다중벽 탄소 나노튜브의 멀티스케일 모델링
박종연† · 조영삼* · 김성엽* · 이영민* · 전석기** · 임세영**
Multi-scale Modeling of Multi wall Carbon Nanotube
Jong Youn Park, Young-Sam Cho, Sung Youb Kim, Youngmin Lee, Sukky Jun, and Seyoung Im
Key Words : Quasicontinuum(준연속체), Hermite interpolation(허마이트 보간함수), Coarse- graining(거친낱알만들기)
Abstract
Fully non-local Quasicontinuum method using sub-divided region with Hermite interpolation function is proposed for simulation of carbon nanotube. Tersoff-Brenner potential is adopted for interaction of bonded atoms and also van der Waals force for non-bonded interaction. Bending of single wall carbon nanotube with chirality (20,0) and 15nm length is simulated up to 90 degree. Bending of double wall carbon nanotube with chirality (20,0) and (12,0) is simulated up to 65 degree. Bending of four wall carbon nanotube is simulated up to 45 degree.
1. 서 론
Quasicontinuum 방법을 이용한 원자 수준의 현 상 해석들은[1,2,3] 그 동안 금속 덩어리와 같은 벌크 상태에서의 해석이 대부분이었다. 기존의 Quasicontinuum 방법에서 대표원자가 아닌 일반원 자들의 거동은, 코시-보른 법칙(Cauchy-Born rule)을 기반으로 표현하되 대표원자의 거동에 선형적으로 지배 받는다는 가정하에 유한요소의 선형 형상 함 수로 표현하였다. 이러한 방법으로는 탄소나노튜 브(CNT, Carbon Nanotube)와 같은 막 구조물의 경 우 정확한 결과를 얻을 수 없었다. 이를 개선하기 위해 최근 Arroyo 와 Belytschko[4]에 의해 수정된 코시-보른 법칙을 적용한 Quasicontinuum 방법이 제시되기도 하였다. 본 연구에서는 Quasicontinuum 방법이 거친 낟알 만들기(coarse-graining)라는 기본 원칙에 근거하여, 일정 영역 내의 원자들의 거동 을 표현하도록 선택한 보간 함수(interpolation
function)로 원자들의 거동을 결정한다. 이러한 보 간 함수의 계수들이 영역 내에서의 원자들의 거동 을 표현하게 되므로, 변형이 극심하지 않은 영역 내에서는 적은 수의 보간 함수의 계수들로 많은 원자들의 거동은 표현할 수 있게 되어 거친 낟알 만들기 효과를 얻을 수 있다. 또한 보간 함수가 선형 함수일 필요가 없으므로, 탄소나노튜브와 같 은 구조를 표현하는데 매우 유용하다고 할 수 있 다. 본 연구의 내용은 다음과 같다. 제 2 장에서는 새롭게 제시한 세분된 영역(subdivided region)에서 의 허마이트 보간 함수(Hermite interpolation function)를 이용한 Quasicontinuum 방법을 제시하 고, 제 3 장에서는 이 방법을 이용한 단일벽(single wall) 탄소나노튜브의 굽힘과 이중벽(double wall) 탄소나노튜브의 굽힘을 해석하고 이 결과를 분자 정역학(Molecular Mechanics) 결과와 비교하였다.
마지막으로 제 4 장에서는 본 연구의 결론에 대하 여 논하였다.
