@ @ Innovative ship design-Trim & Stability -

@

N av al A rc hite ctu re & O ce an E ngin ee rin g

@ SDAL Advanced Ship Design Automation Lab.

http://asdal.snu.ac.kr Seoul

National Univ.

[2009] [07]

Innovative ship design -Trim & Stability -

Hydrostatic Calculation by Classical Hydrostatics

April, 2009

Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Seoul National University of College of Engineering

서울대학교 조선해양공학과 학부4학년 “창의적 선박설계” 강의 교재

@ 복원력 개념 (1)

- 횡 경사 시의 모멘트 작용 예

선박에 순간적으로 힘을 주었다가 제거하는 경우 선박에 지속적인 힘을 가하는 경우

G

B

횡 복원 모멘트

G

B

횡 경사 모멘트

G’

B’

횡 복원 모멘트에 의해 원래 자세 회복

G’

B’

횡 경사 모멘트

횡 복원 모멘트

횡 경사 모멘트와 횡 복원 모멘트가 같아질 때까지 경사

@

복원력 개념 (2)

선박의 자세 – 흘수 변화(Draft Change) 외력에 의한 선박의 흘수 변화

δ

T G

B

G

B

@

G

B

복원력 개념 (3)

선박의 자세 – 횡경사(Heel) 외력에 의한 선박의 횡경사

G

B

M _T

B ₁

@

복원력 개념 (4)

선박의 자세 – 종경사(Trim) 외력에 의한 선박의 종경사

G

B

M _L

G

B ₁

B

@

선박의 자세 : 중량물이 실렸을 때, 선박의 자세는?

z

∇ x y

y z

C L x '

y x '

' z

'

x y '

' z

G ∇

W B B

G W

B B

z

∇ x y

y z

C L x '

y x '

' z

'

x y '

' z

0 ∇

G

W B 0

B

G 0

W

B 0

B

힘과 모멘트의 불균형 발생

정적 평형 상태

@

선박의 자세 : 중량물이 실렸을 때, 선박의 자세는?

z

∇ x y

y z

C L x '

y x '

' z

'

x y '

' z

0 ∇

G

W B 0

B

G 0

W

B 0

B

G 1

W B 1

B

G 1

W z

∇ x

y y

z

C L x '

y ^{x '}

' z

'

x y '

' z

∇ 가라앉은 깊이 ?

선수미 방향으로 기운 각도 ? 좌우현 방향으로 기운 각도 ?

정적 평형 상태

B 1

B

@ 선박의 복원력과 안정성 관련 문제 예

- 크레인에 의한 화물 이동 시의 선박의 자세 계산

200 ton 27.0 m

16.0 m

Question)

배수량이 18,000ton, GM _T = 1.5m 인 화물선의 선저에 실려 있는 200ton 의 화물을 육상으로 옮기려고 한다.

크레인의 끝 단으로부터 화물의 중심까지는 27.0m 로 한다.

화물을 들어올린 후 우현의 선체

중심선으로부터 16.0m 정도까지 돌린 후 안벽으로 하역할 때에 선박이

경사되는 경사각은 얼마가 되겠는가?

외부에서 힘이 가해 졌을 때,(무게추가,무게 이동 등)

자세 변화를 계산하는 문제!

@ 선박의 복원력과 안정성 관련 문제 예

- 선박의 큰 자세 변환 계산

G 4 m

10 m

5 m 6 m

2 m

Question)

초기에 그림과 같은 직육면체 바아지선이 청수 중에 흘수 3m의 Even Keel 상태로 떠 있다 . 이 바아지선의 무게 중심이 선저 로부터 높이 방향으로 2m, 선미로부터 길 이 방향으로 6m로 변하였을 때 바아지선 의 자세를 구하시오 .

외부에서 힘이 가해 졌을 때,(무게추가,무게 이동 등)

자세 변화를 계산하는 문제!

@ 선박의 복원력과 안정성 관련 문제 예

- 선박의 침수 시 자세 계산

Question)

길이 100m, 폭 40m, 깊이30m인 일정한 직사각형 단면을 갖는 평 갑판 바아지선이 해수에서 9m의 흘수로 떠 있다.

이 배는 중심선에 따라 종 수밀 격벽이 있고, 4개의 등 간격 횡 수밀 격벽이 있다.

최전방 우현의 구획실의 하나가 침수될 때, 배의 선수미 네 모서리의 흘수를 중량 부가법을 이용 하여 구하시오.

