A numerical investigation on nonlinear behavior of fluid flow with variation of physical properties of a porous medium

*Corresponding Author. Tel: +82-55-249-2641 E-mail: [email protected] (W. Jeong)

A numerical investigation on nonlinear behavior of fluid flow with variation of physical properties of a porous medium

Jeong, Woochang

*

a

Department of Civil Engineering, Kyungnam University

Paper number: 17-033

Received: 22 March 2017; Revised: 12 April 2017; Accepted: 12 April 2017

Abstract

In this study, the numerical investigation of the non-linear behavior of the fluid flow with physical properties, such as porosity and intrinsic permeability of a porous medium, and kinematic viscosity of a fluid, are carried out. The applied numerical model is ANSYS CFX which is the three-dimensional fluid dynamics model and this model is verified through the application of existing physical and numerical results. As a result of the verification, the results of the pressure gradient-velocity relationship and the friction coefficient- Reynolds number relationship produced from this study show relatively good agreement with those from existing physical and numerical experiments. As a result of the simulation by changing the porosity and intrinsic permeability of a porous medium and the kinematic viscosity of a fluid, the kinematic viscosity has the biggest effect on the non-linear behavior of the fluid flow in the porous medium.

Keywords: Non-linear behavior, ANSYS CFX, Porous medium, Porosity, Intrinsic permeability

다공성 매질의 물리적 특성 변화에 따른 유체흐름의 비선형 거동에 대한 수치적 분석

정우창

*

a

경남대학교 공과대학 토목공학과

요 지

본 연구에서는 다공성 매질의 공극율과 투수능 그리고 유체의 동점성 계수와 같은 물리적 특성에 따른 유체흐름의 비선형 거동에 대한 수치적 분 석을 수행하였다. 적용된 수치모형은 ANSYS CFX 3차원 유동해석 모형이며, 모형의 검증은 기존의 물리적 실험 결과 및 수치모의 결과의 적용을 통해 수행되었으며, 적용된 압력경사와 유속과의 관계 그리고 마찰계수와 레이놀즈 수와의 관계에 대해 비교적 잘 일치하였다. 다공성 매질의 공극 율과 투수능 그리고 유체의 동점성 계수의 값을 변화시키면서 모의한 결과 유체의 동점성 계수가 다공성 매질의 유체흐름의 비선형 거동에 가장 큰 영향을 미치는 것으로 나타났다.

핵심용어: 비선형 거동, ANSYS CFX, 다공성 매질, 공극율, 투수능

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1. 서 론

다공성 매질에서 비선형 흐름은 사력(rockfills), 자갈 하상 (gravel beds) 그리고 폐기물 더미(waste dump)와 같은 매질 내 상대적으로 높은 침투유속에서 발생하며, 이러한 비선형

흐름에 대한 모델링은 지하수, 지반 그리고 환경공학과 같은 많은 분야에서 다루어지고 있다.

지난 십 수년 전부터 Darcy 법칙으로부터 관성력의 효과가 큰 다공성 매질을 통한 흐름으로 확장하기 위한 경험적 그리 고 이론적 연구가 수행되어져 왔다(Skjetne and Auriault, 1999a,b). 일반적으로 다공성 매질에서 지하수 흐름을 해석 하는데 적용되는 Darcy의 법칙(Darcy, 1856)은 다음과 같은 식으로 표현된다.

Fig. 1. Flow regimes in a porous medium (Skjetne, 1995)

   ⋅∇

∇   ∇ ∇ 

여기서

^ 

^ 







_



Eqs. (1) and (2)로부터 Darcy 법칙은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

    ⋅∇∇

여기서





Helmig (1997)에 따르면 Bear and Bachmat (1986)은 Darcy 법칙을 유도할 때 관성과 시간 변화에 대한 효과를 무시 하였다. 따라서 Darcy 법칙은 단지 매우 느린 흐름(



≪ 





   

여기서









Skjetne (1995)는 다공성 매질에서



Transition from Forchheimer to turbulence. 1은 관성력에 비 해 점성력이 우세한 유동 형태이며, Darcy의 법칙이 적용될 수 있다. 2에 해당하는 weak inertia는 관성력이 점성력과 같 은 정도가 됨을 의미하며, 그 이후에는 관성력이 지배적인 유 동 형태에 해당된다.

