통계적 가진에 의한 1 자유도 선형 진동계의 반응

통계적 가진에 의한 1 자유도 선형 진동계의 반응

어떤 함수가 시간에 대해 한 값으로 정해지는 함수를 확정적 (Deterministic) 함수라 말하고 그 값이 통계적으로 주어지는 함수를 통계적 함수라고 (Stochastic) 부른다. 통계적 함수의 경우 일정한 시간 동안 구한 신호 데이터를 샘플이라고 부르며 흔히 실험 등을 수행할 때, 실험 결과의 신뢰성을 높이기 위해 이러한 샘플을 동일한 조건 하에서 여러 개를 구한다.

이렇게 구해진 여러 샘플의 집합을 앙상블이라 (Ensemble) 부르는데 이는 관현악단의 여러 악기가 내는 소리의 조합을 앙상블이라 부르는 이유와 유사하다고 할 수 있다. 아래 그림은 앙상블의 한 예를 보여준다.

위에서 관찰할 수 있듯이 각 샘플들은 동일한 시간에서 서로 다른 값을 가지므로 서로 아무 상관이 없는 것처럼 보이나 통계적으로는 동일한 특성을 공유할 수 있다. 진동계의 입력이 통계적 함수로 주어진다면 출력도 통계적 함수가 될 것이며 따라서 통계적 함수로 주어지는 입력과 출력을 통계적으로 처리하고 상호관계를 분석함으로써 그 진동계의 특성을 파악할 수 있는 것이다.

임의의 신호

x (t )

가 통계적인 함수라 하면, 그 통계적 특성을 규정하는 주요 값들의 명칭과 정의는 다음과 같다.

평균값 (Mean value)  



^T

T

x t dt

x T

0 ( ) lim1

평균자승값 (Mean square value)







^T

ms T

x t dt

x T

0

)

2

1 ( lim

평균제곱근 (Root mean square)

x

_rms

x

_ms

분산 (Variance) ²

0 2 2

) 1 (

lim x x dt x x

T

^ms

T

x T



  



자기상관성 함수 (Autocorrelation function) ^ 



^

T

xx T

x t x t dt

R T

0

( ) ( )

lim 1 )

(  

통계적 함수의 분류

통계적 함수에는 안정적 (Stationary) 함수와 불안정적 (Non-stationary) 함수가 있으며, 이 때 안정적이라 함은 다음의 통계적 성질을 갖는 경우를 말한다. 첫째, 앙상블을 구성하는 샘플 함수들의 평균 값이 어느 시간에서 구해도 동일하다. 즉 앞쪽의 그림에서





 

 ^N

k k N

k

k

t x t

x

1 2 1

1) ( )

(

둘째, 자기상관성 함수

R

_xx(



)의 값이 (동일한



값에 대해서) 어느 샘플에서나 일정해야 한다. 이상의 두 가지 성질을 만족하면 안정적 함수이다.

안정적 함수는 균일 (Ergodic) 함수와 비균일 (Nonergodic) 함수로 분류되는데 균일 함수는 한 샘플의 평균값과 자기상관성 함수의 값이 모든 샘플의 그것들과 동일한 경우를 말한다.

정리한다면 안정적이라 (Stationary) 함은 앙상블의 주요 통계적 특성이 시간에 대해 일정한 것을 말하며, 균일하다 (Ergodic) 함은 각 샘플의 통계적 특성이 앙상블의 통계적인 특성과 같다는 것을 의미한다. 따라서 엄격히 말해서는 안정적이더라도 균일하지 않은 경우가 발생 할 수 있으나 일반적으로 공학에서 다루는 많은 통계적인 함수들은 이 두 가지 특성을 모두 가지고 있다고 가정되며 그 중 한 특성만 가지는 신호를 다루는 경우는 극히 드물기 때문에 여기서는 그러한 경우는 다루지 않는다.

자기 상관성 함수가 중요한 이유는 이 함수가 통계적 함수의 특성을 나타내는 다른 값들과 밀접한 연관관계를 갖거나 연결고리 역할을 하기 때문이다. 예를 들어,

ms

xx

x

R

(0)



^









 R e

^

d

S

_xx( ) _xx( ) ^j

위 식 중 둘 째 줄에 있는 함수를 파워스펙트럼밀도 함수라 (Power spectral density function) 부르는데 자기상관성 함수의 푸리에 변환으로 구해질 수 있다. 푸리에 변환의 다른 예로, 전 절에서 언급된 충격응답함수에 대한 푸리에 변환은 아래와 같다.



