완비거리공간

완비거리공간

완비거리공간

Definition 0.1. (X, d)는 거리공간일 때 X의 점렬 < a_n >이 모든  > 0에 대해

∃ n_o ∈ N such that n, m > no =⇒ d(a_n, a_m) <  을 만족하면 이 점렬을 코시열(Cauchy sequence)이라 한다.

Example 0.2. < a_n>이 p에 수렴하는 점렬이면 모든  > 0에 대해

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ d(a_n, p) < 1 2 이 성립한다. 그러면 삼각부등식에 의해

n, m.n₀ =⇒ d(a_n, a_m) ≤ d(a_n, p) + d(p, a_m) < 1 2 + 1

2 =  이다. 따라서 < a_n >은 코시열이다.

Example 0.3. X = (0, 1)은 보통거리를 가지는 거리공간이라 하자. 그러면 점렬

< _n¹ >은 코시열이 된다. 그러나 X에서 수렴하지는 않는다.

Example 0.4. (X, d)는 이산거리공간이라 하자. 그리고 점렬< a_n >은 코시열이 라 하자. d는

d(a, b) =







0 a = b, 1 a 6= b 으로 정의 된다.  = ¹₂이라 하자. < a_n>은 코시열이므로

∃ n0 ∈ N such that n, m > n⁰ =⇒ d(an, am) < 1

2 =⇒ an= am

이 성립한다. 그러므로 < a_n>은

a₁, a₂, · · · , a_n0, p, p, p, · · · 형태의 점렬이 된다.

Definition 0.5. 거리공간 (X, d)에서 모든 코시열이 수렴할 때 (x, d)를 완비(com- plete)라 한다.

Example 0.6. 보통거리를 가지는 실수 집합 R은 완비이다.

Example 0.7. (X, d)가 이산거리 공간이면 모든 코시열의 형태는 a₁, a₂, · · · , a_n0, p, p, p, · · ·

이다. 따라서 (X, d)는 완비이다.

Example 0.8. 보통거리를 가지는 단위열린구간 X = (0, 1)은 완비가 아니다.

왜냐하면 코시열 < ¹_n >은 수렴하지 않기 때문이다.

Example 0.9. m-차원 유클리드 공간 R^m은 완비이다. R^m = R × · · · × R로 생각 하면 R이 완비이므로 R^m도 완비이다.

<연습1> 거리공간 (X, d)에서 모든 코시열은 완전유계임을 보여라.

(풀이) < a_n >을 코시열이라 하고  > 0이라 하자. 그러면

∃ n₀ ∈ N such that n, m > n0 =⇒ d(a_n, a_m) <  이다. 따라서 집합

B = {an0+1, an0+2, · · · } 에 대해 d(B) ≤ 이다. 이제

A = {a₁, a₂, · · · , a_n0+1} 이라 두면 A는 점렬집합 {a_n | n ∈ N}의 -네트가 된다.

<연습2> < an >은 거리공간(X, d)에서 코시열이다. < an >의 부분열 < an_k >가 p ∈ X 에 수렴하면 < an>도 p에 수렴함을 보여라.

(풀이) 삼각부등식에 의해

d(a_k, p) ≤ d(a_k, a_nk) + d(a_nk, p) 이므로

k→∞lim d(a_k, p) ≤ lim

k→∞d(a_k, a_nk) + lim

k→∞d(a_nk, p) 이다. a_nk → p이므로

k→∞lim d(an_k, p) = 0 이고 또한 < a_k >는 코시열이므로

k→∞lim d(ak, an_k) = 0 이다. 따라서

k→∞lim d(a_k, p) = 0 이고 a_n→ p임을 알 수 있다.

완비성과 축소사상

Theorem 0.10. 거리공간 X가 완비이기 위한 필요충분조건은 지름이 0으로 접 근하는공집합이 아닌 모든 닫힌집합의 축소열이 공집합이 아닌 교집합을 가지는 것이다.

