연속시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 개요

(1)

Python 과 함께 배우는 시스템 해석

박섭형

연속시간 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 Python을 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 계산 다중 정현파에 대한 연속시간 선형 시불변 시스템의 정상상태 응답 연속시간 주파수 응답의 특성 직렬 연결된 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답

Python과 함께 배우는 시스템 해석

제 5 장. 선형 시불변 시스템의 고유신호와 주파수 응답 5-3 . 연속시간 선형 시불변 시스템의 고유신호와 주파수 응답

박섭형

한림대학교 전자공학과

2014년 11월

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 14 강 연속시간 선형 시불변 시스템의 고유신호와 주파수 응답 1

(2)

박섭형

배울 내용

연속시간 시불변 시스템의 고유 신호 연속시간 시불변 시스템의 주파수 응답

Python을 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 계산 실계수 연속시간 선형 시불변 시스템의 다중 정현파에 대한 정상상태 응답 연속시간 주파수 응답의 특성

직렬 연결된 시스템의 주파수 응답

(3)

박섭형

연속시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 개요

연속시간 선형 시스템T 에 x(t)가 입력된다고 가정하자. 만약에 다음 조건을 만족하는 복소수 λ 가 존재한다면, 연속시간 신호 x(t) 는 연속 시간 선형 시스템 T 의 고유 신호 또는 형태 불변 신호라고 한다.

T {x(t)} = λx(t). (5.72)

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

입력

x(t)

출력

λx(t)

연속시간 선형 시불변 시스템

T

그림 5.9: 연속시간 선형 시스템T 의 고유 신호 x(t).

(4)

박섭형

연속 시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 개요

임펄스 응답이 h(t) 인 연속시간 선형 시불변 시스템의 입출력 관계식은 다음과 같이 주어진다.

y(t) =

∫ _∞

−∞

h(τ )x(t− τ)dτ. (5.73)

입력 신호 x(t) 가 다음과 같이 주어지는 주파수 ω 를 갖는 복소지수 신호일 때를 생각해 보자.

x(t) = Ae^jϕe^jωt, −∞ < t < ∞. (5.74) 입력 x(t) 에 대응하는 출력 y(t) 는 다음과 같다.

y(t) =

∫ _∞

−∞

h(τ )Ae^jϕe^jω(t−τ)dτ

=

∫ _∞

−∞

h(τ )Ae^jϕe^jωte^−jωτdτ

=

∫ _∞

−∞

h(τ )e^−jωτdτ Ae^jϕe^jωt

= (∫ _∞

−∞

h(τ )e^−jωτdτ )

x(t).

(5.75)

(5)

박섭형

연속 시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 개요

H(jω) =

∫ _∞

−∞

h(τ )e^−jωτdτ (5.76)

라고 두면, 식 (5.75)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

y(t) = H(jω)x(t) = H(jω)Ae^jϕe^jωt. (5.77) 즉, 식 (5.74) 의 복소지수 신호는 연속 시간 LTI 시스템의 고유 신호가 되며, 식 (5.76)은 이 시스템의 고윳값이 된다. 이 고윳값은 임펄스 응답 h(t) 의 연속 시간 푸리에 변환이며, 이것을 시스템의 주파수 응답 또는 전달 함수 (transfer function)이라고 한다.

주파수 응답은 크기와 위상 성분으로 각각 구분할 수 있다.

H(jω) =|H(jω)|e^j^∠H(jω), (5.78)

|H(jω)|: 크기 응답 또는 시스템의 이득(gain), ∠H(jω): 위상 응답 주파수 응답을 다음과 같이 실수부와 허수부로 구분하여 표현하기도 한다.

H(jω) =ℜeH(jω) + jℑmH(jω). (5.79)

(6)

박섭형

연속시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 예

.예제 5.13 ..

...

임펄스 응답이 h(t) = 2e^−2tu(t) 인 연속시간 LTI 시스템의 주파수 크기 응답과 위상 응답을 구하고,−9 < ω ≤ 9 구간에서 그래프를 그려라.

주파수 응답은 다음과 같이 구할 수 있다.

H(jω) =

∫ _∞

−∞

2e^−2tu(t)e^−jωtdt =

∫_∞

0

2e^−2te^−jωtdt

=

∫ _∞

0

2e^−(2+jω)tdt = 2e^−(2+jω)t

−(2 + jω) ^∞

0

= 0− 2

−(2 + jω) = 2 2 + jω.

