학교수학에서 변수 개념의 다면성
• 방정식의 해를 나타내는 자리지기(place holder) : 2x+1 = 3에서의 x
• 일반화의 표현을 위해 사용된 문자(generalizer) : a+b=b+a에서의 a,b
• 양, 수, 점, 집합, 명제 등 임의의 대상을 나타내는 기 호
• 아직 정해지지 않은 상수를 나타내기 위해 사용된 부 정소(indeterminate) : y=kx에서 k
• 함수식에서의 독립변수, 종속변수, 매개변수
• 연산변수 : +, -, × 등의 연산을 하나의 변수 ‘∘’로 나타낼 수 있음.
• 관계변수 : =, <, >, ≡ 등의 관계를 하나의 변수 ‘R’
로 나타낼 수 있음.
대수 개념과 변수
• 대수식이 공식, 방정식,항등식, 함수식 등의 ‘서로 다 른 명칭으로 구분’되는 것은 ‘변수가 서로 다른 방식 으로 사용’되고 있음을 의미함.
• 문제 해결 과정의 학습 : ‘방정식’의 해에 대한 자리 지기(미지수)로서의 변수. 2x+1=3
• 일반화의 학습 : 패턴을 일반화하는 요소이자 도구로 서의 변수. a+b=b+a, ax+by+c=0, 근의 ‘공식’등
• 양 사이의 관계 학습 : ‘함수식’에서의 독립변수, 종 속변수, 매개변수 등
• 구조의 학습 : ‘어떤 성질을 만족하는 임의의 대상을 나타내는 기호’로서의 변수. 다항식 인수분해 등
“변수 개념의 지도는 자리지기란 형식적인 변수 개념 의 획득을 곧바로 시도하는 것은 의미가 없으며,
실세계의 변화하는 현상을 정리하는 수단으로서, 그리고 다양한 현상 가운데에서 관찰되는 패턴을 일 반화하는 수단으로서,
변수의 본질이 파악되도록 한 다음
점진적으로 형식화해 나아가는 개념화 과정을 경험 시켜야 할 것이다(Freudenthal,1983).”
변수 개념과 관련된 인지적(인식론적) 장애
• 변수 기호의 임의성 이해 결여
• 변수가 나타내는 대상 제한
• 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 식으로 인식
• 변수는 특정한 대상을 대신하는 것으로 이해
• 독립변수, 종속변수 개념의 불완전한 이해
ü인식론적(epistemological), 혹은 인지적(Cognitive) 장애
- 어떤 특정한 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으 로서 학생의 인지구조의 일부가 되어 있지만, 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 지식
• 변수 기호의 임의성 이해 결여
ü 변수 기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 이해하지 못하는 것
ü 변수를 표시하는 기호가 변하면 변수가 나타내는 대 상도 변한다고 생각
- y=2x, z=2w는 문자 표현이 다르므로 다른 함수이다.
- 미지수를 나타내는 문자가 변하면 방정식의 해도 바 뀐다.
- ‘x+y+z = x+p+z’는 결코 참이 될 수 없다.
- ‘a(b+c) = ab + ac’에서 a,b,c는 서로 다른 수를 나 타낸다.
ü 원인
- 유일한 대상(예:일차방정식의 해)을 구하는 학습 경 험 : “2x+1 = 3에서 x는 하나의 값을 가진다. 즉, 변 수 x에 하나의 수 1 대응”
- 산술의 영향 : “3이라는 기호(숫자)가 나타내는 것은 하나의 수이다.”
ü 처방
- 다른 문자(예: a(b+c) = ab + ac)에 같은 값을 취해 보는 경험 필요.
• 변수가 나타내는 대상 제한
ü 변수를 수를 대신하는 문자라고 생각하여 변수가 나 타내는 대상을 수에 국한시키는 것.
ü 변수가 나타내는 대상 : ‘수’ 뿐만 아니라 점, 조건(명 제), 행렬, 연산, 관계 등
ü 원인
- 초등학교에서 어떤 수를 □로 놓고 식을 세우는 등 수를 대신하여 여러 가지 기호를 사용한 경험 à “수 를 대신하여 기호를 사용할 수 있다” à “변수가 대 신하는 것은 수이다”
- 영어 variable을 ‘변하는 수’인 變數로 해석
ü 참고
- 변수가 항상 문자로만 표현되는 것은 아 님 : □, △, ☆ 등
- 또한 문자가 항상 변수를 나타내는 것도 아님 : 허수단위 i , 원주율 pi , 자연상수 e 등
• 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 식으로 인식 ü x+3, x-5, 2x와 같이 변수가 포함된 대수식을 완결
되지 않은 식으로 생각하는 것.
- x+5 = 5x
- (x+5) (x-5) = 5x+(-5x) : 괄호 먼저 계산 ü 원인
- 산술의 영향 : 2+3 = 5
- 즉, ‘2+3’을 2와 3을 더하는 연산을 실행하여 5라는 하나의 수를 산출하라는 명령으로 생각.
