밑을 e로 하는 지수함수와 로그함수의 극한
문항 1핵심노트
1
1lim
→
ln 의 값은?
[2점][2017(가) 4월/교육청 1]
①
②
③ ④
⑤
2
2lim
→ ln
의 값은?
[2점][2017(가) 수능 2]
① ② ③
④ ⑤
3
3lim
→ ln 의 값은?
[2점][2014(B) 삼사 2]
①
②
③
④
⑤
미적분의 기본 정리
문항 3핵심노트
4
4
의 값은?
[2점][2017(가) 4월/교육청 3]
① ② ③
④ ⑤
5
5
일 때, ln 의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) 6월/평가원 24]
6
6
cos
의 값은?[3점][2016(가) 7월/교육청 4]
①
②
③ ④
⑤
7
7
sin 의 값은?
[3점][2013(B) 7월/교육청 4]
①
② ③
④ ⑤
2017 2017 2017 2017 2017
2017년 년 년 년 년 년 4 4 4 4 4 4월 월 월 월 월 월 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 ((((((홀수 홀수 홀수 홀수 홀수 홀수)))))) 2017년 4월 학력평가 (홀수)
1 1
1
1
1 1
1
삼각함수의 미분법
문항 5핵심노트
8
8함수 cos에 대하여 ′
의 값은?[3점][2017(가) 4월/교육청 5]
① ②
③ ④
⑤
9
9함수 cos 에 대하여 ′의 값을 구하시오.
[3점][2015(B) /수능 23]
10
10함수 sin에 대하여 ′의 값은?
[3점][2015(가) 11월/교육청(고2) 6]
① ②
③
④
⑤
자연수의 분할
문항 7핵심노트
11
11같은 종류의 컴퓨터용 사인펜 자루를 같은 종류의 필통 개에 나누 어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의 수는?
[3점][2017(가) 4월/교육청 7]
① ② ③ ④ ⑤
12
12같은 종류의 꽃 송이를 같은 종류의 꽃병 개에 빈 꽃병이 없도록 나 누어 꽂는 경우의 수는?
[3점][2016(가) 5월/전북 6]
① ② ③ ④ ⑤
13
13같은 종류의 접시 개에 같은 종류의 쿠키 개를 남김없이 나누어 담 을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는?
[3점][2016(나) 7월/교육청 11]
① ② ③ ④ ⑤
삼각방정식의 실근의 개수
문항 9핵심노트
14
14 ≤ 일 때, 방정식 sin
의 모든 실근의 개수는?
[3점][2017(가) 4월/교육청 9]
① ② ③ ④ ⑤
15
15함수 가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) ≤ ≤
일 때, sin
(다)
≤ 일 때, sin
이때 함수 의 그래프와 직선
가 만나는 점의 개수는?
[4점][2013(A) 3월/교육청(고2) 21]
① ② ③ ④ ⑤
16
16 에 대한 방정식 cos
( ⋯ )의 양의 실
근의 개수를 이라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 3월/교육청 28]
접점이 주어질 때, 접선의 방정식
문항 11핵심노트
17
17좌표평면에서 곡선 위의 점 에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A , B라 하자. 삼각형 OAB의 넓이는?
(단, O 는 원점이다.)
[3점][2017(가) 4월/교육청 11]
① ②
③ ④
⑤
18
18곡선 위의 점 에서의 접선 및 축, 축으로 둘러싸 인 도형의 넓이를 구하시오. (단, 는 자연로그의 밑이다.)
[3점][2012(가) 3월/교육청 23]
이계도함수
문항 13핵심노트
19
19함수 ln 에 대하여 ″ 인 실수 의 값 은?
[3점][2017(가) 4월/교육청 13]
①
②
③ ④
⑤ 20
20실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 다음 조건을 만 족시킨다.
(가) , ′ (나) lim
→
′
″의 값은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 27]
① ② ③ ④ ⑤
정적분의 부분적분법
문항 15핵심노트
21
21
cos 의 값은?
