6.5 초미세구조 갈라짐

(1)

QM6.5

6.5 초미세구조 갈라짐

(Hyperfine Splitting)

* 섭동 해밀토니안

1. 양성자와 전자의 자기 모멘트;

_ _ g_

S_{ } _  _

 S_ [6.85]

[설명; 1) 자기쌍극자 모멘트와 각운동량 사이의 고전적 관계;

  

 S

2) 전자의 자기쌍극자 모멘트와 스핀 사이의 관계;

_  

 S [6.60]

3) g-상수; 자기회전비율 관련, 고전 이론과 실제 값 사이의 비;

[6.60] 아래의 각주 11)

  g

 S

4) 양성자의 경우,  ⇒ _, g ⇒ g_,  ⇒ ,  ⇒ _, S ⇒ S_.

5) 전자의 경우,  ⇒ _, g ⇒ ,  ⇒  ,  ⇒ _, S ⇒ S_. 설명 끝.] (양성자는 세 개의 쿼크로 이루어진 복합 입자.

자기회전비율의 이론적 계산이 간단하지 않음. g_의 측정값은 약 5.59.

전자의 g 값은 약 2.

양자 전기역학적 효과에 의해 2에서 약간 벗어남.(2⇒2.002...)) 2. 자기 쌍극자 가 만드는 자기장;

B  

^

_

⋅   

_

^r [6.86]

[설명; 1) Griffiths, Introduction to Electrodynamics(3rd ed.), Eq.(5.90);

B_dip  

_

^

 m⋅rr m  

_

m^r (5.90) 2) 첨자 ‘dip’ 떼어내고, m ⇒  하면 됨. 설명 끝]

3. 양성자 자기모멘트가 만드는 자기장과 상호작용하는 전자의 해밀토니안;

_{h f}^′ _{ }

__

_g_e^

^

S_⋅rS_⋅r  S_⋅S_

 __

_g_^

S_⋅S_^r [6.87]

[설명; 1) 자기장 안에 놓인 자기쌍극자의 해밀토니안;

   ⋅B [6.58]

2) “전자의 자기모멘트”가 “양성자 자기모멘트에 의한 자기장”과 상호작용;

(2)

_{h f}^′   _⋅B_   B_⋅_ (1) 3) [식 6.86]을 이용하여

B_  

^

_

_⋅ _  

_

_^r (2)

4) (2) ⇒ (1)

_{h f}^′ _{  }

^

_

_⋅_⋅  _⋅_  

_

_⋅_^r (3) 5) [식 6.85]을 (3)에 대입;

_{h f}^′ _{  }

^

_

_ g_

S_⋅ _

 S_⋅  _ g_

S_⋅ _

 S_

 

_

_ g_

S_⋅ _

 S_e^r (4)

6) 공통인자 _ g_

와  _

 를 앞으로 뽑아 냄;

_{h f}^′ _{  }

^

_

_ g_

 _

 S_⋅S_⋅  S_⋅S_

 

_

_ g_

 _

 S_⋅S_e^r

7) 계수를 정리하고 ^를 뒤로 보내면 [식 6.87]이 된다. 설명 끝]

* 1차 에너지 보정

1. 1차 에너지 보정은 섭동 해밀토니안의 기대값;

_{h f}^ _{ }

__

__^

〈

^^S^^⋅^S^_^⋅^ ^{  S}^^⋅S^

〉

 __

__^

〈

^S⋅S_

〉

^{ }^

[6.88]

[설명; 1) 1차 에너지 보정은 섭동 해밀토니안의 기대값;

_{h f}^  _{h f}^′  (1)

2) [식 6.87]을 대입;

_{h f}^ 

〈

^^^^^g^p_ê^^_ ^^S^p^⋅^rSê^⋅_^^{r  S}^p^⋅Sê^ ^{ }^^^^g_^^^^_^S^^⋅S^^^^r

〉

_{h f}^ 

〈

^^_

_g_^

^

S_⋅S_⋅  S_⋅S_

〉

^

〈

^^_

_g_^

S_⋅S_^

〉

(3)

_{h f}^ _{ }

__

_g_^

〈

^^S^^⋅^S^^⋅_^^{  S}^^⋅S^^

〉

^{ }^_

_g_^

〈

^S⋅S_^

〉

⁽²⁾

3) (2)의 두 번째 기댓값; ‘스핀’과 ‘공간’ 분리

〈

^S⋅S_^

〉

^

〈

^S⋅S_

〉〈

^^^

〉

(3) 4) 디락 델타의 기댓값;

〈

_^_

〉





^^^r^^{rrd}^^{r  }^  ^ (4) 5) (3)과 (4)를 (2)에 대입하면 [식 6.88]이 된다. 설명 끝]

2. 바닥상태(또는    상태)의 경우 [식 6.88]의 첫 번째 기댓값은 0. 즉,

〈

^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^

〉

^{ }

[설명; 연습문제 6.27 참조.