^









 h e

^

d

H

( ) ( ) ^j

라플라스 변환이 제어공학에서 주로 많이 쓰이는 데 반해서, 푸리에 변환은 통계적 함수를 다룰 때 널리 사용된다. 이 둘 사이의 변환은

s



j 

을 이용하면 된다. 예로서 1 자유도 감쇠진동계의 경우,

k cs s ms

H

 ₂1  )

(

  

jc m

H k



  1₂ )

(

입력과 출력의 파워스펙트럼밀도 함수 관계식

전 절에서 입력 함수와 출력 함수간 관계가 다음과 같은 중첩적분 형태로 나타남을 보았다.





^{  }

 ^t

f h t d

^t

f t h d

t

x

( ) 0 (



) (



)



0 (



) (



)



그런데 이 식은 초기조건을 0 으로 할 때의 관계이며, 만일 시각 0 이전의 입력함수에 의한 영향까지 모두 고려한다면 (초기 조건에 상관없는) 더욱 일반적인 형태로 다음과 같이 나타 낼 수 있다.



 

 ^t

f h t d

t

x

( ) (



) (



)



그런데

h ( t   )

는

  ( t  )

에 의한 동적 반응이므로

t  

의 범위에서 그 값이 0 이 된다.

따라서 위 식의 적분구간 중 위 부분을 까지 확장하여도 상관이 없다. 따라서,





^





   



f  h t  d  f t  h  d  t

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

그러므로

 













































































d d t

f t f h h

d h t

f d h t f t

x t x

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) ( )

( ) (

따라서

 

  

  



















 



































   





   





















































d d R

h h

d d dt t

f t T f h

h

dt d d t

f t f h T h

dt t x t T x R

ff T T T

T T xx T

) (

) ( ) (

) (

) 1 (

lim ) ( ) (

) (

) ( ) ( ) 1 (

lim

) ( ) 1 (

lim ) (

0 0

0

위 식의 양변을 푸리에 변환 하면,

  

  





















































  























































d d d R

e h

h

d e d d R

h h

d e R S

ff j

j ff

j xx xx

) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( ) ( )

(

여기서

      

로 치환하면,

) ( ) ( ) (

) ( )

( )

(

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) ( )

(

) (

) (

) (















































































ff

ff j

j

ff j

ff j j

ff j

xx

S H H

S d e h d e h

d d S e

h h

d d d R e e

h h

d d d R e

h h S

























 

  

  







 





































































) ( 

H

와

H (   )

는 켤레복소수 관계이므로 (앞 쪽

H (  )

의 형태를 참조할 것) )

( ) ( )

(

 

² _ff



xx

H S

S



이 형태는 입력과 출력의 관계

X ( )   H ( ) ( )  F 

의 양변을 제곱한 것과 유사하므로 )

(



S

xx 나

S

_ff(



)를 파워스펙트럼밀도 함수라고 부르는 이유를 알 수 있다.

 예제: 출력함수의 파워스펙트럼밀도 함수 (PSD function) 구하기

1 자유도 감쇠 진동계에 그 파워밀도함수가

S

₀으로 일정한 입력이 가해질 때, 출력의 파워 밀도함수는 얼마인가?



 

jc m

H k



  1₂ )

( 이므로 ² _{2 2 2}

) ( ) (

) 1

(

  

c m

H k



  따라서

2 2

2 2 0

) ( ) ) (

( ) ( )

(

    

c m

k S S

H

S

_{xx ff}



 



 파워스펙트럼밀도 함수가 상수 값이 되는 통계함수를 백색 잡음(White noise)이라 부르는데 이 함수는 모든 주파수 성분의 에너지 밀도를 동일한 크기로 갖는다. 그러나 실제로는 완전한 백색 잡음은 이론적으로나 가능하므로 통상적으로 근사적인 함수가 사용된다.

