33장. 교류 회로

(1)

33장. 교류 회로

(Alternating Current Circuits)

33.1 교류 전원

33.2 교류 회로에서의 저항기 33.3 교류 회로에서의 인덕터 33.4 교류 회로에서의 축전기 33.5 RLC 직렬 회로

33.6 교류 회로에서 전력

33.7 직렬 RLC 회로에서의 공명 33.8 변압기와 전력 전송

33.9 정류기와 여과기

(2)

◎ 교류 전원의 단자전압

- Sinusoidal Voltage (진동형 전압) :

전원의 극성과 크기가 주기적으로 변하는 전원을 교류 전원이라고 한다.

- 교류 전압의 각진동수 : - 피크 전압 (Peak Voltage) :

전원의 최대 출력 전압 혹은 전압 진폭(voltage Amplitude)

cf

) – 피크-피크 전압 (Peak to Peak Voltage) :

cf

) Sinusoidal Current (진동형 전류)

위상자 (Phasor) 초기 위상

t V

t

v 

_max

sin   

_max

sin 

 E

f T 



  2  ²

max max

  V E

2E

max pp



V

)

max

sin(   

 I t

I ^ ^t _ ^ ^ ^ ^

33.1 교류 전원

(AC Sources)

(3)

33.2 교류 회로에서의 저항기

(Resistors in an AC Circuit)

◎

R

: 저항에 의한 교류 전류 - 키르히호프의 법칙에 따라

- 저항기에 흐르는 최대 전류;

- 저항기 양단의 순간 전압;

cf

) 교류에서의 전류 :

- 직류에서 같은 저항이 동일한 시간에 동일한 양의 열이 발생하는 전류의 양

→ 실효전류 (Effective Current)

I

_eff=

I

_rms

ex

) 교류 10A : 직류 10A와 같은 양의 열에너지 발생

cf

) rms Values : 추후 보충 설명

 0



 v i

_R

R

t I

R t V R

i

_R

v 

^max

sin  

_max

sin 

 



R I

_max

 V

^max



t R

I R i

v

_R



_R



_max

sin 



max max

0 . 707

2 I

I

_rms

 I 

(4)

- 전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변하기 때문에 서로 일치한다. 오른쪽 그림에서 보듯이

i

_R과

v

_R 모두 sin

ωt

로 변하고, 같은 시간에 최대값에 도달하기 때문에 위상이 같다(In Phase)라고 한다.

- 두 개 혹은 그 이상의 구성 요소를 가진 회로의 분석을 간단히 하기 위해 위상자 도표라 하는 그림 표현을 사용한다.

- 위상자(Phasor)는 벡터이고, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최대값에 비례한다.

- 위상자는 그 변수에 관계되는 각진동수와

같은 각속력으로 시계 반대 방향으로 회전한다.

- 위상자를 수직축에 투영하면 위상이 나타내는 순간값을 얻게 된다.

(5)

◎ 교류 에서의

rms

전류 (나중에 다시 설명)

-

rms

= Root Mean Square

- 에너지가 저항기에 전달되는 비율인 전력을 고려하자.

- 시간에 대한 평균을 계산하면 이므로

- rms(root mean square) 전류(rms current)

- rms(root mean square) 전압(rms voltage)

- 교류 관련 계측기는 대부분

rms

값으로 표시한다.

t R

I R

i

_R²



_max²

sin

²

 P 

2 ) 1

(sin

²

 t

_avg

 R

I I R

R

I

_max² ^max

)

² _rms²

( 2

2 1  

P 

max max

0 . 707

2 V

V

_rms

  V  



max max

0 . 707

2 I

I

_rms

 I 

(6)

☆

(7)

33.3 교류 회로에서의 인덕터

(Inductors in an AC Circuit)

◎

L

: Inductor에 의한 교류 전류

- 교류 전원 단자에 연결되어 있는 인덕터만으로 구성된 교류 회로를 고려하자.

키르히호프의 법칙에 따라

 0



 dt

L di

v

^L

t dt V

L di

v 

^L

 

_max

sin 



L tdt

di

_L

  V

^max

sin 

L t tdt V

L di V

i

_L _L



  cos

sin

^max

max



 ^ ^ ^ ^ ^



 

 



 

 



^max

sin   2

 L ^t

i

_L

V

^

  cos sin 2  



 

 



2







 의 위상차

(8)

- 인덕터에 흐르는 순간 전류와 인덕터 양단에

걸린 순간 전압은 위상이 90도 만큼 차이가 난다.