Proof. (=⇒) 집합열 < A_n>이

A₁ ⊃ A₂ ⊃ · · · , lim

n→∞d(A_n) = 0, A_n6= φ

을 만족하고 A_n ⊂ X은 닫힌집합이라 하자. 각 A_n은 공집합이 아니므로 a_n ∈ A_n 이 되는 a_n ∈ X 가 존재하고 이것을 이용하여 점렬 < a_n >을 얻을 수 있다. 이제

 > 0이라 하자.

n→∞lim d(An) = 0

이므로 d(A_n0) < 을 만족하는 n₀ ∈ N이 존재한다. 그런데 < An>은 축소열이므 로

n, m > n₀ =⇒ A_n, A_m ⊂ A_n0 =⇒ a_n, a_m ∈ A_n0 =⇒ d(a_n, a_m) < 

이 성립한다. 그러므로 < a_n >은 코시열이다. 가정에서 X는 완비이므로 < an >

은 수렴하는 점 p ∈ X가 존재한다. 이제

p ∈

∞

\

n=1

A_n

임을 보이자. 만일 그렇지 않다면 p /∈ Ak을 만족하는 k가 존재한다. 그러면 A_k는 닫힌집합이므로 d(p, A_k) = δ > 0이다. 따라서

A_k∩ S

 p,1

2δ



= φ 임을 알 수 있다. 이것으로부터

n > k =⇒ a_n∈ A_k =⇒ a_n∈ S/

 p,1

2δ



을 얻는다. 그러나 이것은 a_n→ p인 사실과 모순이다. 그러므로

∞

\

n=1

An6= φ

이 성립한다.

(⇐=) < a_n>을 X의 코시열이라 하자. 자연수 n에 대해 A_n := {a_k | k ≥ n}

이라 두자. 그러면

A₁ ⊃ A₂ ⊃ · · · , lim

n→∞d(A_n) = 0

임을 알 수 있다. 일반적으로 집합 A에 대해 d( ¯A) = d(A)임을 적용하면 < A_n>은 지름이 0으로 수렴하는 공집합이 아닌 닫힌집합열임을 알 수 있다. 그러면 가정에 의해

∞

\

n=1

A_n6= φ 이다. 이제

p ∈

∞

\

n=1

A_n

이라 하자. 그리고  > 0이라 하자. < A_n>은 지름이 0으로 수렴하는 집합열이므로 d(An0) < 을 만족하는 n0 ∈ N 이 존재한다. 따라서

n > n₀ =⇒ a_n, p ∈ A_n0 =⇒ d(a_n, p),  을 알 수 있다. 결국 a_n→ p이다.

Example 0.11. 보통거리 d를 가지는 실수 집합 R에서 An= [n, ∞)라 두자. 그러 면 A_n은 닫힌집합이고 < A_n >은 축소열이다. 그러나

∞

\

n=1

A_n= φ

이다. 그리고 R은 완비임을 알고 있다. 따라서 위 정리에 의해

n→∞lim d(A_n) 6= 0 임을 알 수 있다.

Example 0.12. 보통거리 d를 가지는 실수 집합 R에서 An = (0,¹_n]라 두자. 그러면

< A_n>은 축소열이고

n→∞lim d(An) = 0,

∞

\

n=1

An= φ

이다. 위 정리와 비교하면 A_n이 닫힌집합이 아니므로 정리의 내용이 성립하지 않음을 알 수 있다.

Definition 0.13. (X, d)는 거리공간이라 하자. 함수 f : X → X에 대해 0 ≤ α < 1 을 만족하는 실수 α가 존재해서 모든 p, q ∈ X에 대해

d(f (p), f (q)) ≤ αd(p, q) < d(p, q) 을 만족할 때 f 를 축소사상(contracting mapping)이라 한다.

