제2교시 수리영역

제2교시 수리영역

[인문계 정답]

1.④ 2. ③ 3. ① 4.② 5. ① 6.④ 7. ② 8. ① 9.③ 10. ⑤ 11. ④ 12.⑤ 13. ③ 14.① 15. ④ 16. ⑤ 17.③ 18. ② 19. ④ 20.⑤ 21. ③ 22.① 23. ② 24. ⑤ 25.(-2) 26. (28) 27. (11) 28.(6) 29. (14) 30.(53.33)

1. [출제의도] 복소수를 계산할 수 있다.

(1 + 2i)²(1 - 2i)²

= {(1+ 2i) (1 - 2i) }²

= ( 1 - 4i²)²

= 5²= 25

2. [출제의도] 곱셈공식을 활용할 수 있다.

(x+y)²= 3+ 2 (x-y)²= 3- 2

∴ x²+y²_{= 12 {(}x+y)²+(x-y)²}

= 12 {( 3+ 2)+( 3- 2)}

= 3

3. [출제의도] 로그의 계산을 할 수 있다.

log_a3 = 2 에서 log₃a_{= 12} log_b3 = 5 에서 log₃b_{= 15}

∴ logba = log₃a log₃b ⁼

12 15 = 52

4. [출제의도] 진리집합의 포함관계를 이해할 수 있다.

p→ ～q가 참이므로 P⊂Q^c이다.

따라서 P∩Q=φ 이므로 P- Q = P이다.

한편, ①, ③, ④, ⑤는 옳지 않음을 알 수 있다. (그림참조)

5. [출제의도] 부등식의 해집합을 이해할 수 있다.

가 을 만족해야 하므로

이라 하면

이고 이어야 한다.

ⅰ) 에서

ⅱ) 에서

ⅰ), ⅱ)에서 이므로, 구하는 의 최대값은 이다.

6. [출제의도] 함수의 치역을 이해할 수 있다.

[x] =n 이면 n≦ x < n+1 이고 2n≦ 2x < 2n+ 2 이므로

[ 2x] = 2n 또는 [ 2x] = 2n+1

ⅰ) [ 2x] = 2n 일 때

[ 2x]-2 [x] = 2n-2n= 0

ⅱ) [ 2x] = 2n+1 일 때

[ 2x]-2 [x] = 2n+1-2n= 1

따라서 함수 f(x) 의 치역은 {0, 1 } 이다.

7. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있다.

점 A 는 점 C 를 x축의 방향으로 - 2 만큼, 축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 점이므로 구하는 도형의 방정식은

y= log₂(x+ 2)+ 1

8. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있다.

c+di= (2+i)(a+bi)

= (2a-b)+(a+2b)i

∴ c=2a-b, d=a+2b

(

)

( )

(

) ( )

( )

(

)

9. [출제의도] 삼각비의 값을 활용할 수 있다.

AD= AEsin45°

= 6× 12 = 3 2 DF= ADtan30°

= 3 2 × 13 = 6

∴ △ADF = 12 AD×DF=3 3

10. [출제의도] 함수의 증감상태를 이해할 수 있다.

F(x)⋅F '(x) < 0 ⇔ F(x) > 0,F '(x) < 0

또는 F(x) < 0,F '(x) > 0 이므로

ⅰ) F(x) > 0, F '(x) < 0 일 때, 함수값이 양이고 감소하는 구간은

x< a, d < x< e

ⅱ) F(x) < 0, F '(x) > 0 일 때, 함수값은 음이고 증가하는 구간은

b < x< c, f < x< g

ⅰ), ⅱ)에서 x의 값의 범위가 될 수 없는 것은 이다.

11. [출제의도] 합성함수의 성질을 유추할 수 있다.

일대일대응 함수 는 다음의 세 가지 형태이다.

ⅰ) 모든 원소가 자기 자신에 대응될 때 : 는 항등함수)이므로

, 가 성립한다.

ⅱ) 한 원소는 자기자신에 나머지 두 원소는

엇갈려 대응될 때 : 이므로, 가 성립한다.

P U Q

ⅲ) 모든 원소가 서로 엇갈려 대응될 때 :

f∘f ≠I이므로, f∘f∘f≠f 이다.

따라서, ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 주어진 조건을 만족하는 함수 f 는 4 개다.

12. [출제의도] 수들의 규칙성을 추론할 수 있다.

