경제수학 강의노트 13

경제수학 강의노트 13

^

볼록(convex) 및 오목(concave) 함수와 최적화 문제 Do-il Yoo^

PART IV: Optimization Problems 최적화 문제

Chapter 11: The Case of More than One Choice Variable 다변수함수 극대∙극소

11.5. Second-Order Conditions in Relation to Concavity and Convexity

 Concavity and Convexity 오목성과 볼록성 - 함수

f

의 정의역 내의

∙ 서로 다른 두 점

u

,

v

,

∙ 그리고

0    1

에 대해서

° 오목함수 concave function - 함수

f

가 concave function

∙

 ^{ f u}    ^{  1 }    ^{f v  f } _ ^{ u  }  ^{1 }  ^{v } _

° 강오목함수 strict concave function - 함수

f

가 strict concave function

∙

 ^{ f u}    ^{  1 }    ^{f v  f } _ ^{ u  }  ^{1 }  ^{v } _

° 볼록함수 convex function

- 함수

f

가 concave function

∙

 ^{ f u}    ^{  1 }    ^{f v  f } _ ^{ u  }  ^{1 }  ^{v } _

° 강볼록함수 strict convex function - 함수

f

가 strict concave function

∙

 ^{ f u}    ^{  1 }    ^{f v  f } _ ^{ u  }  ^{1 }  ^{v } _

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 ‘경제∙경영수학 길잡이’ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

043-261-2591; e-mail: scydl8@gmail.com or d1yoo@chungbuk.ac.kr

<Concavity vs. Convexity: 오목성과 볼록성>

Concavity Convexity

함수

f

가 concave function



   ¹     ¹ 

f u f v f u v

            

함수

f

가 convex function



   ¹     ¹ 

f u f v f u v

            

함수

f

가 strict concave function



   ¹     ¹ 

f u f v f u v

            

함수

f

가 strict convex function



   ¹     ¹ 

f u f v f u v

            

미분가능함수

f

가 concave function



    ^'   

f v  f u  f u v u 

 

y  f 

가 2계미분가능 연속함수:,

d y

2 가 Negative Semidefinite

 y

가 concave function 필요충분

미분가능함수

f

가 convex function



    ^'   

f v  f u  f u v u 

 

y  f 

가 2계미분가능 연속함수:

d y

2 가 Positive Semidefinite

 y

가 convex function 필요충분 미분가능함수

f

가 strict concave function



    ^'   

f v  f u  f u v u 

 

y  f 

가 2계미분가능 연속함수:,

d y

2 가 Negative Definite

O X

  y

가 strict concave function 충분

미분가능함수

f

가 strict convex function



    ^'   

f v  f u  f u v u 

 

y  f 

가 2계미분가능 연속함수:

d y

2 가 Positive Definite

O X

  y

가 strict convex function 충분

     

 

' f v f u

f u

v u

 



; 기울기 이용

     

 

' f v f u

f u

v u

 



; 기울기 이용

 Theorems on concavity and convexity

° Theorem 1) (linear function) -

^{f x}  

^{가 선형함수}

∙ 

^{f x}  

는 concave function이면서

∙ 동시에 convex function

- c.f.) 그러나 strict concave - 혹은 strict convex는 아니다.

° Theorem 2) (negative of a function) -

^{f x}  

가 concave function

∙ 

^{ f x}  

는 convex function -

^{f x}  

가 convex function

∙ 

^{ f x}  

는 concave function -

^{f x}  

가 strict concave function

∙ 

^{ f x}  

는 strict convex function -

^{f x}  

가 strict convex function

∙ 

^{ f x}  

는 strict concave function

° Theorem 3) (sum of functions)

- Both

^{f x}  

^&

^{g x}  

: concave function

∙ 

^{f x}     ^{ g x}

도 concave function

- Both

^{f x}  

^&

^{g x}  

: concave function,

 둘 중의 하나 or 두 함수 모두가 strict concave function이면 - 

^{f x}     ^{ g x}

는 strict concave function

- Both

^{f x}  

^&

^{g x}  

: convex function

∙ 

^{f x}     ^{ g x}

도 convex function

- Both

^{f x}  

^&

^{g x}  

: convex function,

 둘 중의 하나 or 두 함수 모두가 strict convex function이면 - 

^{f x}   ^{ g x}  

는 strict convex function

p327) 예제 1, 2, 3) 다음 함수의 concavity or convexity를 검증하라.

예제 1)

z  x

₁²

 x

₂², 서로 다른 두 점 예제 2)

z    x

₁²

x

₂² 서로 다른 두 점 예제 3)

^{z }  ^{x  y} 

² 서로 다른 두 점

Hint)

i)

u   u u

1

,

2



,

v   v v

1

,

2



(서로 다른 두 점이므로,

u

₁

 v

₁ and

u

₂

 v

₂)

ii)

f u    f u u 

1

,

2



,

f v    f v v 

1

,

2



,

^f  ^{ u  }  ^{1 }  ^v  ^{ f}  ^{ u}

¹

^{ }  ^{1 }  ^v

¹

^{,  u}

²

^{ }  ^{1 }  ^v

²



로 설정하여 계산

iii)

^{ f u}    ^{  1 }      ^{f v}  ^{  or  }    ^{f } _ ^{ u  }  ^{1 }  ^{v } _

에 대입하여 검증;

a) 우변을 좌변으로 넘기고, b) (좌변) – (우변)의 부호를 검증

Ans)

예1) strict convex 예2) strict concave 예3) convex

p330) 예제 4 & 5

Hint)

필요충분조건 충분조건

N.SD



concave P.SD



convex

N.D.



^O



strict concave P.D.



^O



strict convex

 Convex set 볼록집합

- 볼록’함수’와는 다른 개념

∙ 용어는 볼록(convex)이지만

∙ 함수가 아니라 ‘집합’임에 유의

° 정의:

- 어떤 집합

S

가 convex set

∙



어떤 두 점

u  S

&

v  S

와

∙ 모든 실수

^{ }   ^0,1

^{에 대해서}

-

^{w   u  }  ^{1 }  ^{v  S}

^{가 성립}

° (다른 정의):

- <p334; 그림 11.10>

-

^{f x}  

가 convex function (볼록함수)라고 하면,

∙ 임의의 상수

k

에 대해서

-

^S

^

^  ^{x f x |}   ^{ k} 

는 convex set

-

^{f x}  

가 concave function (오목함수)라고 하면,

∙ 임의의 상수

k

에 대해서

-

^S

^

^  ^{x f x |}   ^{ k} 

는 concave set P334) 연습문제 11.5

p335~348) 예제1~예제7