[4점][2017(가) 4월/교육청 15]
①
②
③
④ ⑤
22
22
ln 의 값은?
[3점][2018(가) 10월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
23
23
ln 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 4월/교육청 26]
로그부등식
문항 17핵심노트
24
24두 집합
≤
,
log log ≤
에 대하여 ∩ ≠ ∅ 을 만족시키는 정수 의 개수는?
[4점][2017(가) 4월/교육청 17]
① ② ③ ④ ⑤
25
25부등식 log log ≤ 을 만족시키는 정수 의 개수 는?
[3점][2016(가) 6월/평가원 10]
① ② ③ ④ ⑤
26
26로그부등식 log 를 만족시키는 정수 의 개수는?
[3점][2012예비(A) 5월/평가원 6]
① ② ③ ④ ⑤
27
27함수 log 에 대하여 ∘ ≤ 을 만족하는 자연수
의 개수는?
[3점][2006(가) 10월/교육청 6]
① ② ③ ④ ⑤
접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
문항 19핵심노트
28
28좌표평면에서 쌍곡선
의 점근선의 방정식이
±
이고 한 초점이 F
이다. 점 F를 지나고 축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 제사분면에서 만나는 점을 P 라 하자.쌍곡선 위의 점 P에서의 접선의 기울기는? (단, , 는 상수이다.)
[4점][2017(가) 4월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
29
29쌍곡선
위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점 을 B 라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F 라 할 때, 삼각형 FAB 의 넓이는?
[3점][2014(B) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
30
30그림과 같이 쌍곡선
위의 점 P
에서의 접선을 이라 하고, 이 쌍곡선의 두 점근선 중 기울기가 양수인 것을 , 기울기가 음수인 것을 이라 하자. 과
의 교점을 Q , 과 의 교점을 R 라 할 때,
QR PQ 를 만족시키는
의 값은?
[3점][2012(가) 삼사 10]
①
② ③
④
⑤
31
31그림과 같이 두 초점이 F , F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 에서의 접선과 축과의 교점이 선분 F′F 를 로 내분할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 26]
삼각함수 넓이의 극한
문항 21핵심노트
32
32그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P에 대하여 BP BC 가 되도록 선분 AB 위의 점 C 를 잡고, AC AD 가 되도록 선분 AP 위의 점 D 를 잡는다.
∠PAB 에 대하여 선분 CD 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가
∠PCD 인 부채꼴의 넓이를 , 선분 CP 를 반지름으로 하고 중심 각의 크기가 ∠PCD인 부채꼴의 넓이를 라 할 때,
→ lim
의 값은? (단,
이고 ∠PCD는 예각이
다.)
[4점][2017(가) 4월/교육청 21]
A B
P
D
C
①
②
③
④
⑤
33
33그림과 같이 중심이 A 이고 점 B 을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 P 를 지나는 두 직선 AP , BP 가 축과 만나는 점을 각각 Q, R 라 하자. ∠PBA 라 하고, 삼각형 PQR의 넓이를 라 할 때, lim
→
의 값을 구하시오.
단,
[4점][2015(B) 3월/교육청 29]
34
34그림과 같이 ∠B ∠C , BC 인 이등변삼각형 ABC에 내접하 는 원을 O 라 하고, 원 의 중심을 O라 하자. 선분 BO와 원 O가 만 나는 점을 D라 할 때, 두 선분 AB, BC에 동시에 접하고 점 D를 지 나는 원 O 가 아닌 원이 두 선분 AB, BC에 접하는 점을 각각 E, F라 하자. 삼각형 DEF 의 넓이를 라 할 때, lim
→
의 값을 구
하시오.
[4점][2016(가) 5월/전북 30]
함수의 몫의 미분법
문항 23핵심노트
35
35함수
에 대하여 ′
의 값을 구하시오.[3점][2017(가) 4월/교육청 23]
36
36함수
에 대하여 ′ 의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 3월/교육청 22]
37
37곡선
위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.