1, 2, 3, 4, …는 1 ～ 8, 9 ～ 16, 17 ～ 24, … 과 같이 8 을 주기 로 하여 반복된다.

2002 =8×250+ 2 이므로 2002 의 위치는 2 의 위치와 같다.

따라서 2002, 2003, 2004, 2005 는 의 모양 위에 놓여있다.

13. [출제의도] 수열의 규칙성을 추론할 수 있다.

9¹²= ( 3²⁴)¹= ( 3¹)²⁴

= ( 3¹²)²= ( 3²)¹²

= ( 3⁸)³= ( 3³)⁸

= ( 3⁶)⁴= ( 3⁴)⁶ 이므로 9¹²과 같은 수는 8 번 나타난다.

14. [출제의도] 길이와 속력의 관계를 유추할 수 있다.

철민이와 영수의 평균속력을 각각 v₁, v₂라 하면 출발점인 P 지점에 돌아올 때까지 걸린 시간은 같으므로

4πa

v₁ ^{= 4}a

v₂ ^즉, v₁= πv₂

∴ v₁: v₂= π : 1

15. [출제의도] 수열의 성질을 증명할 수 있다.

n= 2 일 때,

(좌변) =p(1) = 1 (우변) = 2 {p(2) - 1 }

= 2

(

)

n=k (k≧2) 일 때 성립한다고 가정하면

p(1)+p(2)+p(3)+ … +p(k- 1) =k{p(k)- 1 } p(1)+p(2)+p(3)+ … +p(k)

=k{p(k)- 1 }+p(k)

= (k+1)p(k)-k

∴ (가) 여기서

이므로

∴ (나)

16. [출제의도] 산술기하평균을 이용하여 부등식을 증명할 수 있다.

△ABP : △APD = x : z

△BCP : △CDP = x : z

∴ △ABC : △ACD = x : z 또, △ABC= 12 a bsin (∠ABC )

△ACD= 12 cdsin (∠ADC ) 이고 sin (∠ABC ) =sin (∠ADC ) 이므로

△ABC : △ACD = a b : c d

△ABC : △ACD =x : z =a b : cd

∴ x

z ⁼ a b c d

∴ (가) =z 같은 방법으로 w

y ⁼ a d bc

∴ (나) =bc 따라서, x

z ⁺w y ⁼ a b

cd ⁺ a d bc

= a

c

(

b

)

∴ (다) = a c

17. [출제의도] 연립방정식을 그래프로 풀 수 있다.

다음 그림에서 k의 값에 따른 교점의 개수를 조사하면 가 -1 과 3 일 때는 교점의 개수가 1 개가 되며 에서는 교점의 개수가 2 개가 된다. 그 밖의 k의 값에 대해서는 교점이 없다.

따라서 구하는 정수 k는 0 , 1 , 2 의 세 개이다.

18. [출제의도] 등차수열의 합을 구할 수 있다.

구하는 수열은 9 , 17 , 25 ,⋯ , 73 으로 공차가 인 등차수열이 다. 따라서 구하는 합은 9 (9+ 73)2 = 369 이다.

19. [출제의도] 점과 직선사이의 거리를 활용할 수 있다.

곡선 위의 점 에서 직선 까지

의 거리 는

이 때, 이므로 의 최소값은

1

2 ⋅ 74 = 7 2 8 이다.

따라서, 최소 크기의 정사각형은 대각선의 길이가 d= 7 28 일 때이며,

구하는 넓이의 최소값은 12 ⋅

(

)

20. [출제의도] 기본도형의 넓이를 구할 수 있다.

외접원의 중심을 O 라 하면,

OP , OQ , OR 는 각각 AB , BC , CA 에 수직이므로 사각형

OAPB, OBQC, OCRA 의 넓이는 각각 S₁= 12 ⋅AB⋅OP

S₂= 12 ⋅BC⋅OQ

S₃= 12 ⋅CA⋅OR

따라서, 육각형 APBQCR 의 넓이는 S₁+S₂+S₃= 12 ⋅(AB+ BC+ CA)⋅OP

= 12 (5+7+8)⋅ 7

3 = 70 33

21. [출제의도] 다항함수의 미분계수를 구할 수 있다.

주어진 조건식에서 f(x+ 1)-f (x)

(x+1)-x ⁼ f(x)-f (x-1) x- (x- 1) 즉, 구간 [x- 1, x] , [x, x+ 1 ] 에서의

평균변화율이 같으므로 다항함수 f(x)는 일차함수이다.

f(x) =ax+b 로 놓으면 f '(1) =a= 3 따라서 f '(-1) = 3

22. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 구할 수 있다.