외부에서 힘이 가해 졌을 때,(무게추가,무게 이동 등), 자세 변화를 계산하는 문제!

x y

z z

L

100 m

C

40 m

30 m

i 9m j

k k

측면도 정면도

O

Baseline Baseline

K

O

G

0

G

0

선수 선미

v 0

v 0

, x′

, z′ , z′

, y′

B

0

B

₀

x y

L

C

j i

평면도

20 m

20 m

O G

₀

v 0

, x′

, y′

, B

0

@ Stability & Trim

Hydrostatic Pressure and Force/Moment

on a floating body

@ 부력(Buoyancy)

“Archimedes Principle”

 Archimedes’ Principle

 “유체 속에 있는 물체가 받는 부력의 크 기는 그 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같 고 그 방향은 중력과 반대 방향이다”

G: 중심, B: 부심 W: 중력, ∆: 부력

ρ

: 유체의 밀도

V: 유체 속에 잠겨있는

물체의 부피

G

B W

∆

① 아르키메데스의 원리

물체의 부력 = 물체가 밀어낸 유체의 중량(배수량; Displacement)

② 평형 상태 ( 이 물체에 작용하는 모든 합력과 모멘트가 0) 물체의 부력 - 물체의 중량=0

③ ∴배수량 = 물체의 중량

gV W = ρ

−

=

∆

@

부력의 유도

- 유체 입자의 운동 방정식 정리 (Cauchy eq. ~ Bernoulli eq.) ¹⁾

① 뉴턴 유체 ^* (Newtonian fluid)

③ 비점성 유체 (Invicid fluid)

Euler Equation : P

dt

d V = g ρ − ∇ ρ

Navier-Stokes Equation :

(in general form)

¹

( ) ²

3

d P

ρ dt

=

ρ

− ∇ +

µ

^ ∇ ∇ + ∇ ^

V g



V V

Cauchy Equation : d

ρ dt V = ρ + ∇ • σ

g ^, ( ^{V =} [ ^{u v w , ,} ] ^T )

② Stokes assumption**

④ barotropic flow

Bernoulli equation

(case1)

Constant B =

⑤ Steady flow

Bernoulli equation

(case2)

1

2

2 ( )

gz dP F t

t ρ

∂Φ + ∇Φ + + =

∂

∫

⑥ Unsteady, t 0

 ∂ = 

 ∂ 

 

V

( ) P ρ ρ =

( ^{µ = 0} )

( ^q

²

^{= ∇Φ}

²

)

Euler Equation :

(Another form) B

t

∂ + ∇ = ×

∂

V V ω ^{, }  ^{B = 1} ₂ ^{q 2 + gz + dP} _ρ ^{, q 2 = u 2 + v 2 + w 2 } 

 ∫ 

1 2

2

q gz dP C ρ

 

+ + =

 

 ∫ 

along streamlines and vortex lines

⑦ Incompressible flow

( ^{ρ = constant} )

Bernoulli

equation

1

²

P

( )

gz F t

ρ

∂Φ + ∇Φ + + =

∂

Newtonian fluid Stokes assumption Invicid fluid

Unsteady flow Irrotational flow Incompressible flow

* 전단응력이 전단변형율(의 시간변화율)에 비례하는 유체

** 선형 변형과 등방 팽창에 의한 점성 계수 μ,λ의 관계식을 정의함

=0

•

∇

∂ +

∂

ρ ρ V t

= 0

•

∇ V

⑦ incompressible flow

⑥ irrotational flow Continuity

Equation

(질량보존)

, 0

constant t ρ = ^   ^∂ ∂ ρ = ^  

( ^{V = ∇Φ} )

Laplace

Equation ∇

²

Φ = 0

1)Kundu,P.k.,Cohen,I.M.,Fluid Mehcanics 4

^th

, Academic Press,2008

Irrotational flow

If , (irrotational flow)

ω = 0

the

If , then .

∇ × = V 0 V = ∇Φ

∇ × = V 0

ωV = ∇×

@

부력의 유도

-Bernoulli equation의 F(t)의 의미와 계기 압력 ¹⁾

Bernoulli Equation

1

2

2 ( )

P g z F t

t ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

☞ 항등식

atm ( )

P F t ρ ⁼

(대기압(P

_atm

)) = (z=0일 때 압력)

1

2

2

P atm

P g z

t ρ ρ

∴ ∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1) 계기 압력 : 전체 압력에서 대기압을 뺀 압력

1 2

2

Bottom atm

P P

t ρ gz ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1 2

2 0

Fluid

P gz

t ρ

∴ ∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1 2

2

atm Fluid atm

P P P

t ρ gz ρ

∂Φ + + + ∇Φ + =

∂

 물체 바닥에서의 유체 압력(P

_Fluid

)은?

