경제수학 강의노트 04

(1)

경제수학 강의노트 04

^

선형대수(linear algebra): 선형모형, 벡터와 행렬(행렬의 종류, 행렬연산) Do-il Yoo^

PART II: Static (or Equilibrium) Analysis 정태분석(균형분석)

Chapter 4 & 5: Linear Models and Matrix Algebra 선형모형과 행렬대수

 Matrix algebra

° Large system simultaneous equations

- e.g., 2-commodities general equilibrium in the previous chapter

° Matrix algebra provides

- A compact way of writing an equation system

- A way of testing the existence of a solution by evaluation of a determinant - A method of finding that solution (if it exists)

∙ Application to - Static analysis

- Comparative static analysis - Dynamic analysis

- Optimization problems

 Note) applicable only to linear-equation systems - c.f.) non-linear  linear

∙

y  ax

ⁿ 

ln y  ln a  n ln x

4.1. Matrices and Vectors 행렬과 벡터

 Simultaneous equations and matrices 연립방정식을 행렬로 표시

° e.g., 2-commodity market model - ^{1 1} ² ² ⁰

1 1 2 2 0

c P c P c

P P

  

  

^

1 2 1 0

0

1 2 2

c

c c P

P 

 

  

   

  

    

     

∙ , where

c

_i

  a

_i

b

_i



_i

  

_i



_i,

i  0,1, 2

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 „경제∙경영수학 길잡이‟ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

043-261-2591; e-mail: scydl8@gmail.com or d1yoo@chungbuk.ac.kr

(2)

 Matrices as Arrays 배열로써의 행렬

°

m

-linear equations;

m

개의 선형 방정식,

n

-

x

variables;

n

개의 변수

x

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

n n

m m mn n m

a x a x a x d a x a x a x d

a x a x a x d

   

 Ax   d

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

n n

m m mn n m

a a a x d

     

     

      

     

     

° Matrix 행렬

- 상수, 파라미터, 변수 등을 직사각형으로 배열(array)핚 것

∙

11 12 1

21 22 2

1 2

...

n n

m m mn

a a a

A

a a a

 

 

  

 

 

,

1 2

n

x x x

x

   

  

   

 

,

1 2

m

d d d

d

   

  

   

 

-

A

: 파라미타 array ;

x

: 변수 array;

d

: 상수 array

∙ 배열(array)

A

,

x

,

d

는 모두 행렬(matrix)를 구성

∙ ※ 배열(array)는 명칭에 크게 상관핛 필요 없음. 모두 matrix라고 봐도 무방 - Elements 원소: 배열 or 행렬을 구성하는 요소

- Coefficient matrix 계수 행렬(or 파라미터 행렬)

∙

A      a

_ij 로 표시하기도 함

- ,

i  1, 2,..., m

and

j  1, 2,..., n

 Vectors as Special Matrices 특수핚 행렬로써의 벡터

° Dimension 차원: 행렬의 행(row)과 열(column)의 수로 구성 - e.g.,

A

 dimension

m n 

(“

m

by

n

”) matrix; 행



열

° Square matrix 정방행렬;

m  n

- e.g.,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

 

 

  

 

 

,

m   n 3

; 3



3 정방행렬

° Column vector 열벡터

- e.g.,

1 2

n

x x x

x

   

  

   

 

,

n 

1 열벡터

° Row vector 행벡터

- e.g.,

x '   x

1

x

2

x

_n



, 1

 n

행벡터

(3)

4.2. Matrix Operations 행렬연산

 Addition and Subtraction of Matrices 덧셈∙뺄셈

°

A B 

- e.g.,

4 9 2 0 4 2 9 0 6 9

2 1 0 7 2 0 1 7 2 8

 

       

  

         

       

°

A B 

- e.g.,

19 3 6 8 19 6 3 8 13 5

2 0 1 3 2 1 0 3 1 3

  

       

  

          

       

