회로 법칙

(1)

제 27장. 전기회로(Electric Circuit)

기전력(emf : Electro Motive Force): 낮은 퍼텐셜에서 높은 퍼텐셜로 단위전하당 이동시키는 데 필요한 일로 다음과 같이 정의 된다.

dW

  dq ^(27.1)

단위: [J / CV]

기전력은 회로의 양단에 포텐셜 차를 줌으로써 전류가 흘러가도록 하는 것으로, Ohm의 법칙

 iR을 따른다. 이것은 댐처럼 물을 담아 놓고 아래 부분과 높이 차이를 주어, 중력 포텐셜 차 에 의해 물을 아래로 흐르게 하는 것과 같다. 전기에서 이러한 퍼텐셜 차를 만드는 장치(물로 비 유하면 낮은 곳에 있는 물을 높은 곳으로 끌어 올리는 장치)를 기전력 장치라 하며 전지(Battery), 발전기(Generator) 또는 태양전지와 같은 것들이다. 내부 저항을 무시한다면 기전력 ^{는 지금까}

지 공부한 포텐셜 V 와 똑 같이 취급하면 된다.

27.1

Ohm’s Law의 유도

우측 그림의 단일고리 회로 참고

시간 dt 동안에 저항에서 소모되는 에너지: i Rdt²

전지에서 공급되는 화학(일) 에너지: dWdqidt

에너지 보존법칙: idti Rdt²   iR

이것은 Kirchhoff의 퍼텐셜에 관한 회로규칙에 의해서도 유도할 수 있다.

회로 법칙

Kirchhoff 의 회로법칙: 회로를 분석하는 데 사용하며 다음의 두 법칙이 있다.

(a) 전류법칙(Current Law): 한 접점에서 전류의 합은 0^이다.

우측 그림의 전류법칙: i_o    ( i₁) ( i₂) 0  i_o  i₁ i₂

전류법칙을 다른 말로 표현하면 한 점에 들어온 전류는 그 점을 통해 나가는 전류의 양과 같다.

(b) 전압법칙(Voltage Law): 폐 회로(닫힌 회로)에서 특정한 방향으로 취해진 전압상승의 합은 0이다. 이때 다음의 규칙이 적용된다.

저항규칙: 전류의 방향으로 저항을 지나면 퍼텐셜의 변화는 iR이고 반대 방향이면 iR^.

기전력 규칙: 음극에서 양극으로 기전력 장치를 지나면  , 반대 방향이면 

전류의 방향은 임의로 선택하여 적용한다.

처음 그림에서 점 a로부터 시계방향으로 전압법칙을 적용하면, 저항에서의 전압 차는 iR^{, 전지}

는 음에서 양 방향이므로  가 적용된다.

0

iR   iR

    

이것은 곧 Ohm^{의 법칙이다.}

(2)

단일 고리에서 전류: i R



내부 저항

내부 저항은 전지의 자체 저항이다. 이상 적인 전지라면 내부 저항

r^은 0이지만 그러한 전지는 존재하지 않는다. 점 a^{에서 시작하여}

시계방향으로 전압법칙을 적용하면

0

ir iR i

r R

     

 ^(27.2)

27.2 회로법칙의 적용

(i) 단일회로

점 c를 출발하여 다시 c로 돌아올 때 시계방향과 반 시계방 향으로 각각 전압법칙을 적용해 보면

시계 방향:     iR ir₁  ₁ ₂ ir₂ 0 ⁽¹⁾

반 시계방향: ir₂    ₂ ₁ ir₁ iR0 (2)

두 결과는 동일하다. 따라서 전압법칙을 적용하는 방향은 임의로 선택할 수 있다.

(ii) 다중고리 회로

우측 그림은 3개의 폐회로가 있고 이 회로에서 전류의 크기와 방향을 구해보자. 여기서 전류의 방향들은 임의로 택한 것으로 계산에 의해 결정된다. 이때 전류가 음수로 나오면 그 방향은 반 대 임을 나타낸다.

접점 d에서 전류법칙: i₁ i₃ i₂ (1) 접점 b의 좌측과 우측 폐 회로에 대한 반 시계방향으로의 전압 전압 법칙:

1 i R1 1 i R3 3 0

    (2)

2 i R2 2 i R3 3 0

    (3)

연립방정식을 풀면

1 2 3 2 3

1

1 2 2 3 3 1

(R R ) R i R R R R R R

  

   ^,

1 3 2 1 3

2

1 2 2 3 3 1

( )

R R R

i R R R R R R

  

   ^,

1 2 2 1

3

1 2 2 3 3 1

R R

i R R R R R R

 

   

음의 전류는 선택한 방향이 반대임을 의미한다.