Example 0.14. 함수 f : R² → R²을

f (p) = 1 2p 으로 정의하자. 그러면

d(f (p), f (q)) = ||f (p) − f (q)|| = ||1 2p −1

2q||

= 1

2||p − q|| = 1 2d(p, q) 이므로 f 는 축소사상임을 알 수 있다.

Theorem 0.15. (부동점 정리) f 가 완비거리공간 X에서 X로의 축소사상이면 f (p) = p를 만족하는 점 p ∈ X가 유일하게 존재한다.

Proof. (존재성) 임의의 a, b ∈ X에 대해

d(f (a), f (b)) ≤ αd(a, b), 0 ≤ α < 1

을 만족하는 실수 α가 존재한다고 하자. a₀을 X의 임의의 점이라 하고 a₁ = f (a₀), a₂ = f (a₁), · · · , a_n= f (a_n−1), · · ·

라 하자. 그리고 점렬 < a_n >을 생각하자. 우리는 이것이 코시열임을 보일 것이다.

우선

d(f^s+t(a₀), f^t(a₀)) ≤ αd(f^s+t−1(a₀), f^t−1(a₀)) ≤ · · · ≤ α^td(f^s(a₀), a₀)

≤ α^t[d(a₀, f (a₀)) + d(f (a₀), f²(a₀)) + · · · + d(f^s−1(a₀), f^s(a₀))]

이 성립함을 알 수 있다. 그러나

d(fⁱ⁺¹(a₀), fⁱ(a₀)) ≤ αⁱd(f (a₀), a₀) 이고

1 + α + α²+ · · · + α^s−1 ≤ 1 1 − α 이므로

d(f^s+t(a₀), f^t(a₀)) ≤ α^td(f (a₀), a₀)(1 + α + α²+ · · · + α^s−1)

≤ α^td(f (a₀), a₀) 1 1 − α 이다. 이제  > 0이라 하고

δ =







(1 − α) if d(f (a0), a0) = 0,

(1 − α)/d(f (a₀), a₀) if d(f (a₀), a₀) 6= 0

이라 하자. α < 1이므로 αⁿ⁰ < δ을 만족하는 n₀ ∈ N가 존재한다. 따라서 r ≥ s > n0

일 때

d(a_r, a_s) ≤ α^sd(f (a₀), a₀) 1 1 − α

< δd(f (a₀), a₀) 1 1 − α ≤ 

이 성립한다. 그러므로 < a_n >은 코시열이다. 그런데 X는 완비이므로 < a_n >이 수렴하는 점 p ∈ X가 존재한다. 함수 f 는 연속이므로 점렬연속이고 따라서

f (p) = f



n→∞lim a_n



= lim

n→∞f (a_n) = lim

n→∞a_n+1 = p 이 된다.

(유일성) f (p) = p이고 f (q) = q라고 하자. 그러면

d(p, q) = d(f (p), f (q)) ≤ d(p, q) 에서 d(p, q) = 0을 얻는다. 즉, p = q이다.

<연습1> (X, d)는 거리공간이고 함수 f : X → X는 축소사상이라 하자. 그러면 f 는 연속이다.

(풀이) 임의의 p, q ∈ X에 대해

d(f (p), f (q)) ≤ αd(p, q), 0 ≤ α < 0

을 만족하는 α ∈ R가 존재한다. 이제 f는 각 점 x0 ∈ X에서 연속임을 보이자.

 > 0이라 하자. δ = ¹₂으로 택하자. 그러면

d(x, x0) < δ =⇒ d(f (x), f (x0)) ≤ αd(x, x0) ≤ αδ < 1

2α <  이 성립한다. 즉, f 는 x₀에서 연속이다.

완비화, 완비성과 콤팩트성

Definition 0.16. 거리공간 X^∗가 완비이고 X가 X^∗의 조밀부분집합과 거리동형 이면 X^∗를 X의 완비화(completion)라 한다.

Example 0.17. 보통거리를 가지는 개념에서 R은 Q의 완비화이다. 왜냐하면 R 은 완비이고 Q는 R의 조밀부분집합이기 때문이다.