 Scalar Multiplication 스칼라 곱셈

°

k A 

, where

k

is a scalar

- e.g.,

³ ¹ ^{7 3 7}   ¹ ²¹ ⁷

7 0 5 7 0 7 5 0 35

      

   

   

     

     

 Multiplication of Matrices 곱셈

°

A

~

 ^{m n} ^ 

^,

^B

^~

 ^{p q} ^ 

^

^AB

- 정의 되려면

A

의 열(

n

)과

B

의 행(

p

)이 같아야 함!;

n  p

- 그 때

AB

의 dimension은

 ^{m q} ^ 

∙ e.g.,

a b c x ax by cz d e f y dx ey fz

z

   

      

       

       

;

 ^{2 3} ^{    }   ^{3 1}   ^{2 1} 

° Inner product 벡터의 내적

-

u v  u v

_{1 1}

 u v

_{2 2}

  ... u v

_{n n}, where

u   u u

1

,

2

,..., u

_n



and

v   v v

1

,

2

,..., v

_n



 The Question of Division 나눗셈 문제

°

A B /

는 졲재하지 않음

- 행렬에서는 나눗셈이 정의되지 않는다.

∙ 대싞, inverse matrix(역행렬)

AB

^¹ 혹은

B A

^¹ 개념이 사용

 The



Notation 시그마

° ₁ ₂

1

...

n

j n

j

x x x x



   



-

j

: summation index -

x

_j: summand

° 행렬곱은 시그마(



)로도 표현 가능 - e.g., ¹¹ ¹²

21 22

a a

A a a

 

  

 

^,

11 12

21 22

b b

B b b

 

  

 

^,

∙

C  AB 

¹¹ ¹² ^{11 11} ^{12 21} ^{11 12} ^{12 22}

21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

c c a b a b a b a b c c a b a b a b a b

 

   

      

   

-

2

11 11 11 12 21 1 1

1 k k k

c a b a b a b



   

- Q)

c

₁₂와

c

₁₃을 시그마 기호를 써서 나타내 보시오.

(4)

4.3. Notes on Vector Operations

 Multiplication of Vectors 벡터 곱셈

° 본질적으로 행렬 곱셈과 같음 - e.g., column vector

3 u   2

  

 

, row vector

^v ^' ^  ^{1 4 5} 

∙

^' ³  ^{1 4 5}  ^{3 1 3 4} ^{3 5} ^{3 12 15}

2 2 1 2 4 2 5 2 8 10

uv         

                 

° Transpose (행과 열을 바꾸는 것)에 주의 - e.g.,

^u ^' ^  ^{3 4} 

^,

⁹

v   7

  

 

-

^'  ^{3 4}  ⁹  ^{3 9 4 7}    ⁵⁵

u v   7

       

 

^;

  ^{1 1} ^

벡터이기도 하고 scalar이기도 함

° ₁² ₂² ² ²

1

' ...

n

n j

j

u u u u u u



     

- e.g.,

^u ^' ^  ^{3 6 9} 

∙

^'  ^{3 6 9 6}  ³ ³

²

⁶

²

⁹

²

9 u u

     

       

   

 Geometric Interpretation of Vector Operations 벡터 연산의 기하학적인 해석

°

n

-tuple (

n

-중 순서쌍)

-

3 u   2

  

 

^or

^u ^' ^  ^{3 2} 

^는

^x ^ ^y

좌표에서 (3,2)를 나타냄

° Radius vector 반지름 벡터; “방향” 개념까지 포함

- (0,0)에서 (3,2)로 화살표를 그었을 때 이 역시 동일핚 벡터를 나타냄 Note)

3 u   2

  

   ^u ^' ^  ^{3 2}  ^

좌표상의 점 (3,2)



radius vector((0,0)에서 그어짂 화살표) - ※ P64, <그림 4.2>

° (a) the scalar multiplication of a vector 스칼라 곱셈 - ※ P64, <그림 4.2> (a)

-

3 u   2

  

 

^,

3 6

2 2

2 4

u    

     

   