(늦다)

o 유도 리액턴스(inductive reactance)

X

_L - 저항과의 비교

cf

)

-

ωL

은 마치 저항

R

처럼 작용 → take

“유도 리액턴스(inductive reactance)

X

_L” (단위: Ω) - 인덕터 양단에 걸린 순간 전압 :

t I

R t i V

R

 

^max

sin  

_maxR

sin 

R I V

mR



max



L

m

X

V L

I V

L

max



 

 

 

 



 

 

sin 2

max

 

 L ^t i

_L

V

L X

_L

 

t X

I t

dt V L di

v

_L

 

^L

  

_max

sin   

_max _L

sin 



(9)

순수한 유도성 교류회로 (L-교류회로)

예제 33.2

o

L

-교류회로에서

L

=25

mH

, E_m=150

V

, 교류 주파수

f

=60㎐라 하면 Sol - Induced Reactance (유도 리액턴스)











 L ( 2 60 Hz ) ( 25 10

^³

) 9 . 42 X

_L

 

V A I X

L

m

15 . 9

42 . 9

150

max



 

 E

- 최대 전류 : - rms 전압 :

- rms 전류 :

cf

)주파수를

f

=6㎑로 올리면 :

f

→ 100배 → 100배 증가

V V

V

_rms

V 106 . 08

2 150 2

max

 

 



☆

A A

I

_rms

I 11 . 24 2

9 . 15 2

max

 





 942

L

' X

100 1124 1

.

0 

 A

I

_rms

,

159 .

943 0 150

max

V A

I X

L

m



 

 E

(10)

33.4 교류 회로에서의 축전기

(Capacitors in an AC Circuit)

◎

C

: Capacitance 에 의한 교류 전류

- 교류 전원 단자에 연결되어 있는 축전기만 으로 구성된 교류 회로를 고려하자.

키르히호프의 법칙에 따라

 0



 C v q

t V

C v C

q    

_max

sin 

 

 cos

sin 2 



 

 

) 

sin( 2

2) sin(

cos

max

max max

 

















t I

t V

C t

V dt C

i

_C

dq

- 사인모양 전압에 대해 전류는 항상 축전기 양단의 전압보다 90°앞선다. (전류가 90° 앞서간다)

- 용량 리액턴스(capacitive reactance)

X

_C : (단위: Ω)

X

C

V C

V V C I

C

max max

max

( 1 / )

 



  

X

_C

C



 1

(11)

축전기 양단에 걸린 순간 전압 :

t X

I t V

v

_C

 

_max

sin  

_max _C

sin 



순수한 용량성 교류회로 (C –교류회로)

예제 33.3

o

C

-교류회로에서

C

=8㎌, E_m=150

V

, 교류 주파수

f

=60㎐라 하면

Sol - Capacitive Reactance (용량 리액턴스)



 



 



_

332 ) 10

8 60

2 1 1

6

F Hz

X

_C

C





, 452 . 322 0

150

max

V A

I X

C

m



 

 E

- 최대 전류 - rms 전류 :

Aside) o 각진동수

ω

에 따른

R

.vs.

X

_L .vs.

X

_C - 저항

R

은 진동수에 무관

- -



 

 L X

_L



1 1 

 C X

_C

☆

A A

I

_rms

I 0 . 3196 2

452 . 0 2

max

 



(12)

33.5 RLC 직렬 회로

(The RLC Series Circuit)

- 순간 전압 : - 순간 전류 :

- 전압과 전류는

R

-

L

-

C

에 의하여 위상차

φ

발생 o 각 회로 요소 양단의 순간 전압

)

max

sin(   





 v V t

t I

i 

_max

sin 

t V

t X

I

v

_L _L

 

_L

cos 

sin 2

max

  



 



 





t V

t R

I

v

_R



_max

sin   

_R

sin 



t V

t X

I

v

_C _C

 

_C

cos 

sin 2

max

   



 



 





(13)

)

max

sin(

2

    V  t  

C q dt

R dq dt

q L d

◇ RLC 교류회로의 해석 : 위상자 활용

^{(교재의 방법)}

2 max

max 2

max

2 2

max

) (

C L

R

X I

R I

V V





















2 2

max

I R ( X

_L

X

_C

)

V   



Z V X

X R

I V

C L

max 2

2

max

( )

 





 

- 미분 방정식을 직접 푸는 대신 위상자를 활용하자

- 임피던스(impedance)

