광주교육대학교 수학교육과 이 대 현

9주차: 측정 지도(2)

광주교육대학교 수학교육과 이 대 현

수학과 교육 2-강의 자료

학습 내용: 측정의 지도 이유

✔일상생활에서 시간과 시각, 길이, 들이, 무게, 넓이, 부피 등의 양을 측정하는데 이용

반올림과 올림, 버림은 물건의 양을 어림할 때 이용

수의 범위를 구분하기 위하여 이상, 이하, 초과, 미만을 배운다.

✔임의단위: 보편단위의 도입을 위해 필요 길이: 넓이의 개념을 배우기 위해 필요

길이와 넓이: 부피의 개념을 배우기 위해 필요

직사각형의 넓이: 삼각형과 평행사변형, 마름모, 원의 넓이를 측정할 때 활용 길이와 시간: 속력을 계산하기 위해 필요

이상과 미만: 도수분포표를 만들 때 이용

학습 내용: 측정 영역의 지도 과정

① 분류하기: 우리는 측정하기 전에 일상생활에서 사물이나 현상에서 어떤 속성을 측정하고자 하는지를 명확히 해야 한다.

② 비교단계: 비교에는 직관적 비교, 직접비교와 간접비교가 있다.

직관적 비교: 비교하고자하는 속성의 외관에 의해 즉각적으로 비교하는 방법 직접비교: 비교하고자 하는 속성을 직접 견주어 비교하는 방법

간접비교: 비교하고자 하는 속성을 제3의 대상을 이용하여 비교하는 방법

③ 측정단계: 측정단계에서는 측정하려는 양이 단위량의 몇 배에 해당하는가를 조사하여 수치화

임의단위에 의한 측정 보편단위에 의한 측정

✔직접측정: 계기에 의한 측정의 결과가 그대로 양의 측정값

간접측정: 계기에 의한 측정할 수 없는 경우에 측정하려는 양에 관계된 다른 양의 측정값을 구하여 그것을 토대로 원래의 양을 측정

학습 내용: 길이의 지도(1)

✔길이: 모든 양의 가장 기본이 되는 양

=막대나 철사와 같이 물체 그 자체를 길이로 받아들이는 경우

=책의 가로와 세로, 둘레 등과 같이 한 물체의 측면으로 받아들여지는 경우 =길다, 짧다, 두껍다, 얇다, 높다, 낮다, 깊다, 얕다, 멀다, 가깝다 등으로 표현

직관적 비교: 비교하고자 하는 대상의 차이가 현저한 경우에 외관에 의해 비교 직접비교: 필통 속의 연필 두 개를 꺼내어 길이를 비교하는 활동을 통하여 어느 것이 더 긴가를 알아본다.

간접비교: 여러 명의 학생들의 키를 벽에 나타내어 학생들의 키를 간접비교

임의단위: 책상 길이를 뼘의 길이나 연필의 길이를 기준으로 하여 재어보는 활동 길이를 재는 데 기준이 되는 길이를

보편단위: 표준단위의 필요성을 느끼게 하고, 1cm의 단위를 도입

학습 내용: 길이의 지도(2)

✔단명수: 518cm와 같이 하나의 단위를 이용하여 길이를 나타낸 표기 방법 길이의 연산을 필요로 한 경우

복명수: 5m 18cm와 같이 2개의 단위를 이용하여 길이를 나타낸 표기방법 길이의 크기를 직관적으로 이해하는 데 복명수가 좋기 때문

✔1cm의 단위량으로는 잴 수 없는 단수의 양 ==>1mm의 단위, 1km의 단위

길이의 계산: 길이의 합과 차의 계산은 자연수의 합과 차를 계산하는 방법과 유사 길이 단위에 대한 연산은 경우에 따라 다르다.

1cm = 10mm이므로 1cm와 1mm 사이에는 자연수와 같이 십진법이 적용 1m=100cm이므로, 1m와 1cm 사이에는 백진법이 적용

1km=1000m이므로, 1km와 1m 사이에는 천진법이 적용

학습 내용: 길이의 지도(3)

학습 내용: 들이의 지도

 직접비교: 들이는 똑같은 모양, 똑같은 크기의 그릇일 경우에 직접비교가 가능 하다. 그러나 그릇이 다른 경우에는 한쪽 그릇에 가득 채웠다가 그릇에 옮겨 담아 보고 과부족의 상태에 따라 들이를 비교

 간접비교: 그릇을 옮길 수 없거나 두 그릇의 모양이나 크기가 다른 경우에 간접비교를 한다.

 임의단위: 컵을 이용하여 두 그릇의 들이를 비교하게 된다. 컵의 수가 정수가 되지 않는 경우에는 ‘좀 더 된다’, ‘약 몇 컵 정도이다’와 같은 어림수로 표현한다.

