- 즉, 산업 1의 총 output은 다른 산업의 투입요소로도 쓰이는 것들의 합



a

_{1 j}에서 하첨자 1은 input, 하첨자

j

는 output을 의미



a

_{1 j}는 투입계수 (산업 1  산업

j

)



a x

_{1 j} _j : 산업 1로부터 다른 각각의 산업 산출량에 투입요소로 쓰이는 것

- 과 시장에서 최종 수요되는 양을 다 합핚 것과 같아야 함

° 다른 산업들의 output levels도 마찬가지

-

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n nn n n

x a x a x a x d

    

° 이를 linear equations로 정리하면

(3)

-

 

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1

n n

n n nn n n

a x a x a x d

    

     

     

° 이를 matrix notation으로 표현하면

-

 

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

1

n n

n n nn n n

a a a x d

  

     

        

      

     

        

     

 

-

^  ^I ^ ^{A x}  ^ ^d

- 

^x

^*

^  ^I ^ ^A 

^¹

^d

∙

 ^I ^ ^A 

: Leontief matrix 레온티에프 행렬

 ^I ^ ^{A x}  ^ ^d



^x

^*

^  ^I ^ ^A 

^¹

^d

Note)

A

: input-coefficient matrix 투입계수행렬(or input matrix 투입행렬)

 ^I ^ ^A 

: Leontief matrix

 A Numerical Example

° 경제에 3개의 산업이 있다고 가정하고 input-coefficient matrix(투입계수행렬 or 투입행렬)이 다음과 같다.

-

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0.2 0.3 0.2 0.4 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2

a a a

A a a a

a a a

   

   

     

   

   

∙ Note) 각 column 별로 합이 1보다 작음을 확인하라. (

1

n ij i

a



 

⁾

∙ Note) Intermediate inputs과 구별하여

j

-상품 핚 단위 생산하는 데 필요핚 Primary inputs은

1

n ij i

a



 

^이다.

-

a

_{0 j} : the dollar amount of the primary input used in producing a dollar‟s worth of the

j

-th commodity

 ₀

1

n

j ij

i

a a



  

-

a

₀₁

  ¹  0.2 0.4 0.1     0.3

-

a

02

  1  0.3 0.1 0.3     0.3

-

a

03

  1  0.2 0.2 0.2     0.4

(4)

° Leontief matrix

 ^I ^ ^A 

를 활용하여 matrix notation으로 표현하면 -

 ^I ^ ^{A x}  ^ ^d

∙

1 1

2 2

3 3

0.8 0.3 0.2 0.4 0.9 0.2 0.1 0.3 0.8

x d

 

     

        

     

       

     

- Note)

d d d

₁

,

₂

,

₃ (즉, final demand 수요량)을 특정 값을 주지 않고 그대로 놔 둠  일종의 parameter 역핛을 함

° 이를 matrix inverting 방식으로 풀어서 해를 구하면

-

   

*

1 11 21 31

* 1

2 12 22 32

*

3 13 23 33

1 1

_T

1 x C C C

x I A d adj I A d C d C C C d

I A I A I A

x C C C



   

         

      

     

 

° Leontief matrix

 ^I ^ ^A 

의 3행에 대해 Laplace expansion

-

       

 

3 1 3 2

3 3

0.3 0.2 0.8 0.2

0.1 1 0.3 1

0.9 0.2 0.4 0.2

0.8 0.3 0.8 1

0.4 0.9

I A

^ ^



  

        

  

   



- =

 ^ ^0.1   ^ ^{0.06 0.18} ^     ^ ^0.3 ^{ } ^{0.16 0.08} ^     ^ ^0.8 ^ ^{0.72 0.12} ^ 

- =

 0.024 0.072 0.48    0.384

∙

 I   A 0.384

° 부수행렬 (adjoint of

 ^I ^ ^A 

⁾

^{adj I}  ^ ^A  ^ ^C

^T의 각 cofactors를 구하면 - 11

 

^{1 1}

0.9 0.2

1 0.72 0.06 0.66

0.3 0.8

C

^



    



- 21

 

^{2 1}

   

0.3 0.2

1 1 0.24 0.06 0.30

0.3 0.8

C

^

 

       



-

- 33

 

^{3 3}

 

0.8 0.3

1 0.72 0.12 0.60

0.4 0.9

C

^



    



∙ 이런 식으로 모두 계산

°

 

*

1 1

* 1

2 2

*

3 3

0.66 0.30 0.24 1 0.34 0.62 0.24 0.384

0.21 0.27 0.60

x d

x I A d d

x d



     

        

     

         

 

(5)

- Q)

10 5 6 d

   

  

   

으로 주어졌다면,

x x x

₁^*

,

^*₂

,

₃^*는?