다공성 매질에서의 Darcy 법칙이 적용될 수 없는 즉 상대적 으로 큰 유속, 즉 Fig. 1에서 유동 형태 3 이상인 유체흐름은 관성과 점성 그리고 압력 사이의 국부적인 비선형적 상호작용

에 의해 특성지울 수 있다(Skjetne and Auriault, 1999a,b). 이 러한 비선형적 효과는 Eq. (1)에 의해 예측된 압력손실보다 큰 압력손실을 발생시키며, 부가적인 비선형항의 도입될 필 요가 있다. Forchheimer (1901)는 다공성 매질 내에서 유속이 증가함에 따라 점성효과보다는 관성효과가 흐름을 지배한다 는 것을 설명하기 위해 Darcy 법칙에 유체의 운동에너지를 대 표하는 관성항을 포함시킨 Eq. (5)를 제안하였다(Dullien, 1992).

∇  

   

여기서





Muskat (1937), Green and Duwez (1951) 그리고 Cornell and Katz (1953)은 상수





∇    ^{   }



여기서

















Forchheimer 식은 Muskat (1937), Ahmed and Sunuda (1969), Scheidegger (1960), Chauveteau and Thirriot (1967), Wright (1968), Greertsma (1974), Firoozabadi and Katz (1979) 그리고 Tiss and Evans (1989)에 의한 실험을 통해 관 성력이 지배적인 흐름에 적용될 수 있음이 증명되었다.

Eq. (6)을 변형하여 마찰계수



^

와의 관계식으로 표현하면 다음과 같다(Churchill, 1988).

(a)

(b)

Fig. 2. Photograph of experimental set-up (a) and Porous structure used in experiments

     

여기서

  ∇  





   ^

 

Mayer et al. (2011)은



     ^  



∇

(8)

여기서



최근 Cheng et al. (2008)은 다공성 매질을 통한 비선형 흐름 에 대한 이차 법칙(quadratic law)과 멱 법칙(power law)의 적 용성을 검토하기 위해 물리적 실험과 수치적 실험을 수행하였 으며, 이차 법칙은 선형과 비선형 흐름 둘 다에 대해 적용이 가능하나 멱 법칙을 적용하는 것은 타당하지 않다는 결론을 제시하였다. Skjetne (1995)는 비압밀 그리고 압밀 다공성 매 질 및 균열 시스템에 대해 Forchheimer 식의 적용 타당성을 조사하기 위한 연구를 수행하였으며, 다양한 유속 조건에 대 해 Forchheimer 식이 적용 가능하다는 것을 제안하였다. 그러 나 다공성 매질 내에 유체 흐름에 영향을 미치는 유체의 점성 계수, 매질의 투수성 계수 그리고 공극율과 같은 물리적 특성 의 변화에 따른 압력 변화 및 마찰계수





본 연구에서는 3차원 상용 유동 모의 및 분석 모형인 ANSYS CFX (Jeong, 2014; 2015)를 이용하여 다공성 매질의 물리적 특성 변화에 따른 압력과 유속의 변화 관계,

  

2. 적용된 수치모형의 검증

본 연구에서 적용된 수치모형의 검증을 위해 Mayer et al.

(2011)이 균일하게 배열된 벌집(honeycomb) 형태(Fig. 2(b) 의 공간들이 내재되어 있는 다공성 실린더형 구조체(Fig. 2(a)) 를 대상으로 양 끝단 압력경사의 변화에 따른 비선형적 유동 특성을 분석하기 위해 수행한 실내 실험결과를 이용하였다.