[3점][2016(가) 5월/전북 22]
초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의
문항 25핵심노트
38
38좌표평면에서 점 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선
와 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자. 선분 PQ의 길이가
일 때, 두 점 P, Q 의 좌표의 합을 구하시오.
[3점][2017(가) 4월/교육청 25]
39
39초점이 F 이고 준선이 인 포물선에 대하여 초점 F 를 지 나고 축과 평행한 직선 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q 라 할 때, 선분 PQ 의 길이를 구하시오.
[3점][2017(가) 8월/영남권 23]
40
40그림과 같이 포물선 의 초점 F 를 지나는 직선이 포물선과 만 나는 두 점을 각각 P Q 라 하고, 두 점 P Q 에서 준선에 내린 수선 의 발을 각각 A B 라 하자. PF 일 때, 사각형 ABQP 의 넓이는?
[3점][2009(가) 삼사 14]
P
F Q A
B
O
①
②
③
④
⑤
41
41그림과 같이 초점이 F 인 포물선 위에
∠OFA ∠AFB
인 두 점 A B 가 있다. 삼각형 AFB 의 넓이
는? (단, O 는 원점이고 두 점 A B 는 제 사분면 위의 점이다.)
[4점][2012(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
단면이 밑면과 수직인 입체도형의 부피
문항 27핵심노트
42
42그림과 같이 곡선
sin
와 축 및 두 직선 , 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도 형을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입 체도형의 부피를 구하시오.
[4점][2017(가) 4월/교육청 27]
sin
O
43
43그림과 같이 곡선
와 축 및 직선 , 직선
로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형 을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도 형의 부피는?
[4점][2017(가) 7월/교육청 15]
O
①
②
③
④
⑤
44
44그림과 같이 곡선
과 축, 축 및 직선 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?[3점][2017(가) 수능 11]
①
②
③
지수․로그함수와 수열
문항 29핵심노트
45
45좌표평면에서 이상의 자연수 에 대하여 두 곡선 ,
log 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고
좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 가 되도록 하는 자연 수 의 개수를 구하시오.
[4점][2017(가) 4월/교육청 29]
46
46좌표평면에서 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 삼각형 OAB 의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, O 는 원점이다.)
[4점][2015(A) /수능 30]
(가) 점 A 의 좌표는 이다.
(나) 점 B의 좌표를 라 할 때, 와 는 자연수이고
≤ log를 만족시킨다.
(다) 삼각형 OAB의 넓이는 이하이다.
47
47자연수 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정 사각형의 한 변의 길이를 이라 하자.
(가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점 은 이다.
(나) 정사각형과 그 내부에 있는 점 중에서 가 자연수 이고, 을 만족시키는 점은 개뿐이다.
예를 들어 이다.
의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 30]
빠른 정답 정답과 해설
1
[정답] ④[출제의도] 로그함수의 극한 계산하기
lim
→
ln
×
lim
→
ln
2
[정답] ② [풀이][출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있는가
lim
→ln
lim
→
×
lim
→ln
× ×
3
[정답] ① [풀이][출제의도] 계산 능력 – 함수의 극한
ln 라 할 때, ′
이므로
lim
→ ln lim
→
ln ⋅
lim
→
⋅
′ ⋅
[다른 풀이]
lim
→ ln
lim
→
ln ⋅
lim
→
ln
⋅
lim
→
⋅
4
[정답] ③[출제의도] 지수함수의 적분 계산하기
5
[정답] 4
따라서 ln 이다.