^,

0 0

u   0

  

 

^,

1 3

u    2

       

∙ 좌표상에서 각각 원점으로부터 점(3,2), (6,4), (0,0), (-3,-2)까지 그은 화살표 -

k u 

에서



k  1

: 원래 화살표



k  0

: null vector 원점



0   k 1

: scale down 짧아짐



k  1

: scale up 길어짐



k  0

: 음수인 경우 원점을 기준으로 반대방향(3사분면); 그림(b)

(5)

° (b) the addition and subtraction of vectors 덧셈



뺄셈 - 평행사변형(parallelogram)의 대각선(diagonal)

∙ e.g.,

3 u   2

  

 

^,

1 v   4

  

 

-

4 v u   6

   

 

; ※ P64, <그림 4.2> (c)

-

2 v u    2

   

 

; ※ P64, <그림 4.2> (d)

° (c) the linear combination of vectors 선형결합

- _{1 1} _{2 2}

1 n

i i n n

i

k v k v k v k v



   



∙ 스칼라 곱셈과 덧셈∙뺄셈으로 이루어짐

∙ e.g.,

1 3 9

3 2 3 2

4 2 16

v u      

         

     

 Linear Dependence 선형 종속

° (1) Linearly dependent 선형종속



벡터들의 집합

v

₁

,..., v

_n에서 벡터 중 핚 벡터가 나머지 벡터들의 linear combination으로 표시될 수 있을 때

- c.f.) Linearly independent 선형독립; 그렇지 않은 경우 - e.g., ₁

2 v   7

  

 

^, ²

1 v   8

  

 

^, ³

4 v   5

  

 

∙ Q)

v

₁,

v

₂,

v

₃는 선형종속인가, 아니면 선형독립인가?

- Ans) 선형종속

 ₁ ₂

2 1 6 2 4

₃

3 2 3 2

7 8 21 16 5

v v          v

                      

- 핚 벡터

v

₃가 나머지 벡터들

v

₁과

v

₂의

linear combination(선형결합)으로 표시될 수 있으므로 선형종속

° (2) Null vector 영벡터를 사용핚 정의 - (필요충분조건) 선형종속



 ¹

1

0

n

i i m

i

k v





 

을 만족하는 scalar

k

₁

,..., k

_n (모두 0은 아니다)가 졲재핚다.

∙ c.f.) 선형독립: 모든

i

에 대하여

k

_i

 0

일 때 - e.g.,

1 v   4

  

 

^,

3 u   2

  

 

^ ¹ ² ¹ ²

1 3

4 2 0 k v k u k   k  

       

   

 이걸 만족하는 경우는

k

₁=0 &

k

₂

 0

밖에 없다.

- 

 v

와

u

는 선형독립

(6)

° (3) Geometrically 기하학적 해석

- 1) 2차원 평면에 두 직선(두 벡터)이 있는 경우

∙ 핚 직선 상에 있으면 선형종속: e.g., 그림 4.2- (a), (b)

∙ 아니면 선형독립: e.g., 그림 4-2 (c)의

v

와

u

- 2) 2차원 평면에 세 개 이상의 직선(벡터)이 있는 경우

∙ 일단 두 직선(벡터)이 선형독립이 확실하면

- 그 두 직선 사이에 만들어지는 다른 벡터는 선형종속

 즉, 3개 이상 있으면, 두 개는 선형독립일 수 있지만, 3개는 서로 선형종속이다. (두 벡터 사이의 linear combination)

 두 직선을 토대로 무수히 많은 선을 그릴 수 있음(무핚대) - 그림 4.2 (c)

v u 

(d)

v u 

° Note) 벡터들의 집합

v

₁

,..., v

_n은 ~핛 때 “선형종속”(or “선형독립”)이다.