(5.80)

|H(jω)| = 2

2 + jω

= 2

|2 + jω|= 2

√2²+ ω² = 2

√4 + ω², (5.81)

∠H(jω) = ∠2 − ∠(2 + jω) = 0 − tan⁻¹ω

2 =− tan⁻¹ω

2. (5.82)

(7)

박섭형

연속시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 예

그림 5.10은 크기 응답과 위상 응답의 그래프를−9 < ω ≤ 9 구간에서 나타낸 것이다.

0 1

−8 −4 0 4 8 ω

|H(jω)|

−8 −4 0 4 8 ω

6 H(jω)

−

π 4

−

π 2 π 4 π 2

(a) (b)

그림 5.10: 임펄스 응답이 h(t) = 2e^−2tu(t) 인 연속시간 LTI 시스템의 주파수 응답의 크기 (a) 와 위상 (b).

이 시스템은 고주파 성분이 저주파 성분에 비해서 상대적으로 많이 억제되는 저역 통과 필터 (lowpass ﬁlter)이다.

(8)

박섭형

연속시간 선형 시불변 시스템의 고유 신호와 주파수 응답 예

.예제 5.14 ..

...

ω = 0, 2, 4, 9, 16,∞에 대하여 임펄스 응답이 h(t) = 2e^−2tu(t) 인 연속시간 LTI 시스템의 주파수 응답의 크기를 각각 구하라.

ω = 0: |H(j0)| = 2

2 + j0 = 1 ω = 2: |H(j2)| =

2 2 + j2

= 1

1 + j = 1

√2

ω = 4: |H(j4)| = 2

2 + j4 =

1 1 + j2

= 1

√5

ω = 9: |H(j9)| = 2

2 + j9 = 2

√85

ω = 16: |H(j16)| = 2

2 + j16 =

1 1 + j8

= 1

√65

ω =∞: |H(j∞)| = 2

2 + j∞

= 0

이 예제에서 살펴 본 시스템의 주파수 크기 응답을 보면 ω = 0 에서|H(jω)| = 1 이고, ω 의 크기가 증가하면서 크기 응답이 점점 감소하는 것을 알 수 있다. 이와 같은 사실로부터 이 시스템은 저역 통과 필터라는 것을 알 수 있다.

(9)

박섭형

Python을 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 계산

Scipy.signal.freq() 함수는 연속시간 시스템의 주파수 응답을 구하는 함수이다.

import numpy as np

from scipy.signal import

freqs, iirfilter

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10,3))

w, h

=

freqs([2], [1,2], worN=np.linspace(0,

1000, 1000))

plt.subplot(131); plt.plot(w,

abs(h));

plt.xlabel('Frequency') plt.ylabel('Magnitude response'); plt.grid()

plt.subplot(132)

w, h

=

freqs([2], [1,2], worN=np.logspace(-1,

2, 1000))

plt.semilogx(w,

abs(h));

plt.xlabel('Frequency') plt.ylabel('Magnitude response'); plt.grid()

plt.subplot(133); plt.semilogx(w,

20 *

np.log10(abs(h))) plt.xlabel('Frequency'); plt.ylabel('Magnitude response [dB]') plt.grid(); plt.tight_layout()

plt.show()

(10)

박섭형

Python을 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 계산

이 스크립트를 실행한 결과 그림 5.11의 그래프를 얻을 수 있다.

(a) (b) (c)

그림 5.11: Python으로 그린 임펄스 응답이 h(t) = 2e^−2tu(t) 인 연속시간 LTI 시스템의 주파수 응답의 크기 그래프. (a) 선형-선형 그래프, (b) 로그-선형 그래프, (c) 로그-로그 그래프.

(a)

주파수 축과 주파수 크기 응답 축이 모두 선형 스케일인 경우

(b)

주파수 축은 로그 스케일 (log scale) 이고, 주파수 크기 응답 축은 선형 스케일 (linear scale)

(c)

주파수 축과 주파수 크기 응답 축 모두 로그 스케일 : 보데 플롯 (Bode plot), 일반적으로는 보데 플롯에서 주파수 크기 응답은 데시멜로 표현한다.

