2017 년 1학기 미분기하학1 기말고사
주의: 1번을 제외한 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오. 1번은 답만 봄.
1. 다음 닫힌 평면곡선들의 회전지표(rotation index)를 각각 구하시오. (각 5점)
(1) (2)
2. 다음 평면곡선들의 부호 붙은 곡률(signed curvature) κ(t)를 각각 구하시오. (각 10점) (1) α(t) = (a cos t, b sin t). (a > 0, b > 0)
(2) α(t) = Rt
0 eucos (2u3) du, 1 +Rt
0 eusin (2u3) du .
3. 회전지표 정리를 이용하여 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점) Z 2π
0
1
2 sin2θ + 3 cos2θdθ.
4. 다음과 같이 정의된 단사함수 X : R2 → R3로 매개화된 곡면 S = X (R2)에 대하여 다음에 답하시오. (각 10점)
X(u, v) =
2u
1 + u2+ v2, 2v
1 + u2+ v2, −1 − u2− v2 1 + u2+ v2
. (1) X가 S의 좌표조각(coordinate patch)임을 보이시오.
(2) X에 의한 제1 기본형식(the first fundametal form)의 계수들 E, F , G를 각각 구하시오.
(3) φ : S →R, φ(p) = |p − (2, 0, 0)|2일 때, dφp = 0(영함수)인 p들을 모두 구하시오.
5. 다음과 같이 정의된 S가 정칙곡면임을 보이시오. (10점)
S =(x, y, z) ∈R3 | exyz+ xyz = 1 + e .
6. 다음 각 곡면 S에 대하여, S를 한 번에 전부 덮는 좌표조각 하나와, S의 면적을 구하시오. (각 10점)
(1) 현수선(catenary) α(u) = (cosh u, 0, u), 0 ≤ u ≤ 1을 z축을 중심으로 회전하여 얻어진 현수면(catenoid) S. (참고: cosh2x = (1 + cosh 2x) /2.)
(2) 나선(helix) α(u) = (cos u, sin u, u), 0 ≤ u ≤ 2π의 각 점에서 출발하여 xy평면에 평행 이면서 z축과 만나는 선분들의 집합인 나선면(helical surface) S. (참고: R sec3θ dθ =
1
2{sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)} + C.)