*거리공간 X의 완비화를 찾는 방법 소개

C[X]를 X의 모든 코시열족이라 하자. 그리고 C[X]에서 관계 ∼을

< a_n >∼< b_n>⇐⇒ lim

n→∞d(a_n, b_n) = 0

으로 정의하자. 그러면 관계 ∼은 C[X]에서의 동치관계가 된다. 잉여집합 C[X]/ ∼ 을 X^∗로 표기하고 < an >∈ C[X]의 동치류를 [< an >]으로 표기하자. 함수 e : X^∗ → R을

e([< a_n>], [< b_n>]) = lim

n→∞d(a_n, b_n)

으로 정의하면 e는 X^∗에서 거리이다. 각 점 p ∈ X에 대해 점렬 < p >은 코시열이 다. 이제

ˆ

p = [< p >], ˆX = {ˆp |p ∈ X}

이라 두자. 그러면 ˆX ⊂ X^∗이다. 그리고 X와 ˆX는 거리동형이고 ˆX는 X^∗에서 조 밀하며 X^∗는 완비이다.

Theorem 0.18. X^∗와 Y^∗가 X의 완비화이면 X∗와 Y ∗는 거리동형이다.

Proof. 일반성을 잃지 않고 X ⊂ Y^∗라고 가정할 수 있다. 따라서 임의의 점 p ∈ Y^∗ 에 대해 p로 수렴하는 X의 코시열 < a_n>이 존재한다. 이제 함수 f : Y^∗ → X^∗을

f (p) = [< am >]

으로 정의하자. 만일 X의 또다른 코시열 < a⁰_n>도 p로 수렴한다면

n→∞lim d(a_n, a⁰_n) = 0 이므로

[< a_n >] = [< a⁰_n >]

이다. 따라서 f 는 잘 정의된다. 이제 [< b_n >] ∈ X^∗라 하자. 그러면 < b_n >은 X 의 코시열이므로 Y^∗의 코시열된다. 그런데 Y^∗는 완비이므로 < b_n >이 Y^∗에서 수렴하는 점 q가 존재한다. 그러면 f (q) = [< b_n>]이다. 따라서 f 는 전사이다.

다음으로 p, q ∈ Y^∗라 하고 X의 점렬 < a_n >과 < b_n>은 각각 p와 q에 수렴한다고 하자. 그러면

e(f (p), f (q)) = e([< a_n>], [< b_n>]) = lim

n→∞d(a_n, b_n) = d( lim

n→∞a_n, lim

n→∞b_n) = d(p, q) 임을 알 수 있다. 그러므로 f 는 Y^∗와 X^∗ 사이의거리동형사상이다.

Definition 0.19. 위상공간 X의 부분집합 A에 대해 int( ¯A) = φ일 때 A를 조밀한 곳이 없다(nowhere dense)고 한다. 조밀하지 않은 부분집합들의 가산합집합으로 표현되는 위상공간 X를 제1범주(first category)에 속한다고 하고 그렇지 않은 경 우에 제2범주(second category)에 속한다고 한다.

Example 0.20. 보통위상을 가지는 R에서 정수 집합 Z에 대해 int(¯Z) = φ이다.

즉, Z는 R에서 nowhere dense이다. 유리수 집합 Q에 대해 int( ¯Q) =int(R) = R 6= φ 이므로 Q는 R에서 nowhere dense가 아니다.

Example 0.21. 유리수 집합 Q는 한 원소 집합 가산개의 합집합이다. 그리고 한 원소 부분집합 {p}는 Q에서 조밀하지 않다. 따라서 Q는 제1범주이다.

Theorem 0.22. 거리공간 X가 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 X가 완비이고 완전유계인 것이다.

Proof. (간단히) X가 콤팩트이면 점렬콤팩트이므로 X는 완비이고 완전유계이다.