오른쪽 그림에서 ∠AOP=x(라디안) 이므로 △OPA 에 제이코사인법칙을 적용하면

AP² = 1²+ 1² - 2․1․1․ cosx

= 2- 2 cosx

∴ f(x) = 2- (2- 2 cosx) = 2 cosx

따라서 f(x) = 2 cosx의 그래프의 개형은 ①이다.

23. [출제의도] 실생활에 상용로그를 적용할 수 있다.

1000

(

)

양변에 상용로그를 취하면,

따라서 100년 후부터 100㎏ 이하가 된다.

24. [출제의도] 함수의 극한을 구할 수 있다.

점 의 좌표를 라 하면 직선 의

방정식은

이므로

∴ Q

(

)

직선 AP 의 방정식은 y=(1-a)(x+1) 이므로 x= 1a ^{일 때,}

y=(1-a)

(

)

∴ R

(

)

따라서 limP→B

QR

BQ = lim

a→1

QR BQ

= lim

a→1

1-a² 1a a ^{- 1}

= lim

a→1

1-a²

1-a ^{= lim}a→1(1 +a) = 2

25. [출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있다.

A²=

(

) (

)

=

(

)

(A²)^{- 1}=

(

)

- 1

=

(

)

따라서, (A²)^{- 1}의 모든 성분의 합은 -2 이다.

26. [출제의도] 극한의 성질을 이해할 수 있다.

x → 1 이면 (분모) → 0 이므로 (분자) → 0 이어야 한다.

따라서 분자 2+1-a = 0 에서 a= 3 이고 limx→ 1

2x²+x-a x²- 1

= lim

x→ 1

( 2x+ 3) (x- 1) (x+ 1) (x- 1)

= lim

x→ 1

( 2x+ 3) (x+ 1)

= 52 =b

∴ a+ 10b = 28

27. [출제의도] 두 원의 관계를 유추할 수 있다.

a²+b² 은 원점 O 에서 점 (a, b) 에 이르는 거리이므로 거리가 최대가 되는 경우는 원 (x- 3)²+(y-4)²= 16의 둘레를 따라 원 (x-a)²+(y-b)²=4 이 외접하면서 움직일 때 원점과 두 원의 중심이 일직선 위에 있는 경우이다.

그림에서 최대값은

28. [출제의도] 로그함수의 그래프를 활용할 수 있다.

이므로 이고

log ₁

2

a 와 log₂b의 y좌표는 같다.

따라서 log ₁

2

a = log₂b, log ₁

2a = log₂(a+ 2) - log₂a= log₂(a+2)

log₂(a+2)+ log₂a= 0 log₂(a+2)a = log₂1

a²+2a-1 = 0

∴ a= -1+ 2 (∵ a> 0 ) b= 2+(-1+ 2 ) = 1+ 2

∴ a²+b²= ( - 1+ 2 )²+ (1+ 2 )²

= 6

29. [출제의도] 함수의 성질을 활용할 수 있다.

100 을 소인수분해하면 100 = 2²⋅5²이므로

∴ f( 100) =f (2²)+f( 5²)

=f (2)+f (2)+f (5)+f (5)

= 2+2+ 5+5

= 14

30. [출제의도] 이차함수의 그래프를 활용할 수 있다.

P 지점을 원점으로 하고 직선 PS 를 x축으로 하는 좌표축을 설정하면 S 지점은 S(80, 0) 이며 건물의 꼭대기 두 지점은

B( 40, 40), B'( 60, 40) 이다.

이 때, 공이 그리는 곡선의 이차함수를f(x) 라 하면, f(x) =a x(80-x)

곡선의 높이가 최소인 경우는 점 B 를 지나거나, 점 B'을 지날 때이다.

ⅰ) 점 B 를 지날 때,

f(40) =a⋅40(80- 40) = 40

∴ a= 140

∴ f(x) = 140 x(80-x)

이 때, f(60) = 140 60(80 - 60) = 30 이 되어 건물에 부딪히게 되므로 S 지점에 도달할 수 없다.

ⅱ) 점 B'을 지날 때, f(60) =a⋅60(80- 60) = 40

∴

∴

따라서, 구하는 최소높이는 (m)이다.

[자연계 정답]

1.④ 2. ③ 3. ① 4.② 5. ② 6.