계산의 검증: 다중고리 문제는 대부분이 여러 개의 값을 찾아내는 연립방정식에 귀착되며, 값의 검증이 그리 쉬운 일이 아니다. 그러나 위 예의 경우, R₃가 무한대 (Open 상태)라면 i₃는 0이 되며 단일 폐회로의 값으로 환원된다. 이러한 방법으로 계산 값들을 검토하여 맞추어 볼 수 있다.

(3)

두 점 사이의 퍼텐셜 차

우측 그림의 두 점 a b, 사이의 포텐셜 차를 계산하는 경우를 생각하자.

먼저 회로에 흐르는 전류를 전압법칙으로 계산하면

i R r

 



점 b a, 에서의 퍼텐셜을 각각 V V_b, _a라 하고 전류의 역방향(그림에서 반 시계방향)으로 전압법칙을 적용하면

b a b a

V   ir  V  V V   ir ^(27.3)

따라서 두 점의 퍼텐셜 차 V ^는

(1 )

b a

r R

V V V r

R r R r R r

   

      

   ^(27.4)

( 4.0 )(12 V) 8.0 V 4.0 2.0

V  



이것은 시계방향으로 선택해도 동일하다. 즉

b a b a

V iRV  V V iR

b a

V V V iR R

R r

   



이것은 곧 (27.4) 식이다.

회로의 접지

(

Ground

)

접지는 회로를 도체 선으로 지표와 연결하는 것이며, 접지된 지점의 퍼텐셜은 0이다. 그림 (a)에 서 a점은 접지 되었기 때문에 V_a 0이며 그림 (b)에서는 b점이 접지 되었으므로 V_b 0^이다.

그림 (a)의 퍼텐셜 차: V_a는 접지되었으므로 V_a 0

( )

b a b

V iR V V iR R

r R

     

 ^:

[ 12 ](4 ) 8.0 V (2 4)

b

V  V  

 

그림 (b)의 퍼텐셜 차: V_b 0 V^이므로 V_a 8.0 V  V_a  8V

보기문제 27.1 우측 그림의 회로에서 기전력과 저항은 다음과 같다.₁ 4.4 V^,₂ 2.1V^,r₁ 2.3^,

2 1.8

r  ^, R5.5

(a) 회로에 흐르는 전류는 얼마인가?

(4)

(b) 전지 1의 양 끝에 나타나는 퍼텐셜 차는 얼마인가?

(풀이) (a) b점에서 출발하여 시계방향으로 전압법칙 적용:

1 1 2 2 0

ir   ir iR

     

1 2

(4.4 2.1) V

0.24 A (2.3 1.8 5.5)

i r r R

  

  

    

(b) 단자 a^와b사이의 포텐셜 차를 구하면 된다.

반 시계방향으로 전압법칙을 적용하면(시계 방향으로 해도 값은 동일)

1 1 1 1 4.4 V (0.24A)(2.3 ) 3.85V

a b a b

V    ir V  V V    ir   

27.3 등가저항(Equivalent Resistance)의 계산

(i) 직렬( Series ) 연결

아래 그림처럼 저항이 직렬로 연결되었을 때 하나의 등가저항 R로 나타내는 수식을 구한다.

점 a에서 출발하여 회로를 따라 시계방향으로 전압법칙을 적용하면

1 2 3 0

iR iR iR

   

1 2 3

( )

i R R R iR

    

1 2 3 j

j

RR R R  R



R ^(27.5)

(ii) 병렬( Parallel ) 연결

세 개의 저항이 그림처럼 병렬로 연결되었을 때 각 저항에 걸리는 전압은 동일하고 흐르는 전류 는 저항 값에 역 비례한다.

1 2 3

1 1 1 1

( )

i i i i

R R R  R

      

1 2 3

1 1 1 1 1 1

j j

R  R R R  R 



R ^(27.6)

(5)

직렬과 병렬이 혼합되어 있는 회로의 저항 계산은 직렬은 직렬끼리 병렬은 병렬끼리 계산한 다음 합치면 된다. 일반적으로 회로의 뒷부분에서 계산하며 앞으로 온다.

보기문제 27.2 우측 회로는 이상적인 전지와 네 개의 저항을 가진 다 중고리 회로이고 그 크기는 각각 다음과 같다.

1 20

R  ^, R₂ 20^, R₃ 30^,R₄ 8.0^, 12 V

(a) 전지를 통해 흐르는 전류는 얼마인가?

(b) R₂^와 R₃를 통해 흐르는 전류 i₂^와i₃는 각각 얼마인가?

