1. 다음 그림과 같이 세 직선이 한 점에서 만날 때, ∠x 의 크기는?
① 15 ° ② 20 ° ③ 25 °
④ 30 ° ⑤ 35 °
(답) ④
(풀이) 맞꼭지각의 크기는 같으므로 다음 그림에서
( 80 ° - ∠x ) +( 2∠x +40 °) + 30 ° = 180 °
∠x + 150 ° = 180 °
∴ ∠x = 30 °
2. 아래 그림에서 점 M , N 은 각각 AB , MB 의 중점 이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① AM= MB ② MN = NB
③ AB = 4 MN ④ AM= 3MN
⑤ AN = 3NB
(답) ④
(풀이) ③ AB = 2MB = 2×2MN = 4MN
④ AM = MB = 2MN
⑤ AN = AM+ MN = 2NB + NB = 3NB
3. 다음 그림과 같은 입체도형에서 교점과 교선의 개수를 각각 a , b 라 할 때 b-a 의 값은?
① 2 ② 3 ③ 4
④ 5 ⑤ 6
(답) ②
(풀이) a = 6 , b = 9
∴ b- a = 9 -6 = 3
4. 다음 그림의 직육면체에서 모서리 AB 에 평행한 평면 의 개수는?
① 2 개 ② 3 개 ③ 4 개
④ 5 개 ⑤ 없다.
(답) ①
(풀이) 면 CGHD 와 면 EFGH 의 2 개이다.
5. 다음 그림과 같은 정육각형에서 다음 중 위치 관계가 나 머지 넷과 다른 하나는?
(단, 점 O 는 AD , BE , CF 의 교점이다.)
① AB 와 CD ② AO 와 DE
③ CF 와 BE ④ BE 와 CD
⑤ CD 와 EF
(답) ④
(풀이) ①, ②, ③, ⑤ 한 점에서 만난다.
④ 평행하다.
6. 다음 그림과 같이 직선 l 위에 네 점 A , B , C , D 가 있을 때, 옳은 것은?
① AB = CD ② AC = CA
③ AB /= BA ④ AC /= AD
⑤ BA = CA
(답) ①
(풀이) ① AB 와 CD 는 양쪽 방향이 같다.
∴ AB = CD
② AC 와 CA 는 시작점과 방향이 모두 다르다.
∴ AC ≠ CA
③ AB 와 BA 는 양 끝점이 같다.
∴ AB = BA
④ AC 와 AD 는 시작점과 방향이 모두 같다.
∴ AC = AD
⑤ BA 와 CA 는 시작점이 다르다
∴ BA ≠CA
7. 다음 그림과 같은 전개도로 정팔면체를 만들었을 때, 다 음 중 모서리 BC 와 꼬인 위치에 있는 모서리가 아닌 것은?
① IJ ② AE ③ FE
④ AD ⑤ DJ
(답) ④
(풀이) 주어진 전개도로 정팔면체를 만들면 다음 그림과 같다.
BC 와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AJ( = IJ) , DJ( = FJ) , AE(= IE), DE(= FE) 이다.
8. 다음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면? (정답 2개)
① 선과 선이 만나면 교점이 생긴다.
② 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 무수히 많다.
③ 평면도형은 한 평면 위에 있는 도형이다.
④ 입체도형은 점, 선, 면으로 이루어져 있다.
⑤ 삼각뿔에서 교점의 개수는 교선의 개수와 같다.
(답) ②, ⑤
(풀이) ② 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 뿐이다.
⑤ 삼각뿔에서 교점의 개수는 4 개, 교선의 개수는 6 개이므로 같지 않다.
9. 다음 규칙에 따라 좌표평면 위에 선분 n 개를 그리려고 한다. (단, n 은 자연수)
[규칙 1 ] 두 점 (1, 0) , (0, n ) 을 이은 선 분을 그린다.
[규칙 2 ] 두 점 (2, 0) , (0, n-1) 을 이은 선분을 그린다.
