이차곡선이차곡선이차곡선이차곡선이차곡선이차곡선이차곡선 1111111

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

1 ^포물선

포물선의 방정식

1.^1.로그함수   log_     의 그래프가 포물선 ^  의 초점을 지나고, 이 로그함수의 그래프의 점근선이 포물선 ^  의 준선과 일 치할 때, 두 상수 ,  의 합    의 값은?

[3점][2008(가) /수능(홀) 5]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



2.^2.두 포물선    ^  ,     ^   의 초점을 각각 F_, F_라고 할 때, F_F_^의 값을 구하시오.

[3점][2004(가) 10월/교육청 20]

3.^3.그림과 같이 실수 에 대하여 함수  ^{  }의 그래프와 포물선 ^ 가 있다.   일 때, 함수   의 그래프와 포물 선 ^ 의 준선, 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점][2016(가) 4월/교육청 11]

O





   ^ 

①    ②    ③   



④   

 ⑤   



이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선

1 1

1

1

1 1

1

기하와벡터 1. 이차곡선 포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의

유형 2

4.^4.좌표평면에서 초점이 F 인 포물선 ^  위의 점 A 가 AF  을 만족시킨다. 점 B  에 대하여 AB 일 때, ^의 값을 구하시 오.

[3점][2016(가) 9월/평가원 25]

5.^5.그림과 같이 포물선 ^   위의 점 A 에서  축에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 포물선 ^   의 초점 F 에 대하여 AF  일 때, 삼각형 AFH 의 넓이는?

[3점][2017(가) 10월/교육청 8]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

6.^6.그림과 같이 포물선 ^ 의 초점 F 를 중심으로 하고 원점을 지 나는 원  가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B에 대하여 선분 FA 와 선분 FB가 원  와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P 는 선분 FA 의 중점이고, 점 Q는 선분 FB를    로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB의 넓이가 일 때,  의 값은? (단, 점 A 와 점 B는 제 사분면 위에 있다.)

[4점][2014(B) 7월/교육청 18]

B

O

A

P Q

F 



①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.^7.포물선 ^  의 초점을 F , 준선이  축과 만나는 점을 P, 점 P 를 지나고 기울기가 양수인 직선  이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. FA  FB     일 때, 직선  의 기울기는?

[4점][2012(가) 6월/평가원 20]

① 





② 



③ 



④ 



⑤ 





1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합

유형 3

무게중심을 이용한 포물선의 정의

8.^8.그림과 같이 한 변의 길이가 



(단, O 는 원점이다.)

[4점][2011(가) 6월/평가원 29]

9.^9.두 양수  ,  에 대하여 포물선 ^  와 직선      가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과  축이 만 나는 점을 B , 직선      와  축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼 각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 7월/교육청 28]

초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의

10.^10.좌표평면에서 점   을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선

^ 와 만나는 두 점을 각각 P , Q라 하자. 선분 PQ의 길이가 

일 때, 두 점 P , Q 의 좌표의 합을 구하시오.

[3점][2017(가) 4월/교육청 25]

11.^11.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 ^  위에

∠OFA  ∠AFB  

인 두 점 A B 가 있다. 삼각형 AFB 의 넓이 는? (단, O 는 원점이고 두 점 A B 는 제 사분면 위의 점이다.)

[4점][2012(가) 10월/교육청 13]

^ 





① 







④ 





기하와벡터 1. 이차곡선

12.^12.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 ^  위의 점 P 에서 축에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 PFH 의 넓이가 



[3점][2016(가) 4월/교육청 13]





O F H

P

^ 

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화

13.^13.그림과 같이 포물선 ^ 의 초점 F 를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 A , B에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하 자. AC 일 때, 선분 BD의 길이는?

[3점][2015(B) /수능 10]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

14.^14.그림과 같이 포물선 ^  위의 네 점 A , B, C, D를 꼭짓점으 로 하는 사각형 ABCD 에 대하여 두 선분 AB와 CD가 각각 축과 평 행하다. 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 F 와 일치 하고 DF  일 때, 사각형 ABCD의 넓이는?

[4점][2015(B) 7월/교육청 17]

A

B

C

D ^ 



O F 

① 







④ 





최단거리 구하기

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

2 타원

타원의 방정식

15.^15.타원 ^ ^ 의 두 초점 사이의 거리를  라 할 때, ^의 값 을 구하시오.