역으로 X가 완비이고 완전유계이면 X의 점렬 < a_n >은 수렴하는 코시 부분열을 가진다. 따라서 X는 점렬콤팩트이고 나아가 콤팩트이다.

Theorem 0.23. X가 완비거리공간일 때 A ⊂ X가 콤팩트이기 위한 필요충분조 건은 A가 완전유계이고 닫힌집합인 것이다.

Proof. (간단히) A가 완전유계인 닫힌집합이면 완비공간의 닫힌집합이므로 완비 이고 완전유계이다. 따라서 위의 정리에 의해 A는 콤팩트이다.

<연습1> A을 X에서 nowhere dense 부분집합이라 하자. 그러면 ¯A^c는 X에서 조 밀함을 보여라.

(풀이) ¯A^c가 X에서 조밀하지 않다고 하자. 그러면 p ∈ G 이고 G ∩ ¯A^c = φ

을 만족하는 p ∈ X와 열린집합 G가 존재한다. 따라서 p ∈ G ⊂ ¯A이므로 p ∈ int( ¯A) 이다. 그러나 이것은 A가 nowhere dense라는 것에 모순이다. 따라서 ¯A^c가 X에서 조밀하다.

<연습2> X가 콤팩트 거리공간이면 X는 완비이다.

(풀이) < a_n >을 X의 코시열이라 하자. X는 콤팩트이므로 점렬콤팩트이다. 따 라서 < a_n >은 수렴하는 부분열을 가진다. 그런데 < a_n >은 코시열이므로 전체 점렬도 부분열과 같은 점으로 수렴한다. 따라서 X는 완비이다.

문제 풀이

1. A를 거리공간 X의 완전유계부분집합이라 하자. A의 임의의 점렬 < an >은 코시부분열을가짐을 증명하여라.

(풀이) A는 완전유계이므로 지름이 ₁ = 1보다 작은 유한개의 부분집합으로 분할 할 수 있다.이 집합들 중의 하나를 A₁이라 하면 A₁은 점렬 < a_n >의 무한개 항을 포함해야 한다.따라서

∃ k₁ ∈ N such that ak1 ∈ A₁

이다. 이제 A₁은 완전유계이므로 지름이 ₂ = ¹₂보다 작은 유한개의 부분집합으로 분할할 수 있다. 같은 원리로 이것들 중의 하나를 A₂라 하면 A₂도 점렬 < a_n>의 무한개 항을 포함해야 한다. 따라서

∃ k2 ∈ N such that a^k2 ∈ A2, k1 < k2

이다. 이 방법을 계속하면 d(A_n) < _n¹을 만족하는 축소집합열 A ⊃ A₁ ⊃ A₂ ⊃ · · ·

을 얻고 a_kn ∈ A_n을 만족하는 < a_n >의 부분열 < a_kn >을 얻는다.  > 0이라 하자.

그러면

∃ n0 ∈ N such that 1 n <  이므로 d(A_n0) < 이다. 따라서

k_n, k_m > k_n0 =⇒ a_kn, a_km ∈ A_n0 =⇒ d(a_km, a_kn) <  이 성립한다. 즉, < a_n>은 코시열이다.

2. (학생들 풀이)모든 유한 거리공간은 완비임을 보여라.

3. (학생들 풀이)완비거리공간의 닫힌부분공간은 완비임을 보여라.

4. (학생들 풀이)거리공간 X가 완비이기 위한 필요충분조건은 모든 완전유계인 무한부분집합이 항상 집적점을 가지는 것이다.

5. (학생들 풀이)X와 Y 가 거리동형이고 X가 완비이면 Y 도 완비임을 보여라.

6. (학생들 풀이)B(X, R)을 X상에서 정의된 유계인 실함수족이라 하고 거리는 d(f, g) := sup{|f (x) − g(x)| | x ∈ X}

으로 정의할 때 B(X, R)은 완비임을 보여라.