연습문제 6.27a; a b를 상수 벡터라 하자. 다음을 보여라.



^a⋅^{r b⋅}rsin  

a⋅b [6.95]

풀이; 1)   sincos  sinsin  cos를 이용하여

a⋅r  _sincos  _sinsin  _cos (1)

b⋅r  _sincos  _sinsin  _cos (2) 2) (1)과 (2)를 [6.95]의 좌변에 대입;



^a⋅^{r b⋅}^{rsin}





^{ }^sincos  _sinsin  _cos 

×  _sincos  _sinsin  _cos sin





^{ }^^^^sin^^cos^^{  }^^^^sin^cossin  __sincoscos

 __sin^sincos  __sin^sin^  __cossinsin

 __cossincos  __cossinsin  __cos^ sin (3) 3) 에 대하여 적분;







cos^   × 

  ;







sin^   × 

  







cossin  ;







cos  ;







sin  

(4)



_^^{  } ⁽⁴⁾

4) (4) ⇒ (3)하면



^a⋅^{r b⋅}^{rsin}





^{  }^^^^sin^^{   }^^^^sin^^{    }^^^^cos^^{ sin} ⁽⁵⁾

5) 에 대한 적분;



_^^sin^^{sin }



_^^sin^ cos 



_^   cos^ cos

  cos  

 cos^_^

  cos  

 cos^   cos  

 cos^

   

    

  

 (6)



_^^cos^^{sin }



_^^{ cos}^ cos   

 cos^_^

  

 cos^  

 cos^  

  

  

 (7)

6) (6), (7) ⇒ (5)



^a⋅^{r b⋅}^{rsin}

 

 __ 

  __  

×   __

 

 __ __ __  

a⋅b 앞부분 풀이.

연습문제 6.27b; 이 결과를 이용하여    상태에 대하여 다음을 증명하라.

〈

^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^

〉

^{ }

풀이; 1) 먼저 파동함수의 공간부분에 대한 기댓값을 취하고 다음에 스핀에 대한 기 댓값 계산;

〈

^^

S_⋅S_⋅  S_⋅S_

〉

^≡

〈 ^〈

^^S^^⋅^S^^⋅^^^{  S}^^⋅S^^

^〉

공간

〉

_스핀

2) 공간과 관련된 기댓값(보통 파동함수에 대한 기댓값);

〈

^^

S_⋅S_⋅  S_⋅S_

〉

_공간

(5)





^^^ ^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^^^^^ sin





^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^^^^^^^^^{ }^^^ sin





^S^^⋅^S^^⋅^{  S}^^⋅S^^^^^^{  }^^{sin }^^^_^^^

3) _^ _{ }

^

 이므로

〈

^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^

〉

_공간

 





^S^^⋅^S^^⋅^{  S}^^⋅S^ sin 

_^



4) [식 6.95] 이용

〈

^^

S_⋅S_⋅  S_⋅S_

〉

_공간

 





^{ × }^_ ^S^^⋅S^^{  S}^^⋅S^^{ }^^^_^^^

 





^{S}^^⋅S^^{  S}^^⋅S^^{ }^^^_^^^{  }

5) 따라서

〈

^^

S_⋅S_⋅  S_⋅S_

〉

^{ } ^{설명 끝}^]

3.  _^ ^;

[설명; [식 4.80]

_   ^

 ⋅ 

^{ }⋅ ^

  



^^

 ^{ } [4.80]

에    대입, 그리고 제곱. 설명 끝]

4. 바닥상태 에너지 1차 보정;

_{h f}^ _{ }

__^

_g_^

〈

^S⋅S_

〉

^[6.89]

[설명; 1) [식 6.88]에

(6)

〈

^^S^^⋅^S^_^⋅^^{  S}^^⋅S^^

〉

^{ ,  }^^^ ^{ }^^

대입하면

_{h f}^ _{ }

__

_g_^

×   __

__^

〈

^S⋅S_

〉

_

^

  

__^

_g_^

〈

^S⋅S_

〉

설명 끝. ]

5. 두 스핀 사이의 내적으로 표현되므로 스핀-스핀 결합이라 불림.