평균자승값, 자기상관성 함수, 그리고 파워스펙트럼밀도 함수의 관계



^



 

 S e

^

d

R

_xx( ) _xx( ) ^j 이므로 (푸리에 역 변환 관계)





^





 





R S  d  H  S  d 

x

_{ms xx}(0) _xx( ) ( )² _ff( )

이 식은 평균자승값을 구할 때 전달함수와 입력 파워스펙트럼밀도 함수를 사용할 수 있음을 보여주며 실제로 통계적 함수의 경우에는 시간영역에서의 값들을 이용하여 평균자승 값을 구하는 것보다 이 방법이 편리하고 효율적이다.

적분공식

2 2

0 0

0 1 0 1

B B

A j A d A A

 





 





2 2 2

0 1 0 1 2 0

2

0 1 2 0 1 2

( )

B j B A B A B

A j A A d A A A

  

 





  

 



백색 잡음 (White noise)

랜덤 신호 중에 교재의 Figure 3.15(d)에 나타난 모습과 같은 신호 중에서, 자기상관성 함수

0 ) (

t



R

_xx unless

t

0

위와 같은 특성을 갖는 신호를 백색잡음이라 하며 그 파워스펙트럼밀도 함수의 값은 주파수영역에서 일정한 상수로 결정된다. 이것은 백색잡음이란 모든 주파수성분들의 에너지 밀도가 동일하게 포함된 성분이라는 말과도 같다. 그러나 완전한 백색 잡음은 이론적으로만 존재하며 실제의 경우에는 일정 주파수 영역까지만 거의 일정한 에너지 밀도를 갖는 신호를 백색잡음으로 간주하고 사용한다.

아래는 MATLAB 을 이용해 수치적으로 재현한 대표적인 백색잡음 함수의 모습을 보여준다.

충격 응답 스펙트럼 (Shock response spectrum)

파의 작용시간과 무감쇠 진동계의 고유주기를 비교하여 비율을 구한 후, 그 비율에 따른



max의 값을 나타낸 것을 충격 응답 스펙트럼이라 (Shock response spectrum) 부른다. 예를 들어, 사각 파의 경우, 무감쇠 진동계의 동적 응답은

 



₁



₁

0

1 0

cos

) ( cos )

(

0

cos 1 ) (

t t t t

k t t F x

t t k t

t F x























이 동적 변형을 정적 변형으로 나눈 동 확장계수



는 다음과 같다.

1 1

1

cos

) ( cos

0

cos 1 ) (

t t t

t t

t t t

t

























1) 0

t



t

₁의 범위에서의 최대값을 구하려면,

0 sin 



t

dt

d   

이 식을 만족시키는 값은







t

이며 여기서



_max 2 최대값을 갖게 하는 시간이 원래 범위 안에 있어야 하므로, 즉 

t

₁





이면,



_max 2. 그런데 

t

₁





이면 0

dt d 

을 만족하는 시간이 없이



는

t

₁까지 단순 증가함수가 된다.

따라서 _max^* 1 cos ₁ 2sin² 2

t

¹

t 





   . 결국 0

t



t

₁에서의 결과를 정리하면,

t

1







일 때, 다시 말해 ¹ 1 2

t

  



   ^{일 때,}



_max 2이고

t

1







일 때, 다시 말해

2

1 1



 







t

일 때, _max 2sin^{2 1} 2

 t



 ^이다.

0 . 5

t

1





max

2

2)

t



t

₁의 범위에서의 최대값을 구하려면,



sin sin (  ₁)



0



t t t

dt

d    

정리하면

1 cos tan sin

1 1

 

t t t



 

에서 최대값이 발생한다.

0

t



t

1의 경우와 달리

t



t

₁의 범위에서는 위 조건을 만족시키는

t

는 항상 존재하므로, 그 값을 구해

t

_p라 하면

) cos 1 ( 2 sin sin

, ) cos 1 ( 2

1 cos cos

1 1

1 1

t t t

t

t

_p

t

_p



 



 

 



  의 관계를 갖는다.

그런데

p p

p

p p

t t

t t

t

t t

t

















cos sin

sin cos

cos

cos ) ( cos

1 1

1 max













여기에 위에서 구한 두 식을 대입하여 정리하면,

 

sin 2 2 cos

1

2 ₁ ¹

max

t  t





  

그런데 전 시간영역에서의 최대 값은 1)과 2)의 경우 중 최대값을 선택하게 되므로

2

1 1



 







t

에서는 _max Max(2sin^{2 1}, 2 sin ¹) 2 sin ¹

2 2 2

t t t

  



  ^{이 되고}

1 1

2

t

  



   ^에서는

1 max Max(2, 2 sin ) 2

2

 t



 

위 결과를 도표로 그리면 아래와 같다.