‘계기 압력’

※ Bernoulli equation에서 우변 F(t)=0 으로 표기한 경우, 압력 P는 대기압을 뺀 유체만의 압력임을 의미함

h z

y

Bottom

P

atm

Top P

P =

1 2

2 0

Fluid

P gz

t ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

Fluid 0

P gz

ρ ^∂Φ t ρ

= − − =

∂

유체의 운동이 미소하다면 , 2차항을 선형화 할 수 있다.

‘선형화된 Bernoulli Equation’

t

0,

∂Φ =

∂

z=0인 Free surface에서 유체입자가 정적인 상태라면,

∇Φ = 0,

1 2

2 ( )

P g z F t

t ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

P P atm

0 z =

P = P atm

@ ^{15/151 15/131} 부력의 유도

-압력의 개념을 도입한 부력계산

− z z

y

atm

Top P

P =

Bottom

P

 아래 물체에 작용하는 수직방향의 정적인 힘은?

dS

n

1

: Normal vector : Area

dS P

d F _Bottom = _Bottom ⋅ n

₂

: 물체 아랫면의 미소 면적에 작용하는 힘

2

Bottom atm

P = P − ρ gz

 

 = 

 n k 

: 물체 윗면의 미소 면적에 작용하는 힘

dS P

d F _Top = _Top ⋅ n

₁

 

 





−

=

⋅

−

= k n ₁

0 g P

P _{Top atm} ρ

1 2

( ) ( )

( )

Top Bottom

Top Bottom

atm atm

d d d

P dS P dS

P dS P gz dS

gz dS gz dS ρ

ρ ρ

= +

= ⋅ + ⋅

= − + −

= − = − ⋅

F F F

n n

k k

k k

: 대기압에 의한 힘이 서로 상쇄됨

※ 압력 (Pressure) : 단위 면적에

수직으로 작용하는 힘

즉 , 힘을 구하기 위해서는 압력에 면적과

그 작용면의 법선 벡터 (Normal Vector)를 곱해야 함

gz P

P = _atm − ρ

∫∫

−

=

S

B

zdS g n ρ

∫∫

∫ ⁼

=

S

B

dS P

d F n

F ^{, ( P} = ^{P static} = − ρ ^{gz )}

ρgz t

P ∂

Φ

− ∂

−

= ρ

cf)선형화 한 Bernoulli eq.

P P

좌표계 설정에 따라 z값이 (-)이므로( -)를 붙임 아래쪽으로 갈수록 압력이 커짐

전체 정적 압력에서 대기압을 뺀 순수 유체 정압력

@ ^16/151 부력의 유도

선박에 작용하는 유체의 정적 압력(Hydrostatic pressure)과 부력(Buoyancy) +y축 영역으로 기울어진 상태

(선박을 정면에서 바라봄)

 Hydrostatic force (Surface force)

: 표면에 작용하는 모든 힘을 적분하여 구함

 Hydrostatic Moment : (모멘트)=(거리) X (힘)

∫∫

−

=

S

B

dS z

g n

F ρ

( )

∫∫ ^×

−

= g z r n dS M ρ

∫∫

=

S

B

dS Pn F

( )

∫∫ ^×

= P r n dS M

dS P

d P

d F = ⋅ S = ⋅ n

 미소 면적에 작용하는 힘 :

 Total force :

 미소 면적에 작용하는 모멘트 :

( ) dS P

dS P d

d M = r × F = r × n = r × n

 Total moment :

r S d

r

dS P Pd

d F = S = n

F r

M d

d = × ^{(미소 면적)}

(미소 면적에 작용하는 힘)

(미소면적에 작용하는 모멘트 ) ( : wetted surface) S _B

dS gz P P _static

ρ n

−

=

=

ξ

4

y′

z z′

y O

O′

S

B

d F = P _static ⋅ n dS = − ρ gz ⋅ n dS

여기서, P 는 hydrostatic pressure, P _static 이다.

gz P

P = _static = − ρ

( : wetted surface) S _B

@

 Hydrostatic force (Surface force)

∫∫

−

=

S

B

dS z

g n

F ρ

∫∫∫ ^∇

=

V

zdV ρ g

F  

 



 =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ i j k k

z z y

z x

z z

: 물에 잠긴 물체의 부피에 해당하는 물의 무게를 수면과 수직 방향으로 받음 (≒아르키메데스의 원리)

 



 

 ∫∫ ⋅ = ∫∫∫ ∇

V S

fdV dA

f n

divergence theorem ¹⁾ 사용하면 ,

※ (-)부호가 사라진 이유

: Divergence theorem은 면의 외향 단위 벡터를 기준으로 한다.