(11)

박섭형

연속시간 선형 시불변 시스템의 고유신호 (2)

이제 또 다른 신호 x(t) = e^st이 연속시간 선형 시불변 시스템에 입력되는 경우에 대해서 생각해 보자. 여기에서 s 는 0이 아닌 복소수로 s = σ + jω 로 표현할 수 있다.

y(t) =

∫ _∞

−∞

h(τ )x(t− τ)dτ

=

∫ _∞

−∞

h(τ )e^s(t^−τ)dτ (5.83)

= (∫ _∞

−∞

h(τ )e^−sτ )

e^stdτ .

여기에서

H(s) =

∫_∞

−∞

h(τ )e^−sτdτ (5.84)

라 정의하면,

y(t) = H(s)x(t) (5.85)

이 되므로, e^st은 아날로그 필터의 고유신호이고, H(s) 는 고윳값이 된다. 이 때, H(s) 는 아날로그 필터의 시스템 함수라 하고, 식 (5.84)를 아날로그 필터의 임펄스 응답인 h[τ ] 의 라플라스 변환이라고 정의한다.

(12)

박섭형

다중 정현파에 대한 정상 상태 응답

임펄스 응답 h(t) 가 h^∗(t) = h(t)를 만족하는 시스템에 다음과 같이 정현파와 DC의 합이 입력되는 경우에 출력 y(t) 를 구해보자.

x(t) = A0+ A1cos(ω1t + ϕ1). (5.86) DC는 주파수가 0인 정현파로 생각하고, 역 오일러 공식을 사용하면 x(t) 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = A0e^j0t+A1

2 e^jϕ¹e^jω¹^t+A1

2 e^−jϕ¹e^−jω¹^t. (5.87) 입력 신호의 성분이 모두 복소지수 신호이기 때문에, 시스템의 주파수 응답을 안다면, 각 성분을 해당 주파수에서 구해진 H(jω) 와 곱함으로써 출력 y(t) 를 구할 수 있다.

y[n] = H(j0)A0e^j0t+ H(jω1)A1

2 e^jϕ¹e^jω¹^t+ H(−jω1)A1

2 e^−jϕ¹e^−jˆ^ω¹^t. (5.88)

(13)

박섭형

다중 정현파에 대한 정상 상태 응답

시스템의 임펄스 응답이 실수인 경우에 H(−jω) = H^∗(jω)이 성립하므로¹y(t) 는 다음과 같이 표현된다.

y(t) = H(j0)A0e^j0t+ H(jω1)A1

2 e^jϕ¹e^jω¹^t+ H^∗(jω1)A1

2 e^−jϕ¹e^−jˆ^ω¹^t

= H(j0)A0+H(jω1)e^j∠H(jω¹⁾A1

2 e^jϕ¹e^jω¹^t+H(jω1)e^−j∠H(jω¹⁾A1

2 e^−jϕ¹e^−jˆ^ω¹^t

= H(j0)A0+H(jω1)A1

2 (

e^j^∠H(jω¹⁾e^jϕ¹e^{j ˆ}^ω¹^t+ e^−j∠H(jω¹⁾e^−jϕ¹e^−jω¹^t)

= H(j0)A0+H(jω¹)A1

2 (

e^j(ω¹^t+ϕ¹⁺^∠H(jω¹⁾+ e^−j(ˆ^ω¹^t+ϕ¹⁺^∠H(jω¹⁾ )

=

H(j0)A

0+

H(jω

¹

)

A1cos (ω1t + ϕ1+

∠H(jω

1

)) .

(5.89) 이를 정현파에 대한 정상 상태 응답(steady-state response)라고 한다.

(14)

박섭형

다중 정현파에 대한 정상 상태 응답

.예제 5.15 ..

...

임펄스 응답이 h(t) = 2e^−2tu(t) 인 연속시간 LTI 시스템에 신호 x(t) = 3 + 10 cos(2t +^π₆)가 입력될 때 정상상태 응답을 구하라.

앞에서 구한대로 이 필터의 주파수 크기 응답과 위상 응답은 각각 다음과 같다.

|H(jω)| = 2

√4 + ω², (5.90)

∠H(jω) = − tan⁻¹(ω 2 )

. (5.91)

|H(j0)| = √²

4+0² = 1,∠H(j0) = − tan⁻¹ (0

2 )

= 0이다. 또한,

|H (j2) | = √²

4+2² =√¹

2,∠H (j2) = − tan⁻¹ (2

2 )

=−π

4이므로, 정상상태 응답 y(t) 는 다음과 같다.

y(t) =|H(j0)|3 + |H(j2)|10 cos( 2t +π

6−π 4 )

= 3 + 5√ 2 cos

( 2t− π

12 )

.