 임의의 가진력 및 지반가진 충격파에 의한 충격응답 스펙트럼

앞에서는 사각 충격파에 의한 충격응답 스펙트럼에 대해 기술하였다. 그러면, 반 사인파나 삼각파 등과 같은 임의의 충격 파형에 대한 응답스펙트럼은 어떻게 계산할 수 있을까?

1 자유도 무감쇠 진동계의 충격응답함수는 아래와 같다.

m t t

h 



^sin ) 1

( 

따라서 초기조건이 모두 0 인 무감쇠 진동계에 시간

t

₁동안 가해지는 외부 충격파 가진력 함수

f (t )

가 가해지는 경우, 그 응답은 중첩적분을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.



^

 ^t

t f d

t m

x

0 1 sin ( ) ( ) )

(

   



스펙트럼은 외부 충격파가 가해지는 시간을 시스템의 고유주기로 나눈 값



¹

t

의 함수로서

표시되며

x (t )

의 최대값으로 계산되므로, 충격응답 스펙트럼을



라 표시하면,

max max 0

1 ¹

) ( ) 2 (

2 sin )

(

^t _

^

^x

^



^t

_ ^ _{m } ^{ t}

^

^{ f  d }



여기서 적분구간이

t

₁으로 변하는 것은

f

(



)가





t

₁에서 0 이 되기 때문이다.

만일 기반 가진 충격파가

y (t )

로 주어진다면, 이에 의한 충격응답함수를



라 하면 그 값은 다음과 같이 주어진다.

0 max max

1 ¹ 2 ( )

2 sin )

(

^t _

^

^z

^



^{t }

_ ^ _ ^{ t}

^

^{ y d }





이상의 계산수식은



가 주어지면,

t

₁의 변화에 따라 수치적으로

x

_max와

z

_max를 구하는데 사용되며 이를 이용하여 충격응답 스펙트럼의 그래프를 그린다.

 아래 그림은 다음 무감쇠 진동계의 3 가지 입력 가진에 의한 동적 응답들을 보여준다.

0 ) 0 ( ) 0 ( )

( )

2

( ²   



x f t x x

x







f

(t)

f

(

t

)

u

(

t

) Blue 1 )

6 . 0 ( ) ( )

(

t



u t



u t



f

Red 2

) 3 . 0 ( ) ( )

(

t



u t



u t



f

Green 3

0.3 0.6

t

(sec)

<Comment>

위에서 관찰할 수 있듯이 사각파의 지속시간이 고유주기의 2 분의 1 인 0.5 초보다 커지면 (파란색이나 빨강색 선의 경우) 최대 동적 응답크기가 정적 변형 (1/4



²) 의 2 배가 되는 것을 관찰할 수 있다. 그러나 그보다 지속시간이 짧으면 (초록색 선의 경우) 2 배보다 작아 지는 것을 알 수 있다.

) x (t

Blue 1

Red 2 Green 3

내충격 설계

사각 파가 주어지는 무감쇠 1 자유도 진동계의



_max값을 어느 값 이하로 제어할 수 있는 설계를 내충격 설계라 부른다. 예를 들어서



_max 1의 조건을 만족시키려면 어떤 조처가 필요할까?

5 . 0

1/





t

면 (즉



2t₁이면)



_max 2가 되어 절대로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.

그러나

t

₁/



0.5면 (즉,



2t₁^이면)

1

1 1

1 max

6

6 2

sin 1

0 . 1 sin 2

t

t t

t

























 

 

이 결과는 아래와 같이 정리할 수도 있다.

3t1







이는 고유진동수를 어느 값 이하로 만드는 설계이다.

이 결과가 나타내듯이 내충격 설계의 (내진 설계가 대표적) 경우 시스템 동적 반응의 최대 값을 줄이기 위해서는 고유진동수를 낮추는 설계를 해야 한다. 따라서 일반적으로 강성을 줄여야 한다는 말이다.