부력 계산시 사용하는 Normal vector는 내향 단위 벡터이므로, (−)를 곱한 뒤, Divergence theorem을 적용해야 한다.

∫∫∫

=

V

dV ρ g

k

) (t ρ gV

= k

2)

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9

^th

,Wiley,Ch10.7(p458~463) 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9

^th

,Wiley,Ch9.9(p414~417)

( : wetted surface) S

선박의 운동 시, 시간에 따라 배수 용적V가 달라지므로, V는 시간에 대한 함수 V(t)임

부력의 유도

선박에 작용하는 유체의 정적 압력(Hydrostatic pressure)과 부력(Buoyancy)

@

Hydrostatic Moment

 Hydrostatic moment

( )

∫∫∫ ^{∇ ×}

−

=

V

zdV

g r

M ρ

( )

∫∫ ^×

−

=

S

B

zdS g r n

M ρ

Divergence theorem ¹⁾ 사용하면 ,

 



 

 ∫∫∫ ∇ × = ∫∫ ×

V S

dA dV n F F

 

 





 

 





+

−

 =



 





∂

− ∂

∂ + ∂

 

 





∂

− ∂

∂ + ∂

 

 





∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

×

∇ xz y x

yz y z x

xz x yz z

z z y z

yz xz

z y

z x i j k i j

k j

i

r

^{2 2}

2

[ ]

∫∫∫ ^{− +}

−

=

∴ M ρ g i y j x dV

2)

( : wetted surface) S _B

ξ 4

y′

z z′

y O′ O

S

B

Normal Vector의 방향이 반대이므로 (-)부호를 붙여줌

 의미 ?

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9

^th

,Wiley,Ch10.7(pp.458~463) 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9

^th

,Wiley,Ch9.9(pp.414~417)

( )

∫∫ ^×

=

S

B

zdS g n r

ρ

@

CL

y y′

∇

V

x x′

B

ξ

4

z z′

좌현 우현

y y′

V

CL

x x′

B

ξ

4

z′

∇

z

우현

좌현

Hydrostatic Moment (횡 경사)

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ^{− + = −}

−

=

V V

dV x y g

dV x y

g i j i j

M ρ ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _{gV ⋅ y B −} j ρ _{gV ⋅ x B}

 Hydrostatic moment

부력의

횡 방향 중심

부력의

종 방향 중심

부력

BL

BT M

M j

i +

=

부력에 의한

횡 방향 모멘트

부력에 의한

종 방향 모멘트

< 우현으로 기울었을 경우(+방향) > < 좌현으로 기울었을 경우(-방향) >

B 2

B 2

y B

< 0

M BT M _BT > 0

<0

이므로 ,

음의 모멘트

>0 이므로 , 양의 모멘트 y B

( ^M _BL ^{= − ρ gV ⋅ x} _B )

V

,

V

B B

V V

ydV xdV

y x

dV dV

 

 

= =

 

 

 

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

@

Newton-Euler Equation

@ SDAL ^21/151

선 운동량(Linear Momentum) 과 힘(force)의 관계

r p = m 

질량 의 물체가 속도 로 운동할 때, 이 물체의 Linear Momentum 를 다음과 같이 정의한다.

m r

p

물체의 시간에 따른 Linear Momentum 의 변화는 물체에 가해진 외력의 합과 같다. (Newton 제 2법칙)

dt net

d p = F

constant) :

(m

질량 m 이 시간에 따라 변화하지 않는다면,

r r

p   

dt m m d

dt

d = ( ) =

m  r  = F net

Halliday, 일반물리학 7/E chap.9-4, p.254

vector position

y x , ) : (

r

m r

x y

) , ( x y r

y d

x r

r  ( , ) =

dt m d dt

d p ( r  )

=

선운동량을 시간에 대해 미분하자

dt m d

dt m

d ( ) ( r )

r 

 +

=

O

@ ^22/151

각 운동량(Angular Momentum)과 모멘트(Moment)의 관계

물체의 시간에 따른 Angular Momentum 의 변화는 물체에 가해진 모멘트의 합과 같다. (Euler 방정식)

net

d

dt L = τ I

constant) :

(I

가 시간에 따라 변화하지 않는다면,

( )

d d

I I

dt L ω = dt = ω

I ω = τ net

m

x y

θ θ ^{, }

질량 의 물체가 각속도 로 회전 할 때, 이 물체의 Angular Momentum 을

다음과 같이 정의한다.

m ω

L

= I L ω

, ( I = ∫ r dm 2 )

:질량중심을 지나는 축에

Halliday, 일반물리학 7/E chap.10-9, p.309

O

( ) d d I

dt L ω = dt

각운동량을 시간에 대해 미분하자

( ) ( )

d I d

dt I dt

= ω + ω

r

@

물체의 평형 상태

아래 두 조건을 만족할 경우에 물체가 평형상태 (Equilibrium state) 에 있다고 한다 .