[규칙 3 ] 두 점 (3, 0) , (0, n-2) 를 이은 선분을 그린다.
⋮
[규칙 n ] 두 점 (n, 0) , (0, 1) 을 이은 선 분을 그린다.
예를 들어 n = 10 일 때에는 다음 그림과 같다.
주어진 규칙에 따라 짝수 n 에 대하여 선분 n 개를 그 리면 교점의 개수가 91 개일 때, n 의 값은?
① 12 ② 14 ③ 16
④ 18 ⑤ 20
(답) ②
(풀이) 선분 2 개를 그릴 때 교점의 개수는 1 = 2×1
2
선분 4 개를 그릴 때 교점의 개수는 3 + 2 + 1 = 6 = 4×3
2
선분 6 개를 그릴 때 교점의 개수는 5+ 4 + 3 + 2+ 1 = 15 = 6×5
2
⋮
선분 n 개를 그릴 때 교점의 개수는 ( n-1) +( n- 2) + ⋯ +3 +2 +1
= n ( n -1) 2 n ( n - 1)
2 = 91 에서 n (n - 1) = 182 = 14×13
∴ n = 14
10. 다음 그림과 같이 5 개의 직선 위에 각각 4 개의 점이 있을 때, 이 중에서 두 점을 이어 만들 수 있는 선분의 개수와 서로 다른 직선의 개수의 차는? (단, 서로 다른 직선 위에 있는 점은 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다.)
① 10 개 ② 15 개 ③ 20 개
④ 25 개 ⑤ 30 개
(답) ④
(풀이) 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때 만들 수 있는 선분과 직선의 개수는 같다.
그러나 위의 그림과 같이 한 직선 위에 있는 네 점으로 만들 수 있는 선분은 AB , AC , AD , BC , BD ,
CD 의 6 개, 서로 다른 직선은 AB 의 1 개이다.
따라서 한 직선 위에 있는 네 점으로 만들 수 있는 선 분의 개수와 서로 다른 직선의 개수의 차는 5 개이므로 구하는 개수의 차는
5×5 = 25 (개)
11. 다음 그림과 같은 도형에서
∠a +∠b+∠c+∠d -∠e-∠f 의 크기는?
① 120 ° ② 130 ° ③ 140 °
④ 150 ° ⑤ 160 °
(답) ⑤
(풀이) 맞꼭지각의 성질을 이용하면 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
∠e+ ∠f + 80 ° = 180 ° 에서 ∠e+ ∠f = 100 °
∠a +∠b+∠x = 180 ° 에서
∠x = 180 °- ∠a - ∠b
∠c+∠d +∠y = 180 ° 에서
∠y = 180 °- ∠c- ∠d 80 ° +∠x + ∠y = 180 ° 에서
80 °+( 180 ° -∠a -∠b ) +( 180 ° -∠c -∠d )
= 180 °
∴ ∠a +∠b+∠c +∠d = 260°
∴ ∠a +∠b+∠c+∠d -∠e -∠f
= 260 °- 100 ° = 160 °
12. 다음 그림의 직각삼각형 ABC 에서 점 A 와 변 BC 사이의 거리는?
① 225
13 ② 115
13 ③ 235 26
④ 120
13 ⑤ 245
26
(답) ④ (풀이)
점 A 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 선분 AH 의 길이가 점 A 와 변 BC 사이의 거리이 다.
삼각형 ABC 의 넓이는 1
2 × AB×AC =1
2 ×BC×AH 에서 1
2 ×10×24 = 1
2 ×26× AH
∴ AH = 120 13
13. 다음 그림과 같이 시계가 5 시 45 분을 가리킬 때, 시 침과 분침이 이루는 각 중에서 작은 쪽의 각의 크기는?