6
[정답] ④ [풀이][출제의도] 삼각함수의 정적분 계산하기
cos
sin
sin
sin
7
[정답] ① [풀이][출제의도] 정적분 계산하기
sin cos
1 ④ 2 ② 3 ① 4 ③ 5 4
6 ④ 7 ① 8 ① 9 10 ⑤
11 ③ 12 ④ 13 ③ 14 ④ 15 ⑤
16 17 ③ 18 19 ④ 20 ①
21 ② 22 ① 23 24 ① 25 ③
26 ③ 27 ④ 28 ① 29 ② 30 ③
31 32 ② 33 34 35
36 37 38 39 40 ④
41 ③ 42 43 ① 44 ④ 45
46 47
8
[정답] ①[출제의도] 삼각함수의 미분법 이해하기
′ sin이므로
′
sin
9
[정답] [풀이][출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기
′ sin
∴ ′
10
[정답] ⑤ [풀이][출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기
′ sin cos
′ sin cos
11
[정답] ③[출제의도] 자연수의 분할 이해하기
구하는 경우의 수는 를 개의 자연수로 분할하는 경우의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
12
[정답] ④ [풀이][출제의도] 이해능력 - 순열과 조합
같은 종류의 꽃 송이를 같은 종류의 꽃병 개에 빈 꽃병이 없도록 나누어 꽂는 경우의 수는 자연수 를 개의 자연수로 분할하는 경우의 수와 같으므로 이다.
따라서 구하는 경우의 수는 이다.
13
[정답] ③ [풀이][출제의도] 자연수의 분할을 활용하여 문제 해결하기
같은 종류의 접시 개에 같은 종류의 쿠기 개를 남김없이 나누어 담는 방법의 수는 을 개의 자연수로 분할하는 방법의 수 과 같다.
을 개의 자연수로 분할하는 방법은
따라서 구하는 방법의 수는
또는
또는
또는
ⅱ) sin
또는
또는
또는
따라서 실근의 개수는
15
[정답] ⑤ [풀이][출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식 문제 해결하기
O
위의 그림에서 함수 의 그래프와 직선
가 만나는 점의 개수는
이다.
16
[정답] [풀이]
그림에서 ≥
17
[정답] ③[출제의도] 지수함수의 미분법 이해하기 함수 이라 하면 ′
′
곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
두 점 A, B의 좌표는 각각 ,
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
× ×
18
[정답] [풀이] ′ ′ 이므로 (접선의 기울기)
따라서 접선의 방정식은 , 접선의 절편과
절편은 각각 이므로 구하는 도형의 넓이는
× × 이다.
″ 에서
따라서 (∵ )
20
[정답] ① [풀이][출제의도] 합성함수의 미분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
′ 이므로
lim
→
′
lim
→
′ ′
⋅
″ ′ ″ ⋅
∴ ″ 1
21
[정답] ②[출제의도] 부분적분법 이해하기 부분적분법에 의하여
, ′ cos라 하면
′ , g sin이므로
cos
sin
sin
cos
22
[정답] ①[출제의도] 부분적분법을 이해한다.
ln
ln
23
[정답] [풀이][출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 구하기
ln
ln
24
[정답] ①[출제의도] 로그부등식을 활용하여 문제 해결하기 집합 ≤ ≤
집합 에서
log
log
≤ ≤ log ≤
∴ ≤ ≤
∩≠ ∅이 되려면
≥ 이고 ≤
≤ ≤
따라서 정수 는 , , , , 이므로 개수는
25
[정답] ③ [풀이][출제의도] 로그부등식의 해를 구할 수 있는가 진수조건에 의해 이므로
··· ㉠
부등식 log log ≤ 에서 로그의 성질에 의해 log ≤ log
㉠, ㉡에서
≤
따라서 정수 는 이므로 정수 의 개수는 개이다.
26
[정답] ③ [풀이] , ≠ ∴
27
[정답] ④ [풀이][출제의도] 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
loglog ≤ , log ≤ , ≤
따라서 만족하는 자연수 의 개수는 개
28
[정답] ①[출제의도] 평면곡선을 활용하여 문제 해결하기 점근선의 방정식이 ±
이므로 초점 F 의 좌표가 이므로
∴ ,
점 P는 쌍곡선
위의 점이므로 P
의 양변을 에 대하여 미분하면
×
( ≠ )
따라서 점 P 에서의 접선의 기울기는
29
[정답] ② [풀이]쌍곡선
위의 점 A 에서의 접선의 방정식은
이므로 축과 만나는 점은 B 이다.
F 이므로 삼각형 FAB의 넓이는
× ×
이다.
