6. 추정 및 가설검정

6. 추정 및 가설검정

통계적 추측

• 통계적 추정(statistical estimation)

: 표본으로부터 통계량의 값(표본평균, 표본비율)을 구하여 그 값을 근거로 모수의 값(모평균, 모비율)이 얼마가 될 것이라고 추정하는 것

- 점추정(point estimation)

- 구간추정(interval estimation)

• 가설검정(hypothesis test)

:

• 점추정(point estimation)

모수를 표본평균과 같이 하나의 수치로 추정하는 것

• 구간추정(interval estimation)

표본평균주위에 범위를 정해 모수를 추정하는 것

※ 점추정값은 모수를 정확하게 예측할 가능성이 없는 반면에

점추정



 ²



점추정량 모수





i

X

X n

1

1

n X p ˆ  1

2 1

2

( )

1

1 X X

S n

n i

i



  



2 1

) 1 (

1 X X

S n

n i

i



  



구간추정

• 모수가 있을 것이라고 생각되는 범위를 추정

• 범위가 클수록 틀릴 가능성이 적어지나, 범위가

너무 크면 정보로서의 가치가 없어 의사결정에

아무런 도움이 되지 못한다.

구간추정

• 모수가 있을 것으로 생각되는 구간을 정하게 되면 표본오차(sampling error)에 의해 틀릴 가능성(모수 가 그 범위 내에 존재하지 않을 가능성)은 항상 있 게 된다.

• 그러므로 구간추정에서는 범위와 함께 그 범위 안 에 모수가 포함될 확률인 신뢰수준(level of

confidence)을 함께 고려해야 한다.

구간추정

• 모집단 평균 의 구간추정량

95% 신뢰수준이란

‘‘ 크기가 n 인 모든 가능한 표본을 모집단으로부터 추출하여 ‘평균+1.96표준오차, 평균-1.96표준오차

’의 구간들을 만들면 그 중 95 %는 모집단 평균을 포함하고 5 %는 모집단 평균을 포함하지 않는다

’’는 것이다.

구간추정

신뢰구간

신뢰구간은 모수를 실제적으로 추정하므로 검정보다 더 많은 정보를 가지면 쉽게 해석할 수 있다.

(구할 수 있을 때마다 신뢰구간을 구한다는 것은 좋은 습관)

1000번과 4040번 던지는 실험에 대해 신뢰구간은 0.5를 포 함하고 있어 동전이 공정하지 않다는 확신을 주지 못한다.

그러나 100.000번 던지는 실험에서 참값 p는 0.504와 0.510사이에 존재하는 것이 입증되었으므로

p

가설검정의 개념

1. 가설설정

2. 검정방법 선정

3. 참인 H

를 기각하는 확률(유의수준) 4. 검정통계량 값 계산

5. 통계적 결정

가설검정의 개념 : 가설 종류

• 귀무가설 또는 영가설(null hypothesis) : H ₀ -

• 대립가설(alternative hypothesis) : H _A

단측검정(one-side test) 양측검정(two-side test)

가설검정의 개념 : 가설검정의 오류

검정결과 Ho true Ho false Ho reject Type Ⅰ error(α) Power(1-β)

can not reject Ho Type Ⅱ error(β)

가설검정의 개념 : 가설검정의 오류

가설검정의 오류

• 제1종 오류란 확증적 임상시험에서는 약효가 없는 약을 약효가 있다고 잘못 결정을 내리는 오류

• 제2종 오류란 약효가 있는 약을 약효가 없다고 잘못 결정 내리는 오류

• 확증적 임상시험결과를 최종평가하는 심사기관은 엉터리 약으로부터 국민건강을 보호, 그러므로 심사기관 입장에 서는 제1종 오류를 5%이하로 통제하는 것이 중요

• 반면, 제약회사 입장에서는 제2종 오류가 더 치명적일수 있지만, 신규 의약품 허가를 목적으로 시험약의 효과를 입증하고자 하는 경우 제1종 오류를 가장 심각한 오류로 규정

가설검정의 개념 : 유의수준

 = 0.01, 0.05, 0.10

가설검정의 개념 : 검정방법 선정

 연구의 목적

 변수의 종류

- 척도 및 연속성(연속변수/이산변수) - 방향성(독립변수/종속변수)

t 검정, ANOVA 등(parametric)을 적용 전제조건 - 자료의 특성이 몇 가지

가정(assumptions)을 충족해야….

이를 충족하지 못하는 경우는?

다른 검정법, 즉 비모수적 검정방법(non-parametric test)을 적용해야 한다.

• 변수종류에 따른 통계분석법

가설검정의 개념 : 검정통계량 계산

종속변수 독립변수 통계분석법

연속변수 (혈압) 명목척도(2개 category) T 검정, paired T검정 연속변수 (혈압) 범주형 (3개 이상) 분산분석(ANOVA)

범주형 (병 발생 여부)

범주형 (투약여부) 

multiple) 연속형 + 범주형

가설검정의 개념 : 통계적 결정

• P-값(또는 관측 유의 수준)



관측치

가설검정 정리

1. 가설을 세운다. (귀무가설, 영가설 vs 대립가설)

2. 검정방법을 선정한다.(연구목적, 가설 및 자료의 특성에 따라) 3. 참인 H

₀

4. 확률표본을 골라 검정통계량의 값을 계산한다.(t, F, X

²

유의성검정 이란 ?