식(1),(2)를 각각 시간t에 관해 미분하자.

= 0

= dt m d dt

d P ( r  ) ( ) d d I 0

dt L ω = dt =

 

1 (1) 

= m = − P r  C

2 (2)

= I = − L ωC

 



1 2

, ( C C , = const .)

(1)질량중심의 선운동량 P는 일정 하다 . (2)질량중심이나 임의의 점에 대한

각 운동량 L은 일정 하다

dt net

d P = F _net dt

d L = τ ,

따라서 , 물체가 평형상태에 있기 위한 조건을 다음과 같이 표현할 수도 있다 .

= 0 F net

= 0 τ net

 



^{(힘의 평형)}

(모멘트 평형)

 물체에 힘이 가해지지 않으면 물체의 운동량은 일정하게 보존된다.

Halliday, 일반물리학 7/E chap.12-3, p.371

특히 , 일 경우 물체가 정적 평형상태 (Static Equilibrium state) 에 있다고 한다 .

1 , 2 = 0 C C

= 0 P

= 0

 L

 

@ 물체의 평형 조건

1. 물체에 가해지는 모든 외부힘의 벡터합은 0이어야 한다.

2. 물체에 가해지는 모든 외부 Moment의 벡터합은 어느 축에 대해서도 0이어야 한다.

net = m F  r

- 물체가 병진운동에 대해 평형상태에 있으면 가속도 가 0이므로 외부힘의 벡터 합도 0이다.

net I

τ = ω

- 물체가 회전운동에 대해 평형상태에 있으면 각가속도 가 0이므로

Moment 의 벡터합도 0이다.

(F _net : 외부힘의 벡터합, m : 물체의 질량, : 물체의 가속도)

(M _net : 외부 moment의 벡터합, I : 질량관성모멘트, : 각가속도)

 r

ω

 r

ω

@

Angular Momentum L의 차원해석

r 2

m I =

] [ ML ²

=

time T

lengh L

mass M

: ] [

: ] [

: ] [

= I L ω

] / ][

[ ML ² 1 T

=

[ ML 2 ][1 / ][ / ] T T T

= L

] ][

][

/ ][

[ M L T ² L T

=

] ][

][

[ Force L T

=

Angular Momentum의 단위는 Work or Moment에 시간 T를 곱한 것과 같다.

따라서, Angular Momentum의 시간에

따른 변화율은 Work or Moment의 차원을 갖는다는 것을 알 수 있다.

net

d

dt L = τ

] ][

[ Work or Moment T

=

@ Center of mass

Force, Moment

Parallel-axis theorem

@ 질량중심 (Center of Mass)

1) 모든 질량이 그 점에 모여있고,

2) 외부 힘이 모두 그 점에 작용하는 것처럼 움직이는 점

m 1 m ² m 3

m 4

m 5

m 6

m 8

m 7

F

1

F

₂

F

3

M F

3

F

1

F

²

m n

m m

M = ₁ + ₂ +  +

3 2

1 F F

F

a = + + M

:질량 중심

Halliday, 일반물리학 7/E chap.9-2, p.246

@

1) 힘의 평형

1 1 2 2 ( 1 2 ) _com 0

m gx m gx m m gx

− k − k + k + =

{ − m x 1 1 − m x 2 2 + ( m 1 + m x 2 ) _com } k = 0

1 1 2 2

( )

com

m x m x

x m m

∴ = +

+

질량중심 구하기

2) 모멘트 평형

m 1 M m ₂

x 1

x 2

x com 1 = − m g 1

F j F ₂ = − m g ₂ j x y

− g F ³

1 2 3

1 2 3 0

m g m g F

= + +

= − − + =

∑ ^{F F F F}

j j j

3 1 2

3 3 1 2

( )

( )

F m m g F m m g

∴ = +

= = +

F j j

1

(

1

)

2

(

2

) _com ( ) 0

x m g x m g x F

= × − + × − + × =

∑ ^{τi j i j i j}

평형상태라고 하면,

1 1 2 2 _com 0

x m g x m g x F

− k − k + k =

1 2

( )

F = m + m g

_{를 대입하면,}

1 2 3

( − m g − m g + F ) j = 0

@

질량중심 구하기

∑ =

= ⁿ

i

i i

com m x

x M

1

1

y방향, z방향 질량중심도 동일하게 구할 수 있다.