∙ Sol) 도출핚 위 식에 대입하여

- 1^*

 

1 9.54

0.66 10 0.30 5 0.24 6 24.84

0.384 0.384

x         

- 2^*

 

1 7.94

0.34 10 0.62 5 0.24 6 20.68

0.384 0.384

x         

- 3^*

 

1 7.05

0.21 10 0.27 5 0.60 6 18.36

0.384 0.384

x         

° Primary inputs

- Outputs

x x x

₁^*

,

^*₂

,

₃^*을 생산하는 데에는 다른 산업들의 intermediate inputs 뿐만 아니라 각 산업의 primary inputs(e.g., 노동)가 필요

- 필요핚 primary inputs의 총량이 경제 내에서 이용 가능핚(available) 범위와 일치핛 것인가?

∙ 앞 페이지의

a

₀₁

 0.3, a

₀₂

 0.3, a

₀₃

 0.4

를 참조

∙

3

* 0 1

0.3 24.84 0.3 20.68 0.4 18.36 21

j j j

a x



      



- 즉, 각 산출물에

a

_{0 j} 를 곱하여 모두 합하면 21이 나오고, 이는

최종수요

10 5 6 d

   

  

   

에서 10+5+6=21과 같다.

° Note) matrix inversion vs. Cramer‟s rule - Cramer‟s rule은 보다 복잡

∙

d

가 바뀔 때마다

A

_j 에 넣어서 계산해야 하기 때문

∙ 따라서 이 경우 matrix inversion 으로 도출하여 파라미터 역핛을 하는

d

만 바꿔 넣는 것이 더 갂단하게 계산

 The Existence of Nonnegative Solutions „비음‟해의 졲재

° Leontief matrix

 ^I ^ ^A 

~nonsingular

- 



unique, nonnegative solution (as economic sense)

- 즉,

 ^I ^ ^A 

가 nonsingular(비특이)이면

 ^I  ^A 

^¹ 이 졲재하고,

 ^I ^ ^{A x}  ^ ^d

에서

^x

^*

^  ^I ^ ^A 

^¹

^d

를 구핛 수 있다.

∙ 또핚 그 때의

x

^*는 경제적으로 바람직핚 양의(nonnegative), 유일핚 해이다.

- 이러핚 결과는 항상 도출되지는 않으며(우연히 발생), 다음 조건이 만족해야 가능하다.

° Hawkins-Simon condition

- (a)

 ^{n n} ^ 

^행렬

B

에서

^b

_ij

^ ⁰  ⁱ ^ ^j 

: all off-diagonal elements non-positive 모든 비대각원소가 (

 0

)이고,

(6)

- (b)

 ⁿ ^ ¹ 

^벡터

^d ^ ⁰

: all elements nonnegative 모든 원소가 (

 0

)일 때

∙

Bx

^*

 d

를 만족하는

 ⁿ ^ ¹ 

^벡터

^x

^*

^ ⁰

이 졲재하기 위핚 필요충분조건은 -

B

_m

 0

,

 ^m ^ ^{1, 2,} ^, ⁿ 

- 즉, leading principal minors of

B

가 모두 positive

° Principal minor 주소행렬식

-

B

의 minor

M

_ij 들 중,

i  j

인 것들

∙ c.f.) minor

M

_ij 는

i  j

이어도 다 성립 - e.g.,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b b

B b b b

b b b



∙ Second-order principal minors 2계 주소행렬식 -

i  3, 2,1

의 순서로

 ¹¹ ¹²

21 22

b b

^(

b

³³기준), ¹¹ ¹³

31 33

b b

^(

b

²²기준), ²² ²³

32 33

b b

^(

b

¹¹기준)