건물이나 토목 구조물의 설계는 종래에는 정적인 하중만을 고려하여 충분히 강하게만 설계되었으나 위 예제가 보여주듯이 내진설계가 되면서 적절한 유연성을 갖추어야 하는 설계로 바뀌게 되었다. 극단적인 예로는 건축물이나 토목 구조물에 장착하는 횡방향 병진 운동을 허용하는 롤러는 횡방향 구조 강성을 0 으로 만든 경우에 해당하고 이 경우 횡파 성분의 지진이 발생하더라도 건물이 잘 견딜 수 있다.

충격파가 일반적 형태의 경우 그를 둘러싼 사각형보다 동적 반응이 작을 것이므로 둘러싼 사각 파가 가해진다고 가정하고 설계를 하면 보수적인 설계결과를 얻게 된다.

낙하 충돌 실험 (Drop Test)

포장된 제품이 낙하하여 지면에 충돌할 때 받게 되는 충격의 정도를 예측하는 것은 제품의 포장설계 등에 유용하게 사용할 수 있다.

위 그림은 물체가

h

높이에서 낙하하여 지면과 접촉하기 시작하는 시점의 형태를 보여준다.

이 때 물체의 속도는 2

gh

로 주어지는데, 접촉 시점을

t

0로 하면 초기조건은 다음과 같이 기술할 수 있다.

0 ) 0 ( 

x x

(0) 2

gh

또한 운동방정식은

m x   kx  mg

이므로 그 일반 해를 구하여 위 초기조건을 대입하면,

) cos 1 ( 2 sin

)

(

g

₂

t

gh t t

x 

 



^{ }



그런데 물체가 받는 외력의 총합에 의한 충격은 관성력에 비례하게 되므로 가속도를 구하기 위하여 위 식을 두 번 미분하면

) 2 sin(

) (

2

2

2

 

 



 



 









gh g t

t x



그런데 _st

k

g

/



² 

mg





이므로

x

의 최대 크기를

x

_max^{라 하면,}

2 1

max  

st

h g

x





이 결과에 의하면 낙하해서 받는 충격은 높이가 높을수록 단단할수록 (



_st가 작아지므로) 커지게 되는 것을 알 수 있다. 이 분석 방법의 타당성은

x



x

_max가 되는 범위 안에서도 스프링 강성이 선형적 특성을 근사적으로라도 유지할 수 있느냐에 달려있다.

m

k

x





²

1 2

 c

1

k

1

전달함수를 통한 시스템의 특성 계측

감쇠 진동계의 감쇠특성 값은 시스템의 자유진동 시 반응이 감소하는 형상을 관찰하여 구할 수 있음을 이미 이전에 다루었다. 그러나 감쇠 값이 어느 이상이 되면 그 자유진동 반응은 급격하게 사라지게 되어 감쇠 특성의 값을 그러한 방법으로 계측하는데 한계가 있다. 본 절에서는 감쇠 값뿐만 아니라 질량 및 강성 값들도 시스템의 전달함수를 통해서 알아내는 방법을 제시하려 한다. 전달함수를 계측을 통해서 구하는 절차는 7 장에서 다시 다루게 될 것이나 우선 여기서 간략하게 설명을 하기로 하자. 감쇠진동계의 입력 및 출력 함수들을 여러 개의 샘플을 (즉 앙상블) 평균함으로써 잡음의 (Noise) 영향을 되도록 제거하여 구한 후, 이들의 자기상관성 함수를 구한다. 이들을 푸리에 변환하여 입력 및 출력의 파워밀도 함수를 구한 후 앞에서 구한 식을 이용하여 전달함수의 절대값을 구한다. 다음은 그렇게 구한 1 자유도 감쇠진동계 전달함수의 절대값을 보여준다.

2 2

2) ( ~) ( ~

1

~) (

~) ) (

(~



 

 

c m

S k H S

ff xx



 



전달함수를 알면,



~ 0일 때의 전달함수 값으로부터 강성을 구할 수 있다. 위 식에서

H k

1

) 0

(   강성 결정

전달함수의 최대값은 다음과 같이 주어진다.

H k

1

1 2

1

max 2











감쇠 비 결정

전달함수의 최대값은 고유진동수 가까이에 존재한다.







_max  12 ²  고유진동수 결정

다음에는 강성과 고유진동수에서 질량을 결정하고, 질량과 강성과 감쇠비에서 감쇠상수를 결정할 수 있다. 아래 그림은 감쇠비가 아주 작은 경우 전달함수의 모습을 보여준다.