9.④ 10. ⑤ 11. ④ 12.⑤ 13. ③ 14.

17.③ 18. ③ 19. ④ 20.⑤ 21. ③ 22.

25.(-2) 26. (28) 27. (10) 28.(6) 29. (14) 30.

1～4. 인문계 1번～4번과 같음.

5. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있다.

2x-3

x+ 1 - 1 ≦0에서 (2x- 3)-(x+ 1)

x+1 ≦ 0 , x- 4 x+ 1 ≦ 0

∴ (x- 4)(x+ 1) ≦ 0 ( x=- 1 )/

∴ - 1 < x≦ 4

따라서 위의 부등식을 만족하는 정수는 0, 1, 2, 3, 4 의 개이 다.

6～7. 인문계 6번～7번과 같음.

8. [출제의도] 복소수의 연산을 이해할 수 있다.

z= 3 +i를 극형식으로 나타내면 z= 2

(

2 i

)

= 2

(

)

∴ ∣z∣ = 2 , arg (z) = 30°

z²= 2²

(

)

∴ ∣z²∣ = 2², arg (z²) = 60°

z³= 2³

(

)

∴ ∣z³∣ = 2³, arg (z³) = 90°

따라서 다음 그림에서

OA = 2 , OB = 4 , OC = 8 이고

∠AOB = ∠BOC = 30°이므로

△ABC = △OAB +△OBC -△OAC

9. [출제의도] 배각공식을 이해할 수 있다.

원 의 반지름의 길이를 라 하면

∠AOC = 2∠B = 2θ 이므로

(어두운 부분의 넓이)

= 12 r²_{․2θ- 12} r²sin 2θ … ㉠

△ABC = 2 △AOC

= 2․ 12 r²sin 2θ … ㉡

㉠, ㉡에서

12 r²_{․2θ - 12} r²sin 2θ

= 2․ 12 r²sin 2θ 2θ = 3sin2θ

∴ θ = 32 sin2θ = 3

2 (2 sinθcos θ)

= 3sin θ cosθ

10～15. 인문계 10번～15번과 같음.

16. [출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 증명할 수 있다.

MA =a , MB =b라 하면 BA = a-b

CA = MA- MC = a+b

∴ AB²+ AC²

= ∣a-b∣²+ ∣ a+ b ∣²

= ∣ a∣²- 2 a․b +∣b∣² +∣a∣²+ 2 a․b +∣b∣²

= 2(∣ a∣²+∣b∣²)

= 2( AM²+ BM²)

따라서 (가) = a+b, (나) = a․b이다.

17. 인문계 17번과 같음.

18. [출제의도] 일차변환을 활용할 수 있다.

주어진 도형을 다음 그림과 같이

h→f→g의 순서로 회전시키면 원래의 도형이 된다.

19. [출제의도] 정사영의 넓이를 구할 수 있다.

면 ABED와 면 ACFD가 이루는 이면각의 크기를 라 하면, 이다.

따라서, 정사영의 넓이는

AB⋅AD⋅ cos θ = 7⋅14⋅ 4149 = 82

20～21. 인문계 20번～21번과 같음.

22. [출제의도] 쌍곡선의 그래프를 활용할 수 있다.

다음 그림과 같이 비행기가 왼쪽에서 나타난 지점을 , 오른쪽으로 사라진 한 지점을 B , 동수가 서있는 지점을 라 하자. 세 지점 A, B, P 의 좌표를 A(0, 1), B(2, 1), P(1, 0) 으로 하는 좌표평면을 만들고 비행기의 위치를 Q 라 하면

PQ²= 1²+ (1 - AQ )² PQ =y, AQ =x 이므로 y²= 1+ ( 1 -x)²

(x- 1)²-y²=- 1

따라서 비행기가 움직인 거리 (x )와 동수에서 비행기까지의 거리 의 관계는 ②와 같은 쌍곡선의 일부분이다.

23. 인문계 23번과 같음.

24. [출제의도] 합성변환을 활용할 수 있다.

일차변환을 나타내는 행렬을 A라 하고, 점 의 좌표를 P (a,b) , Q (c, d)라고 하면

A

( )

( )

( )

( )

또, 합성변환 f∘f를 나타내는 행렬은 A²이고

A²

( )

( )

( )

( )

( )

( )

즉, A²

( )

( )

한편, 세 점 O, P, Q 는 일직선 위에 있지 않으므로 ab ^≠ d

c ^, a d-bc≠ 0 ,

즉, 행렬

( )

( )

∴A²=

( )

( )

( )

25～26. 인문계 25번～26번과 같음.

