기초수학 박 진 해

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기초수학 박 진 해

Oct. 8, 2012

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제 6주차 강의 자료

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역행렬

정의

하나의 n × n 행렿 A에 대하여 AB = BA = I_n이 되는 n × n 행렬 B 가 존재할때 A를 역행렬이 존재하는 행렬이라 하며 B를 A의 역행렬이라 부른다. 앞으로 이러한 B를 A⁻¹로 표기한다. 만약 이러한 행렬 B가 존재하지 않으면 A를 특이 행렬(singular matrix)이라 부른다.

질문: 주어진 행렬 A에 대하여 A의 역행렬이 존재하는 자를

알아내는 방법이 없을까?

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앞의 질문에 대답을 위해서 먼저 주어진 행렬 A의 reduced row echelon form 을 알아보자. 그럼 다음과 같이 기본 행렬을 작용하자.

[A : I

_n

] −→ [E

^E¹ ₁

A : E

₁

] · · · −→ [E

^E^k _k

E

_k−1

· · · E

₁

A(REF ) : E

_k

E

_k−1

· · · E

₁

]

F1

−→ [F

₁

E

k

E

k−1

· · · E

₁

A : F

1

E

k

E

k−1

· · · E

₁

] · · ·

Fr

−→ [F

_r

· · · F

₁

E

_k

E

_k−1

· · · E

₁

A(RREF ) : F

_r

· · · F

₁

E

_k

E

_k−1

· · · E

₁

].

위의 마지막 단계에서 얻어진 행렬

D := F_r· · · F₁E_kE_k−1· · · E₁A이 A의 reduced row echelon form 이라고 하자. A가 n × n행렬이므로 A의 reduced row echelon form은 대각선을 제외한 나머지 부분의 성분은 모두 0이어야 하며, 대각선에 위치한 성분은 0아니면 1이어야 한다.

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만약 D의 leading one의 수가 n이라고 하자.

이경우에는 D = I_n이어야 하며,

F_r· · · F₁E_kE_k−1· · · E₁A = I_n

이 성립한다. 여기서, 기본 행렬 E₁, ..., E_k, F₁, ...F_r은 모두 역행렬이 존재하며 그 역행렬들도 역시 기본 행렬임을 쉽게 알 수 있다.

따라서

A = E

₁⁻¹

· · · E

_k⁻¹

F

₁⁻¹

· · · F

_r⁻¹ 이 되어 A를 기본행렬들의 곱으로 나타나며 B = Fr· · · F₁EkEk−1· · · E₁이 A⁻¹가 된다.

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D의 leading one의 수가 n보다 작을 경우

이경우에는 최소한 D의 마지막 행은 모두 0이어야 한다. 만약 A의 역행렬 B가 존재한다면 AB = BA = I_n이므로

F_r· · · F₁E_kE_k−1· · · E₁= F_r· · · F₁E_kE_k−1· · · E₁AB = DB 임을 알 수 있다. 그런데 마지막 행렬 DB의 마지막 행은 모두 0 이다. 그리고 위의 식으로부터 기본행렬 E₁은 DB와 등가 행렬 (equivalent matrix)이다. 그런데 모든 기본 행렬들은

등가행렬들은 DB와 같이 마지막 행이 0이 될 수 없다. 따라서 이경우에는 A의 역행렬이 존재하지 않는다.

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정리

주어진 n × n행렬 A가 역행렬을 가질 필요 충분 조건은 A가 항등행렬 In과 등가 행렬이며 기본 행렬들의 곱으로 표현된다.

정리

주어진 n × n행렬 A가 특이행렬이 될 필요 충분 조건은 A의 reduced row echelon form의 마지막 행은 모두 0으로 이루어 진다.

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예제

행렬

A =





1 4 3

−1 −2 0 2 2 3





의 역행렬이 존재하는 지를 판별하고 존재할 경우 A를 기본 행렬들의곱으로 표현하여라.

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선형시스템과 역행렬

정리

n × n 행렬 A 와 n × 1 행렬 b에 대하여 선형시스템 (a) Ax = b 가 유일한 해를 가질 필요 충분 조건은 A의 역행렬이 존재하는 것이다. (b) 만약 A의 역행렬이 존재하지 않으면 Ax = b의 해가 무수히 많거나 또는 해가 존재하지 않는다.

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행렬식(determinant)

먼저 가장 간단한 선형 방정식 ax = b를 생각하자. 만약 a 6= 0 이면 x =^b_a가 되어 유일한 해가 된다. 다음으로 Ax = b, A =

a₁₁ a₁₂ a21 a22

를 생각하자. 만약 a₁₁a22− a₁₂a216= 0이면 위의 선형시스템은 유일한 해를 갖는다. 이와 같이 일반적인 n × n행렬 A으로 부터 어떠한 scalar값이 존재하여 Ax = b이 유일한 해를갖는 것을 결정한다. 고등학교에서 배웠듯이 A가 2 × 2일때 a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁을 det(A)라고 표기하며 A의

행렬식이라고 한다.

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그럼행렬

A =





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a31 a32 a33





가 주어 질때 Ax = b이 유일 한 해를 가질 조건을 구해 보자.

우선 a₁₁, a₂₁, a₃₁중 하나는 반드시 0이 아니다. 만약 모두 0이면 x1이 자유변수가 되어 해가 무한히 많거나 해가 존재하지 않을 경우가 된다. 따라서 a₁₁이 0이 아니라고 가정하자.