30
[정답] ③ [풀이]점 P 에서의 접선 방정식은
,
점근선이 ± 이므로 접선과의 교점을 구하면 Q
, R
점 Q R 의 중점이 P 이므로 이다.
[다른 풀이]
(⇨ 점 P 의 위치와 상관없이 항상 일정하므로 일반적인 경우에 대한 대수적 증명으로 해설을 대신한다.)
쌍곡선
위의 점 에서의 접선의 방정식은
⋯⋯ ㉠
점근선의 방정식은 ±
⋯⋯ ㉡
㉡을 제곱하여 정리하면 ⋯⋯ ㉢
㉠에서
이고 이것을 ㉢에 대입하면
즉, ⋯⋯ ㉣ 그런데 은 쌍곡선
위의 점이므로
에서 이므로
㉣은
근과 계수의 관계에서 위 방정식의 두 근의 합은 으로 일정하다.
따라서 쌍곡선
위의 점 P 에서 그은 접선이 두 점근선과 점 Q , R에서 만날 때, 선분 QR 의 중점은 점 P가 된다. 즉, QR PQ
31
[정답] [풀이]
쌍곡선의 두 초점이 F F′ 이므로
⋯⋯㉠
또 쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선의 방정식은
이때, 축과 만나는 점의 좌표는 을 대입하면
한편, 접선과 축의 교점이 선분 F′F 를 로 내분하므로 이 점의
좌표는 이다.
그러므로
∴
㉠에서
그러므로 쌍곡선의 방정식은
이때, 이 쌍곡선이 점 P 을 지나므로 대입하면
∴
32
[정답] ②[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제 해결하기 P
삼각형 ACD 에서 ∠ACD
이고
삼각형 BPC에서 ∠BCP
이므로
∠PCD
점 A에서 CD 에 내린 수선의 발을 H라 하면
CD CH ACsin
sinsin
∴
× sinsin
×
× sinsin
점 B에서 CP 에 내린 수선의 발을 I 라 하면
CP CI BCcos
sincos
∴ × sincos
×
sincos
→
lim
lim
→
sincos
sinsin
lim
→
sincos
×
sinsin
×
×
33
[정답] [풀이]
[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한 문제를 해결한다.
∠PBO 이므로 ∠PAO 이다.
점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하면 AP , AHcos ,
HO cos이다.
OA , ∠PAO 이므로
OQ tan
OB ∠PBO 이므로
OR tan
RQ OQ OR tan tan
HO cos 이므로
× RQ × HO
tan tan cos
tan tan cos
× ×
[다른풀이]
∆PAH∆QAO 이므로
AP PQ AH HO
PQ cos cos 이므로
PQ cos
cos
또, ∆PBH∆RBO 이므로
BP PR BH HO
cos PR cos cos 이므로
PR cos
cos cos
∠QPR ∠APB ∠PBA 이므로
× PR × PQ × sin
× cos
cos cos
× cos
cos
× sin
cos cos
cos cos sin
cos cos
cos sin sin
cos cos
cos sin
따라서
lim
→
lim
→ cos cos
cos sin
lim
→
cos coscos
× sin
×
×
34
[정답] [풀이]
[출제의도] 이해능력 – 삼각함수
그림과 같이 두 선분 AB, BC에 동시에 접하고 점 D 를 지나는 원의 중심을 O′ 이라 하고, 두 선분 BD , EF 의 교점을 L, 선분 BC의 중점을 M, 점 O′ 에서 선분 AM에 내린 수선의 발을 N이라 하자.
BM 이므로 OM tan
O′F 로 놓으면
삼각형 OO′N에서 sin
tan
tan
따라서
sin
sin
× tan
··· ㉠
∠FO′L
이므로 삼각형 O′LF 에서
cos
O′L , sin
LF
O′L cos
sin
LF sin
cos
따라서
DL DO′ O′L sin
sin
cos
sin
sin
sin
tan
cos
(∵ ㉠)
따라서
lim
→
lim
→
sin
sin
tancos
lim
→
sin
sin
×
lim
→ cos
×
lim
→ tan
lim
→
sin
sin
×
lim
→ cos
×
lim
→
tan
× ×
×
따라서
lim
×
35
[정답] [출제의도] 몫의 미분법 이해하기
′
이므로 ′
36
[정답] [풀이]
′
이므로
′
37
[정답] [풀이][출제의도] 이해능력 - 미분법
이라 하면
′
이므로 점 에서의 접선의 기울기는
′
이다.