[3점][2007(가) 9월/평가원 20]

16.^16.원   ^  ^  과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원 의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.

[3점][2012(가) 7월/교육청 23]

17.^17.타원 

  ^

 

  ^

 의 두 초점의 좌표가  ,

  일 때, 의 값은? (단, 는 양수이다.)

[3점][2018학년(가) 수능 8]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

18.^18.타원 ^ ^      의 한 초점의 좌표가   일 때,

^ ^의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 6월/평가원 26]

타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합

19.^19.그림과 같이 타원 

^

 

^

  위의 제사분면에 있는 점 P 와 두 초점 F, F′에 대하여 삼각형 PF′F 의 둘레의 길이가 일 때, 상수

의 값은? (단,     )

[4점][2017(가) 4월/교육청 14]



^

 

^

 





O

F′ F

P

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

20.^20.그림과 같이 타원 

^

 

^

 의 두 초점은 F F′이고, 제사분 면에 있는 두 점 P Q는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) PF  

(나) 점 Q 는 직선 PF′과 타원의 교점이다.

삼각형 PFQ 의 둘레의 길이와 삼각형 PF′F의 둘레의 길이의 합을 구 하시오.

[4점][2016(가) 9월/평가원 27]

기하와벡터 1. 이차곡선

21.^21.그림과 같이 타원 

^

 

^

  의 장축을  등분한 후 장축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직 선을 그어  축 위쪽 부분에 있는 타원과 의 교점을 차례로 P_, P_, P_, ⋯, P_라 하자. 타원의 한 초점을 F 라고 할 때,



  



FP_의 값을 구하시오.

[4점][2004(가) 10월/교육청 23]

22.^22.아래 그림과 같이 두 초점 F F ′ 이  축 위에 있는 타원



^

 

^

  위의 점 P 가 FP   를 만족시킨다. 점 F 에서 선분 PF ′에 내린 수선의 발 H 에 대하여 FH  



[4점][2014(B) 6월/평가원 17]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

23.^23.그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각  ,   ,

     이고 반지름의 길이가 모두 같은  개의 원에 동시에 접하고, 초점이  축 위에 있는 타원이 있다.

이 타원의 두 초점 사이의 거리가 



[4점][2007(가) 10월/교육청 21]

24.^24.그림과 같이 두 초점이 F  , F′ c  인 타원 ^

^

 ^

^

  이 있다. 타원 위에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에 대하여 선분 PF′

의 중점을 Q , 선분 PF 를    으로 내분하는 점을 R 라 하자.

∠PQR  

, QR 



(단,  ,  ,  는 양수이다.)

[4점][2016(B) /수능 26]

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원 위의 점에서 거리의 합의 활용

유형 3

타원의 방정식과 중점연결 정리

25.^25.그림과 같이 타원 

^

^

 ^

^

 의 두 초점 중 좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 선분 PF′

의 중점 M 의 좌표가   이고 PM  PF 일 때, ^ ^의 값은? (단,

, 는 상수이다.)

[4점][2016(가) 4월/교육청 17]

O



F  F′

M

P

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

타원의 성질

26.^26.그림과 같이 타원 

^

^

 ^

^

        에 내접하는 정삼 각형 ABC가 있다. 타원의 두 초점 F, F ′이 각각 선분 AC, AB 위에 있을 때, 

의 값은? (단, 점 A 는  축 위에 있다.)

[3점][2008(가) 10월/교육청 5]

① 

 ② 

 ③ 



④ 



⑤ 



기하와벡터 1. 이차곡선 타원의 정의를 이용한 넓이 구하기

유형 6 27.^27.타원 

^

 

^

  의 두 초점을 F , F ′ 라 하자. 타원 위의 점 P

가 ∠FPF ′  

를 만족시킬 때, 삼각형 FPF ′ 의 넓이는?

[3점][2016(가) 7월/교육청 10]

F ′ F 



O

P

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

28.^28.타원 

^

 

^

 의 두 초점 중  좌표가 양수인 점을 F , 음수인

점을 F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 를 ∠FPF′  

가 되도록 제  사분면에서 잡고, 선분 FP 의 연장선 위에  좌표가 양수인 점 Q를

FQ  이 되도록 잡는다. 삼각형 QF′F 의 넓이를 구하시오.