① 95° ② 95.5° ③ 97°
④ 97.5° ⑤ 99°
(답) ④
(풀이) 시침이 시계의 12 를 가리킬 때부터 5 시간 45 분 동안 움직인 각도는
30°×5 + 0.5°×45 = 150° + 22.5° = 172.5°
분침이 시계의 12 를 가리킬 때부터 45 분 동안 움직 인 각도는 6°×45 = 270°
따라서 구하는 각의 크기는 270° - 172.5° = 97.5°
14. 아래 그림은 정육면체에서 일부를 잘라서 만든 입체도 형이다. 다음 중 모서리 BP 와의 위치 관계가 나머지 넷과 다른 하나는?
① 모서리 AD ② 모서리 AE
③ 모서리 DH ④ 모서리 DQ
⑤ 모서리 EF
(답) ④
(풀이) ①, ②, ③, ⑤ 모서리 BP 와 꼬인 위치에 있다.
④ 모서리 BP 와 DQ 를 나타내는 직선 BP 와 DQ 는 한 평면 위에 있고 평행하지 않으므로 한 점에 서 만난다.
15. 아래 그림과 같이 밑면이 정오각형인 오각기둥에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?
① AE 와 FJ 는 수직이다.
② AE 와 BC 는 꼬인 위치에 있다.
③ 면 ABCDE 와 AB 는 평행하다.
④ 면 ABCDE 와 GH 는 꼬인 위치에 있다.
⑤ 면 ABCDE 와 DI 는 수직이다.
(답) ⑤
(풀이) ① AE 와 FJ 는 평행하다.
② AE 와 BC 는 한 점에서 만난다.
③ AB 는 면 ABCDE 에 포함된다.
④ 면 ABCDE 와 GH 는 평행하다.
16. 다음 그림과 같이 평면 P 위에 세 점 A , B , C 가 있고, 평면 P 밖에 점 D 가 있을 때, 이들 네 점 A , B , C , D 중 세 점으로 결정되는 서로 다른 평면의 개수를 구하여라. (단, 네 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다.)
(답) 4 개
(풀이) (ⅰ) 세 점 A , B , C 로 만들 수 있는 평면 : 평면 ABC 의 1 개
(ⅱ) 세 점 A , B , C 중 두 점과 점 D 로 만들 수 있는 평면 : 평면 ABD , 평면 BCD , 평면
ACD 의 3 개
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 평면은 1 + 3 = 4 (개)
17. 다음 그림과 같은 입체도형에서 교점의 개수를 a 개, 교선의 개수를 b 개, 면의 개수를 c 개라 할 때,
a + b+c 의 값은?
① 30 ② 31 ③ 32
④ 33 ⑤ 34
(답) ③
(풀이) a = 7 , b = 15 , c = 10
∴ a + b +c = 7 + 15 +10 = 32
18. 다음 그림에서 AB = 20 cm 이고 AB = 5 AP , PM = BM 일 때, AM 의 길이는?
① 11 cm ② 12 cm ③ 13 cm
④ 14 cm ⑤ 15 cm
(답) ②
(풀이) AB = 5 AP 이므로 AP = 1
5 AB = 1
5 ×20 = 4 ( cm)
∴ PB = AB - AP = 20-4 = 16 ( cm)
PM = BM 이므로 PM = 1
2 PB = 1
2 ×16 = 8 ( cm)
∴ AM = AP + PM = 4 +8 = 12 ( cm)
19. 다음 그림과 같은 사각뿔에서 모서리 BC 와 만나는 모서리의 개수를 a 개, 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수 를 b 개라고 할 때, a +b 의 값을 구하여라.
(답) 6
(풀이) 모서리 BC 와 만나는 모서리는 AB , AC , BE , CD 의 4 개이고, 모서리 BC 와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AD , AE 의 2 개이다.
∴ a + b = 6
20. 다음 그림에서 ∠x 의 크기와 ∠y 의 크기의 합을 구 하여라.
(답) 95°
(풀이) 2∠x = 110° ∴ ∠x = 55°
∠y = 40°
∠x +∠y = 95°