2. 방법론
Knap 과 Ortiz[5]의 수식화에 따르면 Quasicontin- uum 에서의 거친 낟알 만들기 영역(coarse-graining region, QC region)은 대표원자가 아닌 원자들의 위
† KAIST 기계공학과 대학원
E-mail : [email protected]
TEL : (042)869-3068 FAX : (042)869-3095 * KAIST 기계공학과 대학원
**KAIST 기계공학과
치를, 사용하는 보간 함수가 표현할 수 있는 정도 의 정확도에서 찾아내어 에너지를 계산하는 방법 이라 하겠다. 결국, 거친 낟알 만들기 영역에서의 에너지 계산은 대표 원자에서의 위치로 대표 원자 가 아닌 원자들의 위치를 보간하여 계산하는 것이 다. 그러나, Knap 과 Ortiz 가 사용한 선형사면체 유 한요소 형상함수(linear tetrahedral finite element shape function)를 사용하면, 탄소나노튜브의 경우는 표현 하기 힘들다. 그 이유는 탄소나노튜브는 변형이 작더라도 곡률이 상당히 큰 이유로 선형 함수로는 표현하기 힘들기 때문이다. 선형사면체 유한요소 형상함수가 아닌 고차함수를 사용하여 보간하면 곡률이 크더라도 정확한 표현을 할수 있을 것이므 로 본 연구에서는 허마이트 보간 함수를 사용하여 대표원자가 아닌 원자들의 위치를 표현한다. 다시 말해, 거친 낟알 만들기(coarse-graining) 영역을 적 절한 개수의 세분된 영역으로 나누어, 각각의 세 분영역에서 원자들의 위치를 허마이트 보간 함수 로 표현한다. 이때, 허마이트 보간 함수의 계수들 을 각각의 세분 영역에서 정의하면, 유한요소법에 서 사용하는 전체 요소망 정보(global connectivity) 가 필요 없게 된다. 허마이트 보간 함수의 계수들 은 결국 세분 영역마다 정의되는 변수가 되고, 에 너지를 그 변수들에 대해 최소화한다. 본 연구에 서 탄소나노튜브의 원자적 전산모사를 위해 가장 널리 사용되는 원자간 경험적 포텐셜 함수인 Tersoff-Brenner 포텐셜을[6,7] 사용하였고, Non- bonded 상호작용을 고려하기 위해서 튜브사이의 van der Waals 힘을 적용하였다.
3. 전산모사 결과
3.1 단일벽 탄소 나노튜브의 굽힘 해석
Chirality 가 (20,0), 길이가 15nm 인 단일벽 탄소 나노튜브에 대해 굽힘전산모사를 하였다.
Bending angle [rad]
Strainenergy[ev]
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0 10 20 30 40 50 60
Molecular Mechanics Quasicontinuum
Fig. 1 Comparison of strain energy with respect to Bending angle
최대 굽힘각 90 도를 100 스텝으로 나누어 해석 하였다. 매스텝마다 conjugate gradient 알고리즘을 사용하여 최소에너지를 찾았다. 굽힘각에 따른 탄 소나노튜브의 변형에너지를 그림. 1 에 나타내었다.
본 연구에서 제안한 방법으로 해석된 결과가 분자 정역학 결과와 매우 유사함을 보인다.
(a) 0o
(b) 24.3o
(c) 25.2o
(d) 90o
Fig. 2 Deformed configurations simulated by MM 그림. 1 에서 변형에너지가 방출되면서 그림. 3(c) 와 같이 튜브의 중앙에 kink 를 발생시킨다.. 이는 그림. 2(c)의 분자정역학 방법으로 전산모사된 변 형 형상과 아주 유사함을 보이고 있다. 최대 굽힘 각에 도달한 후 변형 형상(그림. 3(d)) 또한 분자정 역학의 결과(그림. 2(d))와 거의 흡사함을 볼 수 있 다. 이는 기존 연구에서[8] 얻은 결과와 유사하다.
(a) 0o
(b) 24.3o
(c) 25.2o
(d) 90.0o
Fig. 3 Deformed configurations simulated by QC
(a) Simulated by MM
(b) Simulated by QC Fig. 4 Configuration of Kink at 90.0o
3.2 이중벽 탄소 나노튜브의 굽힘 해석
Chirality 가 각각 (20,0), (12,0)인 이중벽 탄소나 노튜브에 대한 굽힘전산모사를 하였다. 이중벽의 튜브길이는 15nm 이다. 최대 굽힘각 63.9 도까지 조금씩 각도를 증가시키면서 전산모사를 하였다.
그림. 5 에서 볼 수 있듯이 본 연구에서 제안한 방
법이 분자정역학의 해석결과와 매우 일치함을 알 수 있다. 그림. 5 에서 굽힘각에 따라 변형에너지가 2 차에 비례해서 증가하다가 31 도 정도에서 Kink 발생 후 변형에너지가 일차에 비례해서 증가함을 보인다.
