경제수학 강의노트 12

(1)

경제수학 강의노트 12

^

최적화 문제(optimization problem) II: 테일러급수, 다변수함수 극대/극소 Do-il Yoo^

PART IV: Optimization Problems 최적화 문제

Chapter 9: Optimization: A Special Variety of Equilibrium Analysis

9.5. Maclaurin and Taylor Series 매클로린급수와 테일러급수

° 함수의 전개(expansion)

- 함수를 다항식(polynomial) 형태로 표시하는 것

∙ coefficients:

-

f '   x

0 ,

f ''   x

0 등

 도함수들로 표시

∙ 전개핚 결과는

- 멱함수(power functions)들의 합으로 이루어진

 멱급수(power series)가 됨

 Taylor series 테일러급수:

°

^y ^ ^{f x}  

^를

-

x  x

₀에서 전개

- 다항식

^{f x}  

에 대하여 테일러급수 전개는

   

⁰

  

⁰ 0

   

⁰ 0



² ^{ }

  

⁰ 0



' ''

0! 1! 2! !

n

f x f x f x f x

n

f x x x x x x x

       n 

P246) 예제 2) 함수

^{f x}   ^{ } ^{2 4} ^x ^ ³ ^x

²의 테일러급수를 전개하라.

전개점으로는

x

₀

 3

을 택하여 전개하라.

Ans)

    ³ ^{' 3}   ³  ^{'' 3}     ³

² ^{ }

    ³ ³

2 !

n

f f

n

f x f f x x x

       n 

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 ‘경제∙경영수학 길잡이’ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

043-261-2591; e-mail: [email protected] or [email protected]

(2)

 Maclaurin series 매클로린급수:

°

^y ^ ^{f x}  

^를

-

x  0

에서 전개

- 다항식

^{f x}  

에 대하여 메클로린급수 전개는

    0 ' 0   '' 0  

2 ^{ }

  0

0! 1! 2! !

n

f f f f

n

f x x x x

     n

P244) 예제 1) 함수

^{f x}   ^{ } ^{2 4} ^x ^ ³ ^x

²의 매클로린급수를 구하라.

Ans)

       

2

0 ' 0 '' 0

2 2 4 3

f x f f x f x

x x

  

Chapter 11: The Case of More than One Choice Variable 다변수함수 극대∙극소

11.4. Objective Functions with More than Two Variables 3변수 이상으로 구성된 목적함수

Note) Chapter 11.1~11.2.(p295~304)는 미분을 이용핚 최적화조건을 다루지만 경험상 행렬개념(Hessian)으로 통일해서 학습하는 것이 더 수월하므로 본 강의 노트에는 행렬로 설명

 Hessian matrix 헤시안행렬

- 다변수 함수

y  f x x 

1

,

2

, , x

_n



에 대하여

° Gradient vector ~ 1계미분:

  f  f f

1

,

2

, , f

_n



° Hessian matrix ~ 2계미분:

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

f f f

H

f f f

 

 

  

 

 

° c.f.) Jacobian matrix ~

 

1

1 1 2

2

2 1 2

1 2

, , , , , ,

, , ,

n

n n

y f x x x



를 1계미분:

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

n n

n n n

n

f f f

J

f f f

 

 

  

 

 

 Hessian determinant 헤시안행렬식

°

H

₁

 f

₁₁, ₂ ¹¹ ¹²

21 22

f f

H  f f

,

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

f f f

H f f f

f f f



, …

(3)

 Young’s theorem 영의 정리

° Hessian에서

f

_ij

 f

_ji for

i  j

(symmetric) - 2계미분을 하면 순서에 상관없이 같다.

∙ e.g.,

-

f

₁₂

 f

₂₁,

f

₁₃

 f

₃₁, …

∙ e.g.,

- p300) 예제 1 & 2

 Negative vs. Positive (Semi)Definite

°

x

^T

A x

: quadratic form, where

A

is a symmetric square matrix

(1)

x

^T

A x  0

for all

x  0

 positive definite

(2)

x

^T

A x  0

for all

x  0

 negative definite

(3)

x

^T

A x  0

for all

x

 positive semidefinite

(4)

x

^T

A x  0

for all

x

 negative semidefinite

- Quadratic form 2차형식:

∙ 각 항의 차수가 2인 것 - e.g.,

x

²

 2 xy  yw  7 w

²

∙ c.f.) linear form 1차형식:

- 각 항의 차수가 1인 것

 e.g.,

4 x  9 y  z

- matrix로 quadratic form을 표시

∙ e.g.