27. [출제의도] 접선의 방정식을 이해할 수 있다.

점 가 타원 위의 점이므로

---㉠

타원 위의 점 에서의 접선의 방정식은

즉, 이므로

∴ ---㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

1

a^{2 + 4}4a ^{2 = 1}

∴ a²= 2 , b²= 8

∴ a²+b²= 10

28～30. 인문계 28번～30번과 같음.

[예․체능계 정답]

1.④ 2. ③ 3. ① 4.① 5. ⑤ 6.② 7. ② 8. ① 9.② 10. ① 11. ⑤ 12.① 13. ④ 14.② 15. ③ 16. ⑤ 17.③ 18. ④ 19. ② 20.③ 21. ④ 22.⑤ 23. ① 24. ② 25.(16) 26. (3) 27. (11) 28.(6) 29. (14) 30.(53.33)

1～2. 인문계 1번～2번과 같음.

3. [출제의도] 나머지를 구할 수 있다.

f(x) = (x²-2x+3)(x+ 2)+x- 6 계수들의 총합은 f(1)이므로 구하는 값은

f(1) = (1- 2+ 3)(1+2)+ 1- 6 = 1

4. 인문계 3번과 같음.

5. [출제의도] 삼각함수의 값을 계산할 수 있다.

sin 76 π⋅cos 5 6 π

= (- sin π

6 )⋅(-cos π 6 )

=

(

)

(

)

6. [출제의도] 역함수의 함수값을 이해할 수 있다.

(f ^{- 1}∘g)(3) =f^{- 1}(g(3)) =f^{- 1}(8) f ^{- 1}(8)=a라 놓으면 f(a) = 2a+2 =8

∴a=f^{- 1}(8)= 3

7. 인문계 4번과 같음.

8. [출제의도] 다항식의 인수분해를 할 수 있다.

x⁴-x³+x²-x=x³(x-1)+x(x- 1)

=x(x- 1)(x²+1)이므로 약수가 아닌 것은 ①이다.

9. [출제의도] 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

이므로, 이다.

따라서, 구하는 부분집합의 개수는 2개이다.

10. 인문계 14번과 같음.

11. 인문계 12번과 같음.

12～14. 인문계 5번～7번과 같음.

15. [출제의도] 산술, 기하평균을 적용할 수 있다.

≧2 a₁⋅ 1a₁ ⁺² a₂⋅ 1a₂ ^+⋯+2 a₅⋅ 1a₅

= 2+2+2+2+ 2 = 10 …㉠

∴ (가) = 10

그런데, A < 5이고 B < 5이면 ㉠에 모순이다. 따라서 중 적어도 하나는 5 이상이다.

∴ (나) =A, B 중 적어도 하나는 5 이상이다.

16. 인문계 16번과 같음.

17. 인문계 9번과 같음.

18. 인문계 11번과 같음.

19. [출제의도] 기본도형의 성질을 활용할 수 있다.

18 개로 만들어진 직육면체의 겉넓이를 S, 정사각형의 한 면의 넓이를 1 이라 하면

ⅰ) [그림 1]의 도형을 만들기 위해 없어진 면은 개이고 새로 만들어진 면은 6 개이므로 S₁= (S-8)+6 =S-2

ⅱ) [그림 2]의 도형을 만들기 위해 없어진 면은 개이고 새로 만들어진 면은 7 개이므로 S₂= (S-7)+7 =S

ⅲ) [그림 3]의 도형을 만들기 위해 없어진 면은 개이고 새로 만들어진 면은 10 개이므로 S₃= (S-8)+10=S+2

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 S₁<S₂<S₃이다.

20. 인문계 17번과 같음.

21～22. 인문계 19번～20번과 같음.

23～24. 인문계 22번～23번과 같음.

25. [출제의도] 근과 계수와의 관계를 알 수 있다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 α+β= 3, αβ= 4

(3α-4)(3β-4) = 9αβ-12(α+β)+16

= 9⋅4-12⋅3+16 =16

26. [출제의도] 이차방정식을 이해할 수 있다.

주어진 식을 인수분해하면 (x+ 2y-3)(x+2y+ 1) = 0

x+2y= 3,- 1

x,y가 양수이므로 x+ 2y= 3

27～30. 인문계 27번～30번과 같음.