유의성검정은 귀무가설에 반(反)하고 대립가설에 부합하는 증거를 찾는 것이다.

귀무가설이 사실이라는 가정 하에서 귀무가설을

기각하는 사건이 더 많이 일어날 확률을 P-값이라

한다. P-값이 작을수록 관측된 값이 귀무가설을

기각하는 강한 증거가 된다.

Count Buffon의 동전

France의 박물학자 Count Buffon(1707-1799)은 동전을 4040번 던져 2048번의 앞면을 얻었다.

앞면의 표본비율은

이 값은 0.5보다 약간 큰데, 이것이 Buffon의 동전이

바르지 못하다는 증거가 되는가?

Count Buffon의 동전

가설)

귀무가설은 “동전이 공정하다”는 것(p=0.5)이며, 대립가설은 “동전이 공정하지 않다”는 것이다.

H ₀ : p=0.5 H _a : p≠0.5

표본분포)

만약 귀무가설이 사실이면, 앞면의 표본비율은 아래의

값을 평균과 분산으로 갖는 정규분포에 근사한다.

Count Buffon의 동전

P값)

여기서 P값은 0.37이다.

대립가설로 볼 때 0.5의 근처에 p가 존재할 수 있으므로 0.5로부터 양쪽 방향으로 떨어진 p값이 H0에 반대되고

Count Buffon의 동전

결론)

균형이 잘 잡힌 동전을 이용하여 Buffon의 실험을 무한히 반복 시행하는 경우, 전체 시행의 37%에서

0.5로부터 0.507만큼 멀리 떨어진 결과를 얻는다 따라서 Buffon의 실험을 통해볼 때 그의 동전이

용어정리①

단측대립가설(one-sided alternative hypothesis)

대립가설 H _a : p >0.5은 모비율이 0.5보다 더 크다고 말할 수 있는 증거를 찾는 가설

양측대립가설(two-sided alternative bypothesis)

H _a : p ≠0.5은 동전이 공정한가의 여부만 알고자

하는 가설

용어정리②

유의수준

H

₀

이와 같이 결정된 P값을 유의수준이라고 하며, 그리스 문자인 α로 표기

만약 P값이 α이거나, α보다 작으면, 자료는

유의수준 α에서 통계적으로 유의하다고 말한다 만약 우연에 의한 결과가 반복 추출된 표본에서 시행횟수의 5%를 넘지 않는다면 표본결과는

3) 통계적 추론의 이용과 남용

추론 문제를 해결하는 방안

① 자료가 가진 문제(내용)들을 설계하자

② 신뢰구간의 성질을 알자

③ 통계적 유의성이 무엇을 의미하는지 알자

④ 어떤 방법이 필요한가를 알자 각각 하나씩

알아봅시다!

추론문제를 해결하는 방안 ①

[자료가 가진 문제(내용)들을 설계하자]

• 자료는 모집단으로부터 단순임의추출 하여야 함 (실제로 완벽한 단순임의추출하기란 불가능)

• 이 방법은 층화표본과 같은 훨씬 더 복잡한 표본 설계에 대해서는 옳지 않으므로 다른 방법 사용

• 알 수 없는 크기의 편의(bias)를 가지고 우연하게 추출된 자료에 대한 올바른 추론 방법은 없음

(어떤 공식을 사용해도 잘못 생성된 자료를 극복할 수 없음)

• 결측값이나 무응답과 같은 이유로 발생하는 오차는

추론문제를 해결하는 방안 ②

[신뢰구간의 성질을 알자]

• 동일한 모집단에서 여러 번 표본 추출하여 신뢰구간을 추정하였을 때 모수의 참값이 얼마나 자주 포함되는가 의 여부를 알려주는 값

• 신뢰수준을 아무렇게나 늘일 수 없음

• 표본이 클수록 구간의 폭은 짧아짐

추론문제를 해결하는 방안 ③

[통계적 유의성이 무엇을 의미하는지 알자]

• 유의성검정의 목적은 주어진 자료를 이용하여 어떤 주장을 받아들일 수 있는지 평가하는 것

• “귀무가설이 참이 아닐 증거의 강도는 얼마인가?”

이 물의 답은 P값을 이용함

• P값은 만약 귀무가설이 참이라면 우리가 가진 자료가 얼마나 믿기 어려운가의 정도를 나타냄

• “이와 같은 자료에서 만약 가설이 참이라면 시행의

추론문제를 해결하는 방안 ④

[어떤 방법이 필요한가를 알자]

• 모비율 p에 대한 검정과 구간추정을 실시하기 위해 표본보다 더 큰 모집단이 필요

• 층화표본을 이용하여 추론하려면, 통계 전문가와 통계전문가와 의논하는 것이 현명