38
[정답] [출제의도] 포물선의 성질 이해하기
포물선 의 초점은 F 이므로 직선은 점 F 를 지난다.
두 점 P, Q 의 좌표를 각각 , 라 하고
두 점 P, Q 에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 R, S 라 하자.
O R
S
P
QF
따라서
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[정답] [풀이]
[출제의도] 포물선의 정의 이해하기
두 점 P , Q 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 H, H라 하면 포물선의 정의에 의해서
PF PH, QF QH
PH, QH는 초점 F 에서 준선까지의 거리와 같으므로 이다. 즉 PQ
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[정답] ④ [풀이]AP 와 축과의 교점을 C , BQ 와 축과의 교점을 D , P에서 축에 내린 수선의 발을 H,
AB 와 축과의 교점을 E라 두자.
이때, AC CP FH 이고, ∆PFH에서 PH 이다.
∴ PQ 의 직선의 방정식⇒
이므로 이다.
이 식을 에 대입하면 이므로
or 이다.
을 직선의 방정식에 대입해 Q 의 좌표를 구해보면
이므로 BQ
∴사각형ABQP 의 넓이
AP BQ
⋅AB
AP BQ
⋅
AE BE
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[정답] ③ [풀이][출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.
∠EFB
이고 BF BE 이므로 ∆BEF는 정삼각형이다. FC 이므로
FB FE FC
AF AD 이고 ∠DAE
이므로 AE AD AF 에서 AF 즉,
AF
입체도형의 부피 는
sin
cos
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[정답] ①[출제의도] 정적분을 활용하여 문제 해결하기
직선 ≤ ≤ 를 포함하고 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 라 하면
따라서 구하는 부피 는
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[정답] ④ [풀이][출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있는가 직선 ≤ ≤ 을 포함하고 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 라 하면
따라서 구하는 부피를 라 하면
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[정답] [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 추론하기 두 곡선 , log 은 직선 에 대하여 대칭이므로 점
가 주어진 영역에 포함되면 점 도 포함된다.
영역의 내부 또는 경계에 포함되는 점의 개수가 일 때의 네 점은 ,
, , 이다.
이라 할 때, ≤ , 이어야 한다.
≤ ,
∴ ≤
따라서 자연수 의 개수는
O
log
log
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[정답] [풀이]
[출제의도] 지수와 로그
A B O 에서 BO
직선 BO 의 방정식은 즉 이므로
≤ 에서
∴ ≤
⋯ ㉠
한편 조건 (나)에서 ≤ log 이므로
≥ ⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ≤ ≤
(ⅰ) 일 때, ≤ ≤
≥ 일 때,
이므로 ≤
일 때,
⋯
일 때,
일 때,
⋯
일 때,
⋯
이므로 순서쌍 의 가짓수는
∴
(ⅱ) 일 때, ≤ ≤
≥ 일 때,
이므로 ≤
일 때,
⋯
일 때,
⋯
일 때,
⋯
이므로 순서쌍 의 가짓수는
∴
(ⅲ) 일 때, ≤ ≤
≥ 일 때,
이므로
⋯
이므로 순서쌍 의 가짓수는 개다.
∴ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해
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[정답] [풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론할 수 있는 가?
(ⅰ) 일 때
세 점 이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 ×
(ⅱ) 일 때
세 점 이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 ×
(ⅲ) ≥ 일 때
세 점 이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 × ×
(i), (ii), (iii)에서
⋯
×
×
[참고]
마찬가지로, 세 점
이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경 우도 조건을 만족시키지 않는다.