(5.92)

(15)

박섭형

주파수 응답의 특성 : 임펄스 응답과 주파수 응답의 관계

다음 두 식을 비교해 보자.

y(t) =

∫ _∞

−∞

h(τ )x(t− τ)dτ. (5.93)

H(jω) =

∫ _∞

−∞

h(τ )e^−jωτdτ. (5.94)

두 식을 비교해 보면 다음과 같은 대응 관계를 알 수 있다.

h(τ )x(t− τ) ⇔ h(τ)e^−jωτ. (5.95) 즉, H(jω) 는 임펄스 응답 h(t) 로부터 직접 구할 수 있다.

..

시간 영역의 임펄스 응답과 주파수 영역의 주파수 응답 비교

.

h(t) =

∫ _∞

−∞

h(τ )x(t− τ)dτ ⇔ H(jω) =

∫ _∞

−∞

h(τ )e^−jωτdτ

(16)

박섭형

주파수 응답의 특성 : H(jω) 의 켤레 대칭성

h(t) 가 실수일 때, h^∗(t) = h(t)이므로, 다음 식이 성립한다.

H^∗(jω) = (∫ _∞

−∞

h(t)e^−jωtdt )_∗

=

∫ _∞

−∞

h^∗(t)e^+jωtdt

=

∫ _∞

−∞

h(t)e^−j(−ω)tdt (5.96)

= H(−jω).

켤레 대칭 성질은 다음과 같다.

크기 함수는 ω 의 우함수 : |H(−jω)| = |H(jω)|

위상은 ω 의 기함수 : ∠H(−jω) = −∠H(jω) 실수부는 ω 의 우함수 : ℜe{H(−jω)} = ℜe{H(jω)}

허수부는 ω 의 기함수 : ℑm{H(−jω)} = −ℑm{H(jω)}

(17)

박섭형

주파수 응답의 특성 : 이상적인 지연 시스템의 주파수 응답

이상적인 지연 시스템의 입력 x(t) 와 출력 y(t) 사이에는 다음 관계식이 성립한다.

y(t) = x(t− td). (5.97) 이 시스템의 임펄스 응답은 h(t) = δ(t− td)이므로, 주파수 응답은 다음과 같이 구할 수 있다.

H(jω) =

∫ _∞

−∞

δ(t− td)e^−jωtdt = e^−jωt^d. (5.98)

(18)

박섭형

직렬 연결된 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답

임펄스 응답이 각각 h1(t)와 h2(t)인 두 연속시간 LTI 시스템이 직렬 연결되었다고 가정해 보자.

입력 x(t) = e^jωt가 첫 번째 LTI 시스템에 인가될 때의 출력을 w(t) 라 하자.

w(t) = H1(jω)e^jωt (5.99)

y(t) = H2(jω)[H1(jω)e^jωt] = H2(jω)H1(jω)e^jωt. (5.100) 즉, 두 시스템이 직렬 연결된 시스템은 H(jω) = H2(jω)H1(jω) = H1(jω)H2(jω) 를 갖는 하나의 LTI 시스템과 같다.

이것은 콘볼루션의 성질에서 배웠던 것과 같다. 이것을 다시 요약해 보면 다음과 같다.

..

시간 영역의 콘볼루션과 주파수 영역의 주파수 응답의 곱

.

h1(t)∗ h2(t) ⇔ H1(jω)H2(jω)

(19)

박섭형

직렬 연결된 연속시간 선형 시불변 시스템의 주파수 응답

x(t) Ae^jφe^jωt

h₁(t) H1(jω)

w(t) = h1(t) ∗ x(t) w(t) = H1(jω)Ae^jφe^jωt

h₂(t) H2(jω)

(a)

y(t) = h2(t) ∗ h1(t) ∗ x(t) y(t) = H2(jω)H1(jω)Ae^jφe^jωt

x(t) Ae^jφe^jωt

h(t) = h2(t) ∗ h1(t) H(jω) = H2(jω)H1(jω)

y(t) = h(t) ∗ x(t) y(t) = H(jω)Ae^jφe^jωt

(b)

그림 5.12: 직렬 연결된 두 개의 연속시간 LTI 시스템과 그 등가 시스템.