∑ =

= ⁿ

i

i i

com m y

y M

1

1

∑ =

= ⁿ

i

i i

com m z

z M

1

1

∑ =

= ⁿ

i

i i

com m

M ₁

1 r

r

고체인 물체는 수많은 입자를 포함하고 있으므로 , 물질이 연속적으로 분포한 것으로 생각할 수 있다 .

M ⁱ dm

com ⁼ ∫ ^r

r 1

하나 더!

일반적으로, 질량 전체에 일정한 중력가속도가 작용할 경우 질량중심M과 무게중심G은 일치한다.

무게중심:

물체에서 총 중량 F

_g

가 작용하는 것으로 생각되는 점을 그 물체의 무게 중심

G 라고 한다.

Halliday, 일반물리학 7/E chap.9-2, p.246

@ ^30/151 회전방향을 고려한 모멘트 부호검증

기준점 O로부터 r만큼 떨어진 점 P에 힘 F가 작용 하였다.

x

y F

r F t

O

P

x y

r F F t

O

P

(+ ) (− )

회전방향: (+ ) (− )

회전모멘트 방향: ^{(+ ) (− )}

회전방향:

회전모멘트 방향:

x y

(+ )

오른손 좌표계에 따라 좌표계를 설정

z축은 화면에서 튀어 나오는 방향 , 반시계 방향이 (+)회전 방향이 됨

질문: 물체는 어느 방향으로 회전할까?

<물리적 현상>

vector position

y x , ) : (

r 회전방향 = 회전 모멘트 방향

@

회전방향을 고려한 모멘트 부호검증

z y

x

p p

p

F F

F

z y

x

k j

i τ =

k j

i ( ) ( )

)

( F _z y _p − F _y z _p + F _x z _p − F _z x _p + F _y x _p − F _x y _p

=

x

y F

r F

t

O

P

x y

r F F

t

O

P

(+ ) (− )

회전방향: ^{(+ ) (− )}

회전모멘트 방향: ^{(+ ) (− )}

회전방향:

회전모멘트 방향:

γ γ

회전 모멘트를 다음과 같이 정의함

F τ = r ×

<수학적 표현 1>

이를 벡터 성분으로 나타내면 다음과 같다 .

x-y 평면 2차원 예제의 경우, 이라고 하면, z _p = 0 , F _z = 0

τ = ( F _y x _p − F _x y _p ) k

@ ^32/151

회전방향을 고려한 모멘트 부호검증

k F

r sin γ

=

vector position

y x , ) : ( r

회전 모멘트를 다음과 같이 정의함

벡터 단위 방향의 , 축

, : ,

, j k x y z i

F τ = r ×

<수학적 표현 2>

x

y F

r F

t

O

P

x y

r F F

t

O

P

(+ ) (− )

회전방향: (+ ⁾ (− )

회전모멘트 방향: ^{(+ ) (− )}

회전방향:

회전모멘트 방향:

r F

O γ

: r에서 F 쪽으로 회전할 때, r을 기준으로 F와 이루는 각

γ

γ γ

r O F

τ ^{의 부호는} sin γ 의 부호에 의해 결정 γ

γ γ

sin

π π 2

0

(+ )

(− )

γ sin

) (

) ( sin

) (

) ( sin

π γ

π γ

π γ γ

2 0

<

<

−

=

<

<

+

=

γ 0 < γ < π π < γ < 2 π

(+ ) (− )

τ (+ ) (− )

물리적 현상과 수학적 회전 모멘트 방향이 일치함

) ( +

τ τ ( − )

@

dm r

I _com ⁼ ∫ ²

질량중심 O 를 관통하는 회전축에 대한 관성모멘트 _{I com}

X E

Y E

E

Parallel-axis theorem

X O

Y O

O

r

M ⁱ dm

com ⁼ ∫ ^r

r 1

r COM

- 질량중심 구하기

dm

Body fixed Coordinate의 원점(O)을 질량 중심에 두자.