[4점][2015(B) /수능 27]

29.^29.타원 

^

^

 ^

^

  의 한 초점을 F     이 타원이  축과 만나는 점 중에서  좌표가 음수인 점을 A ,  축과 만나는 점 중에서

 좌표가 양수인 점을 B 라 하자. ∠AFB  

 이고 삼각형 AFB 의

넓이는 



[3점][2013(B) 9월/평가원 9]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

30.^30.한 변의 길이가  인 마름모 ABCD 에 대하여 대각선 BD 를 장축 으로 하고, 대각선 AC 를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가





[3점][2012(가) /수능 11]

① 







④ 





31.^31.오른쪽 그림은 한 변의 길이가  인 정육각형 ABCDEF 의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원  개를 그 린 것이다.

그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형  개 의 넓이의 합이 



[3점][2006(가) /수능(홀) 7]

① 





④  ⑤ 



1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

32.^32.그림과 같이 두 점 F  , F ′   을 초점으로 하는 타원

^

^

 

^

 과 직선    의 교점을 A B라 하자.

두 점 C   , D   에 대하여, 사각형 ADBC의 넓이를 구하시 오.(단,  와  는 양수이다.)

[4점][2005(가) 10월/교육청 23]

33.^33.그림과 같이 좌표평면에  축 위의 두 점 F, F′과 점 P  

  이 있다. 삼각형 PF′F 가 ∠FPF′  

 인 직각이등변삼각형일 때, 두 점 F , F ′ 을 초점으로 하고 점 P 를 지나는 타원과 직선 PF ′ 이 만나는 점 중 점 P 가 아닌 점을 Q 라 하자.

삼각형 FPQ 의 둘레의 길이가 



[4점][2015(B) 10월/교육청 14]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

타원과 원

34.^34.두 초점이   ′이고, 장축의 길이가 , 단축의 길이가 6인 타원 이 있다. 중심이 이고 점  ′을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을  라 하자. 삼각형  ′의 넓이는?

[3점][2011(가) 9월/평가원 13]

① 







④ 





35.^35.그림과 같이 두 점 F  F′    을 초점으로 하고 장축의 길이가 인 타원이 있다. 점 F 를 중심으로 하고 반지름의 길이 가  인 원이 타원과 점 P 에서 만난다. 점 P에서 원에 접하는 직선이 점 F′을 지날 때,  의 값은?

[3점][2015(B) 6월/평가원 12]

①









④ 







기하와벡터 1. 이차곡선

36.^36.타원 

^

^

 ^

^

  의 두 초점 F  , F′   에 대하여 선 분 F′ F 를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제 사분면 에 있는 점을 P 라 하자. 원 위의 점 P 에서의 접선이  축의 양의 방향 과 이루는 각의 크기가 

 일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, ,  는

 



[4점][2016(가) 10월/교육청 20]

①   







④   





타원과 포물선

37.^37.좌표평면에서 초점이 A      이고 꼭짓점이 원점인 포물 선과 두 초점이 F   F ′      인 타원의 교점 중 제  사분면 위의 점을 P 라 하자.

AF   PA  PF  FF ′  PF ′

일 때, 타원의 장축의 길이는   



(단,   는 유리수이다.)

[4점][2017(가) 9월/평가원 27]

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

3 ^쌍곡선

쌍곡선의 방정식

38.^38.쌍곡선 

^

 

^

 의 주축의 길이는?

[3점][2017(가) 4월/교육청 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

39.^39.쌍곡선 

^

^

 

^

  의 두 초점을 F     , F′      이라 하 자. 쌍곡선 위의 점 P 에 대하여 ^PF  PF′의 값은? (단,   )

[3점][2017(가) 7월/교육청 7]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

40.^40.쌍곡선 

^

^

 

^

  의 두 꼭짓점은 타원 

^

 ^

^

  의 두 초점 이다. ^ ^의 값은?

[3점][2012(가) 6월/평가원 5]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

쌍곡선의 점근선

41.^41.점근선의 방정식이  ± 

 이고, 한 초점의 좌표가   인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

[3점][2013(B) 7월/교육청 24]

42.^42.다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 주축의 길이는?

[3점][2017(가) 9월/평가원 9]

(가）두 초점의 좌표는    ，    이다.

(나）두 점근선이 서로 수직이다.

① 







④ 





43.^43.쌍곡선 

^

^

 ^

^

 이 점   을 지나고 두 점근선의 방정식이

  ,    이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, ,  는 상수이다.)