ü 등호(=)에 관한 습관성 오류 - x+3 = 7 을 풀어라.
- “x+3은 7은 7-3은 4”를 중얼거리며 - x+3 = 7 = 7-3 = 4 라고 씀.
ü 등호(=)에 관한 인지적 장애 - 0.999··· = 1
- 지수법칙 :
• 변수는 특정한 대상을 대신하는 것으로 이해
ü 변수를 방정식 x+3 = 8에서의 x 처럼 특정한 값을 대신하는 문자 즉, 미지수로 생각하는 것
- x+y=y+x에서의 x, y처럼 임의의 수(양)를 나타내기 위해 사용된 문자를 변수로 생각하지 않음.
- “모든 실수 x에 대하여 ….” , 혹은 “정의역의 원소를 x라고 하자.” 등의 문장을 이해하지 못함.
ü 원인
- 변수를 방정식 ax+b=0에서의 x, 함수 y=ax에서의 x,y로만 이해하고, a(혹은 b)를 변수로 인식하는 경 험 부족.
• 독립변수, 종속변수 개념의 불완전한 이해
ü y=ax에서 x는 변수로 파악하는 반면 y는 변수가 아 니라고 생각하는 것.
ü 원인
- 변수를 나타내는 기호는 x이다.
- 종속 관계로서의 함수 개념 교육 미흡
수학 언어로서 문자의 특징
- ‘숫자’, ‘일상언어’와 문자의 차이점
• 일반성
ü 동시 표현의 성질
- 숫자와 문자의 차이점.
- 숫자는 하나의 수를 표현하지만, 문자는 동시에 많은 수를 표현할 수 있다. 예) y = 3x+2
ü 한계 결정의 자유성
- 일상언어와 문자의 차이점
- 일상 언어는 명시적으로 혹은 암묵적으로 부과된 의 미가 있지만, 문자는 그 자체에 어떤 의미가 고정되 어 있지 않으며 문자가 나타내는 의미의 한계를 자유 롭게 정할 수 있다.
• 유연성 (문자 선택의 자유성) ü 일상언어와 문자의 차이점
ü 일상 언어는 그 표현이 변하면 그 언어가 나타내는 대상 역시 변하지만,
ü 문자의 경우 주어진 대상을 지칭하기 위해 임의의 문 자를 선택할 자유가 있다.
ü 문자가 변한다고 해서 반드시 그것이 나타내는 대상 이 변하는 것은 아니다.
구분 문자의 본질적 성질 수학 언어로서의 특징
‘숫자’와의 차이
점 동시 표현의 성질
문자 사용의 일반성
‘일상언어’와의 차이점
한계 결정의 자유성
문자 선택의 자유성 문자 사용의 유연성
대수적 사고를 이루는 대수적 전략 몇가지 (H. Freudenthal, 1973)
(1) 대수적 원리
ü 대수적 형식불역의 원리
ü 기존의 수 체계에서 인정된 성질이나 법칙이 유지되 도록 수 체계와 그 연산 및 관계를 확장하는 것.
- 예) 지수(법칙)의 확장 : 자연수 à 정수 à 유리수 (2) (형식적인) 대입
ü 주어진 무엇을 다른 무엇으로 대치하는 것 - 변수에 수 대입 : 특수화-일반화
- 식을 변수로 대치 : 단순화-복잡화
- 연산과 관계를 그 정의로 대치 : 곱셈-동수누가, 거 듭제곱-거듭된 곱셈, 뺄셈-역원의 덧셈 등.
(3) 대수적인 번역(해석 및 표현)
ü 문제 상황, 성질, 관계 등을 대수적인 식(혹은 방정 식)으로 표현하는 것.
- 예)짝수 2n, 홀수 2n-1
- 예) ‘제곱해서 짝수가 되는 수는 짝수 뿐이다.’를 대 수적으로 번역하면?
(3) 대수적인 번역(해석 및 표현)
ü 문제 상황, 성질, 관계 등을 대수적인 식(혹은 방정 식)으로 표현하는 것.
- 예) ‘제곱해서 짝수가 되는 수는 짝수 뿐이다.’를 대 수적으로 번역하면?
(4) 문제해결도구로서 방정식과 부등식(ß 알고리즘적 절차 ß 연산법칙의 반복 적용)
ü “닭과 토끼가 있다. 머리 수 50개, 발의 수 140개이었 다. 닭과 토끼의 마리 수는?”를 방정식을 세우지 않고 풀어보라.
ü 차례로 대입해 보거나, 항을 이항하거나, 양변에 항을 적절히 분배하거나, 양변에 같은 연산을 적용하거나, 단순화 혹은 복잡화하거나, 소거법을 사용하거나 하여 방정식과 부등식을 해결하는 것.
- xy + 2x + y = 0의 정수해 x, y를 모두 구하여라.