1 0

=

=

∴ ^{r com} _M ∫ ^{r i dm}

P

r y p

x p

h x m − x p

m p

y − y R

x m

y m

점 p 를 관통하는 회전 축에 대한 관성 모멘트 I _p

2 2 2

[( ) ( ) ]

P m p m p

I = ∫ R dm = ∫ x − x + y − y dm

2 2

2 2

( ) 2

2 ( )

m m p m

p m p p

x y dm x x dm y y dm x x dm

= + −

− + +

∫ ∫

∫ ∫

dm h

dm r

I _p ⁼ ∫ ^{2 +} ∫ ²

Mh 2

I

I _p = _com +

2 2 2

2 2 2

, ^{m m}

p p

r x y

h x y

 = + 

 

 = + 

 

@ Stability & Trim

Restoring force

- Transverse restoring Moment

- Longitudinal restoring Moment

@

복원력 개념

 복원력

 선박에 순간적으로 외력을 작용하였다가 이 외력을 제거하였을 때 원래의 상태로 되돌아 올려는 힘/모멘트(Restoring Force/Moment) 를 말함

 흘수의 변화(Draft Change), 횡 경사(Heel), 종 경사(Trim)에 따라 수직 복원력(Vertical Restoring Force), 횡 복원 모멘트(Transverse Restoring Moment), 종 복원 모멘트(Longitudinal Restoring

Moment) 가 존재

 선박의 경우, 횡 경사에 의해 대부분 전복하므로 횡 복원 모멘트가 충분한지 여부가 최대의 관심사이며 선박 안정성(Stability)의 척도 가 된다.

 횡 복원 모멘트를 횡 복원력 또는 줄여서 ‘복원력’이라고도 하며,

 횡 복원 안정성(Transverse Stability)을 줄여서 ‘안정성(Stability)’이

라고한다.

@

O

횡 복원력 (1)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (1)

② 무게중심 G와 부력중심 B가 수평면에 대해 동일한 수직선상에 위치  모멘트 Arm이 0임

(모멘트 평형)

y z

τ

(+ )

0 0 0

W ∆

= + = +

=

∑ ^τττ

①

(힘의 평형)

= + = 0

∑ ^{F W F Δ}

y ′ z ′

z

y

B G

K

C L

F

_∆

W

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

@

z

τ

(+)

y ′ z ′

z

y

B G

K

C L

F

_∆

W O

횡 복원력 (2)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (2)

y z

τ

(+ )

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

F

_∆

B ₁

φ g ₁ g

W

τ e

⑤ 부력중심이 B에서 B ₁ 으로 이동

③ 외부에서 시계방향으로 선박에 모멘트 가 가해짐

(왼쪽그림의 경우 (-)모멘트가 가해짐) τ e

④ 선박이 시계 방향으로 만큼 회전

φ

oyz 에서의 부력중심 B ₁ 의 위치를 어 떻게 구하는가 ?

B 1

r

 

 



= 

1 1 1

B B

B z

r y

B

1

z

B

1

y

Find:

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

@ ^38/151

O

횡 복원력 (3)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (3)

y z

τ

(+ )

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

F

_∆

B ₁

B 1

r

φ g ₁ g

W

M _T

φ ^{τ e}

r G

Z

G B 1

= r × W + r × F _Δ

W ∆

= +

∑ ^τττ

,

GZ

= −

y _G

+

y _B

1

F _∆

B1

r

B1

γ

γ π − O

γ γ

π

) sin sin( − =

+ π

γ 2π

γ − π−

x

sin

x

W

r G

γ G

O

1 1

,

0 0

0 0 0 0

G G B B

z z

y z y z

W F

_∆

= +

i j k i j k

1 ,

G z B z

y W y _∆

= ⋅ i + ⋅ F i

= + = 0

∑ ^{F W F Δ W z = − F}

^∆,

^z

1 ,

( y _G y _B ) F _{∆ z}

= − + ⋅

τi

⑥

ϕ 만큼 경사진 상태에서 힘과 모멘트

가 각각 평형인 상태를 생각해보자

.

회전축 O를 지나고, y-z 평면에 수직한 축 에 대한 중량과 부력에 의한 모멘트를 구 해보면

,

restoring

τ

GZ=(-y _G +y _B )

가

(+)이면 (즉,무게중심이 부력 작용

선에 대해 왼쪽에 위치

) τ

^{는 복원 모멘트}

로 작용함

τ = τ τ

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

Z: B

₁

을 통한 부력작용선과 G를 지

나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

@

O

횡 복원력 (4)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (4)

y z

τ

(+ )

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

N

F

_∆

B ₁

B 1

r

φ g ₁ g

W

M _T

φ ^{τ e}

r G

Z

⑦ 는 ‘K’를 정의하면, 기하 학적 형상으로부터 다음과 같이 구할 수 있다 .