[3점][2016(가) 4월/교육청 24]

44.^44.주축의 길이가  인 쌍곡선 

^

^

 ^

^

  의 점근선의 방정식이

  ± 

 일 때, ^ ^의 값은? (단,  와  는 상수이다.)

[3점][2017(가) 6월/평가원 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

기하와벡터 1. 이차곡선

45.^45.두 초점을 공유하는 타원 

^

^

 ^

^

  과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡 선의 한 점근선이  



[3점][2004(가) 9월/평가원 5]

① 

 ② 

 ③ 



④  ⑤ 





46.^46.원 ^ ^ 과 쌍곡선 

^

^

 ^

^

 이 서로 다른 네 점에서 만 나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방 정식이  



[3점][2015(B) 7월/교육청 9]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

47.^47.한 변의 길이가  인 정육각형 ABCDEF 와 쌍곡선  가 다음 조 건을 만족시킨다.

(가) 쌍곡선  의 초점은 점 A 와 점 D이다.

(나) 쌍곡선  의 점근선은 직선 BE와 직선 CF 이다.

쌍곡선  와 변 AB가 만나는 점을 P 라 할 때, DP  AP 의 값은?

[3점][2011(가) 10월/교육청 16]

① 

 ②  ③



④



48.^48.쌍곡선 ^ ^ 의 초점을 지나고 점근선과 평행한 4개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

[3점][2009(가) 9월/평가원 12]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



49.^49.그림과 같이 한 초점이 F 이고 점근선의 방정식이   ,

    인 쌍곡선이 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 에 대 하여 선분 PF 의 중점을 M 이라 하자. OM  , MF   일 때, 선분 OF의 길이는? (단, O 는 원점이다.)

[4점][2013(B) 10월/교육청 16]

① 







④





1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

50.^50.쌍곡선 

^

 

^

  과 직선         는 상수의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[3점][2006(가) 10월/교육청 8]

ㄱ.   이고   일 때 교점은 없다.

ㄴ.   이고   일 때 교점은 개이다.

ㄷ.   

이고   일 때 교점은 개이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

51.^51.점근선의 방정식이  ± 

 이고 두 초점이 F  , F ′        인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 PF ′ ,

 ≤ PF ≤ 이다.

(나)  좌표가 양수인 꼭짓점 A 에 대하여 선분 AF 의 길이는 자연수이다.

이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

[4점][2017(가) /수능 28]

초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이

52.^52.그림과 같이 쌍곡선 

^

 

^

 의 두 초점을 F , F′이라 하자.

제  사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 와 제사분면에 있는 쌍곡선 위 의 점 Q 에 대하여 PF′ QF′ 일 때, QF PF 의 값을 구하시오.

[3점][2008(가) /수능(홀) 21]

53.^53.쌍곡선 

^

 

^

  의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 ∠F ′PF 의 이등분선이 축과 점 A     에서 만 날 때, 삼각형 PF ′ F 의 둘레의 길이를 구하시오.

[3점][2007(가) 10월/교육청 19]

기하와벡터 1. 이차곡선

54.^54.그림과 같이 초점이 각각 F F′과 G G′이고, 주축의 길이가 

중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분 면에서 만나는 점을 Q 라 하자. PG × QG   PF × QF  일 때, 사 각형 PGQF 의 둘레의 길이는? (단, 점 F 의  좌표와 점 G의  좌표는 양수이다.)

[4점][2015(B) 6월/평가원 19]

①   





④   





쌍곡선의 정의와 원의 활용

55.^55.그림과 같이 쌍곡선 

^

 

^

 의 두 초점을 F     , F′    이라 하자. 두 점 F F′ 을 지름의 양 끝점으로 하는 원과 쌍곡선 

^

 

^

  이 제  사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, cos∠PFF′ 의 값은? (단,  는 양수이다.)

[4점][2010(가) 10월/교육청 8]

① 



② 



③ 





④ 



⑤ 





56.^56.원   ^ ^ ^과 쌍곡선 ^ ^  이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수  의 최댓값은?

[3점][2011(가) 6월/평가원 13]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

57.^57.그림과 같이 쌍곡선 

^

 

^

 의 두 초점은 F , F ′이고, 점 F 를 중심으로 하는 원  는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제사분면에 있 는 쌍곡선 위의 점 P 에서 원  에 접선을 그었을 때 접점을 Q라 하자.