전달 함수 및 관련 용어

) (t f kx x c x

m

_



_

 

의 미분방정식에서 라플라스변환을 통해

) ( ) ( s L x

X  V ( s )  L ( x  ) A ( s )  L ( x  ) F ( s )  L ( f )

라면,

k cs s ms

s H F

s X



 

 ₂ 1

) ) (

( )

( ( )

) (

)

(

sH s

s F

s

V

 ( )

) (

)

( ₂

s H s s

F s

A



일반적으로

H (s )

를 전달함수라고 부르나 이를 변위전달함수(Receptance transfer function)라 부르기도 하며

sH (s )

는 속도전달함수(Mobility transfer function)라 부르고

s

²

H

(

s

)는 가속도 전달함수(Accelerance transfer function)라고 부른다. 이 세 함수들의 역함수는 동강성 (Dynamic stiffness), 임피던스 (Impedance), 명시질량 (Apparent mass) 이라 부른다.

예제: 1 자유도 감쇠진동계의 전달함수로부터 질량, 감쇠, 강성 특성 값 구하기

그림에서 1/

k

 H(0)0.05 따라서

k

20 N/m 또한 H_max0.111/k(2 1²) 따라서

  0 . 2337

또한



_max  12



²



3 따라서



3.1786 rad/s 따라서

m  k / 

²

 1 . 9795

kg 또한

c

2

 km

2.9409 kg.s/m

 비고: 이 문제를 풀 때, 0.7071일 때만 전달함수가 peak 를 갖는 것임을 기억하라.

) (

j  H



강제진동 시의 안정성

자유진동 시 안정성에 대해서는 1 장에서 다루었는데 이 때 다룬 2 가지 정의는 다음과 같다.

정의 1: 동적 반응

x (t )

의 절대값이 어떤 일정한 상수 값보다 모든 시간에 걸쳐서 같거나 작다면 그 반응은 안정적이라 (Stable) 말하며 그렇지 않으면 불안정하다 말한다. 예를 들어 무감쇠 진동계의 자유진동 반응은 어떤 진폭 크기보다 항상 작거나 같다.

정의 2: 동적 반응

x (t )

의 값이 시간이 충분히 흘러가면 0 으로 수렴할 때, 이 동적 반응은 수렴 안정적이라 (Asymptotically stable) 말한다. 예를 들어서 감쇠진동계의 자유진동 반응은 시간이 충분히 흐르면 0 으로 수렴한다.

본 절에서는 강제 진동시의 안정성에 대해서 좀 더 일반적인 정의를 가지고 다루려 한다.

감쇠진동계의 강제진동 방정식은 다음과 같다.

) (t F kx x c x

m

_



_

 

이 때, 입력과 출력이 모두 어떠한 초기조건 하에서도 제한된 값을 갖는다면 (Bounded) 이 시스템은 입출력 안정적이라 (BIBO stable) 말한다. 만일 감쇠가 없고 입력인 외부 가진력이 고유진동 주파수를 갖는다면, 입력이 제한된 값을 가져도 출력이 공진으로 발산하게 되므로 입출력 안정적이 아니다.

주어진 입력에 대해 (제한된 값이라는 조건 필요 없음) 어떠한 초기조건 하에서도 출력이 제한된 값을 갖는다면 (Bounded) 이 시스템은 라그랑지 안정적이라 (Lagrange stable) 말한다.

예를 들어, 역진자의 경우에 (1 장 참조) 중력의 영향을 입력이라 간주하면,





 kl mgl

ml

 

2

2 2 

이 때,

kl  2 mg

면 라그랑지 안정적이며 (왜냐하면

mgl 

는 제한된 입력 값이 아니므로) 그 외는 불안정적이다.

또 다른 예로서, 이번에는 동일한 역진자계에서 중력의 영향은 시스템의 일부로 간주하고 또 다른 외력

F (t )

가 다음과 같이 주어진다고 하자.

) ( 2 )

(

2

2

kl mgl F t

ml 

^ 





mg

kl

2 이면, 제차계는 불안정하나

F

(

t

)

a 



b 

^ (

b

0 0 2

2 

mgl



a



kl

)라면

입력 및 출력이 모두 제한된 값을 갖는다. 이 때, 이 시스템은 라그랑지 안정적이다.

Homework Problems 44, 45, 46, 52, 56,, 59, 61, 64