 보편단위: 들이를 측정하는 단위로 1L가 있다. 그릇의 들이를 어림하고 1L를 확인하는 과정을 통하여 1L에 대한 양감을 기르도록 한다.

학습 내용: 무게의 지도

 직접비교: 두 물건을 양손으로 들어보고 무게를 비교해 보도록 한다.

양팔저울을 이용하여 두 물건의 무게를 비교해 보도록 한다.

 간접비교: 양팔저울을 이용하여 비교할 경우에 얼마나 무거운지를 알 수 없다.

따라서 두 물건을 동전이나 클립을 이용하여 무게를 비교해 본다.

 임의단위: 간접비교를 할 때 동전이나 클립을 사용하여 무게를 비교하게 된다.

이 때 동전이나 클립이 임의 단위이다. 임의 단위를 사용하면 임의 단위가 바뀔 때마다 무게가 다르게 되어 불편하다는 것을 알게 된다.

 보편단위: 무게를 측정하는 단위로 1g이 있다. 물건의 무게를 1g을 확인하는 과정을 통하여 1g에 대한 양감을 기르도록 한다. 무게의 단위 사이 의 관계는 1㎏=1000g임을 알도록 한다.

그리고 무게의 합과 차를 구하도록 한다.

학습 내용: 시각과 시간의 지도

✔시각: 때의 위치(시점)

인공위성 발사 시각, 뉴스 시작 시각과 같이 좀 더 정확하게 시각을 잴 필요가 있는 상황을 생각

시간: 두 시각 사이의 양

수업이 9시에 시작하여 9시 40분까지 40분 동안 수업을 하는 상황 시간의 단위로는 1시간, 1분간, 1초간

✔다음과 같은 여러 특성을 모두 파악해야 시각을 바르게 읽고 나타낼 수 있다.

① 시침과 분침, 초침이 있다.

② 1부터 12까지 숫자가 쓰여 있다.

③ 시침과 분침은 서로 다른 속도로 움직인다.

④ 시침과 분침은 서로 연결되어 있어서 하나가 움직이면 다른 하나도 따라 움직인다.

⑤ 분침이 6에 오면 30분을 나타낸다.

⑥ 디지털 형식으로 표현된 시각을 모형 시계에 나타낸다.

학습 내용: 각도의 지도

✔각도: 각의 두 선분 사이의 벌어진 정도를 나타내는 양 각을 측정하는 보편단위로 1°를 이용

=책과 창문 등의 물건에서 각의 모양을 만져 보는 활동이나 직사각형 모양의 종이를 정확하게 겹치도록 두 번 접어 펼쳤을 때 만들어지는 4개의 각의 크기가 직각이 됨을 알게 한다.

학습 내용: 평면도형의 둘레의 지도

✔평면도형의 둘레: 직사각형=도형이 선분으로 구성된 도형 선분의 길이의 합

원= 곡선으로 구성된 도형은 주의하여 지도

✔직사각형의 둘레: 직사각형 모양이 있는 물건을 묶는 데 필요한 끈의 길이 (직사각형의 둘레)={(가로의 길이)+(세로의 길이)}×2

✔정사각형: 직사각형의 특수한 경우 직사각형의 둘레를 이용

정사각형 모양의 물건을 묶는데 필요한 끈의 길이 (정사각형의 둘레)=(한 변의 길이)×4

✔원의 둘레: 병이나 원형 통과 같이 원기둥 모양의 물건을 묶는 데 필요한 끈의 길이

원주: 원의 둘레의 길이

원주율: 지름의 길이에 대한 원주의 비율

학습 내용: 평면도형의 넓이의 지도(1)

직접비교: 비교하는 물건의 수가 적을 때, 직접비교를 위하여 아래와 같이 가방 속의 물건 2개(한 물건이 다른 물건에 완전히 포함되는 경우)를

꺼내어 넓이를 비교하는 활동을 한다.

간접비교: 비교하는 물건의 수가 많거나 직접비교할 수 없을 때 간접비교를 한다.

직접 크기를 비교할 수 없기 때문에 다른 물건을 이용하여 넓이를 재어야 할 필요성을 알아야 한다.

임의단위: 직접비교할 수 없을 때 다른 물건을 이용하여 넓이를 각각 계산해 보도록 한다.

색종이의 넓이나 책의 넓이와 같이, 어떤 넓이를 재는 데 기준이 되는 넓이를 임의단위라고 한다.

보편단위: 여러 가지 임의단위로 재어 보고, 의사소통의 불편함을 발견하게 하는 활동을 통하여 모든 사람들이 공유하여 사용할 수 있는 보편단위인 한 변이 1cm 인 정사각형의 넓이를 표준단위로 하여 1㎠를 정의한다.

학습 내용: 평면도형의 넓이의 지도(2)

□ 직사각형의 넓이

□ 평행사변형의 넓이

✔한 변의 길이가 1cm인 모눈종이 위에서 평행사변형 모양은 1㎠가 몇 개인지?