PQ  일 때, 선분 PF ′의 길이는?

[3점][2013(B) 6월/평가원 12]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

58.^58.그림과 같이 쌍곡선 

^

 

^

 의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P 를 중심으로 하고 선분 PF′을 반지름으로 하는 원 을  라 하자. 원  위를 움직이는 점 Q에 대하여 선분 FQ의 길이 의 최댓값이 일 때, 원  의 넓이는? (단, PF′ PF )

[4점][2016(가) 6월/평가원 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

59.^59.그림과 같이 두 초점이 F, F′인 쌍곡선 _



^

 

^

  위의 점 P에 대하여 직선 FP와 직선 F′P에 동시에 접하고 중심이 축 위에 있는 원

가 있다. 직선 F′P와 원 의 접점 Q에 대하여 ^F′Q ^일 때,

FP^ F′P^의 값을 구하시오. (단, ^F′P FP)

[4점][2018학년(가) 수능 27]

기하와벡터 1. 이차곡선 쌍곡선의 정의를 이용한 넓이

유형 5 60.^60.쌍곡선 

^

 

^

 의 두 초점을 각각 F , F′ 이라 하고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 P 의 원점에 대한 대칭인 점을 Q 라 하자. 사각 형 F′QFP 의 넓이가 가 되는 점 P 의 좌표를  라 할 때,

      의 값은?

[3점][2006(가)/수능(홀) 5]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

61.^61.두 초점이 F F ′ 인 쌍곡선 ^ 

^

  위의 점 P 가 다음 조건 을 만족시킨다.

(가) 점 P 는 제 사분면에 있다.

(나) 삼각형 PF ′F 가 이등변삼각형이다.

삼각형 PF ′F 의 넓이를  라 할 때, 모든  의 값의 곱은?

[4점][2015(B) 9월/평가원 19]

① 







④ 





쌍곡선과 타원

62.^62.보다 큰 실수  에 대하여 타원 ^ 

^

^

  의 두 초점과 쌍곡선

^ ^  의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 일 때,

^의 값을 구하시오.

[3점][2014(B) 9월/평가원 25]

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 쌍곡선과 포물선

유형 7

63.^63.그림과 같이 두 점 F   , F′   을 초점으로 하는 쌍곡선

^

^

 ^

^

  과 점 F 를 초점으로 하는 포물선 ^    가 있 다.

쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여  PF PF′    이 성립하고, 포 물선의 꼭짓점 A 에 대하여 AF′  FF′     이 성립한다. 이 때, ^ ^

^

의 값은? (단,      이다.)

[4점][2009(가) 10월/교육청 8]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



이차곡선과 함수의 연속

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선

1 ^{음함수의 미분법}

음함수의 미분법과 접선의 방정식

64.^64.곡선   ^  ^  위의 점  에서의 접선의 기울기를 구 하시오.

[3점][2018학년(가) 수능 24]

65.^65.곡선     ^  위의 점    에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[3점][2017(가) 9월/평가원 24]

66.^66.좌표평면에서 곡선 ^ ln   ^     위의 점    에서 의 접선의 기울기는?

[3점][2011(가) /수능 27]

①  

 ②  

 ③  



④  

 ⑤  



67.^67.좌표평면에서 곡선 ^ ^  위의 점  에서의 접선의 기 울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2014(B) 4월/교육청 24]

68.^68.곡선 ^   ^   과  축이 만나는 점에서의 접선의 기울 기는?

[3점][2011(가) 10월/교육청 5]

①   ②   ③  

④   ⑤  

69.^69. 가  의 함수일 때, 곡선 ^ln   위의 점    에서의 접선 의 기울기는?

[3점][2006(가) 9월/평가원 27]

①   ②  

 ③ 



④  ⑤ 

70.^70.곡선 ^ln   위의 점  ^에서의 접선의 기울기는?

[3점][2012(가) 4월/교육청 5]

①   ^ ②   ^ ③   ^

④   ^ ⑤   ^

71.^71.곡선 ^ ^    위의 점 A  에서의 접선의 기울기가



  일 때,  의 값을 구하시오.

