Double Integral 중적분
1. 이중 적분
2. 극좌표 계에서의 이중적분 3. 변수 변환
4. 부피 구하기 5. 겉넓이 구하기 6. 삼중적분
1. 이중적분
1.1 Fubini 정리(반복적분)
(1) 영역 가 수직 경계된 경우 :
≦ ≦ ≦ ≦ 일 때
(2) 영역 가 수평 경계된 경우 :
≦ ≦ ≦ ≦ 일 때
Note. 인 경우,
의 면적
1.2 보기
(1)
× 에 대해
을 구하시오.풀이:
(2)
가 원점 중심의 반지름 인 원의 제1사분면의 부분일 때
을 구하시오.풀이:
(3)
가
로 둘러싸인 부분일 때
의 면적을 구하시오.풀이:
(4)
의 적분 영역을 그리고 적분 순서를 바꾸시오.
풀이:
1.3 Remark (1) 상수 에 대해
(2)
±
±
(3) ≧ 일 때,
≧
(4) 영역
가 두 영역
로 이루어졌고 이 두 영역의 겹치는 부분이 단지 경계뿐이면
일반적으로, 영역
가 두 영역
과
의 합집합이면
∩
1.4 보기
(1) 중적분
의 적분순서를 바꾸시오.풀이:
(2) 축으로 둘러싸인 제 1사분면에 있는 영역 중에 작은 부분의 넓이를 구하라.
풀이:
(3)
가 축, 직선 , 에 의해 둘러싸인 영역일 때,
sin
을 구하라.풀이:
1.5 Exercise 직사각형
× 에서 정의된 함수 가 변수만의 함수 와 변수만의 함수 의 곱으로 표시될 때, 즉 일 때, 다음을 보이시오.
⋅
2. 극좌표 계에서의 이중적분
2.1 정리
(1) 가 고정되어 있고 이 변하는 영역
r ≦ ≦ g ≦ r ≦ g일 때
(2) 이 고정되고 가 변하는 영역
r r≦ r ≦ r hr ≦ ≦ hr일 때
2.2 보기
(1) 영역
가 제 1사분면의 반지름 인 원일 때
을 구하시오.풀이:
(2) 원 cos 의 내부와 원 의 외부에 있는 공통부분의 면적을 구하시오.
풀이:
(3)
xy ≦ x y≦ ≦ y ≦
x 에서
을 구하시오.풀이:
2.3 Exercises
(1) 영역
가 제 1사분면의 반지름 1인 원일 때
을 구하시오.(2) ≦ ≦ 이고 와 로 둘러싸인 영역
에서
을 구하시오.(3) Cardioid cos 의 면적을 구하시오.
(4) 연주형(lemniscate) cos 의 면적을 구하시오.
(5) 원 와 사이에 있고 달팽이꼴 곡선 cos 의 안쪽에 놓인 부분의 면적을 구하시오.
2.4 보기 (적분으로의 응용)
∞ 을 구하시오.풀이:
2.5 Exercises : 양수 에 대해 다음이 성립함을 보이시오.
(1)
∞∞
(2)
∞∞
3. 변수의 변환
3.1 정리 (이중적분에 대한 변수변환의 정리)
평면의 영역 가 미분가능함수 에 의해 평면의 영역 와 일대일 로 대응된다고 하자. 와 가 에서 연속인 편도함수를 가지고 에서
∣
∂∂
∣
≠ 이면 에서 정의된 연속 함수 에 대해 다음이 성립한다.
∣
∂ ∂
∣
여기서
∣
∂ ∂
∣
는 좌표변환 의 Jacobian이다. 즉,
∣
∂ ∂
∣
≡
∂∂∂ ∂∂∂
∂
∂
Note. 3변수 사이의 좌표변환에 대한 Jacobian은 다음과 같다.
∣
∂ ∂
∣
∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
3.2 Remark ( 극좌표 변수변환공식 ) cos sin 로부터
∣
∂∂
∣
cos sin
sin cos cos sin
⇒
cossin
4. 이중적분으로 부피 구하기
4.1 정리 ≧ 일 때 평면상에 영역
와 곡면 사이의 입체영역의 부피:
4.2 보기
(1) 곡면이 , 밑면이 평면상의 으로 둘러싸인 부분이고 옆면이 원기 둥인 입체의 체적을 구하여라.
풀이:
(2) 제 1팔분공간에 있고 평면 의 아래, 그리고 포물면 의 내부로 되는 입체의 체적을 구하는 적분식을 두 가지 방법으로 세우시오.
풀이:
(3) 구 x2+y2+z2=a2의 내부와 원기둥 x2+y2=ax의 내부의 공통부분의 체적을 구하는 적 분식을 세우시오.
풀이:
4.3 Exercises
(1) 다음에 주어진 곡면과 영역을 각각 상⋅하면으로 갖는 주면체의 체적을 구하여라.
(a) sin는 평면상의 인 도형의 제1사분면의 부분
(b) sin는 평면상의 cos의 도형의 제1사분면의 부분 (2) 구면 와 원통 로 둘러싸인 입체의 부피를 구하라.
5. 곡면의 넓이 구하기
5.1 정리 : 곡면 위의 영역 의 곡면적 는 (1)
∂∂
∂∂
, 은 의 평면위로의 정사영 (2)
′
∂∂
∂∂
, ′은 의 평면위로의 정사영(3)
′′
∂∂
∂∂
, ′′은 의 평면위로의 정사영5.2 보기
(1) 제 1팔분공간에서 평면 가 두 평면 과 에 의하여 잘린 부분의 곡면적 을 구하라.