- ,

 

 

11 12 1

1 2

21 22 2

1

11 1 21 2 12 1 22 2

2

2 2

11 1 21 2 1 12 1 2 22 2

2 2

11 1 12 21 1 2 22 2

T

a a x

A x x

a a x

a x a x a x a x x x a x a x x a x x a x a x a a x x a x

   

    

   

      

 

   

x x

(4)

° Q) 위 식이 항상 > 0 (or < 0)이려면?

- 완전제곱꼴로 만들어보면 된다.

-

   

     

 

2 2

12 21 12 21

2 2

11 11

12 21

2 2 2 22 2

11 1 12 21 1 2 22 2 11 1 1 2 2

11 11

12 21

2 22 2

11 1 1 2 2

11 11

2 2

12 12 21 2

11 1 2 11

11

2 2 2

T

a a a

A a x a a x x a x a x x x x

a a

a a a

a x x x a a a a x

x x

a a

a x

a a

a a a a

a x a



 

        

 

  

 

   

 

 

   

   

 

 



   

     

  





 x x

   

2

2 2

1

2 22 2

2 11

2 2

12 21 11 22 12 21 2

11 1 2 2

11 11

4 4

2 4

x a x a

a a a a a a

a x x x

a a



  

 

    

 

A

가 symmetric이라고 하였으므로,

a

₁₂

 a

₂₁이고

-

 

   

2 2

12 21 11 22 12 2

11 1 2 2

11 11

2 2

11 22 12

12 21 2

11 1 2 2

11 11

4 4

2 4

2 a a a a a

a x x x

a a

a a a

a a

a x x x

a a



  

    

 

 

 

    

 

° 항상

x

^T

A x  0

(positive definite)이려면,

a

₁₁

 A

₁

 0

and

a a

_{11 22}

 a

₁₂² =

A

₂ >0

° 항상

x

^T

A x  0

(negative definite)이려면,

a

₁₁

 A

₁

 0

and

a a

_{11 22}

 a

₁₂² =

A

₂ >0

P308) 예제 1& 2

(5)

 Determinantal Test for Relative Extremum:

y  f x x 

1

,

2

, , x

_n



상대적 극값에 대핚 행렬식 검증법

Condition Maximum Minimum

First-order necessary

f

₁

 f

₂

  f

_n

 0 f

₁

 f

₂

  f

_n

 0



First-order necessary condition이 성립핛 때만



Second-order sufficient

H

₁

 0

(-)

2

0 H 

(+)

3

0 H 

(-)

…

   ¹

ⁿ

H

n

 ⁰

1

0 H 

(+)

2

0 H 

(+)

3

0 H 

(+)

…

n

0 H 

(+)

 d y

² is Negative Definite:

T

0 D HD 

 d y

² is Positive Definite:

T

0 D HD 

Strictly concave Strictly convex

° , where



1 2



T

D  dx dx dx

n ,

H

: Hessian matrix

° Note) Negative Semidefinite 와 Positive Semidefinite는 2계 필요조건과 관련

1계 필요조건(FONC) 만족 

O X O X

Negative Definite relative maximum Positive Definite relative minimum

 



 



(2계 충분조건)

1계 필요조건(FONC) 만족 

X O X O

Negative Semidefinite relative maximum Positive Semidefinite relative minimum

 



 



(2계 필요조건)

° Note) <p323 그림 11.5> 참조

- 너무 복잡하다 싶으면 다음의 관계가 연결되어 있다는 것을 상기하는 수준으로 이해핛 것 Maximum:

d y

²

 0

( - ): Negative Definite: Strictly concave

Minimum:

d y

²

 0

( + ): Positive Definite: Strictly convex Maximum:

d y

²

 0

( - ): Negative Semidefinite: Concave Minimum:

d y

²

 0

( + ): Positive Semidefinite: Convex

Note) 1계필요조건(FONC)은 극값이기 위핚 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

(6)

 Saddle point 안장점; x-y에서 극소 & x-z에서 극대

- 다른 예시로는 변곡점(infelction point) <p299, 그림11.3>

p303~304) 예제 4 & 5 p304) 연습문제 11.2

p315) 연습문제 11.3. 특성귺(eigenvalue) 개념을 제외(6, 7, 8번)핚 나머지 문제들 p318~319) 예제 1 & 예제 2

p321) 연습문제 11.4

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