[3점][2017(가) 10월/교육청 24]

평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의

평면곡선의 접선 접선 접선 접선 접선 접선 평면곡선의 접선

2

2

2

2

2 2

2

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

유형 2

72.^72.곡선 ^   ^    위의 점   에서의 접선과  축 및  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[4점][2016(가) 10월/교육청 14]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

73.^73.그림과 같이 포물선 ^  위의 점 A^ 에서 이 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B라 하자. 다음은 점 A 에서의 접선과 직선 OB가 만나는 점을 P 라 할 때, 점 P의 좌표를 구하는 과정이다. (단,

 ≠ 이고 O 는 원점이다.)

포물선의 방정식 ^ 의 양변을 에 대하여 미분하여 정리 하면



 ㈎ (단,  ≠ )

이므로 점 A^ 에서의 접선의 방정식을 구하면

  ㈏ ×    ··· ㉠

이다.

B ㈐  이므로 직선 OB의 방정식은

  ㈐

  ··· ㉡

이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P 의 좌표를 구하면



^

 ^ 

^



이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, × 의 값은?

[4점][2016(가) 6월/평가원 17]

2 ^{평면곡선의 접선}

접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식

74.^74.포물선 ^  위의 점 A  에서의 접선을  이라 하자. 직선

 과 포물선의 준선이 만나는 점을 B , 직선  과  축이 만나는 점을 C , 포물선의 준선과  축이 만나는 점을 D 라 하자. 삼각형 BCD의 넓이 는??

[3점][2016(B) /수능 9]

① 

 ②  ③ 



④ 

 ⑤ 



75.^75.그림과 같이 실수 에 대하여 함수  ^{  }의 그래프와 포물 선 ^ 가 있다. 포물선 ^  위의 점   에서의 접선이 축 과 만나는 점을 함수   의 그래프가 지날 때, 의 값은?

[3점][2016(가) 4월/교육청 12]

O





   ^ 

① ln ② ln 

 ③ ln 



기하와벡터 2. 평면곡선의 접선

76.^76.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 ^  위의 한 점 P 에서의 접 선이 축과 만나는 점의 좌표가  이다. cos∠PFO의 값은? (단, O 는 원점이다.)

[3점][2015(B) 9월/평가원 12]

①  

 ②  

 ③  



④  

 ⑤  



77.^77.포물선 ^  위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. PQ  



[3점][2010(가) /수능 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식

78.^78.포물선 ^ 에 접하고 기울기가 

인 직선의  절편을 구하시 오.

[3점][2015(B) 6월/평가원 24]

79.^79.좌표평면에서 포물선 ^   에 접하는 기울기가 

인 직선과 

축,  축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[3점][2015(B) 10월/교육청 25]

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선

80.^80.좌표평면에서 포물선 ^  에 접하는 두 직선 _ _의 기울기 가 각각 _ _이다. _ _가 방정식 ^      의 서로 다른 두 근일 때, _과 _의 교점의  좌표는?

[3점][2014(B) /수능 8]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

81.^81.자연수 에 대하여 직선        이 꼭짓점의 좌표가

     이고 초점이  _   인 포물선에 접할 때,



  



_의 값은?

[3점][2014(B) 9월/평가원 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

82.^82.자연수  에 대하여 점     을 지나고 제 사분면에서 포물선

^  에 접하는 직선의 기울기를 _이라 하자.



  









구하시오.

[3점][2014(B) 10월/교육청 25]

83.^83.다음은 포물선 ^  위의 꼭짓점이 아닌 임의의 점 P 에서의 접 선과  축과의 교점을 T , 포물선의 초점을 F 라고 할 때, FP  FT 임을 증명한 것이다.

점 P 의 좌표를 _ _ 이라고 하면, 접선의 방정식은 (가)

이 식에    을 대입하면 교점T 의 좌표는  _  이다.

초점F 의 좌표는 (나) 이므로

FT  (다)

한편 FP 



^





 (다) 따라서 FP  FT 이다.

< 증 명 >

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

[3점][2004(가) 9월/평가원 15]

(가) (나) (다)

① _  



   





② _  

   _





③ _  

   







④ _    _



 





⑤ _    _



 





기하와벡터 2. 평면곡선의 접선

84.^84.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 ^  가 있다. 포물선 위에 있 고 제 사분면에 있는 점 A 에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점 을 B 라 하자. AB AF 일 때, AB × AF 의 값을 구하시오.