실험에서 사용된 다공성 실린더형 구조체의 길이는 0.295 m 그리고 직경은 0.03 m이며, 구조체 내부를 통과하는 유체는

등온상태(isothermal state)의 공기로 가정하였다. Table 1은 실험에 적용된 공기의 물리적 특성(밀도와 점성계수)과 실험 을 통해 분석된 압력경사의 변화에 따른 유속과 레이놀즈수를 나타낸 것이다.

검증을 위한 수치모의에서 적용된 다공성 구조체는 실험 에서 수행한 것과 동일하나 Fig. 3(a)에서처럼 일방향 흐름 (unidirectional flow)이고 대칭 형태이기 때문에 전체 구조체 의 4분의 1만 고려하였다. 본 모의에서 흐름은 양 끝단의 압력 차에 의해 지배되며, 양 끝단에는 Dirichlet 경계조건을 적용 하였다. 유입경계에서의 압력은 Table 1의 압력경사를 이용 하여 계산하였으며, 유출경계에는 대기압 조건(100,000 Pa) 을 적용하였다. 구조체의 벽면은 no flow 즉 Neumann 경계조 건을 적용하였으며, 내부 측벽과 바닥벽에는 symmetry 경계 조건을 적용하였다.

Fig. 3(b)는 육면체 요소(hexahedral element)들로 구축된 구조적 격자망을 나타낸 것으로 절점은 496,184개 그리고 셀 은 478,525개로 구성되었다. 다공성 구조체의 고유투수계수 (intrinsic permeability,

_



Table 1. Physical property of air and experimental results

∇ [Pa/m] Air



[m/sec] _

 [kg/m

]  [kg/(m·sec)]

181.66 1.1318 1.8007×10

0.24 16.55

651.76 1.1333 1.8010×10

0.53 36.79

2,120.25 1.1382 1.8013×10

1.01 69.65

4,993.44 1.1482 1.8016×10

1.58 110.27

8,004.28 1.1586 1.8019×10

2.04 143.58

12,263.25 1.1734 1.8022×10

2.50 178.40

19,448.21 1.1987 1.8024×10

3.09 225.20

24,294.88 1.2157 1.8026×10

3.41 251.84

30,284.81 1.2368 1.8027×10

3.75 282.34

40,987.76 1.2746 1.8027×10

4.32 334.95

49,150.42 1.3035 1.8027×10

4.63 367.00

58,746.00 1.3374 1.8027×10

4.96 403.69

68,519.69 1.3721 1.8027×10

5.35 446.88

78,375.66 1.4070 1.8026×10

5.63 473.27

88,688.64 1.4436 1.8025×10

5.86 514.67

100,100.93 1.4842 1.8024×10

6.06 547.19

116,934.34 1.5438 1.8023×10

6.37 598.47

(a)

(b)

Fig. 3. Model domain with boundary conditions (a) and uniform mesh with hexahedral elements (b)

Fig. 4는 적용된 17개의 압력경사(

∇

∇

Fig. 5는 압력분포의 경우와 마찬가지로 세 가지

∇

Table 2는 실험을 통해 산정된 유속과 수치모형에 의한 유 속을 비교한 것이다. 본 연구에서 적용된 수치모형 이외에 Jambhekar (2011)가 DuMu^X모형을 이용하여 동일한 조건 하에서 모의한 유속을 비교하였다. DuMu^X모형은 다공성 매 질에서 유체흐름과 용질 이송 과정을 모의하기 위해 독일 Stuttgart 대학에서 개발한 오픈 소스 소프트웨어이다. 유속과 마찰계수에 대한 오차분석에 적용된 식은 다음과 같다.

   ^



 



×  

비교결과 본 연구에서 적용된 수치모형으로부터의 유속은 실험을 통한 유속과 각각의 압력경사에 대해 비교적 잘 일치 하는 것으로 나타났으며, 평균오차는 1.28%로 산정되었다.