Z

(단위: Ω) :

Z  R

²

 ( X

_L

 X

_C

)

²

(14)

- 전류와 전압 사이의 위상각 :

 

 



 

 



 











^



^

R I

X I

V V

V

_L _C

R C L

max max 1 max

1

tan

 tan

 

 



 



^

R X X

_L _C

tan

1



Aside)

◇ 수학적 해석

-

C

에 대한 회로의 재구성 - 각 단자에 걸리는 전압 :

- By Kirchhoff's 2nd Rule (Loop Rule, )

dt R dq iR

v

_R

 

 dt

L dq dt

L dI v

_L



2







 ^



 idt

dq C C

C

v

_C

q 1 1

 0









 v

_R

v

_L

v

_C

1  0



 ^L ^dI _dt _C  ^idt

iR

2

0

2

  

C q dt

R dq dt

q L d

or “Eq. of Motion”

 0



j

V

j

(15)

(16)

cf

) 각 소자에 걸리는 최대 전압

R I

V

v

_R _R _max

max





L X

I X V

LI V

v

_L



_L

  

_L



_L _L

 



_max _max

where

max

X C I

X C V

V I

v

_C _C _C _C _C



where 1

max max

max

   





o 각 소자간의 전압의 위상차 :

- Current

I

는 교류 기전력과 –

φ

의 위상차 -

V

_R은 Current

I

와 같은 위상

-

V

_L은 Current

I

보다 90° 빠르다 -

V

_C는 Current

I

보다 90° 느리다

2 max

max 2

max

2 2

max

) (

C L

R

X I

R I

V V





















2 2

max

I R ( X

_L

X

_C

)

V   



^where

X

_L

  L

X

_C

C



 1

(17)

Z V X

X R

I V

C L

max 2

2

max

( )

 





  cf

)

R I  V

-

R

-

L

-

C

가 마치 하나의 저항처럼 작용 -

Define

) "Impedance" :

(단위: Ω) - then

- if

X

_L >

X

_C : 위상각

φ

> 0 - if

X

_L <

X

_C : 위상각

φ

< 0

- if

X

_L =

X

_C : 위상각

φ

= 0 ⇒

Z

=

R

:

⇒ 전류는 최대가 된다 "Resonance Frequency"

(공명 진동수)

2 2

( X

_L

X

_C

) R

Z   

Z I

V

_max



_max



R X X

V

_L _C

R

C

L



 





 



tan

R I  V

^max



(18)

직렬

RLC

회로 분석 예제 33.4

직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C〓3.50㎌, f=60.0Hz 그리고 V_max=150V를 가진다.

(A) 유도 리액턴스와 용량 리액턴스 그리고 회로의 임피던스를 구하라.

(B) 회로에 흐르는 최대 전류를 구하라.

(C) 전류와 전압 사이의 위상각을 구하라.

풀이

  2  f  2  ( 60 . 0  z )  377 s

^¹









 L ( 377 s

^¹

)( 1 . 25 ) 471 X

_L







 



_ _

758 ) 10

50 . 3 )(

377 (

1 1

6

1

F

s X

_C

C

























513 ) 758 471

( )

425 (

) (

2 2

C

L

X

X R

Z



 



 

292 .

513 0 150

max max

V Z I V







 

 









 

 

 



 





0 . 34

425 758 tan 471

tan

1 1

R X X

_L _C



☆

(19)

(D) 각 회로 요소 양단의 최대 전압을 구하라.

V R

I

V

_R



_max

 ( 0 . 292  )( 425  )  124



V X

I

V

_L



_max _L

 ( 0 . 292  )( 471  )  138



V X

I

V

_C



_max _C

 ( 0 . 292  )( 758  )  221



(E) 이 회로를 분석하는 기술자가 어떠한 L을 선정하면, 전류가 걸린 전압보다 30°앞서 는지 찾아 보아라. 단, 이 회로의 다른 모든 변수는 동일하다고 하자.

 tan R X

X

_L



_C



 

 1 tan

C R L  

 

 



 

 



 ^tan

1 1 R

L C

)]

0 . 30 tan(

) 425 (

) 10

50 . 3 )(

377 (

1 )

377 (

1

6 1

1









 

 







_ _



_

F s

L s



 1 . 36 L

(F) 만약 세 회로 요소 양단에 최대 전압을 합하면 어떻게 될까? 이것은 물리적인 의미가 있는가?

33장. 교류 회로