구분 Linearly dependent 선형종속 Linearly independent 선형독립 Definition 벡터들의 집합

v

₁

,..., v

_n에서 벡터 중 핚

벡터가 나머지 벡터들의 linear combination으로 표시될 수 있을 때

그렇지 않은 경우

Null vector

영벡터

^  ^k

₁

^,..., ^k

_n



^s.t. _ _

1 1

0

n

i i m

i

k v





 

^{, where}

 k

1

,..., k

_n



not all zero

 ^k

₁

^,..., ^k

_n





s.t.

 ¹

1

0

n

i i m

i

k v





 

^{, where}

i

0 k 

for

  i 1, 2,..., n

Geometrically 기하학적으로

1) 두 직선이 핚 직선 상에 있는 경우 2) 세 개 이상의 직선이 있는 경우

두 직선이 핚 직선 상에 있지 않은 경우

 Vector Space 벡터 공갂

° 2차원 벡터공갂 ²

- “2개의 독립인 벡터

u

와

v

는 2차원 공갂을 생성(span)핚다. “

∙ 독립(independent)인 두 벡터

u

와

v

사이의 무수핚 linear combination들은 2차원(2-dimensional)의 벡터 공갂(vector space)를 형성핚다.

- 하나의 벡터로는 형성 못함; 핚 개의 벡터로 형성하는 linear combination은 핚 직선 상에 놓임; 공갂이라고 핛 수 없음

- 두 개를 초과핚 벡터도 형성 못함; 3개째부터 벡터들은 종속이 되어버림 - Basis 기저

∙ “그 두 벡터는 2차원 공갂에 대핚 하나의 기저(basis)를 이룬다.”

- Unit vectors 단위벡터

 ^{1 0} 

^&

 ^{0 1} 

- 각각 수평선과 수직선에 놓임

- 두 개가 independent(독립)이므로 2차원 벡터 공갂을 생성(span)하고 기저(basis) 역핛을 함

 수직선과 수평선 자체는 이 단위벡터들의 linear combination

(7)

° 3차원 벡터공갂 ³

- Unit vectors 단위벡터 ₁ ₂ ₃

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e

     

     

        

     

     

∙ 세 단위벡터들은 서로 linearly independent(선형독립)

∙ 이들의 linear combination은 3차원 벡터공갂(vector space)를 형성

- e.g.,

1 2 2

   

   

 



e

₁

 2 e

₂

 3 e

₃

- 기하학

∙ ※ P67, <그림 4.3>

°

n

차원 벡터공갂 ⁿ; Euclidean

n

-space (

n

차원 유클리드 공간) - 그림은 그릴 수 없지만, 위 2차원, 3차원과 같은 개념

° Distance function 거리함수 - 3가지 성질

∙ i)

^{d u v}   ^, ^ ⁰

^for

^u  ^v

∙ ii)

^{d u v}   ^, ^ ^{d v u}   ^, ^ ⁰

^for

^u ^ ^v

∙ iii)

^{d u v}   ^, ^ ^{d u w}  ^,    ^ ^{d w v} ^,

^for

^w ^ ^{u v} ^,

-  iii)은 삼각부등식(triangular inequality)이라고 불림 - Euclidean distance function (유클리드 거리함수)

∙ 거리함수는 다양하게 정의핛 수 있는데, 특히 다음과 같이 정의하는 것을 Euclidean distance function 이라고 함.

∙

d u v   ,   a

1

 b

1

 

²

 a

2

 b

2



²

   a

_n

 b

_n



²

∙

 ^{d u v}   ^, ^  ^{u v} ^   ^' ^{u v} ^ 

- for

u

,

v

는

n

-tuple(순서쌍);

^u ^  ^a

₁

^, ^, ^a

_n



^,

^v ^  ^b

₁

^, ^, ^b

_n



 피타고라스의 정리(Phytagoras‟ theorem)

- 2차원 공갂에서 정의된 유클리드 거리함수

° Metric space 거리공간

- 위 3가지 성질을 갖는 거리함수를 가지고 있는 vector space

∙ Note) metric space



vector space

(8)

4.4. Commutative, Associative, and Distributive Laws 교환, 결합, 분배법칙

 Matrix Multiplication 행렬 곱셈

AB  BA

° 순서에 주의!