[4점][2017(가) 7월/교육청 28]

B

 A

O F

^ 



접점이 주어진 타원의 접선의 방정식

85.^85.그림과 같이 두 초점이 F , F ′인 타원 ^ ^  위를 움직이 는 제 사분면 위의 점 P 에서의 접선  이 축과 만나는 점을 Q, 점 P 에서 접선  과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R라 하자. 세 삼각형 PRF , PF ′R, PFQ 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P 의 좌표는?

[4점][2014(B) 7월/교육청 20]

O R F

F′ Q

P







① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식

유형 4

접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

86.^86.쌍곡선 ^ 

^

  위의 점   에서의 접선이  축과 만나는 점의  좌표는?

[3점][2012(가) 10월/교육청 5]

①   ②  

 ③ 

④ 

 ⑤ 

87.^87.쌍곡선 

^

 ^  위의 점 A   에서의 접선이  축과 만나 는 점을 B 라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중  좌표가 양수인 점을 F 라 할 때, 삼각형 FAB 의 넓이는?

[3점][2014(B) 6월/평가원 12]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



88.^88.좌표평면에서 쌍곡선 ^

^

 ^

^

 의 점근선의 방정식이

 ± 



이고 한 초점이 F







[4점][2017(가) 4월/교육청 19]

① 





②







④ 





⑤ 



89.^89.그림과 같이 두 초점이 F  , F ′    인 쌍곡선

^

^

 ^

^

  위의 점 P   에서의 접선과  축과의 교점이 선분 F′F 를    로 내분할 때, ^의 값을 구하시오. (단, ,  는 상수이다.)

[4점][2013(B) 9월/평가원 26]

90.^90.쌍곡선 ^ ^  위의 점 P   에서의 접선  에 대하여 원점 O 에서  에 내린 수선의 발을 H , 직선 OH 와 이 쌍곡선이 제  사분면에서 만나는 점을 Q 라 하자. 두 선분 OH 와 OQ 의 길이의 곱

OH ⋅OQ 를 구하시오.

[3점][2008(가) 9월/평가원 20]

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

유형 6

91.^91.직선      가 쌍곡선 

^

 

^

 에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?

[3점][2005(가) 9월/평가원 5]

①





④ 





92.^92.좌표평면에서 쌍곡선 

^

^

 ^

^

 의 한 점근선에 평행하고 타원

^

^

 ^

^

 에 접하는 직선을  이라 하자. 원점과 직선  사이의 거

리가  일 때, 

^

  

^

 의 값은?

[3점][2012(가) 9월/평가원 12]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

93.^93.쌍곡선 ^ ^  위의 점  에서의 접선이 쌍곡선의 한 점 근선과 수직이다.   의 값은? (단,  는 양수이다.)

[3점][2013(가) /수능 6]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

94.^94.좌표평면 위의 점   에서 쌍곡선 ^ ^ 에 그은 접선의 방정식을     이라 할 때, ^ ^의 값은? (단, , 은 상수 이다.)

[3점][2010(가) 9월/평가원 4]

① 

 ②  ③ 



④  ⑤ 



곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식

95.^95.두 양수   에 대하여 점 A   에서 포물선 ^ 에 그 은 두 접선이 축과 만나는 두 점을 각각 F F ′, 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 할 때, ∠PAQ  

 이다. 두 점 F F ′을 초점으로

하고 두 점 P Q 를 지나는 타원의 장축의 길이가 



   의 값은?

[4점][2017(가) 수능 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

96.^96.점  에서 타원 

^

 

^

 에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q 라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F 라 할 때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는 



[4점][2011(가) 6월/평가원 28]

97.^97.쌍곡선 

^

 

^

  위의 점  에서의 접선이 타원



  ^

 ^ 의 넓이를 이등분할 때, ^ ^의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 9월/평가원 26]

곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선

3 ^{매개변수의 미분법}

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

98.^98.매개변수  로 나타내어진 곡선

  ^    ^    에서    일 때, 

 의 값은?

[3점][2017(가) 6월/평가원 6]

① 

 ②  ③ 



④  ⑤ 



99.^99.매개변수   으로 나타내어진 함수

  ^    

^   

에서   일 때, 

 의 값을 구하시오.

[3점][2015(B) 6월/평가원 25]

100.^100.매개변수 (  )로 나타내어진 함수

    



의 값을 구하시오.