(풀이) (a) 이 회로에 대한 등가저항

2 3 23

23 2 3 2 3

1 1 1 R R

R  R R  R  R R



23

(20 )(30 ) (20 30) 12

R     

 

등가저항: RR₁R₂₃R₄ (20 12 8)   40 i1

R

 ^: ₁ 12 V

0.30 A i  40 



(b) 좌측 폐 회로에서 점 b로부터 반 시계방향으로 전압법칙을 적용하면

1 1 4

1 1 1 4 2 2 2

2

( )

0 i R R

i R i R i R i

R

 ^ ^

     

2

12 (0.30 )(20 8.0 )

0.18 A 20

V A

i      



점 b에서 전류법칙: i₁ i₂ i₃  i₃  i₁ i₂

3 (0.30 0.18) A 0.12 A

i   

보기문제 27.3 우측 그림은 전기소자가 다음의 값을 갖 는 회로이다. ₁3.0 V, ₂ 6.0 V, R₁2.0,

2 4.0

R   . 세 전지는 이상적인 전지들이다. 세 갈래 길에서 전류의 방향과 크기를 각각 구하여라.

(풀이) 점 a에서 전류법칙: i₁ i₂ i₃ (1) 좌측회로에서 전압법칙:  ₁ ₂ 2R i_{1 1}R i_{2 3} (2)

우측회로에서 전압법칙: _{1 2} _{2 3} ₂ ₂ ₂ ² ₃

1

2 0

2

R i R i i R i

  R

      

2 3 2 3

4.0 2(2.0 )

i    i  i  i

 ⁽³⁾

(3)을 (1)에 대입: i₁2i₃ (4)

(4)를 (2)에 대입: ₁ ₂ ₁ ₃ _{2 3} ₁ ₂ ₃ ₃ ¹ ²

1 2

2 (2 ) (4 )

R i R i R R i i 4

R R

         ^



(6)

3

(3.0 6.0) V 4(2.0 ) 4.0 0.25

i     

  

(4)와 (3)에 의해 i₁ 0.50, i₂ 0.25 A

i1, i₃는 음수이므로 그림에 나타낸 방향과 반대로 흐른다.

보기문제 27.4 남미의 강에 서식하는 전기 뱀장어는 전기세포가 있어서 전류를 발생시킬 수 있다.

전기세포는 140개의 열을 이루고 열은 5000개의 전기세포로 이루어져 있다. 각각의 전기세포는

0.15 V의 기전력 를 발생하고 내부저항 r은 0.25이다. 전기뱀장어 주변의 물이 머리와 꼬 리를 연결하는 도선 역할을 한다. (a) 전기뱀장어 주변 물의 저항을 R_w 800이라 하면 물에 흐르는 전류의 크기는 얼마인가? (b) 그림에서 각각의 열을 따라 흐르는 전류 i_row는 얼마인가?

(풀이) (a) 한 열에 5000개의 전기세포와 저항이 있으므로

5000 (5000)(0.15V) 750 V

row   

5000 (5000)(0.25 ) 1250

Rrow  r   

이들을 회로도로 나타내어 순차적으로 계산하면 아래 그림과 같다.

140

1

1 1 140

eq j j row

R 



_ R  R ^: ^R^eq ^ ₁₄₀^R^row ^¹²⁵⁰₁₄₀^^^8.93^

우측 단일고리에서

row iRw iReq 0

    ^: 750 V

0.927 A 800 8.93

row

w eq

i R R

   

   

(7)

(b) 0.927 A ³ 6.6 10 A 140 140

row

i  i    ^

27.4 측정기기

(i) 전류측정(전류계)

회로의 전류는 전류계를 회로 내에 직렬 연결하여 측정하며, 이때 측 정기의 저항은 회로의 저항보다 작아서 무시할 수 있을 정도여야 한 다. 즉, R_A R . 그 이유는 직렬로 연결된 전류계의 저항이 크면 회로에 흐르는 전류를 방해한다.

(ii) 전압측정(전압계)

측정하고자 하는 부분과 전압계를 병렬 로 연결하여 측정하며, 이때 계측기의 저항은 측정부분 저항 보다 훨씬 커야한다. 즉 R_V R .

이유는 병렬로 연결된 전압계의 저항이 작다면 전류가 전압계로 대부분 흐르기 때문이다.

(iii) 전위차계

전위차계는 이미 알고 있는 표준 기전력 _s와 비교하여 미지의 기전력 _u를 측정하는 기기이다.

27.5 RC회로

그림에서 스윗치를 a에 연결하면 축전기는 충전되고 b^{에 연결}

하면 충전된 전하가 방전한다. 이때 시간에 따른 전하의 충전과 방전의 전하량을 시간의 함수로 구해보자.

최대 충전 전하량: q_o C

(i) 충전과정

(

Charging

)

회로의 전압법칙을 적용하고 시간으로 미분하면

q 0 dq q

iR R

C dt C

       ^(27.7)

2 2

1 1

0 0

d d q dq d q dq

dt R dt C dt dt RC dt

 _ _ _ _ _ _

(27.8)

/ 0

d dt 인 이유: 전지의 전압은 짧은 시간 동안에 거의 변화가 없다.

