- 보의 곡 o 합성

Mechanic

cs of Materials

s, 7^th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

Pa

age 06-1

제 6 장

6.1 소개

- 보의 곡 o 합성

o 경사 o 비대 o 얇은 o 탄소 o 비선

6.2 합성

- 한가지

- 재료 절

장 보의 응

개

곡률/보의 수 성보

사 하중을 받는 대칭 보

은 두께의 보의 소성 굽힘 선형 굽힘

성보

이상의 재료

절감, 경량화

응력 (심화

수직응력/보의

는 보

의 전단응력

료로 제작된

화주제)

전단응력에

보

대한 응용

Mechanic

 변형률

5 장의 기

x

 y

  

(

x E

  

2

x E

  

 중립축

단면에 작

1 x1dA



1 1

E



cs of Materials

률 및 응력 기본 가정 적

y y

 ^{ }

1

이라고 가정

1 1

E  E y

2 2

E   E 

축

작용하는 축력

2 x2

A



2 2

dAE



s, 7^th ed., Jame

용 : 단면은

정)

y

_(6-2a)

 y

_(6-2b)

력의 합은

A

0 dA 

es M. Gere &

변형후에도

) )

0

(6-3)

Barry J. Goo

평면을 유지

dno

지함

Pa

age 06-3

2 축 대칭

 모멘트

M A





 



M  

 1

  

 수직응

식 (6-5)를

1

x  

Note:

칭인 단면의

트 - 곡률 관

2 1 1 xy dA E y dA





 







1 1 2 2

(E I E I

 

1 1 2 2

M E I E I

 

응력 (굽힘공식 를 식 (6-2)에

1

1 1 2 2

MyE E I E I

2 1

E  E

_이면

경우 중립축

계식

1 1

2 2 2 x y dA E y d













2)

2

식)

에 대입하면,

_x2

   E

x

My

   I

축은 도심축과

2 x2y dA dA



1 2

I  I

2

1 1 2 2

MyE E I E I

과 일치

(6-4)

(6-5)

(6-6a,b)

Mechanic

 샌드위

두 재료의 E 부분이 ( 0 으 식 (6.6)

여기서

top  

- 두께가

aver

V

  b

 제한

선형 탄성

cs of Materials

위치 보의 굽

의 물성치 값 이 전체수직응

으로 가정)



  



1 12

I  b h 

bot 1

2

Mh

I 



가 얇은 경우

aver c

V

bh  

성에 한함. (콘

s, 7^th ed., Jame

힘에 대한 근 값의 차이가 클

응력의 대부분

2 1

_x My

I  



3

hc



ttom

2 1

Mh

 I

전단은 웨브

c c

V

 bh G

콘크리트는 인

es M. Gere &

근사이론 클 때: ≫ 분을 부담함.

0

_(6-7)

(6-8)

(6-9

브가 전부 지지 (6-1

인장응력은 무

Barry J. Goo

.

)

)

a,b)

지함.

0a,b)

무시하므로 적

dno

적용 불가)

Pa

age 06-5

 예제

문제

60 M 

목재 (

풀이 중립축의

1 y dA



2 y dA



따라서



6-1

k-in, E1 1

①

)와 강철(

의 위치를 를

1 1 ( 1

y A h

 

2 2 (

 y A  

1 1

E



5.031 in

_,

1, 500 ksi, E2

)에서의 최대

먼저 구한다

3 in)(4 in



6.25 inh1)

2 2

E



2 6.5 in

h  

2  30, 000 k

대/최소 인장/

다. 식 (6-3) 이

n 6 in) (h )(4 in 0.5 i

0

_에서

1 1.469 i h 

ksi

_,

/압축 응력은

이용

1 3 in)(24 h 

in)  (h1 6

i)(h1 6.25 i in

은?

in )2

.25 in)(2 in

in)(2 in )2  n )2

0

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-7

3 2 4

1 1

1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in) 171.0 in

I 12  h  

3 2 4

2 2

1 (4 in)(0.5 in) (4 in)(0.5 in)( 0.25 in) 3.01 in

I 12  h  

Check:

(4 in) (4 in) 169.8 4.2 174.0 in

3 3

I  h  h     I I

1 1

1 4 4

1 1 2 2

(60 k-in)(5.031 in)(1500 ksi)

1310 psi (1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )

A

Mh E E I E I

      

 

2 1

1 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(1500 ksi)

251 psi (1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )

C

M h E

E I E I

   ^{ }   ^ 

  ^

2 2

2 4 4

1 1 2 2

( ) (60 k-in)( 1.469 in)(30, 000 ksi)

7620 psi (1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )

B

M h E E I E I

   ^   ^ 

 

2 2

2 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(30, 000 ksi)

5030 psi (1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )

C

M h E

E I E I

   ^{ }   ^ 

  ^

Note:

_{, 그러나}

 예제

문제

3.0 M 

바깥층/중 (a) 일반이 (b) 샌드 으로 각각

풀이 (a) 일반이

1 (

12 I  b

2 12

I  b

E I1 1 E

바깥층:

6-2

0 kN m, E 1

중간층의 최대 이론

위치보의 근 각 구하기

이론

3 3 2

(h h_c) 

3 200 m

c 12 h 

2 2 (72 G E I 

1 max

( )  