[3점][2017(가) 4월/교육청 24]

101.^101.매개변수    으로 나타내어진 함수

    

   ^ 

^



에서   일 때, 

의 값은?

[4점][2016(가) 9월/평가원 14]

①  

 ②   ③  



④  

 ⑤  

102.^102.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 좌표      가     을 매 개변수로 하여

     ,     

으로 나타내어진다. 점 P 가 그리는 곡선 위의 한 점      에서의 접 선의 기울기가   일 때,    의 값은?

[3점][2016(가) 7월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

103.^103.매개변수     으로 나타내어진 함수

   





에서    일 때, 

 의 값은?

[3점][2017(가) 7월/교육청 9]

① 

 ②  ③ 



④ 

 ⑤ 

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법

유형 2

104.^104.매개변수 로 나타내어진 함수

  tan  ,   cos^





에 대하여 이 곡선 위의 점







[3점][2011(가) 4월/교육청 20]

①   ②  

 ③ 

④ 

 ⑤ 

105.^105.매개변수  로 나타내어진 함수



   cos 



일 때, 

 의 값은?

[3점][2016(가) 10월/교육청 6]

①  







④ 





매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선

사이클로이드

1. 평면벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터

1 벡터의 연산

벡터의 덧셈과 뺄셈

106.^106.삼각형 ABC에서 AB , ∠B   , ∠C   이다.

점 P가 PB  PC   를 만족시킬 때, ^PA ^의 값은?

[3점][2012(가) /수능 8]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우

이차곡선의 벡터의 크기

107.^107.타원 

^

 

^

  위의 점 P 와 두 초점 F , F′에 대하여

^PF PF′의 최댓값은?

[3점][2017(가) 10월/교육청 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소

108.^108.AB , BC  인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD, DA , BD 의 중점을 각각 E, F , G, H 라 하자. 선분 CF 를 지름 으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 ^EG HP의 최댓값은?

[4점][2016(가) 10월/교육청 18]

①  ②   





④   





부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 연산 연산 연산 연산 연산 연산 평면벡터의 연산

1 1

1

1

1 1

1

기하와벡터 1. 평면벡터의 연산

2 ^{벡터의 실수배}

벡터의 실수배의 연산

벡터의 평행

벡터와 방향이 같은 단위벡터

2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터

1 위치벡터

위치벡터

위치벡터와 삼각형의 넓이의 비

109.^109.직사각형 ABCD의 내부의 점 P 가

PA  PB  PC  PD  CA

를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2016(가) 9월/평가원 16]

ㄱ. PB  PD  CP ㄴ. AP  

 AC

ㄷ. 삼각형 ADP의 넓이가 이면 직사각형 ABCD의 넓이는  이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

위치벡터를 이용한 점의 자취

110.^110.평면 위에 삼각형 OAB 가 있다.

OP   OA   OB ( ≥  ,  ≥  )를 만족하는 점 P 가 그리는 도형 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[4점][2005(가) 10월/교육청 9]

ㄱ.      일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.

ㄴ.      일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.

ㄷ.    ≤  일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 OAB 를 포 함한다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 내적 내적 내적 내적 내적 내적 평면벡터의 성분과 내적

2

2

2

2

2 2

2

기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적

2 평면벡터의 성분

평면벡터의 성분과 크기

111.^111.두 벡터    ,   에 대하여 벡터   의 모든 성분의 합은?

[2점][2018학년(가) 수능 1]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

112.^112.두 벡터     ,     에 대하여 벡터   의 모든　 성분의 합은?

[2점][2017(가) 9월/평가원 1]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

113.^113.두 벡터       ,        에 대하여 벡터   의 모 든 성분의 합은?

[2점][2017(가) 7월/교육청 1]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

114.^114.두 벡터          에 대하여 벡터    의 모든 성분의 합은?

[2점][2017(가) 6월/평가원 1]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

115.^115.두 벡터   ,    에 대하여   의 모든 성분의 합은?

[2점][2017(가) 수능 1]

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

116.^116.벡터    에 대하여 벡터  의 모든 성분의 합은?

[2점][2016(가) 6월/평가원 1]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

117.^117.두 벡터     ,        에 대하여    는?

[2점][2016(가) 10월/교육청 1]

①     ②    ③   

④    ⑤  

118.^118.두 벡터       에 대하여 벡터   의 모든 성분의 합은?

[2점][2016(가) 9월/평가원 1]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 