미분방정식 (27.8)의 해: qKe^{r t}

지수 r을 찾기 위해 이 해를 미분하여 (27.8)식에 넣고 정돈하면

dq r t

dt Kre ^, d q²₂ ² ^{r t} dt Kr e

2 2

1 1 1

( ) ^{r t} 0 0,

d q dq

Kr r e r r

dt  RC dt  RC     RC

(8)

일반 해(General solution^):

1

1 2

RCt

qK K e^ ^(27.9)

여기서 K₁^과 K₂^{는 경계조건(}Boundary condition)에서 결정되는 상수이다.

(a) 스윗치를 닫는 순간, 즉 t0^에서 q0

0K₁K₂

(b) t ^에서qq_o으로 최대 축전용량에 도달한다.

K₁q_o, K₂  q_o 미분방정식의 해:

1

(1 ^RC^t)

qqo e^ ^(27.10)

여기서 RC는 축전기에 의한 전기용량 시간상수(Relaxation time)라 한다.

 RC

RC^{의 단위: [}s]

t일 때 이 시간 동안 축전기에 저장되는 전하량

(1 1) 0.63

o o

qq e^  q

최대 축전용량 q_o^의63%^{가 저장된다.}

우측 그림은 R2 k^,C1μF^, 10 V일 때 충전 그래프이다.

전류:

1 1

t t

o RC RC

o

q

i dq e i e

dt RC

 

   (27.11)

초기 전류: _o q^o C

i RC RC R

 

  

(ii) 축전기의 방전

(

Discharging

⁾

미분방정식: 1

0 0

q dq

iR q

C dt RC

     ^(27.12)

1 1

dq dq

dt dt

q  RC 



q  RC



lnq 1 t C'

 RC 

여기서 C'^{은 적분상수.}

1 1

' t t

C RC RC

qe e^ q eo ^ ^(27.13)

보기문제 27.5 회로에 축전용량이 C 이고 축전된 전하량이 q_o인 축전기가 직렬로 연결된 저항

R을 통해 방전하고 있다. (a) 축전기의 전하량이 반이 될 때의 시간은 얼마인가? (b) 축전기 내 의 에너지가 반이 되는 시간은 언제인가?

(풀이) (a) 방전 식:

1 t RC

qq eo ^

(9)

1 1

1 1 1

2 2 ln2

t t

o RC RC

o

q q e e t

RC

 

     

tRCln 20.69RC

(b) 방전 에너지:

2 2

t

o RC

q

U q e

C C

  

2 2

1 1 1 2

( ) ln

2 2 2 2 2

t t

o o RC RC

q q t

e e

C C RC

 

     

1 ln 2 0.35 t2RC  RC

보기문제 27.6 자동차가 도로를 달릴 때 전자는 도로에서 바퀴로 이동한 다음 차체로 이동한다. 차 에는 과잉전하와 전기 퍼텐셜 에너지가 마치 차체 는 축전기의 한쪽 판 역할을 하고 도로가 다른 쪽 판 역할을 하듯이 저장된다. 차가 멈추면 차의 과

잉전하와 에너지가 바퀴를 통해 방전하지만 차에서 방전이 일어나기 전 어떤 도체가 수 센티미터 의 거리로 차에 다가오면 에너지가 차에서 도체로 전달되어 차와 도체 사이에 불꽃이 일어난다.

주유기가 도체이고 불꽃에너지가 임계값 U_fire50 mJ보다 작으면 차에 화재가 발생한다. 차가

0

t 일 때 멈추면 차와 딴 사이의 포텐셜차는 V_o 30 kV 이다. 차와 땅 사이의 전기용량은

500 pF

C 이고 각 타이어의 저항은 R_tire 100G이다. 타이어로 방전되어 임계값 U_fire아래로 떨어지는 데 걸리는 시간은 얼마인가?

(풀이) 아래 그림과 같이 회로가 구성되고 이것을 등가로 표현하면 아래 우측 그림과 같다.

9

1 4 100 10 9

25 10

4 4

tire tire

R R R R

 

      

/ 2 2

2

( ) 2 /

2 2 2

t RC

o o t RC

q e q

U q e

C C C

 

  

o o

q CV ^이므로: ² ^{2 /} ^{2 /} ² ₂ 2

t RC t RC

o

CV U

U e e

CV

 

  

2 2

2 2 2

ln( ) ln( )

o 2 o

t U RC U

RC CV t CV

    

9 12 3

10 4

(25 10 )(500 10 ) 2(50 10 )

ln 9.4s

2 (5 10 )(3 10 )

t

 



  

  

 