(a) (b) (c)

Fig. 4. Pressure distribution across porous structure: (a) ∇ = 181.660 Pa/m (b), ∇ = 24,294.88 Pa/m and (c) ∇ = 116,934.34 Pa/m

(a) (b) (c)

Fig. 5. Velocity distribution across porous structure: (a) ∇ = 181.660 Pa/m (b), ∇ = 24,294.88 Pa/m and (c) ∇ = 116,934.34 Pa/m

Table 2. Comparison of experimental and numerical velocities

∇ [Pa/m] 

[m/sec] _

[m/sec] Error (%) 

[m/sec] Error (%)

181.66 0.24 0.24 2.02 0.26 6.94

651.76 0.53 0.54 0.93 0.53 1.28

2,120.25 1.00 1.00 0.24 0.99 1.89

4,993.44 1.58 1.56 1.41 1.57 0.59

8,004.28 2.04 1.97 3.12 1.95 4.39

12,263.25 2.50 2.44 2.45 2.47 1.22

19,448.21 3.09 3.05 1.26 3.01 2.43

24,294.88 3.40 3.39 0.47 3.35 1.61

30,284.81 3.75 3.76 0.12 3.71 1.00

40,987.76 4.32 4.31 0.16 4.27 1.24

49,150.42 4.63 4.67 1.00 4.62 0.08

58,746.00 4.96 5.05 1.76 4.99 0.70

68,519.69 5.35 5.39 0.62 5.33 0.41

78,375.66 563 5.59 1.15 5.63 1.91

88,688.64 5.86 5.98 2.06 5.92 1.03

100,100.93 6.06 6.27 1.80 6.21 2.41

116,934.34 6.37 645 1.18 6.58 3.29

Mean 1.28 1.91

Table 3. Comparison of experimental and numerical friction coefficient, 

∇ [Pa/m] 







Error (%) 



Error (%)

181.66 16.52 0.53 17.11 0.51 3.92 16.77 0.55 3.42

651.76 36.79 0.33 44.25 0.32 1.84 43.84 0.38 11.03

2,120.25 69.65 0.35 70.37 0.36 0.48 70.55 0.38 7.66

4,993.44 110.27 0.34 110.10 0.35 2.85 111.67 0.36 7.55

8,004.28 143.58 0.32 140.85 0.34 6.54 145.38 0.35 10.34

12,263.25 178.40 0.32 176.19 0.34 5.08 180.60 0.35 8.09

19,448.21 225.20 0.33 225.08 0.34 2.59 227.96 0.34 4.88

24,294.88 251.84 0.33 253.72 0.33 0.93 254.91 0.34 2.95

30,284.81 282.34 0.33 286.10 0.33 0.24 285.76 0.34 1.52

40,987.76 334.95 0.33 338.45 0.33 0.33 338.99 0.34 1.80

49,150.42 367.00 0.34 375.13 0.33 1.94 371.43 0.34 0.65

58,746.00 403.69 0.34 415.77 0.33 3.43 408.56 0.34 2.27

68,519.69 446.88 0.33 455.12 0.33 1.22 452.29 0.33 0.12

78,375.66 473.27 0.35 484.53 0.34 2.25 479.01 0.33 4.69

88,688.64 514.67 0.34 531.68 0.33 4.00 520.95 0.33 3.07

100,100.93 547.19 0.35 563.88 0.34 3.50 553.90 0.34 2.65

116,934.34 598.47 0.36 612.99 0.35 2.33 605.83 0.35 1.53

Mean 2.56 4.37

Fig. 6. Comparison between measured and simulated velocity distribution

Fig. 7. Comparison between measured and simulated friction coefficient

DuMu^X모형으로부터의 유속의 평균오차는 1.91%로 본 연 구에서 적용된 수치모형이 0.63% 보다 정확한 것으로 산정되 었으나 DuMu^X모형 적용 시 격자망의 조밀도가 상대적으로 낮기 때문에(셀의 개수가 2배 정도 작음) 실제적으로는 거의 차이가 없는 것으로 판단된다. Fig. 6은 Table 2의 비교결과를 그래프로 나타낸 것이다.