* 스핀-스핀 결합(spin-spin coupling)

1. 스핀-스핀 결합이 있으면 각각의 스핀 각운동량은 독자적으로는 보존되지 않음.

[설명; S_⋅S_ S_ ≠ , S_⋅S_ S_ ≠ 

⇒  S_ ≠  ,  S_ ≠ 

보존되지 않음. 설명 끝 ]

2. 총 스핀

S ≡ S_ S_ [6.90]

는 좋은 상태.

[설명; S_⋅S_ S   S_⋅S_ S_ S_  

⇒  S   

보존 ]

3. [6.90]을 제곱하면

S_⋅S_ 

^_^_^ [6.91]

[설명; S^ ≡ S_ S_^  S_^ S_^ S_⋅S_

⇒ S_⋅S_  S^ S_^ S_^

S_⋅S_  

S^ S_^ S_^  

^^_^^_^^ 설명 끝]

4. 전자와 양성자 모두 스핀이 1/2 ⇒ _^ _^  ^

(7)

[설명; ^  ^    ⇒ ^



   ^

 설명 끝 ]

5. 삼중항과 단일항;

1) 삼중항; 총 스핀이 1 ⇒ ^  ^     ^⋅    ^

〈

^S⋅S_

〉

^

〈

^_^^^^^^^^^^^^^

〉

^{ }_^^^^{ }^^{ }^^{  }^

2) 단일항; 총 스핀이 0 ⇒ ^  ^     ^⋅    

〈

^S⋅S_

〉

^

〈

^_^^^^^^^^^^^^^

〉

^{ }_^  ^ ^   ^

6. 에너지 1차보정 결과;

_{h f}^ _{ }

__^^^

g_^



^{  }   ^{triplet}singlet [6.92]

[설명; 1) 삼중항과 단일항을 구분하는 (+1/4)와 (-3/4)가 뒤에 분리되어 있으므로

“[식 6.89]의 계수에 ^을 곱한 것”이 “[식 6.92]의 계수”임을 확인하면 된다.

2) [식 6.89]에 ^을 곱한 것;

__^

_g_^

× ^ (1)

3) __ ^이므로

_ _^ (2)

4) (2) ⇒ (1)

__^

_g_^

× ^  

__^

_^g_^

× ^  

___^^ g_^

× ^ (3) 5) 그런데,



  

_^

_^

⇒ 

 

_^

_^

  (4)

6) (4)를 (3)에 곱함.

__^

_g_^

× ^  

___^^ g_^

× ^× 

 

_^

_^

 __^^ g_

× ^× 

 _

^

(8)

 __^^^

g_^

7) [식 6.92]의 계수와 일치. 설명 끝 ]

* 21cm 스펙트럼선

1. 스핀-스핀 결합 ⇒ 바닥상태의(스핀 상태에 대한) 에너지 겹침을 없애줌.

2. 3중항의 에너지는 높아지고 단일항의 에너지는 낮아짐.(그림 6.13)

3. 3중항과 단일항의 에너지 차이;

_{ }

__^^^

g_^

  × ^{ }eV [6.93]

[설명; 1) 에너지의 차이

 _{ }

__^^^

g_^

× 

  

__^^^

g_^

×  

  

__^^^

g_^

2) 숫자 대입;

__^^^

g_^

  ×  × ^{ }×  × ^{ }^ × ^^ × ^{ }^

 ×  ×  × ^{ }^

= 0.9450095614e-24 J 3) eV로 환산;

 × ^{ }J   × ^{ }J × 

 × ^{ }J

eV

  × ^{ }eV⇒  × ^{ }eV

4) 유효숫자 개수를 늘려서 계산하면 [6.93]과 일치할 것임. 설명 끝 ]

4. 전이과정에서 방출되는 광자의 진동수;

  



  MHz [6.94]

[설명; 1) 진동수;

  



 



2) 숫자 대입

  



  ×  × ^{ }

 × ^{ }eV

× eV

 × ^{ }J

 Hz

⇒ MHz ⇒ G Hz 설명 끝]

(9)

5. 파장으로 환산하면   cm, 마이크로파 영역.

[설명; 파장

     × ^  m ⇒ cm 설명 끝 ]

6. 21cm 스펙트럼선; 우주에서 가장 널리 퍼져있고 어디서나 나타나는 방사 선 중 하나.

[설명; 우주 공간에 수소가 가장 많음]

과제

연습문제 6.27 (정리 제출)

6.5 초미세구조 갈라짐

6.5 초미세구조 갈라짐

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