- Premultiply 앞곱하다

∙

B

is said to be premultiplied by

A

- Postmultiply 뒤곱하다

∙

A

is said to be postmultiplied by

B

° Diagonal matrix 대각행렬

- 대각선을 제외핚 나머지 원소가 0

11

0 0

_nn

a A

a

 

 

  

 

 

∙ Note)

x

가 벡터이고

A

가 대각행렬일 때 -

x Ax '

: weighted sum of squares 가중제곱합 -

x x '

: (unweighted) sum of squares 제곱합

Matrix Addition 행렬 덧셈 Matrix Multiplication 행렬 곱셈

Commutative Law 교홖법칙 O:

A B    B A

X:

AB  BA

(행렬)

u u '  uu '

(벡터) Associative Law 결합법칙 O:

 ^{A B} ^  ^{  } ^C ^A  ^{B C} ^ 

^O:

  ^{AB C} ^ ^{A BC}  

주의) ^{m n n p}^  ^ ^{p r}^

Distributive Law 분배법칙 O:

^{A B C}  ^  ^ ^AB ^ ^AC

 ^{B C A} ^  ^ ^{BA CA} ^

4.5. Identity Matrices and Null Matrices 항등행렬과 영행렬

 Identity Matrices 항등행렬

° ₂

1 0

0 1

I  

  

 

^, ³

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

 

 

  

 

 

, …,

1 0

0 1

I

n

 

 

  

 

 

모두

I

로 표시해도 무방

° Square matrix 정방행렬

 ^{n n} ^ 

°

IA  AI  A

: (예외적으로) 곱셈의 교홖법칙이 성립

°

^AIB ^   ^{AI B} ^ ^{A IB}   ^ ^B

: 곱셈의 결합법칙이 성립 - Dimension;

^A ^:  ^{m n} ^ 

^,

^I ^:  ^{n n} ^ 

^,

^B ^:  ^{n p} ^ 

°

  I

n ^k

 I

n, for

k  1, 2,...

; 항등행렬은 자기를 곱하면 자기가 나옴  멱등행렬

 Idempotent matrix 멱등행렬

°

AA  A

- e.g., 항등행렬

I

는 대표적인 멱등행렬(idempotent matrix)

(9)

 Null Matrices = Zero Matrix 영행렬

°

0 0

0 0 0

 

  

 

^,

0 0 0 0 0 0 0

 

  

 

: 영행렬은 정방행렬일 필요가 없음

°

A 0  0

:

 ^{m n n p} ^  ^   ^ ^{m p} ^ 

^,

⁰ ^A ^ ⁰

^:

 ^{q m m n} ^  ^{  }   ^{q n} 

- 둘 다 결과는 영행렬이지만, 그 dimension은 다를 수 있음

° Q)

0

이 정방행렬(square matrix)이면 멱등행렬인가?

또핚 정방행렬이 아니면 멱등행렬인가?

 Idiosyncrasies of Matrix Algebra 행렬대수의 특이성

° Singular matrix 특이행렬

- 행렬 내의 핚 행이 다른 행의 배수인 경우

-

2 4 2 4 0 0

1 2 1 2 0 0 0

AB       

               

∙ algebra에서는

ab  0

에서

a  0

or

b  0

일 것 같지만 행렬에서는 아닐 수 있음

-

2 3 1 1 2 1

, ,

6 9 1 2 3 2

C   D   E   

        

     

^

5 8 15 24

CD CE  

   

 

∙ algebra에서는

^cd ^ ^{ce c}  ^ ⁰ 

^이면

^d ^ ^e

이지만 행렬에서는 아닐 수 있음

HW 03)

1) p54, 연습문제 4.1을 푸시오.

2) P57~p59 예7~예11을 푸시오.

3) P61 연습문제 4.2를 푸시오.

4) P68 연습문제 4.3을 푸시오.

5) P72 예6을 푸시오.