- x2 + 2xy + y2 의 인수분해
- 이차방정식의 근의 공식 유도 과정
(5) 식을 함수로 간주하기
ü 주어진 식을 합성함수, 역함수 등으로 간주하거나 ü 방정식을 두 함수식으로 간주하고 그래프를 이용하
여 실근 구하기 등 (6) 관점의 전환
ü 수식에 대한 다른 해석
ü 자료를 미지인 것으로 생각하거나, 미지인 것을 자료 로 생각함으로써, 그리고 미지인 것을 조건을 만족하 는 해로 생각하고 거꾸로 연구하거나,
ü 부등식을 등식으로 또는 등식을 부등식으로 대치함 으로써 관점을 바꾸는 것.
(7) 대칭성 찾아보기
ü 식, 방정식, 부등식, 함수에서 대칭성을 찾아본다.
- 예) 서로 다른 세 자연수의 역수의 합이 자연수가 되 는 세 자연수를 구하여라.
교과서의 이해
• 변수 개념의 도입
ü 중학교 1학년 함수 개념과 함께 도입
- 3차~6차 교육과정 : ‘두 집합 사이의 대응 관계’ –
‘집합의 원소’
- 7차 교육과정 : ‘생활 장면에서 변화하는 두 양 사이 의 비례 관계’ – ‘변하는 양(대상)’
- 2007년(2011년도 마찬가지) 개정 교육과정 : ‘한 양 이 변함에 따라 다른 한 양의 값이 정해지는 대응 관 계’ – ‘변하는 양(대상)’
à변수의 동적인 측면 즉, 변하는 대상으로서의 변수의 본질에 대한 이해를 위해서는 생활 장면의 변화 현상 과 관련된 문제 상황을 충분히 경험하고, 이러한 문 제 상황을 ‘변수’와 ‘함수’ 개념을 이용하여 조직하는 경험이 필요.
à즉, 변화 현상을 조직하는 본질(혹은 수단)로서의
‘변수’와 ‘함수’ 개념 지도 필요.
• 일반화의 지도
ü ‘일반화’는 변수로 사용되는 문자에 의해 형식화
ü 일반화에 대한 학습은 변수가 지닌 정적인 측면 즉, 다가이름으로서의 변수의 본질 이해에 밑바탕이 됨.
ü 변수에 값을 대입시키는 과정(특수화)도 중요하지만, 역으로 특수한 사례로부터 문자를 사용하여 일반화 된 식을 구성하는 과정(일반화)에 대한 경험 역시 중 요함.
• 문자식의 구성
ü 문자식을 올바로 구성하는 것은 대수학습의 기초
ü 문제 상황을 문자를 사용한 식으로 표현할 필요성을 느끼고(문자 사용의 필요성 인식),
ü 변수로서의 문자를 스스로 선택하여(문자 선택의 자 유성 인식) 식을 구성하는 활동 경험 필요.
수학 교수-학습 이론의 적용
• Dienes의 수학적 다양성의 원리(+공학적 도구) 적용 ü 수학적 개념을 이루는 불변의 특성이 드러나게 하기
위해서는 비본질적인 다른 특성들을 변화시켜보아야 한다.
ü 대수를 일반화 학습의 측면에서 볼 때, 일반화된 식 에서 변수를 다양하게 변화시킴으로써 변수의 역할 과 의미를 보다 충실하게 지도할 수 있다.
ü 예) 이차함수의 식에서 계수 변화에 따른 그래프 변 화 관찰(공학적 도구 활용)
• Bruner의 EIS 이론
ü 형식적인 대수식을 활동적, 영상적 표현을 통해 보다 다양하고 의미 있게 설명할 수 있다.
- 실제적 조작을 통한 직관적 이해 - 대수와 기하의 연결성
ü 예) 등식의 성질, 다항식의 곱셈, 인수분해 공식 등 (교재 101-102쪽)
• Polya의 문제해결교육론
ü 문제해결의 4단계 중 반성 단계를 통해 형식화된 대 수적 표현의 의미를 보다 풍부하게 이해
ü 예) 산술-기하평균 부등식에 대한 대수적 증명을 학 습한 후에 반성 단계에서 ‘결과를 다른 방법으로 이 끌어낼 수 있는가?’ 발문
à칠판에 그림을 그리거나 공학적 도구를 활용하여 대 수적 증명을 시각적으로 (역동적으로) 표현 (교재 98 쪽 참고)
à대수와 기하의 (수학적) 연결성
공학적 도구의 활용
• 대수적으로 표현된 식을 기하적으로 표현 ü 대수와 기하의 연결성 인식
ü 일반화된 대수적 표현(식)에 대한 의미 있는 이해
- 식을 구성하는 변수인 문자들이 각각 어떤 역할을 하 고, 모양과 크기, 위치에 변화를 가져오는 요소는 무 엇인지 이해 (ß역동적인 시각화)
ü 활용의 예(교재 104-107쪽)
- 엑셀을 활용한 방정식 개념 지도 - 계산기를 사용한 방정식 해 구하기 - 부등식의 영역 시각화하기 등