72 GPa, E



대 인장/압축

사이론

200 mm 12 (1 mm(150 mm

GPa)(12.017

1

1 1 2 2

( / 2)(

M h E

E I E I

2 800 MP E 

축응력을 다음

60 mm)3 ( m)3 56.250

6 4

10 mm )



1 2

) (3.0 kN



Pa

음의

(150 mm) 3

6 4

10 mm



) (800 MP N m)(80 mm

910.200 N





12.017

  



a)(56.250

2

m)(72 GPa)

m

6 4

10 mm

6 4

10 mm )  19.0 MP

 

910.200 N

 Pa

N m 2



Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-9

중간층:

1 1 2 2

( / 2)( ) (3.0 kN m)(75 mm)(800 MPa)

( ) 0.198 MPa

910.200 N m M hc E

E I E I

    ^  

  ^

Note:

_{, since}

(b) 샌드위치 보에 대한 근사이론

1 max 6 4

1

(3.0 kN m)(80 mm)

( ) 20.0 MPa

2 12.027 10 mm Mh

   I   ^  



Note: 근사해는 일반해의 값보다 큰 응력을 준다.

6.3 환산

- 한가지 - 이 등가 - 단일한 - 환산단

산단면

재료로 구성 가단면을 환산 한 재료로 구성 단면에서 구한

성된 등가단면 산단면 이라 성된 보와 같 한 응력을 원래

면으로 환산하 부름.

같은 방법으로 래 보의 응력

하여 계산

로 응력산정

력으로 변환하 하여야 함.

Mechanic

 중립축

- 중립축 - 모멘트 중립축은

1 1

E



여기에 계

1 y dA





cs of Materials

축과 환산단면 축이 같은 위치 트-저항 능력이 은 식 (6-3)으로

2 2

dAE



계수비

2 yn dA





료를 ①재료 을 n

배로 늘

s, 7^th ed., Jame

면

치에 있어야 이 같아야 함

로 구해짐

0 dA 

2 / 1

E E

_{을 대}

0

료로 바꾸는

려서 구성한

es M. Gere &

하며, 함.

입하면

는 대신

환산단면을

Barry J. Goo

(6-11)

(6-13)

의미함

dno

Pa

age 06-11

 모멘트

환산단면

x E

  

M A

E

 

 



여기에서

( M  E

트-곡률 관계 면은 재료

로

E1 y

2

1 1

A xy dA E y dA





 







서

_이

1 1 2 2) E I  E I

식

로만 구성되

1

2

1 2

xy dA

E y d





 







이므로 위 식

)

_{이 되어 식}

어 있으므로

2

( 1 1 xy dA dA E I







 



식은

(6-4)와 같아 로

1 2)

E nI

아진다.

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-13

 수직응력

1 x

T

My

   I

_(6-15)

여기서

는 환산단면의 중립축에 대한 관성모멘트임.

즉

1 T

I I nI I E I

    E

_(6-16)

(6-16)(6-15)

1 1

1 1 2 2

x

MyE E I E I

  



^(a)

재료

에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력과 동일

재료 ②에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력에 계수비 n 을 곱해야 함.

1 2

1 1 2 2 1 1 2

2

2 x

T

MynE MyE

E I E I E My n

I

I E I

  

 

   

_(b)

 일반적 유의사항

- 재료

을 재료

로 환산하는 것도 가능

- 재료

모두를 다른 재료로 환산하는 것도 가능 (계산이 더 복잡해짐)

- 3 개 이상의 재료로 구성된 경우도 적용 가능.

Mechanic

 예제

문제

60 M 

환산 단면 목재 (

cs of Materials

6-3

k-in, E1 1

면의 방법을

①

)와 강철(

s, 7^th ed., Jame

1, 500 ksi, E2

이용하여 )에서의 최대

es M. Gere &

2  30, 000 k

대/최소 인장/

Barry J. Goo

ksi

_,

/압축 응력을

dno

을 구하기.

Pa

age 06-15

풀이

강철 (

)을 목재 (

)로 환산하기로 함. 계수비

1

30, 000 ksi 1, 500 ksi 20 n E

 E  

강철부분의 폭을 20 배 하여 환산단면을 구성함.

3

1 2

(3 in)(4 in)(6 in) (6.25 in)(80 in)(0.5 in) 322.0 in

5.031 in (4 in)(6 in) (80 in)(0.5 in) 64.0 in

i i i

h y A

A

    





2 6.5 in 1 1.469 in h   h

3 2

1

3 2

2

4 4 4

1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in) 12

1 (80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)( 0.25 in) 12

171.0 in 3.01 in 231.3 in

IT h

h

  

  

  

목재의 수직응력:

1 4

(60 k-in)(5.031 in)

1310 psi 231.3 in

A

T

My

   I    

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-17

1 4

(60 k-in)( 0.969 in)

251 psi 231.3 in

C

T

My

   I   ^  _

강철에서의 수직응력은 환산보의 응력에 계수비

을 곱하여 구한다.

2 4

(60 k-in)( 1.469 in)

(20) 7620 psi 231.3 in

B

T

My n

   I   ^ 

2 4

(60 k-in)( 0.969 in)

(20) 5030 psi 231.3 in

C

T

My n

   I   ^ 