비교결과 본 연구에서 적용된 수치모형으로부터 계산된 결 과는 실험을 통해 산정된 결과와 비교적 잘 일치하는 것으로 나타났으며, 평균오차는 2.56%로 산정되었다. DuMu^X모형 으로부터의 평균오차는 4.37%로 본 연구에서 적용된 수치모 형이 1.72% 보다 정확한 것으로 산정되었으나 DuMu^X모형 적용 시 격자망의 조밀도가 상대적으로 낮기 때문에(셀의 개수 가 2배 정도 작음) 실제적으로는 거의 차이가 없는 것으로 판단 된다. Fig. 7은 Table 3의 비교결과를 그래프로 나타낸 것이다.

3. 다공성 매질의 물리적 특성 변화에 따른 유체흐름 모의 및 결과 분석

3.1 공극율( _ )의 변화

본 모의에서는 다공성 매질의 공극율 변화(



∇



Fig. 8. Comparison of ∇   relationship with porosity Fig. 9. Comparison of   

relationships with porosity

Table 4. Comparison of velocities at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]



181.66 ( 

=2,304.19)

24,294.88 ( 

=28,174.36)

58,746.00 ( 

=63,615.76)

116,934.34 ( 

=90,439.95)

0.3 0.21 - 3.63 - 5.73 - 8.15 -

0.4 0.18 ↓0.86 3.58 ↓0.99 5.68 ↓0.99 8.10 ↓0.99

0.5 0.16 ↓0.76 3.54 ↓0.97 5.63 ↓0.98 8.05 ↓0.99

Table 5. Comparison of friction coefficients at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]



181.66 ( 

=2,304.19)

24,294.88 ( 

=28,174.36)

58,746.00 ( 

=63,615.76)

116,934.34 ( 

=90,439.95)

0.3 1.26×10

- 5.70×10

- 5.36×10

- 5.28×10

-

0.4 3.95×10

↑3.13 1.40×10

↑2.46 1.29×10

↑2.41 1.27×10

↑2.40 0.5 9.97×10

↑7.91 2.85×10

↑5.00 2.57×10

↑4.79 2.50×10

↑4.74

(

_







Fig. 8은



∇



∇



Table 4는 네 개의 대표적인

∇







∇





∇







Fig. 9는





_



의 증가에 따라







감소하나 그 이후부터는 매우 느리게 감소하면서 일정한 값에 점근하는 결과를 나타내었다. Table 5는 네 개의 대표적인

∇





∇





∇







∇







∇

3.2 동점성 계수(  )의 변화

본 모의에서는 다공성 매질 내 유체 동점성 계수의 변화(



∇











Fig. 10. Comparison of ∇   relationship with kinematic viscosity Fig. 11. Comparison of   

relationships with kinematic viscosity

Table 6. Comparison of velocities at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]

 [m

/sec]

181.66 ( _

=2,304.20)

24,294.88 ( _

=28,174.36)

58,746.00 ( _

=63,615.76)

116,934.34 ( _

=90,439.96)

1.0×10

0.002 - 0.277 - 0.665 - 1.307 -

1.0×10

0.021 ↑10.50 2.00 ↑7.22 3.850 ↑5.79 6.119 ↑4.68

1.0×10

0.159 ↑79.50 3.54 ↑12.78 5.632 ↑8.47 8.048 ↑6.16

Table 7. Comparison of friction coefficients at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]

 [m

/sec]

181.66 ( 

=2,304.20)

24,294.88 ( 

=28,174.36)

58,746.00 ( 

=63,615.76)

116,934.34 ( 

=90,439.96)

1.0×10

5.8146 - 0.0900 - 0.0184 - 0.0095 -

1.0×10

0.0586 ↓99.22 0.0013 ↓69.23 0.0005 ↓36.80 0.0004 ↓23.75 1.0×10

0.0010 ↓5,814.60 0.0003 ↓300.00 0.0003 ↓61.33 0.0002 ↓47.50

Fig. 10은



∇

_



∇





∇





∇





∇







Fig. 11은





_







∇





Table 7은 네 개의 대표적인

∇





∇







그러나 그 이후에서는 이러한 차이가 급격하게 감소되며,

∇







∇

3.3 투수능(  )의 변화

본 모의에서는 다공성 매질 내 유체의 투수능의 변화(



∇

에 따른











Fig. 12는



∇

_



∇

Fig. 12. Comparison of ∇   relationship with intrinsic permeability Fig. 13. Comparison of  

relationships with intrinsic permeability

Table 8. Comparison of velocities at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]