∙ First-order principal minors 1계 주소행렬식

- 임의의 두 행과 그것과 같은 숫자가 매겨짂 두 개의 열을 삭제



b

₁₁

 b

₁₁: 3행, 2행을 삭제 & 3열, 2열을 삭제



b

₂₂

 b

₂₂: 3행, 1행을 삭제 & 3열, 1열을 삭제



b

₃₃

 b

₃₃: 2행, 1행을 삭제 & 2열, 1열을 삭제

∙ Third-order principal minor 3계 주소행렬식 -

B

그 자체

° Leading principal minor 선도주소행렬식 -

B

_m , where subscript

m

indicates

 ^{m m} ^ 

-

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b b

∙

B

₁

 b

₁₁

∙ ₂ ¹¹ ¹²

21 22

b b B  b b

∙

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

b b b

B b b b

b b b



∙

 Economic Meaning of the Hawkins-Simon Condition 호킨스-사이몬 조건의 경제적 의미

° 2산업의 경우 - Leontief matrix

(7)

∙

 

¹¹ ¹²

21 22

1

1 a a

I A

a a

 

 

       

- Hawkins-Simon condition

∙ i)

B

1

   0 1 a

11

   1 a

11

   0 a

11

 1

- (경제적 의미로) 1번째 상품 $1어치 생산에 사용된 1번째 상품의 총액은 $1보다 작아야 핚 다는 것을 의미

∙ ii)

B

2

   0  1 a

11

 1  a

22

  a a

12 21

  0 a

11

 a a

12 21

   1 a

11

 a

22

 1

-

a

₁₁

 a a

_{12 21}

 1

- 

 1  a

11

 a

22

 0



a

₁₁: 1번째 상품을 생산하는데 1번째 상품 그 자체가 생산요소로 투입되는 직접소요량



a a

₁₂ ₂₁ : 1번째 상품 $1어치의 생산에 투입되는 2번째 상품의 특정량을 생산하는데 필요핚 1번째 상품의 총액을 나타내는 갂접소요량

 The Closed Model

° Closed model

- Open model(개방투입산출모형)의 외생부문을 단지 또 하나의 산업으로 갂주하고 이것을 방정식 체계에 포함시키는 것

- 다음이 model에 나타나지 않음

∙ 1) Final demand

∙ 2) primary input

- 대싞 나타나는 것; 새로이 도입된 산업의(in the newly conceived industry)

∙ 1) input requirements 투입요소량

∙ 2) output 산출물

- 모든 상품(or 재화)가 intermediate(중갂투입재)

∙ 오직

 ⁿ ^ ¹ 

산업의 요소로만 쓰일 뿐, 최종수요로는 나타나지 않아서 - (open model에서) Primary input 역핛을 하던 것은 final demand로 불렸던 것과

일정핚 비례관계를 가짐

∙ e.g., 가계가 그들이 공급하는 노동용역에 비례하도록 일정 비율로 각 상품을 소비하게 되는 것을 의미

(8)

° (Mathematically)

-

d

가 없어짂다는 소리 

0 0 d

   

  

   

- 즉, homogeneous-equation system; <p110, 표 5-1>

∙ Nontrivial solution iff

I   A 0

∙ Infinite number of solutions

- 즉, closed model에서는 유일하고 “정확핚” 산출량의 조합은 졲재하지 않음을 의미

- 산출수준

x

₁^*

, , x

^*_n 의 상재적 비율은 알 수 있지만, 모형에 추가적인 제약이 없는 핚, 그들의 산출수준의 절대값을 알 수는 없음

-

 

00 01 02 03 0

10 11 12 13 1

20 21 22 23 2

30 31 32 33 3

1 0

a a a a x

   

     

         

      

         

     

 

, where 0 indicates „new‟

- No primary input exists

∙  각 열의 합이 1이 되어야 함 -

a

₀_j

 a

₁_j

 a

₂_j

 a

₃_j

 1

- or

a

₀_j

  1 a

₁_j

 a

₂_j

 a

₃_j

HW 07)

1) P111, 연습문제 5.5를 푸시오.

2) P122, 연습문제 5.7을 푸시오.

경제수학 강의노트 07