GZ

sin GZ = KN − KG φ

φ Z

K N G

M _T φ

φ

restoring

τ

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

M

_T

: B

₁

을 지나는 부력 작용선과 선체 중심선과의 교점

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

Z: B

₁

을 통한 부력작용선과 G를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

N : B

₁

을 통한 부력작용선과 K를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

@

O

횡 복원력 (5)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (5)

y z

τ

(+ )

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

F

_∆

B ₁

B 1

r

φ g ₁ g

W

M _T

φ ^{τ e}

r G

Z

⑧ 외부 모멘트와 횡 복원 모멘트 가 같아질 때까지 B ₁ 이 오른쪽으 로 이동하여 경사각 ϕ에서 평형 상태를 이룬다고 하면 ,

e restoring 0

= + =

∑ ^τττ

restoring

τ

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: '

'

G: 수직방향 무게중심

B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

Z: B

₁

을 통한 부력작용선과 G를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

N : B

₁

을 통한 부력작용선과 K를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

@ 횡 복원력 (5)

- 선박의 횡 복원 안정성(Transv. Stability) – 안정 상태 (6)

y z

τ

(+ )

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

F

_∆

B ₁

B 1

r

φ g ₁ g

W

M _T φ

r G

Z

F _∆

B

1

r γ

γ π

−

O

O

W

r G

γ G

O

⑨ 선박에 가해진 모멘트를 제거

⑩ 횡 복원 모멘트 에 의해 선박이 반시계 방향으로 회전

⑪ 무게중심 G와 부력중심 B가 수평면에 대해 동일한 수직선상에 위치하여 평형상태를 이룸

0 0 0

W ∆

= + = +

=

∑ ^τττ

restoring

τ

) ( : +

restoring

τ

y z

τ

(+ )

y ′ z ′

z

y

B G

K

C L

F

_∆

W O

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

G: 무게중심 B: 부력 중심

W : 선박 중량

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

γ F γ

π ) sin sin( − = γ + π 2 π

γ − π − x sin

x

@ ^{42/151 42/131}

는 힘의 평형 조건에 의해 로 주어짐

횡 복원력 (6)

- (Displacement) X

경사 각도가 미소한 범위 (10°정도) 에서는 M 은 변하지 않는다고 가정 .

τ _∆ = ∆⋅GZ

횡 복원력=

Δ − = ∆ W

을 알아야 함 GM

①

②

T sin

GM φ

= ⋅

GZ

기하학적 형상으로 부터,

로 구할 수 있음

GM T ^{: 메터센터 높이}

T sin

GM φ

∆ ⋅ GZ ≈ ∆ ⋅ ⋅

횡 복원력=

횡 복원력을 구하기 위해 값을 알아야 함

GZ

O

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

N

F

_∆

B ₁

φ g ₁ g

W

M _T φ

Z

restoring

τ

y z

τ

(+ )

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: '

'

G: 수직방향 무게중심

B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

F _∆

= ∆ 부력의크기= 배수량

 Archimedes’ Principle

∆ ^GZ

Z: B

₁

을 통한 부력작용선과 G를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

N : B

₁

을 통한 부력작용선과 K를 지나고 y축과 평행한 선이 만나는 점

@ 횡 복원력 (7)

- ( Displacement) X

T sin

GM φ

∆ ⋅ GZ ≈ ∆ ⋅ ⋅

횡 복원력=

KG BM

KB

GM _T = + _T −

KB : 부력의 높이 방향 중심

BM T : 횡 메터센터 반지름

(Transverse Metacenter Radius)

KG : 높이 방향의 무게 중심

기하학적 형상으로 부터,

③

≒ 51~52% draft

는 선박의 형상이 주어지면 결정됨

BM T

KB,

KG 는 화물 적재상태에 따라 결정됨

O

B G

z ′

y ′

K

C L

y z

F

_∆

B ₁

B 1

r

φ g ₁ g

W

M _T φ

r G

Z

restoring

τ

y z

τ

(+ )

coordinate Global

oyz

coordinate fixed

Body z

oy :

: ' '

G: 수직방향 무게중심 B: 수직방향 부력 중심 W : 선박 무게

Δ

: 부력

F

∆ ^GZ

부력의크기= 배수량

^{F ∆}

^{= ∆}

 Archimedes’ Principle

Z: B

₁을 통한 부력작용선과 G를 지나고

y축과 평행한 선이 만나는 점