 [m

]

181.66 ( 

=2,304.20)

24,294.88 ( 

=28,174.36)

58,746.00 ( 

=63,615.76)

116,934.34 ( 

=90,439.96)

1.0×10

0.181 - 2.490 - 5.682 - 8.098 -

1.0×10

0.026 ↓6.96 1.328 ↓1.87 4.176 ↓1.36 6.496 ↓1.25

1.0×10

0.003 ↓60.33 0.175 ↓14.23 0.825 ↓6.89 1.612 ↓5.02

Table 9. Comparison of friction coefficients at four values of ∇ with 

∇ [Pa/m]

 [m

]

181.66 ( _

=2,304.20)

24,294.88 ( _

=28,174.36)

58,746.00 ( _

=63,615.76)

116,934.34 ( _

=90,439.96)

1.0×10

0.0004 - 0.0001 - 0.0001 - 0.0001 -

1.0×10

0.0193 ↑48.25 0.0005 ↑5.00 0.0002 ↑2.00 0.0002 ↑2.00

1.0×10

1.8975 ↑4,743.75 0.0284 ↑284.00 0.0061 ↑61.00 0.0032 ↑32.00

선형으로 증가하는 것으로 나타났으나



∇



∇



그러나 그 이후에서는 이러한 차이가 급격하게 감소되며,

∇





Fig. 13은





_







∇





∇





∇







∇







∇

4. 결 론

본 연구에서는 다공성 매질의 공극율, 유체의 동점성 계수 그리고 투수능과 같은 물리적 특성의 변화에 따른 유체 흐름 의 비선형 거동에 대한 수치적 분석을 수행하였으며, 다음과 같은 결론을 얻었다.

1. 본 연구에서 적용된 수치모형의 검증을 위해 Mayer et al.

(2011)이 수행한 실험 자료를 이용하였으며, 검증 결과 압 력경사와 유속과의 관계 그리고 마찰계수와 레이놀즈 수와 의 관계에 있어 실험결과와 비교적 잘 일치하는 결과를 얻 었으며, Jambhekar (2011)에 의해 수행된 DuMu^X모형을 통한 모의 결과와도 비교적 잘 일치하였다.

2. 다공성 매질에서 유체흐름의 비선형 거동에 가장 큰 영향을 미치는 물리적 특성은 유체의 동점성 계수가 됨을 알 수 있 었다. 압력경사가 181.66 Pa/m에서 동점성 계수가 1.0×10^-5 m²/sec일 때 산정된 유속을 기준으로 할 때 1.0×10^-6 m²/sec 에서는 10.50배 그리고 1.0×10^-7 m²/sec에서는 79.50배 크 게 산정되었다. 마찰계수의 경우 동점성 계수가 1.0×10^-5 m²/sec일 때 산정된 마찰계수를 기준으로 할 때 1.0×10^-6 m²/sec에서는 99.22배 그리고 1.0×10^-7 m²/sec에서는 5,814.60배 작게 산정되었다.

3. 동점성 계수는 클수록 압력경사의 증가에 따라 유속은 선형 으로 증가되는 경향을 나타내었으나 투수능의 경우에는 작 을수록 선형으로 증가되는 경향을 나타내었다. 이는 동점 성 계수가 클수록 관성력보다는 점성력이 상대적으로 우세 하며, 투수능은 작을수록 관성력보다는 점성력이 상대적 으로 우세하다는 것을 의미하는 것으로 판단된다.

감사의 글

본 연구는 국토교통부물관리연구개발사업의 연구비지원 (과제번호 16AWMP-B066761-04)에 의해 수행되었습니다.

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