풀이:
(2) 제1팔분공간에서 원기둥 이 평면 에 의해 잘린 부분의 곡면적을 구하라.
풀이:
(3) 구 의 겉넓이를 구하여라.
풀이:
5.3 정리 ( 곡면의 방정식이 원주좌표에 의하여 로 주어질 때 )
일 때 cos sin로 부터
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ sin ∂
∂ cos
⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⇒
∂∂
∂∂
5.4 보기
(1) 원기둥 의 안쪽에 있는 다른 원기둥 의 겉넓이를 구하라.
풀이:
(2) 구 가 원기둥 에 의해 잘라진 부분의 겉넓이를 구하라.
풀이:
(3) ≦ ≦ 에서 ≧ 이고 ′ 는 연속이라 하자. 곡선 의 ≦ ≦ 인 부분이
축의 주위로 회전하여 만드는 회전면의 표면적 를 구하여라.
풀이:
5.5 Exercises
(1) 주면 을 평면 로 잘랐을 때 제1팔분공간에 있는 곡면의 표면적을 구하라.
(2) 원뿔 을 평면 로 잘랐을 때 제1팔분공간에 이는 곡면의 표면적을 구하 라.
(3) 주면 를 평면 으로 잘랐을 때 제1팔분공간에 있는 곡면의 표면적을 구하 라.
(4) 구면 이 주면 에 의하여 잘린 부분의 표면적을 구하여라.
(5) 곡면 가 주면 에 의해서 잘린 부분의 표면적을 구하여라.
6. 3중적분
6.1 삼중적분
가 평면 위의 수직 또는 수평경계의 유형인 영역이라고 하자. 와 가
에 서 연속이고 ≦ 일 때 공간영역
가 xyz ∈ R xy ∈ D H xy ≦ z ≦ G xy 이면
에서 연속인 함수 에 대한 3중적분은
로 정의하고 영역
D
가 수직경계의 유형이면
이고 영역
D
가 수평경계의 유형이면
Note. 일 때의 3중적분, 즉
는 그 영역 V의 체적과 같다.6.2 보기 (1)
를 구하라.
풀이:
(2) 공간영역
V
가 평면 그리고 로 둘러싸인 사면체일 때
의 부피를 구하라.풀이:
6.3 원주좌표에서의 삼중적분
원주좌표 변환이 cos sin 이므로 Jacobian은 det
cos sin
sin cos
따라서 영역
V
가 평면위의 영역 r ≦ ≦ h ≦ r ≦ h 에서 정의된 함수
G
와H
의 그래프 사이의 공간영역일 때, 즉 xyz ∈ R xy ∈ D H xy ≦ z ≦ G xy 이면
V
에서 연속인 함수f
에 대한 3중적분은
cos sin cos sin
cos sin
6.4 보기
(1) 원기둥 가 두 평면 ＞에 의해 잘리는 부분의 체적을 구하라.
풀이:
(2) 구 과 원기둥 가 만나는 입체 영역의 부피를 구하여라.
풀이:
6.5 Exercise
(1) 타원체 의 부피를 구하라.
(2) 원기둥 과 평면 로 싸인 제 1팔분공간에 있는 부분의 체적을 구하라.
6.6 구면좌표 : ∈의 직교좌표가 이고 원주좌표가 라고 하자.
, 선분 가 양의 축과 이루는 각, 선분 가 양의 축과 이루는 각
이라 할 때 를
에 대한 구면좌표라고 한다. (단, ≦ ≦ )Note. 직교좌표, 원주좌표, 구면좌표 사이에는 다음 관계식이 성립한다.
sin , cos , cos , sin
cos sin cos , sin sin sin , cos
6.7 보기 의 구면좌표가
일 때 의 직교좌표를 구하라.
풀이:
6.8 Remark ( 상수
c
에 대한 구면좌표 방정식의 보기 ) (1) 구면좌표방정식 는 반지름이 인 구면이다.(2) 로 주어진 구면좌표계에서의 방정식인 경우,
일 때는 원뿔의 상면엽을
나타내고,
는 평면,
에 대해서는 원뿔의 하면엽을 나타낸다.
는 각각 양의 축과 음의 축이다.
(3) 구면좌표방정식 는 축을 포함하면서 평면에 수직인 수직반평면이다.
6.9 보기
(1) 평면 에 대한 구면좌표의 방정식을 구하라.
풀이:
(2) 원환체(Torus)의 방정식
를 구면좌표방정식으로 바꾸어라.풀이:
6.10 구면좌표에서의 삼중적분 : 구면좌표 변환 sin cos , sin sin , cos 로 부터 Jacobian을 구하면 sin 이므로 공간영역
a ≦ ≦ b g ≦ ≦ g H ≦ ≦ H 에서 정의된 함수 의 삼중적분
은
sincossinsincos sin
Note. 공간영역 의 부피는
sin .6.11 보기
(1) 반지름이
a
인 구의 체적을 구하여라.풀이:
(2) 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 구면과 반지름이 2인 구면, 그리고 양의
z
축 사이의 공간 영역V
에 대해
를 구하여라.
풀이:
(3) 구면 좌표의 방정식 sin 에 의해 둘러싸인 공간 영역의 체적을 구하여라.
풀이:
6.12 Exercise
(1) 구면 과 원뿔 의 내부로 둘러싸인 제 1팔분공간에 있는 부분의 체적을 구하여라.
(2) 양의 축과 의 각을 이루는 원뿔 cot 와 반지름이 인 구면 사이에 놓여있는 공간영역의 부피를 구하여라.