Bending angle [rad]
Strainenergy[ev]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 25 50 75 100
125 Molecular Mechanics
Quasicontinuum
Fig. 5 Comparison of strain energy with respect to Bending angle
(a) 0o
(b) 31.5o
(c) 32.4o
(d) 63.9o
Fig. 6 Deformed configurations simulated by MM
(a) 0o
(b) 30.6o
(c) 31.5o
(d) 63.9o
Fig. 7 Deformed configurations simulated by QC 그림. 6,7 은 각각 분자정역학과 Quasicontinuum 을 이용하여 계산한 이중벽 탄소나노튜브의 단면을 보여주고 있다. 분자정역학 보다 한 스텝 빨리 kink 가 발생하지만 변형에너지와 전체적인 변형 형상은 분자정역학의 결과와 매우 유사하다. 그림.
8 은 kink 발생 직후의 확대 형상이다.
(a) Simulated by MM
(b) Simulated by QC Fig. 6 Configuration of Kink
3.3 다중벽 탄소 나노튜브의 굽힘 해석
Chirality 가 각각 (5,0), (13,0), (21,0), (29,0)인 사중벽 소나노튜브에 대한 굽힘전산모사를 하였다. 다중 벽의 튜브길이는 20nm 이다. 최대 굽힘각 45 도까 지 조금씩 각도를 증가시키면서 전산모사를 하였 다. 그림. 9 에서 볼 수 있듯이 다중벽의 굽힘전산 모사에서는 초기에 주름이 발생하고 이 주름들이 커다란 kink 로 발달함을 볼 수 있다. 또한 최종 kink 의 생성이 앞의 다른 굽힘전산모사와는 다르 게 복수임을 관찰하였다.
(a) 0o
(b) 34.2o
(b) 39.6o
(b) 45o
Fig. 9 Deformed configurations simulated by QC 그림. 10 은 45 도에서의 kink 발생 형상을 단면으 로 보여주고 있다. 그림. 10 에서 탄소튜브벽 사이
Fig. 10 Configuration of Double Kink 의 구분은 다른 색깔로 표시하였다.
4. 결 론
본 연구에서 제안한 방법은 단일벽, 이중벽, 그 리고 다중벽 탄소나노튜브의 굽힘 전산모사결과를 보아 알 수 있듯이 탄소나노튜브와 같은 막 구조 물에서 기존의 방법들보다 보다 효율적이고 정확 한 결과를 얻을 수 있다.
후 기
본 연구는 나노핵심기반기술개발사업(M1-0213- 04-0003)을 통한 과학기술부의 지원을 받아 수행 되었습니다.
참고문헌
(1) Tadmor, E.B., Ortiz, M., Phillips, R., 1996,
“Quasicontinuum anlysis of defects in solids,” Philos.
Mag. Vol. 73, PP. 1529-1563
(2) Shenoy, V.B., Miller, R., Tadmor, E.B., Phillips, R., Ortiz, M., 1998, “Anadaptive 5nite element approach to atomic-scale mechanics—the quasicontinuum method,” J. Mech. Phys. Solids., Vol. 47, pp. 661-642.
(3) Tadmor, E.B., Miller, R., Phillips, R., Ortiz, M., 1998, “Nanoindentation and incipient plasticity,” J.
Mater. Res., Vol. 14, pp. 2233-2250.
(4) Arroyo, M, Belytschko, T., 2002, “An atomistic – based finite deformation membrane ofr single layer crystalline films,” J. Mech. Phys. Solids., Vol. 50, pp.
1941-1977.
(5) Knap, J., Ortiz, M., 2001, “An analysis of the quasicontinuum method,” J. Mech. Phys. Solids., Vol.
49, No. 16, pp. 1899-1923.
(6) J. Tersoff, 1988, “Empirical interatomic potential for carbon, with applications to amorphous carbon,” Phys.
Rev. Lett., Vol.61, pp.2879-2882.
(7) D. W. Brenner, 1990, “Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films,” Phys. Rev. B, Vol.42, pp.9458-9471.
(8) S. Iijima, C. Brabec, A. Maiti, and J. Bernholc, 1996,
“Structural flexibility of carbon nanotubes,” J. Chem.
Phys., Vol.104, pp.2089-2092.