평행사변형의 넓이를 구하는 데는 밑변과 높이를 약속 평행사변형에서 밑변, 높이 약속

✔모눈종이 위에서 평행사변형의 오른쪽에 있는 삼각형을 잘라서 평행사변형의 왼쪽에 붙이면 평행사변형의 넓이는 직사각형의 넓이와 같음을 발견

(평행사변형의 넓이) = (밑변) × (높이)

학습 내용: 평면도형의 넓이의 지도(3)

□ 삼각형의 넓이

✔한 변의 길이가 1cm인 모눈종이 위에서 삼각형 모양은 1㎠가 몇 개인지 세기 ✔삼각형 2개를 붙여놓으면 평행사변형이 됨을 발견

삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 반임을 발견

(삼각형의 넓이) = (밑변)×(높이)÷2

□ 사다리꼴의 넓이

✔한 변의 길이가 1cm인 모눈종이 위에서 사다리꼴 모양은 1㎠가 몇 개인지?

밑변, 윗변, 아랫변, 높이를 정의

[방법1] : (윗변)×(높이)÷2+(아랫변)×(높이)÷2

[방법2] : (윗변)×(높이)+{(아랫변)-(윗변)}×(높이)÷2 [방법3] : {(윗변)+(아랫변)}×(높이)÷2

학습 내용: 평면도형의 넓이의 지도(4)

□ 마름모의 넓이

✔한 변의 길이가 1cm인 모눈종이 위에서 마름모 모양은 1㎠가 몇 개인지?

모눈종이 위에 마름모를 그리고, 마름모의 대각선과 평행한 선을 그어 마름모를 둘러싼 직사각형을 그리도록 한다.

마름모의 넓이는 마름모를 둘러 싼 직사각형의 넓이의 반임을 발견 (마름모의 넓이) = (한 대각선)×(다른 대각선)÷2

□ 원의 넓이

✔원을 크기가 같은 여러 개의 부채꼴로 자르고, 부채꼴을 직사각형 모양이 되도록 붙이는 활동

✔원을 한없이 잘게 잘라 붙이면 원의 넓이는 가로의 길이가 원주의 이고,

세로의 길이가 반지름의 길이와 같은 직사각형의 넓이와 점점 같아진다는 것 (원의 넓이) = (원주의 )×(반지름)

=(지름)×(원주율)× ×(반지름) =(반지름)×(반지름)×(원주율)

학습 내용: 입체도형의 겉넓이의 지도

✔직육면체 모양인 상자의 겉면에 색종이를 붙이는 것을 생각

직육면체의 겉넓이를 구하는 데 필요한 밑넓이와 옆넓이를 약속

✔직육면체의 겉넓이는 2개의 밑넓이와 옆넓이이므로, 다음 공식을 발견 (직육면체의 겉넓이) = (밑넓이)×2+(옆넓이)

✔정육면체는 모든 면이 정사각형인 직육면체로 직육면체의 특수한 경우 (정육면체의 겉넓이) = (밑넓이)×6

✔원기둥 모양인 깡통의 겉면에 색종이를 붙이는 것과 같은 것을 생각 원기둥의 겉넓이를 구하는 데 필요한 밑넓이와 옆넓이를 약속

원기둥의 겉넓이는 2개의 밑넓이와 옆넓이이므로 다음 공식을 발견 (원기둥의 겉넓이) = (밑넓이)×2+(옆넓이)

학습 내용: 입체도형의 부피의 지도

✔직육면체 모양의 부피를 재어 보는 것을 생각

직육면체와 부피가 같도록 쌓기나무로 쌓아 보는 활동

(예) 쌓기나무(예, 4×3×2)를 보면서 직육면체의 부피는 다음과 같음을 발견 한 층에 놓인 쌓기나무의 개수는 4×3=12이므로 12㎤임을 발견

두 층에 놓인 쌓기나무의 개수는 4×3×2=24이므로 24㎤임을 발견

(직육면체의 부피) = (밑면의 가로)×(밑면의 세로)×(높이)

✔정육면체는 직육면체의 특수한 경우

✔원기둥을 잘라서 직육면체 모양을 만드는 활동

원기둥을 한없이 잘게 잘라 붙이면 원기둥의 부피는 직육면체의 부피와 점점 같아짐을 발견

원기둥의 밑면 넓이는 직육면체의 밑면 넓이와 같아짐을 발견

 원기둥의 부피를 구하는 공식은 직육면체의 부피를 이용하여 발견

(원기둥의 부피) = (밑면의 넓이)×(높이)

학습 내용: 학습 내용 정리

각각의 양을 지도하는 방법을 정리해 보아라.

 각 도형의 넓이를 구하는 방법에 대해 알아보아라.

 쌓기나무를 이용하여 부피를 구하는 방법에 대해 논하여라.

 생활 속에서 측정을 다루는 내용에 대해 토론하여라.